（篇二）第二单元分数乘法·简便计算篇【十四大考点】-2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列（原卷版+解析版）苏教版

1 / 24 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时， 能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走 于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到 自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找 资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料 应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。 于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了 一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025 学年六年级数学上册典型例题系列》，它基于教材知识和常年 真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、 思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其 优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经 典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面， 精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基 础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为 A卷·基础巩固卷、B卷·素 养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去， 它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请 留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2024 年 8 月 15 日 2 / 24 2024-2025 学年六年级数学上册典型例题系列 第二单元分数乘法·简便计算篇【十四大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第二单元分数乘法·简便计算篇 专题内容 本专题包括分数乘法的简便计算和复杂类型的计算。 总体评价 讲解建议 建议根据学生实际掌握情况和总体水平，选择性讲解部分考 点考题。 考点数量 十四个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】简便计算其一：乘法交换律和乘法结合律的运用。 ........................................4 【考点二】简便计算其二：乘法分配律的运用。 ................................................................ 5 【典型例题 1】乘法分配律。 ......................................................................................................... 5 【典型例题 2】乘法分配律变式。 ................................................................................................. 6 【考点三】简便计算其三：乘法分配律逆运算。 ................................................................ 7 【考点四】简便计算其四：添加因数 1。 .............................................................................8 【考点五】简便计算其五：分子、分母交换与拆分。 ......................................... 9 【考点六】简便计算其六：乘法分配律与混合型算式。 ..................................................10 【考点七】简便计算其七：带分数化加式或化减式。 ............................. 11 【典型例题 1】带分数化加式。 ................................................................................................... 11 【典型例题 2】带分数化减式。 ................................................................................................... 12 【考点八】简便计算其八：分数化加式或化减式。 ..................................12 3 / 24 【典型例题 1】分数化减式。 ....................................................................................................... 12 【典型例题 2】分数化加式。 ....................................................................................................... 12 【考点九】简便计算其九：整数化加减式或化倍式。 ............................. 13 【典型例题 1】整数化加式。 ....................................................................................................... 13 【典型例题 2】整数化减式。 ....................................................................................................... 14 【典型例题 3】整数化倍式。 ....................................................................................................... 14 【考点十】简便计算其十：连锁约分。＊ .......................................................................... 15 【考点十一】简便计算其十一：分组简算法。＊ .............................................................. 16 【考点十二】简便计算其十二：换元法（字母代换法）。＊ ..........................................17 【考点十三】简便计算其十三：裂项法（分数裂和与分数裂差）。 ..... 18 【典型例题 1】其一。 ................................................................................................................... 19 【典型例题 2】其二。 ................................................................................................................... 20 【典型例题 3】其三。 ................................................................................................................... 20 【典型例题 4】其四。 ................................................................................................................... 21 【典型例题 5】其五。 ................................................................................................................... 21 【典型例题 6】其六。 ................................................................................................................... 22 【考点十四】分数乘法与定义新运算。 .............................................................................. 23 4 / 24 【第三篇】典型例题篇 【考点一】简便计算其一：乘法交换律和乘法结合律的运用。 【方法点拨】 1.乘法交换律。 两个数相乘，交换两个因数的位置，积不变，用字母表示为 a×b=b×a。 2.乘法结合律。 三个数相乘，先把前两个数相乘或者先把后两个数相乘，积不变，用字母表示为 (a×b)×c=a×(b×c)。 【典型例题】 简便计算。 11 3 28 14 2 55       1 451 9 9 17    【对应练习 1】 简便计算。 3 5 3916 8 13 25        【对应练习 2】 能简算的要简算。 14 15 ×（ 7 11  5 28）×11 5 / 24 【对应练习 3】 简便计算。 2 15 ×2.4×（ 5 3 6 4  ） 21 8 ×（ 10 7 ×0.3）× 11 3 【考点二】简便计算其二：乘法分配律的运用。 【方法点拨】 乘法分配律。 (a+b)×c=a×c+b×c (a-b)×c=a×c-b×c。 【典型例题 1】乘法分配律。 简便计算。 7 1 9 6      ×5.4 【对应练习 1】 简便计算。 1 1 1 12 3 4 6        【对应练习 2】 简便计算。 8 5 172 9 6 3        6 / 24 【对应练习 3】 简便计算。 3 5 5 48 8 12 16        【典型例题 2】乘法分配律变式。 简便计算。 3 235 53 35 53        【对应练习 1】 简便计算。 3 35 8 5 8        【对应练习 2】 简便计算。 （ 1 2020 ＋ 1 2019）×2019×2020 【对应练习 3】 简便计算。 （ 5 13 ＋ 2 39 ）×13×16 7 / 24 【考点三】简便计算其三：乘法分配律逆运算。 【方法点拨】 乘法分配律逆运算。 a×c+b×c=(a+b)×c a×c-b×c=(a-b)×c。 【典型例题】 简便计算。 2 247 52 9 9    【对应练习 1】 简便计算。 2 515 15 7 7    【对应练习 2】 简便计算。 1 17 ×34＋17× 217 【对应练习 3】 简便计算。 3 3153 53 5 5    8 / 24 【考点四】简便计算其四：添加因数 1。 【方法点拨】 形如 A×B+A的式子，在进行简便计算时，要把单独的一个数看作 A×1，即 A×B+A=A×B+A×1，然后再使用乘法分配律进行简便计算。。 【典型例题】 简便计算。 2 2 3 9 9 8   【对应练习 1】 简便计算。 4 3 5 9 16 12   【对应练习 2】 简便计算。 3 3 337 62 4 4 4     【对应练习 3】 简便计算。 37× 3 4 ＋64×0.75－ 3 4 9 / 24 【考点五】简便计算其五：分子、分母交换与拆分。 【方法点拨】 分数乘分数时，分子与分子之间，分母与分母之间可以交换位置，不影响积的大 小，因此在简便计算时，可以考虑将分母或分子拆分，重新组成可以使用乘法分 配律的式子。 【典型例题】 简便计算。 13 3 26 33 25 4 4 134      【对应练习 1】 简便计算。 7 17 ×16 25 ＋ 9 17 × 7 25 24 7 17 9 24 9 17 5  24 13 16 7 24 7 16 11  【对应练习 2】 简便计算。 27 5 11 6 11 5 9 710  17 5 9 1 9 150 17 16 9 5  17 6 18 5 17 4 9 5 6 5 17 1  【对应练习 3】 简便计算。 2 5 3 7 1 712 2 1 4 1 3 12 4 11 11 11                   10 / 24 【考点六】简便计算其六：乘法分配律与混合型算式。 【方法点拨】 观察算式特点，结合乘法分配律的使用条件，在简便计算的过程中可能需要多次 使用乘法分配律或逆运算。 【典型例题】 简便计算。 3 47.2 61 73.8 2 10 5    【对应练习 1】 简便计算。 3 3 3 37 6 7 6 28 27 27 28    【对应练习 2】 简便计算。 1 1 1 1 1 1 1 188 78 68 8 8 8 8 8 8 8 8 8                                    11 / 24 【考点七】简便计算其七：带分数化加式或化减式。 【方法点拨】 当带分数不容易化成假分数时，可以将带分数写成整数+真分数或整数-真分数的 形式，然后再使用乘法分配律进行简便计算。 【典型例题 1】带分数化加式。 简便计算。 24 15 8 ×5 6 17 1 20 1751  20 15 7 ×25 【对应练习 1】 简便计算。 （1） 1 12004 2002 2003  （2） 1 3 1 441 51 3 4 4 5    【对应练习 2】 简便计算。 （1） 1 172 15 8  （2） 1 754 7 9  【对应练习 3】 简便计算。 20 12 5 ×1 5 332 9 × 9 11 211 6 ×6 7 12 / 24 【典型例题 2】带分数化减式。 简便计算。 1 2 1 3 1 4 1 529 39 49 59 2 3 3 4 4 5 5 6        【对应练习】 简便计算。 2 1 4 314  144 5 ×10 253 8 ×8 【考点八】简便计算其八：分数化加式或化减式。 【方法点拨】 当因数是一个分数且接近 1时，可以把这个分数拆分成“1+分数”或“1-分数”的形 式，然后再使用乘法分配律。 【典型例题 1】分数化减式。 简便计算。 33 34 ×27 【典型例题 2】分数化加式。 简便计算。 23 22 ×17 13 / 24 【对应练习 1】 简便计算。 50 49 ×13 43 41 ×13 【对应练习 2】 简便计算。 33 34 ×13 39 38 ×25 【对应练习 3】 简便计算。 2013 2014 40252011 2012 2012 2013 2012 2013      【考点九】简便计算其九：整数化加减式或化倍式。 【方法点拨】 当因数是整数且这个整数接近分母或者与分母成倍数关系时，可以把这个整数拆 分，然后再使用乘法分配律。 【典型例题 1】整数化加式。 简便计算。 9991001 1000  14 / 24 【典型例题 2】整数化减式。 简便计算。 200×199201 【典型例题 3】整数化倍式。 简便计算。 93× 46 21 【对应练习 1】 简便计算。 2357 56  101× 59100 【对应练习 2】 简便计算。 （1） 29 99 98  （2） 1567 68  15 / 24 【对应练习 3】 简便计算。 52×37 50 1001× 101 1002 199×89 99 135 34136 【考点十】简便计算其十：连锁约分。＊ 【方法点拨】 多个不同分数之间的乘法，可以考虑连锁约分，需要注意寻找约分的数字。 【典型例题】 简便计算。 1 2 × 2 3× 3 4 ×…× 99 100× 100 101 【对应练习 1】 简便计算。 （1+ 1 2 ）（1- 1 2 ）（1+ 1 3）（1- 1 3）…（1+ 1 99）（1- 1 99） 【对应练习 2】 简便计算。 1 1 1 1 11 1 1 1 ... 1 2 3 4 5 100                                       16 / 24 【对应练习 3】 简便计算。 2021×（1－ 12 ）×（1－ 1 3）×（1－ 1 4 ）×…×（1－ 12021） 【考点十一】简便计算其十一：分组简算法。＊ 【方法点拨】 分析已知条件，列出乘法算式。 【典型例题】 简便计算。 19 19 19 19(1 ) (1 2) (1 3) (1 11) 92 92 92 92            【对应练习 1】 简便计算。 5 89 5 40 5 5199 73 73 99 9 129 7 129 7 9        17 / 24 【对应练习 2】 简便计算。 2 2 2 2 2 220 1 19 2 18 3 17 4 16 5 1 20 21 21 21 21 21 21                                                      【考点十二】简便计算其十二：换元法（字母代换法）。＊ 【方法点拨】 在计算过程中，有些式子很长，计算复杂，那么就可以用字母代替式子中的一部 分，使计算简便，这样的方法成为换元法，也叫字母代换法 1. 一般情况下，设最短式子为 A，次短式子为 B； 2.单独分离整数，即整数不包括在 A、B之内。 【典型例题】 简便计算。 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 2 3 4 99 2 3 4 100 2 3 4 100 2 3 4 99                                        【对应练习 1】 简便计算。 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 2 3 4 2 3 4 5 2 3 4 5 2 3 4                                      18 / 24 【对应练习 2】 简便计算。 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1(1 ) ( ) (1 ) ( ) 2 3 4 5 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 2 3 4 5                    【对应练习 3】 简便计算。 1 2017 2018 2017 2018 2019 2017 2018 2019 1 2017 20 18( ) ( ) - ( ) ( ) 2 2018 2019 2018 2019 2020 2018 2019 2020 2 2018 20 19           【考点十三】简便计算其十三：裂项法（分数裂和与分数裂差）。 【方法点拨】 1.裂项法。 把一个分数拆分成两个或两个以上分数相减的形式，然后再进行计算的方法叫做 裂项法。 2.常用裂项法公式。 ① 1n 1 n 1 1nn 1    ）（ ； ② ）（ ）（ kn 1 n 1 k 1 knn 1    ； ③ ）（ ））（（ 1n2 1 1n2 1 2 1 1n21n2 1      ； ④          ））（（）（））（（ k2nkn 1 knn 1 k2 1 k2nknn 1 ； 19 / 24 ⑤ a 1 b 1 ba b ba a ba ba        ； ⑥ a b b a bababa baba 2222        。 【典型例题 1】其一。 观察下列等式： 1 11 1 2 2    ， 1 1 1 2 3 2 3    ， 1 1 1 3 4 3 4    ， 请将以上三个等式两边分别相加得： 1 1 1 1 1 1 1 1 1 31 1 1 2 2 3 3 4 2 2 3 3 4 4 4               。 （1）猜想并写出： 1 ( 1)n n   ( )。 （2） 1 1 1 1+ 1 2 2 3 3 4 2016 2017          ( )。 （3）探究并计算： 1 1 1 1+ + + + = 2 4 4 6 6 8 2016 2018        ( )。 （4）计算： 1 1 1 1 1 1 1 1 14 12 24 40 60 84 112 144 180         【对应练习 1】 简便计算。 1 3 5 ＋ 1 5 7 ＋ 1 7 9 20 / 24 【对应练习 2】 简便计算。 1 1 1 1 1 2 6 12 20 30     【典型例题 2】其二。 简便计算。 1 1 1 1 1 1 2 3 2 3 4 3 4 5 4 5 6 8 9 10                L 【对应练习】 简便计算。 + + +…+ 【典型例题 3】其三。 简便计算。 1 3 7 15 31 2 4 8 16 32     21 / 24 【对应练习】 简便计算。 3 11 23 39 759 839 2 6 12 20 380 420       【典型例题 4】其四。 简便计算。 2 2 2 22 4 6 100 1 3 3 5 5 7 99 101         L 【对应练习】 简便计算。 1210108866442 119753 22222          【典型例题 5】其五。 简便计算。 2 2 2 2 2 2 2 21 2 2 3 18 19 19 20 1 2 2 3 18 19 19 20            22 / 24 【对应练习】 计算。 2 2 2 2 2 2 2 2 3 5 7 15 1 2 2 3 3 4 7 8          【典型例题 6】其六。 计算。 1 1 1 1..... 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 .... 99                。 【对应练习】 计算。 1 1 1 11+ + + + + 1+2 1+2+3 1+2+3+4 1+2+3+ +50   23 / 24 【考点十四】分数乘法与定义新运算。 【方法点拨】 1.定义新运算。 定义新运算是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算。 2.解题方法。 解决定义新运算类型题，关键是理解新定义的算式的含义，严格按照新定义的计 算顺序，将数值代入算式中，再把它转化为一般的四则运算，最后再进行计算。 3.注意事项。 （1）定义新运算的符号常是特殊的运算符号，例如：✱、▲、◉ 、◎等，它们 并不表示实际意义。 （2）在新定义的算式中，如果有括号，要先算括号里面的，同样，有中括号和 小括号，要先算小括号里的，再算中括号里的。 【典型例题】 定义新运算：已知 1 2 △3＝ 1 1 1 2 3 4   ， 1 9△2＝ 1 1 9 10  。求 1 2 △4－ 1 3△4的值。 【对应练习 1】 定义新运算：设 14 2 2 a b a b ab   ，求 4 1 ? 5 10  。 【对应练习 2】 定义新运算：若 a b =ad bc c d  ，则 8 3 1 0.2 2  ( )。 24 / 24 【对应练习 3】 定义新运算：a◎b＝3a＋4b，若 x◎7＝37，那么 13◎（x◎4）＝( )。 1 / 38 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时， 能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走 于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到 自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找 资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料 应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。 于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了 一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025 学年六年级数学上册典型例题系列》，它基于教材知识和常年 真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、 思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其 优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经 典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面， 精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基 础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为 A卷·基础巩固卷、B卷·素 养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去， 它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请 留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2024 年 8 月 15 日 2 / 38 2024-2025 学年六年级数学上册典型例题系列 第二单元分数乘法·简便计算篇【十四大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第二单元分数乘法·简便计算篇 专题内容 本专题包括分数乘法的简便计算和复杂类型的计算。 总体评价 讲解建议 建议根据学生实际掌握情况和总体水平，选择性讲解部分考 点考题。 考点数量 十四个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】简便计算其一：乘法交换律和乘法结合律的运用。 ........................................4 【考点二】简便计算其二：乘法分配律的运用。 ................................................................ 6 【典型例题 1】乘法分配律。 ......................................................................................................... 6 【典型例题 2】乘法分配律变式。 ................................................................................................. 7 【考点三】简便计算其三：乘法分配律逆运算。 ................................................................ 8 【考点四】简便计算其四：添加因数 1。 ...........................................................................10 【考点五】简便计算其五：分子、分母交换与拆分。 ....................................... 11 【考点六】简便计算其六：乘法分配律与混合型算式。 ..................................................13 【考点七】简便计算其七：带分数化加式或化减式。 ............................. 16 【典型例题 1】带分数化加式。 ................................................................................................... 16 【典型例题 2】带分数化减式。 ................................................................................................... 18 【考点八】简便计算其八：分数化加式或化减式。 ..................................18 3 / 38 【典型例题 1】分数化减式。 ....................................................................................................... 19 【典型例题 2】分数化加式。 ....................................................................................................... 19 【考点九】简便计算其九：整数化加减式或化倍式。 ............................. 20 【典型例题 1】整数化加式。 ....................................................................................................... 20 【典型例题 2】整数化减式。 ....................................................................................................... 20 【典型例题 3】整数化倍式。 ....................................................................................................... 21 【考点十】简便计算其十：连锁约分。＊ .......................................................................... 23 【考点十一】简便计算其十一：分组简算法。＊ .............................................................. 24 【考点十二】简便计算其十二：换元法（字母代换法）。＊ ..........................................26 【考点十三】简便计算其十三：裂项法（分数裂和与分数裂差）。 ..... 28 【典型例题 1】其一。 ................................................................................................................... 29 【典型例题 2】其二。 ................................................................................................................... 31 【典型例题 3】其三。 ................................................................................................................... 32 【典型例题 4】其四。 ................................................................................................................... 33 【典型例题 5】其五。 ................................................................................................................... 34 【典型例题 6】其六。 ................................................................................................................... 35 【考点十四】分数乘法与定义新运算。 .............................................................................. 36 4 / 38 【第三篇】典型例题篇 【考点一】简便计算其一：乘法交换律和乘法结合律的运用。 【方法点拨】 1.乘法交换律。 两个数相乘，交换两个因数的位置，积不变，用字母表示为 a×b=b×a。 2.乘法结合律。 三个数相乘，先把前两个数相乘或者先把后两个数相乘，积不变，用字母表示为 (a×b)×c=a×(b×c)。 【典型例题】 简便计算。 11 3 28 14 2 55       1 451 9 9 17    【答案】 11 3 28 14 2 55       11 28 3 14 55 2        2 3 5 2   3 5  1 451 9 9 17    1 49 51 9 17               1 12  12 【对应练习 1】 简便计算。 3 5 3916 8 13 25        【答案】 3 5 3916 8 13 25        5 / 38 3 5 3916 8 13 25     3 5 3916 8 13 25               36 5   18 5  【对应练习 2】 能简算的要简算。 14 15 ×（ 7 11  5 28）×11 【答案】 14 7 5 11 15 11 28        14 7 5 11 15 11 28     14 5 7 11 15 28 11         1 7 6   7 6  【对应练习 3】 简便计算。 2 15 ×2.4×（ 5 3 6 4  ） 21 8 ×（ 10 7 ×0.3）× 11 3 【答案】 2 15 ×2.4×（ 5 3 6 4  ） ＝ 2 15 ×2.4× 5 3 6 4  ＝ 2 15 × 5 6 ×2.4× 3 4 ＝（ 2 15 × 5 6 ）×（2.4× 3 4 ） ＝ 1 9 ×1.8 ＝0.2 6 / 38 21 8 ×（ 10 7 ×0.3）× 11 3 ＝ 21 8 ×（ 10 7 ×0.3）× 4 3 ＝（ 21 8 × 10 7 ）×（0.3× 4 3 ） ＝ 15 4 ×0.4 ＝1.5 【考点二】简便计算其二：乘法分配律的运用。 【方法点拨】 乘法分配律。 (a+b)×c=a×c+b×c (a-b)×c=a×c-b×c。 【典型例题 1】乘法分配律。 简便计算。 7 1 9 6      ×5.4 解析： 7 1 9 6      ×5.4 ＝ 7 9 ×5.4－ 1 6 ×5.4 ＝4.2－0.9 ＝3.3 【对应练习 1】 简便计算。 1 1 1 12 3 4 6        解析： 1 1 1 12 3 4 6        1 1 112 12 12 3 4 6 ＝      4 3 2＝   7 / 38 3＝ 【对应练习 2】 简便计算。 8 5 172 9 6 3        解析： 8 5 172 9 6 3        8 5 172 72 72 9 6 3       64 60 24   28 【对应练习 3】 简便计算。 3 5 5 48 8 12 16        解析： 3 5 5 48 8 12 16        ＝ 3 5 548 48 48 8 12 16      ＝18＋20－15 ＝23 【典型例题 2】乘法分配律变式。 简便计算。 3 235 53 35 53        解析： 3 235 53 35 53        3 235 53 35 53 35 53 ＝      159 70＝  ＝89 【对应练习 1】 8 / 38 简便计算。 3 35 8 5 8        解析： 5×（ 35＋ 3 8）×8 ＝5× 35 ×8＋5× 3 8 ×8 ＝24＋15 ＝39 【对应练习 2】 简便计算。 （ 1 2020 ＋ 1 2019）×2019×2020 解析： （ 1 2020 ＋ 1 2019）×2019×2020 ＝ 1 2020 ×2019×2020＋ 1 2019 ×2019×2020 ＝2019＋2020 ＝4039 【对应练习 3】 简便计算。 （ 5 13 ＋ 2 39 ）×13×16 解析： （ 5 13 ＋ 2 39 ）×13×16 ＝ 5 13 ×13×16＋ 2 39 ×13×16 ＝80＋ 210 3 ＝ 290 3 【考点三】简便计算其三：乘法分配律逆运算。 【方法点拨】 9 / 38 乘法分配律逆运算。 a×c+b×c=(a+b)×c a×c-b×c=(a-b)×c。 【典型例题】 简便计算。 2 247 52 9 9    解析： 2 247 52 9 9    ＝  2 47 529   ＝ 2 99 9  ＝22 【对应练习 1】 简便计算。 2 515 15 7 7    解析： 2 515 15 7 7    ＝ 2 515 7 7  （ ） ＝15×1 ＝15 【对应练习 2】 简便计算。 1 17 ×34＋17× 217 解析： 1 17 ×34＋17× 217 ＝2＋2 ＝4 10 / 38 【对应练习 3】 简便计算。 3 3153 53 5 5    解析： 3 3153 53 5 5    ＝ 3 (153 53) 5   ＝ 3 100 5  ＝60 【考点四】简便计算其四：添加因数 1。 【方法点拨】 形如 A×B+A的式子，在进行简便计算时，要把单独的一个数看作 A×1，即 A×B+A=A×B+A×1，然后再使用乘法分配律进行简便计算。。 【典型例题】 简便计算。 2 2 3 9 9 8   解析： 2 2 3 9 9 8   ＝ 2 3(1 ) 9 8   ＝ 2 9 8 5  ＝ 5 36 【对应练习 1】 简便计算。 4 3 5 9 16 12   解析： 4 3 5 9 16 12   11 / 38 ＝ 1 5 12 12  ＝ 1 2 【对应练习 2】 简便计算。 3 3 337 62 4 4 4     解析： 3 3 337 62 4 4 4     ＝ 3(37 62 1) 4    ＝ 3100 4  ＝75 【对应练习 3】 简便计算。 37× 3 4 ＋64×0.75－ 3 4 解析： 37× 3 4 ＋64×0.75－ 3 4 ＝37× 3 4 ＋64× 3 4 － 3 4 ＝（37＋64－1）× 3 4 ＝100× 3 4 ＝75 【考点五】简便计算其五：分子、分母交换与拆分。 【方法点拨】 分数乘分数时，分子与分子之间，分母与分母之间可以交换位置，不影响积的大 小，因此在简便计算时，可以考虑将分母或分子拆分，重新组成可以使用乘法分 配律的式子。 【典型例题】 12 / 38 简便计算。 13 3 26 33 25 4 4 134      解析： 13 3 26 33 25 4 4 134      13 3 3= 3 25 2 4 44       3= 13 5 4 2 2   3= 4 40 30 【对应练习 1】 简便计算。 7 17 ×16 25 ＋ 9 17 × 7 25 24 7 17 9 24 9 17 5  24 13 16 7 24 7 16 11  解析： 17 7 ； 34 9 ； 16 7 【对应练习 2】 简便计算。 27 5 11 6 11 5 9 710  17 5 9 1 9 150 17 16 9 5  17 6 18 5 17 4 9 5 6 5 17 1  解析：5； 9 55 ； 18 5 【对应练习 3】 简便计算。 2 5 3 7 1 712 2 1 4 1 3 12 4 11 11 11                   解析： 2 5 3 7 1 712 2 1 4 1 3 12 4 11 11 11                   2 5 3 4 4 4= 21 6 18 3 12 4 11 11 11                    2 5 3 4= 21 6 18 3 12 4 11                2 5 3 4= 33 3 12 4 11              13 / 38 2 5 3= 12 3 12 4        2 5 3= 12 12 12 3 12 4      =8 5 9  =22 【考点六】简便计算其六：乘法分配律与混合型算式。 【方法点拨】 观察算式特点，结合乘法分配律的使用条件，在简便计算的过程中可能需要多次 使用乘法分配律或逆运算。 【典型例题】 简便计算。 3 47.2 61 73.8 2 10 5    【答案】648 【分析】把分数化为小数，然后将 73.8拆分为 61.3＋2.8，然后根据乘法分配律， 将算式变为7.2 61.3 2.8 2.861.3 ＋12.5    ，再根据乘法分配律，将算式变为  7.2 2.8 61.3 2.8＋12.5   ，然后计算括号里面的加法，再把 2.8拆分为 4×0.7，再 根据乘法结合律，将算式变为  10 61.3 4 0.7＋ 12.5   进行简算即可。 【详解】 3 47.2 61 73.8 2 10 5    ＝  7.2 61.3 2.861.3＋12.5   ＝7.2 61.3 2.8 2.861.3 ＋12.5    ＝  7.2 2.8 61.3 2.8＋12.5   ＝10 61.3 2.8＋12.5  ＝  10 61.3 4 0.7＋12.5   ＝10 61.3 4 0.7＋12.5   ＝  10 61.3 4 0.7＋ 12.5   ＝10 61.3 50 0.7＋  14 / 38 ＝613 35＋ ＝ 648 【对应练习 1】 简便计算。 3 3 3 37 6 7 6 28 27 27 28    【答案】 1 252 【分析】先将 37 27 拆分为 31 6 27 ＋ ，然后根据乘法分配律和减法的性质，将算式变 为 3 3 3 3 37 6 1 6 6 6 28 27 28 27 28      ，再根据带符号搬家，将算式变为 3 3 3 3 37 6 6 6 1 6 28 27 27 28 28      ，然后根据乘法分配律，将算式变为 3 3 3 37 6 6 1 6 28 28 27 28         ，再计算括号里面的减法，进而计算括号外面的乘法， 将 3 36 6 27 28  的被减数和减数同时减去 6进行简算即可。 【详解】 3 3 3 37 6 7 6 28 27 27 28    ＝ 3 3 3 37 6 1 6 6 28 27 27 28        ＋ ＝ 3 3 3 3 37 6 1 6 6 6 28 27 28 27 28      ＝ 3 3 3 3 37 6 6 6 1 6 28 27 27 28 28      ＝ 3 3 3 37 6 6 1 6 28 28 27 28         ＝ 3 31 6 1 6 27 28    ＝ 3 36 6 27 28  ＝ 3 36 6 6 6 27 28            － － ＝ 3 3 27 28  ＝ 1 252 【对应练习 2】 简便计算。 1 1 1 1 1 1 1 188 78 68 8 8 8 8 8 8 8 8 8                                    15 / 38 【答案】 5553 64 【分析】先根据乘法分配律，将算式变为 1 1 1 1 188 78 68 8 8 8 8 8 8                                   ，然后去掉小括号，根据带符号搬家， 将算式变为 1 1 1 1 188 78 68 8 8 8 8 8 8              ，然后运用括号以及减法的性质， 将算式变为         1 1 1 1 180 8 70 8 60 8 10 8 8 8 8 8 8 8                      ，算式中减 去9个 18，加上9个8，据此将算式变为     1 180 70 60 10 8 8 8 8 9 8 8                ， 然后计算小括号里面的结果，再将算式变为 9 1432 8 8      ，然后根据乘法分配律， 将算式变为 1 9 1432 8 8 8    进行计算即可。 【详解】 1 1 1 1 1 1 1 188 78 68 8 8 8 8 8 8 8 8 8                                    1 1 1 1 188 78 68 8 8 8 8 8 8                                  ＝ 1 1 1 1 188 78 68 8 8 8 8 8 8             ＝ 1 1 1 1 188 78 68 8 8 8 8 8 8             ＝         1 1 1 1 180 8 70 8 60 8 10 8 8 8 8 8 8 8                     ＝ 1 1 1 1 180 8 70 8 60 8 10 8 8 8 8 8 8 8                     ＝ 1 180 70 60 10 8 8 8 8 9 8 8               ＝     1 180 70 60 10 8 8 8 8 9 8 8               ＝ 1 1360 8 9 9 8 8         ＝ 9 1360 72 8 8       ＝ 9 1432 8 8      ＝ 16 / 38 1 9 1432 8 8 8 ＝    954 64 ＝  5553 64 ＝ 【考点七】简便计算其七：带分数化加式或化减式。 【方法点拨】 当带分数不容易化成假分数时，可以将带分数写成整数+真分数或整数-真分数的 形式，然后再使用乘法分配律进行简便计算。 【典型例题 1】带分数化加式。 简便计算。 24 15 8 ×5 6 17 1 20 1751  20 15 7 ×25 解析： 9 184 ； 20 61 ； 3 1535 【对应练习 1】 简便计算。 （1） 1 12004 2002 2003  （2） 1 3 1 441 51 3 4 4 5    【答案】（1） 11 2002 ；（2）72 【分析】（1）先把带分数 12004 2002 改写成 12004 2002      ，再把2004拆成2003 1 ， 把1给分数 1 2002 ，这样算式变成 2003 12003 2002 2003       ，然后根据乘法分配律（a＋b） ×c＝a×c＋b×c进行简算； （2）先把带分数 141 3 、 151 4 改写成 141 3      、 151 4      ，再把 41拆成 40 1 、把51拆 成50 1 ，都把1给后面的分数，最后根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c进行 简算。 【详解】（1） 1 12004 2002 2003  1 12004 2002 2003        1 12003 1 2002 2003         17 / 38 2003 12003 2002 2003        1 2003 12003 2003 2002 2003     11 2002   11 2002  （2） 1 3 1 441 51 3 4 4 5    1 3 1 441 51 3 4 4 5                 1 3 1 440 1 50 1 3 4 4 5                   3 440 50 3 4 4 5 4 5                3 3 4 440 50 4 3 5 4 5 4 5 4         30 1 40 1    72 【对应练习 2】 简便计算。 （1） 1 172 15 8  （2） 1 754 7 9  【答案】（1） 19 120；（2） 142 9 【分析】（1）（2）把带分数改写成“整数＋真分数”的形式，再根据乘法分配律 （a＋b）×c＝a×c＋b×c进行简算。 【详解】（1） 1 172 15 8  1 172 15 8        1 1 172 8 15 8     19 120   19 120  （2） 1 754 7 9  18 / 38 1 754 7 9        7 1 754 9 7 9     142 9   142 9  【对应练习 3】 简便计算。 20 12 5 ×1 5 332 9 × 9 11 211 6 ×6 7 解析： 12 49 ； 11 299 ；18 7 1 【典型例题 2】带分数化减式。 简便计算。 1 2 1 3 1 4 1 529 39 49 59 2 3 3 4 4 5 5 6        解析： 29 1 2 × 2 3＋39 1 3 × 3 4 ＋49 1 44 5  ＋59 1 5 5 6  ＝（30－ 1 2 ）× 2 3＋（40－ 2 3）× 3 4 ＋（50－ 3 4 ）× 4 5 ＋（60－ 4 5 ）× 5 6 ＝20－ 13＋30－ 1 2 ＋40－ 35＋50－ 2 3 ＝（20＋30＋40＋50）－（ 13＋ 2 3）－（ 1 2 ＋ 3 5） ＝139－1 1 10 ＝137 910 【对应练习】 简便计算。 2 1 4 314  144 5 ×10 253 8 ×8 解析： 8 59 ；148；203 【考点八】简便计算其八：分数化加式或化减式。 【方法点拨】 19 / 38 当因数是一个分数且接近 1时，可以把这个分数拆分成“1+分数”或“1-分数”的形 式，然后再使用乘法分配律。 【典型例题 1】分数化减式。 简便计算。 33 34 ×27 解析：26 34 7 【典型例题 2】分数化加式。 简便计算。 23 22 ×17 解析：17 22 17 【对应练习 1】 简便计算。 50 49 ×13 43 41 ×13 解析： 50 637 ； 41 559 【对应练习 2】 简便计算。 33 34 ×13 39 38 ×25 解析： 34 429 ； 38 975 【对应练习 3】 简便计算。 2013 2014 40252011 2012 2012 2013 2012 2013      【答案】4025 【分析】把原式化为 2011×（1＋ 1 2012 ）＋2012×（1＋ 12013）＋ 2 2 0 01 12 2 20 1 13 20 3   ，， 然后运用乘法分配律化为 2011＋ 20112012 ＋2012＋ 2012 2013＋ 1 2012 ＋ 1 2013，再运用加法 交换律和加法结合律进行计算即可。 20 / 38 【详解】 2013 2014 40252011 2012 2012 2013 2012 2013      ＝2011×（1＋ 1 2012 ）＋2012×（1＋ 12013）＋ 2 2 0 01 12 2 20 1 13 20 3   ＝2011＋ 20112012 ＋2012＋ 2012 2013＋ 1 2012 ＋ 1 2013 ＝2011＋2012＋（ 20112012 ＋ 1 2012 ）＋（ 2012 2013＋ 1 2013） ＝2011＋2012＋（1＋1） ＝2011＋2012＋2 ＝4023＋2 ＝4025 【考点九】简便计算其九：整数化加减式或化倍式。 【方法点拨】 当因数是整数且这个整数接近分母或者与分母成倍数关系时，可以把这个整数拆 分，然后再使用乘法分配律。 【典型例题 1】整数化加式。 简便计算。 9991001 1000  解析： 9991001 1000  ＝   9991000 1 1000  ＝ 999 9991000 1 1000 1000    ＝ 999999 1000  ＝ 999999 1000 【典型例题 2】整数化减式。 简便计算。 200×199201 解析： 21 / 38 200×199201 ＝（201－1）×199201 ＝201×199201－1× 199 201 ＝199－199201 ＝198 2 201 【典型例题 3】整数化倍式。 简便计算。 93× 46 21 解析：42 46 21 【对应练习 1】 简便计算。 2357 56  解析： 2357 56    2356 1 56    23 2356 1 56 56     2323 56   2323 56  101× 59100 解析： 101× 59100 ＝（100＋1）× 59100 ＝100× 59100＋1× 59 100 22 / 38 ＝59＋ 59100 ＝ 5959 100 【对应练习 2】 简便计算。 （1） 29 99 98  （2） 1567 68  【答案】（1） 2929 98 ；（2） 5314 68 【分析】（1）先把 99拆成 98＋1，再根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c进 行简算； （2）先把 67拆成 68－1，再根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c进行简算。 【详解】（1） 29 99 98   29 98 1 98    29 2998 1 98 98     2929 98   2929 98  （2） 1567 68    1568 1 68    15 1568 1 68 68     1515 68   5314 68  【对应练习 3】 简便计算。 52×37 50 1001× 101 1002 199×89 99 135 34136 解析：38 25 12 ；100 1002 901 ；178 99 89 ； 34 135 34 23 / 38 【考点十】简便计算其十：连锁约分。＊ 【方法点拨】 多个不同分数之间的乘法，可以考虑连锁约分，需要注意寻找约分的数字。 【典型例题】 简便计算。 1 2 × 2 3× 3 4 ×…× 99 100× 100 101 【答案】 1 101 【分析】仔细观察可以发现，算式中前一个数的分母与后一个数的分子是相同的， 即可以进行约分，据此约分得出结果即可。 【详解】 1 2 × 2 3× 3 4 ×…× 99 100× 100 101 ＝1× 1 101 ＝ 1 101 【点睛】找出前分数的分母与后分数的分子之间的关系是解决此题的关键。 【对应练习 1】 简便计算。 （1+ 1 2 ）（1- 1 2 ）（1+ 1 3）（1- 1 3）…（1+ 1 99）（1- 1 99） 【答案】 50 99 【详解】原式=（ 3 2 ）×（ 4 3）×（ 5 4 ）×…×( 100 99 ) ×( 1 2 ) ×( 2 3 ) ×( 3 4 ) ×… ×( 98 99 ) =50×( 1 99 ) = 50 99 【对应练习 2】 简便计算。 1 1 1 1 11 1 1 1 ... 1 2 3 4 5 100                                       解析： 24 / 38 （3） 1 1 1 1 11 1 1 1 ... 1 2 3 4 5 100                                       ＝ 1 2 3 4 2 3 4 5 99 100     ＝ 1 100 【对应练习 3】 简便计算。 2021×（1－ 12 ）×（1－ 1 3）×（1－ 1 4 ）×…×（1－ 12021） 解析： 2021×（1－ 12 ）×（1－ 1 3）×（1－ 1 4 ）×…×（1－ 12021） ＝2021× 12 × 2 3 × 3 4 ×…× 2020 2021 ＝1 【考点十一】简便计算其十一：分组简算法。＊ 【方法点拨】 分析已知条件，列出乘法算式。 【典型例题】 简便计算。 19 19 19 19(1 ) (1 2) (1 3) (1 11) 92 92 92 92            解析： 原式= 11 19 19 191 1 1 1 2 11 92 92 92                        个 =  1911 1 2 3 11 92      = 1911 6692   = 2924 46 【对应练习 1】 简便计算。 5 89 5 40 5 5199 73 73 99 9 129 7 129 7 9        25 / 38 【答案】7299 2 7 【分析】根据减法的性质，将算式变为 5 5 89 5 40 5(199 73 73 99 ) ( ) 9 9 129 7 129 7 ＋      ，然 后根据乘法分配律，将算式变为 5 5 89 40 5199 99 73 ( ) 9 9 129 129 7 （ ） ＋    ，再计算括号里面 的减法和加法，然后计算括号外面的乘法，最后计算括号外面的减法。 【详解】 5 89 5 40 5 5199 73 73 99 9 129 7 129 7 9        ＝ 5 5 89 5 40 5(199 73 73 99 ) ( ) 9 9 129 7 129 7 ＋      ＝ 5 5 89 40 5199 99 73 ( ) 9 9 129 129 7 （ ） ＋    ＝ 5100 73 1 7    ＝ 57300 7  ＝7299 2 7 【对应练习 2】 简便计算。 2 2 2 2 2 220 1 19 2 18 3 17 4 16 5 1 20 21 21 21 21 21 21                                                      【答案】190 【分析】根据加法交换律和减法的性质，将算式变为 2 2 2 2 2 220 19 18 17 16 1 1 2 3 4 5 20 21 21 21 21 21 21 （ ）（ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ）              ，然后根据 乘法分配律，将算式变为 220 19 18 17 16 1 21 （ ）（1 ）       ，再计算出 2 21 1 ，接着 将 20 19 18 17 16 1     首尾相加，将算式变为 20 21 91 1[（ ）10]   ，然后计算出小 括号里面的加法，最后去掉括号进行计算即可。 【详解】 2 2 2 2 2 220 1 19 2 18 3 17 4 16 5 1 20 21 21 21 21 21 21                                                      ＝ 2 2 2 2 2 220 19 18 17 16 1 1 2 3 4 5 20 21 21 21 21 21 21 （ ）（ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ）              ＝ 220 19 18 17 16 1 1 2 3 4 5 20 21 （ ） （＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ）         26 / 38 ＝ 220 19 18 17 16 1 21 （ ）（1 ）       ＝ 20 1 19 192 21 [（ ）（ ） …（10＋11）]     ＝ 20 21 91 1[（ ）10]   ＝ 21 19 [21 10]  ＝ 21 19 21 10  ＝190 【考点十二】简便计算其十二：换元法（字母代换法）。＊ 【方法点拨】 在计算过程中，有些式子很长，计算复杂，那么就可以用字母代替式子中的一部 分，使计算简便，这样的方法成为换元法，也叫字母代换法 1. 一般情况下，设最短式子为 A，次短式子为 B； 2.单独分离整数，即整数不包括在 A、B之内。 【典型例题】 简便计算。 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 2 3 4 99 2 3 4 100 2 3 4 100 2 3 4 99                                        【答案】 1 100 【分析】令 1 1 1 11 2 3 4 99     ＝A， 1 1 1 1 2 3 4 99    ＝B，将原式改写成含字母 A、 B的式子，再根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c将式子化简，最后再把 A、B换回原来的式子计算出结果。 【详解】令 1 1 1 11 2 3 4 99     ＝A， 1 1 1 1 2 3 4 99    ＝B； 原式＝A×（B＋ 1 100）－（A＋ 1 100）×B ＝AB＋ 1 100 A－AB－ 1 100 B ＝ 1 100 A－ 1 100 B ＝ 1 100×（A－B） 27 / 38 ＝ 1 100×[（ 1 1 1 11 2 3 4 99     ）－（ 1 1 1 1 2 3 4 99    ）] ＝ 1 100×[ 1 1 1 1 1 1 1 11 2 3 4 99 2 3 4 99          L L ] ＝ 1 100×1 ＝ 1 100 【对应练习 1】 简便计算。 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 2 3 4 2 3 4 5 2 3 4 5 2 3 4                                      【答案】 1 5 【分析】假设 1 1 11 a 2 3 4     ， 1 1 1 b 2 3 4    ，把字母代入原式化简含有字母的式子， 最后再把 a和 b的值代入化简后的式子求出结果，据此计算。 【详解】假设 1 1 11 a 2 3 4     ， 1 1 1 b 2 3 4    原式＝ 1 1a b a b 5 5                ＝ 1 1ab a ab b 5 5              ＝ 1 1ab a ab b 5 5    ＝  1 a b5  ＝ 1 1 1 1 1 1 11 5 2 3 4 2 3 4                    ＝ 1 1 1 1 1 1 11 5 2 3 4 2 3 4           ＝ 1 1 5  ＝ 1 5 【对应练习 2】 简便计算。 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1(1 ) ( ) (1 ) ( ) 2 3 4 5 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 2 3 4 5                    解析： 28 / 38 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1(1 ) ( ) (1 ) ( ) 2 3 4 5 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 2 3 4 5                    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1(1 ) ( ) ( 1) (1 1) 2 3 4 5 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 2 3 4 5                       1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1(1 ) ( ) ( ) (1 ) ( ) (1 ) 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 2 3 4 5 2 3 4 5 6 2 3 4 5                                1 1 1 1 1 1 1 1 1( ) (1 ) 2 3 4 5 6 2 3 4 5           1 1 1 6    1 6  【对应练习 3】 简便计算。 1 2017 2018 2017 2018 2019 2017 2018 2019 1 2017 20 18( ) ( ) - ( ) ( ) 2 2018 2019 2018 2019 2020 2018 2019 2020 2 2018 20 19           【答案】 2019 4040 【详解】（ + + ）×（ + + ）﹣（ + + + ） ×（ + ） ＝（ + + ）×（ + ）+（ + + ）× ﹣ （ + + ）×（ + ）﹣ ×（ + ） ＝ × +（ + ）× ﹣ ×（ + ） ＝ × ＝ . 【考点十三】简便计算其十三：裂项法（分数裂和与分数裂差）。 【方法点拨】 1.裂项法。 把一个分数拆分成两个或两个以上分数相减的形式，然后再进行计算的方法叫做 裂项法。 2.常用裂项法公式。 29 / 38 ① 1n 1 n 1 1nn 1    ）（ ； ② ）（ ）（ kn 1 n 1 k 1 knn 1    ； ③ ）（ ））（（ 1n2 1 1n2 1 2 1 1n21n2 1      ； ④          ））（（）（））（（ k2nkn 1 knn 1 k2 1 k2nknn 1 ； ⑤ a 1 b 1 ba b ba a ba ba        ； ⑥ a b b a bababa baba 2222        。 【典型例题 1】其一。 观察下列等式： 1 11 1 2 2    ， 1 1 1 2 3 2 3    ， 1 1 1 3 4 3 4    ， 请将以上三个等式两边分别相加得： 1 1 1 1 1 1 1 1 1 31 1 1 2 2 3 3 4 2 2 3 3 4 4 4               。 （1）猜想并写出： 1 ( 1)n n   ( )。 （2） 1 1 1 1+ 1 2 2 3 3 4 2016 2017          ( )。 （3）探究并计算： 1 1 1 1+ + + + = 2 4 4 6 6 8 2016 2018        ( )。 （4）计算： 1 1 1 1 1 1 1 1 14 12 24 40 60 84 112 144 180         【答案】（1） 1 1 1n n   （2） 2016 2017 （3） 252 1009 （4） 9 20 【分析】（1）先根据题中所给出的等式进行猜想，写出猜想结果即可； （2）根据（1）中的猜想计算出结果； 30 / 38 （3）根据乘法分配律提取 1 4 ，再计算即可求解； （4）先拆项，再抵消结果即可求解。 【详解】（1） 1 1)n n （ ＝ 1 1 1n n － ＋ 1 1 1 12 1 2 2 3 3 4 2016 2017 1 1 1 1 1 1 11 + + 2 2 3 3 4 2016 2017 11 2017                  （ ） ＝ 2016 2017 1 1 1 1+ + + + 2 4 4 6 6 8 2016 2018 1 1 1 1 1= + + + ) 4 1 2 2 3 3 4 1008 1009 1 1(1 ) 4 1009 1 1008 4 1009 252 1009                  （ （3） 1 1 1 1 1 1 1 1 1+ + + + + + + + 4 12 24 40 60 84 112 144 180 1 1 1 1 1= + + + ) 2 1 2 2 3 3 4 9 10 1 11 ) 2 10 1 9 2 10 9 20             （ （ 4） （ 【点睛】本题考查的是分数的混合运算，根据题意找出规律是解答此题的关键。 【对应练习 1】 简便计算。 1 3 5 ＋ 1 5 7 ＋ 1 7 9 【答案】 1 9 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2024年8月15日 2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列 第二单元分数乘法·简便计算篇【十四大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第二单元分数乘法·简便计算篇 专题内容 本专题包括分数乘法的简便计算和复杂类型的计算。 总体评价 讲解建议 建议根据学生实际掌握情况和总体水平，选择性讲解部分考点考题。 考点数量 十四个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】简便计算其一：乘法交换律和乘法结合律的运用。 4 【考点二】简便计算其二：乘法分配律的运用。 5 【典型例题1】乘法分配律。 5 【典型例题2】乘法分配律变式。 6 【考点三】简便计算其三：乘法分配律逆运算。 7 【考点四】简便计算其四：添加因数1。 8 【考点五】简便计算其五：分子、分母交换与拆分。 9 【考点六】简便计算其六：乘法分配律与混合型算式。 10 【考点七】简便计算其七：带分数化加式或化减式。 11 【典型例题1】带分数化加式。 11 【典型例题2】带分数化减式。 12 【考点八】简便计算其八：分数化加式或化减式。 12 【典型例题1】分数化减式。 12 【典型例题2】分数化加式。 12 【考点九】简便计算其九：整数化加减式或化倍式。 13 【典型例题1】整数化加式。 13 【典型例题2】整数化减式。 14 【典型例题3】整数化倍式。 14 【考点十】简便计算其十：连锁约分。＊ 15 【考点十一】简便计算其十一：分组简算法。＊ 16 【考点十二】简便计算其十二：换元法（字母代换法）。＊ 17 【考点十三】简便计算其十三：裂项法（分数裂和与分数裂差）。 18 【典型例题1】其一。 19 【典型例题2】其二。 20 【典型例题3】其三。 20 【典型例题4】其四。 21 【典型例题5】其五。 21 【典型例题6】其六。 22 【考点十四】分数乘法与定义新运算。 23 【第三篇】典型例题篇 【考点一】简便计算其一：乘法交换律和乘法结合律的运用。 【方法点拨】 1.乘法交换律。 两个数相乘，交换两个因数的位置，积不变，用字母表示为a×b=b×a。 2.乘法结合律。 三个数相乘，先把前两个数相乘或者先把后两个数相乘，积不变，用字母表示为(a×b)×c=a×(b×c)。 【典型例题】 简便计算。                                【对应练习1】 简便计算。                           【对应练习2】 能简算的要简算。 ×（）×11                     【对应练习3】 简便计算。 ×2.4×（）         ×（×0.3）× 【考点二】简便计算其二：乘法分配律的运用。 【方法点拨】 乘法分配律。 (a+b)×c=a×c+b×c (a-b)×c=a×c-b×c。 【典型例题1】乘法分配律。 简便计算。 ×5.4 【对应练习1】 简便计算。   【对应练习2】 简便计算。 【对应练习3】 简便计算。 【典型例题2】乘法分配律变式。 简便计算。   【对应练习1】 简便计算。 【对应练习2】 简便计算。 （＋）×2019×2020 【对应练习3】 简便计算。 （＋）×13×16 【考点三】简便计算其三：乘法分配律逆运算。 【方法点拨】 乘法分配律逆运算。 a×c+b×c=(a+b)×c a×c-b×c=(a-b)×c。 【典型例题】 简便计算。   【对应练习1】 简便计算。    【对应练习2】 简便计算。 ×34＋17× 【对应练习3】 简便计算。 【考点四】简便计算其四：添加因数1。 【方法点拨】 形如A×B+A的式子，在进行简便计算时，要把单独的一个数看作A×1，即 A×B+A=A×B+A×1，然后再使用乘法分配律进行简便计算。。 【典型例题】 简便计算。 【对应练习1】 简便计算。 【对应练习2】 简便计算。 【对应练习3】 简便计算。 37×＋64×0.75－ 【考点五】简便计算其五：分子、分母交换与拆分。 【方法点拨】 分数乘分数时，分子与分子之间，分母与分母之间可以交换位置，不影响积的大小，因此在简便计算时，可以考虑将分母或分子拆分，重新组成可以使用乘法分配律的式子。 【典型例题】 简便计算。 【对应练习1】 简便计算。 ×＋× 【对应练习2】 简便计算。 【对应练习3】 简便计算。   【考点六】简便计算其六：乘法分配律与混合型算式。 【方法点拨】 观察算式特点，结合乘法分配律的使用条件，在简便计算的过程中可能需要多次使用乘法分配律或逆运算。 【典型例题】 简便计算。 【对应练习1】 简便计算。 【对应练习2】 简便计算。 【考点七】简便计算其七：带分数化加式或化减式。 【方法点拨】 当带分数不容易化成假分数时，可以将带分数写成整数+真分数或整数-真分数的形式，然后再使用乘法分配律进行简便计算。 【典型例题1】带分数化加式。 简便计算。 24× 20×25 【对应练习1】 简便计算。 （1）                （2） 【对应练习2】 简便计算。 （1）                            （2） 【对应练习3】 简便计算。 20× 33× 21× 【典型例题2】带分数化减式。 简便计算。 【对应练习】 简便计算。 14×10 25×8 【考点八】简便计算其八：分数化加式或化减式。 【方法点拨】 当因数是一个分数且接近1时，可以把这个分数拆分成“1+分数”或“1-分数”的形式，然后再使用乘法分配律。 【典型例题1】分数化减式。 简便计算。 ×27 【典型例题2】分数化加式。 简便计算。 ×17 【对应练习1】 简便计算。 ×13 ×13 【对应练习2】 简便计算。 ×13 ×25 【对应练习3】 简便计算。 【考点九】简便计算其九：整数化加减式或化倍式。 【方法点拨】 当因数是整数且这个整数接近分母或者与分母成倍数关系时，可以把这个整数拆分，然后再使用乘法分配律。 【典型例题1】整数化加式。 简便计算。 【典型例题2】整数化减式。 简便计算。 200× 【典型例题3】整数化倍式。 简便计算。 93× 【对应练习1】 简便计算。 101× 【对应练习2】 简便计算。 （1）                   （2） 【对应练习3】 简便计算。 52× 1001× 199× 【考点十】简便计算其十：连锁约分。＊ 【方法点拨】 多个不同分数之间的乘法，可以考虑连锁约分，需要注意寻找约分的数字。 【典型例题】 简便计算。 ×××…×× 【对应练习1】 简便计算。 （1+）（1-）（1+）（1-）…（1+）（1-） 【对应练习2】 简便计算。 【对应练习3】 简便计算。 2021×（1－）×（1－）×（1－）×…×（1－） 【考点十一】简便计算其十一：分组简算法。＊ 【方法点拨】 分析已知条件，列出乘法算式。 【典型例题】 简便计算。 【对应练习1】 简便计算。 【对应练习2】 简便计算。 【考点十二】简便计算其十二：换元法（字母代换法）。＊ 【方法点拨】 在计算过程中，有些式子很长，计算复杂，那么就可以用字母代替式子中的一部分，使计算简便，这样的方法成为换元法，也叫字母代换法 1. 一般情况下，设最短式子为A，次短式子为B； 2.单独分离整数，即整数不包括在A、B之内。 【典型例题】 简便计算。 【对应练习1】 简便计算。 【对应练习2】 简便计算。 【对应练习3】 简便计算。 【考点十三】简便计算其十三：裂项法（分数裂和与分数裂差）。 【方法点拨】 1.裂项法。 把一个分数拆分成两个或两个以上分数相减的形式，然后再进行计算的方法叫做裂项法。 2.常用裂项法公式。 ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥。 【典型例题1】其一。 观察下列等式： ，，， 请将以上三个等式两边分别相加得： 。 （1）猜想并写出：( )。 （2）( )。 （3）探究并计算：( )。 （4）计算： 【对应练习1】 简便计算。 ＋＋ 【对应练习2】 简便计算。 【典型例题2】其二。 简便计算。 【对应练习】 简便计算。 +++…+ 【典型例题3】其三。 简便计算。 【对应练习】 简便计算。 【典型例题4】其四。 简便计算。 【对应练习】 简便计算。 【典型例题5】其五。 简便计算。 【对应练习】 计算。 【典型例题6】其六。 计算。 。 【对应练习】 计算。 【考点十四】分数乘法与定义新运算。 【方法点拨】 1.定义新运算。 定义新运算是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算。 2.解题方法。 解决定义新运算类型题，关键是理解新定义的算式的含义，严格按照新定义的计算顺序，将数值代入算式中，再把它转化为一般的四则运算，最后再进行计算。 3.注意事项。 （1）定义新运算的符号常是特殊的运算符号，例如：✱、▲、◉、◎等，它们并不表示实际意义。 （2）在新定义的算式中，如果有括号，要先算括号里面的，同样，有中括号和小括号，要先算小括号里的，再算中括号里的。 【典型例题】 定义新运算：已知△3＝，△2＝。求△4－△4的值。 【对应练习1】 定义新运算：设，求。 【对应练习2】 定义新运算：若，则( )。 【对应练习3】 定义新运算：a◎b＝3a＋4b，若x◎7＝37，那么◎（x◎4）＝( )。 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2024年8月15日 2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列 第二单元分数乘法·简便计算篇【十四大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第二单元分数乘法·简便计算篇 专题内容 本专题包括分数乘法的简便计算和复杂类型的计算。 总体评价 讲解建议 建议根据学生实际掌握情况和总体水平，选择性讲解部分考点考题。 考点数量 十四个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】简便计算其一：乘法交换律和乘法结合律的运用。 4 【考点二】简便计算其二：乘法分配律的运用。 6 【典型例题1】乘法分配律。 6 【典型例题2】乘法分配律变式。 7 【考点三】简便计算其三：乘法分配律逆运算。 8 【考点四】简便计算其四：添加因数1。 10 【考点五】简便计算其五：分子、分母交换与拆分。 11 【考点六】简便计算其六：乘法分配律与混合型算式。 13 【考点七】简便计算其七：带分数化加式或化减式。 16 【典型例题1】带分数化加式。 16 【典型例题2】带分数化减式。 18 【考点八】简便计算其八：分数化加式或化减式。 18 【典型例题1】分数化减式。 19 【典型例题2】分数化加式。 19 【考点九】简便计算其九：整数化加减式或化倍式。 20 【典型例题1】整数化加式。 20 【典型例题2】整数化减式。 20 【典型例题3】整数化倍式。 21 【考点十】简便计算其十：连锁约分。＊ 23 【考点十一】简便计算其十一：分组简算法。＊ 24 【考点十二】简便计算其十二：换元法（字母代换法）。＊ 26 【考点十三】简便计算其十三：裂项法（分数裂和与分数裂差）。 28 【典型例题1】其一。 29 【典型例题2】其二。 31 【典型例题3】其三。 32 【典型例题4】其四。 33 【典型例题5】其五。 34 【典型例题6】其六。 35 【考点十四】分数乘法与定义新运算。 36 【第三篇】典型例题篇 【考点一】简便计算其一：乘法交换律和乘法结合律的运用。 【方法点拨】 1.乘法交换律。 两个数相乘，交换两个因数的位置，积不变，用字母表示为a×b=b×a。 2.乘法结合律。 三个数相乘，先把前两个数相乘或者先把后两个数相乘，积不变，用字母表示为(a×b)×c=a×(b×c)。 【典型例题】 简便计算。                                【答案】 【对应练习1】 简便计算。                           【答案】 【对应练习2】 能简算的要简算。 ×（）×11                     【答案】 【对应练习3】 简便计算。 ×2.4×（）         ×（×0.3）× 【答案】 ×2.4×（） ＝×2.4× ＝××2.4× ＝（×）×（2.4×） ＝×1.8 ＝0.2 ×（×0.3）× ＝×（×0.3）× ＝（×）×（0.3×） ＝×0.4 ＝1.5 【考点二】简便计算其二：乘法分配律的运用。 【方法点拨】 乘法分配律。 (a+b)×c=a×c+b×c (a-b)×c=a×c-b×c。 【典型例题1】乘法分配律。 简便计算。 ×5.4 解析： ×5.4 ＝×5.4－×5.4 ＝4.2－0.9 ＝3.3 【对应练习1】 简便计算。   解析： 【对应练习2】 简便计算。 解析： 【对应练习3】 简便计算。 解析： ＝ ＝18＋20－15 ＝23 【典型例题2】乘法分配律变式。 简便计算。   解析： 【对应练习1】 简便计算。 解析： 5×（＋）×8 ＝5××8＋5××8 ＝24＋15 ＝39 【对应练习2】 简便计算。 （＋）×2019×2020 解析： （＋）×2019×2020 ＝×2019×2020＋×2019×2020 ＝2019＋2020 ＝4039 【对应练习3】 简便计算。 （＋）×13×16 解析： （＋）×13×16 ＝×13×16＋×13×16 ＝80＋ ＝ 【考点三】简便计算其三：乘法分配律逆运算。 【方法点拨】 乘法分配律逆运算。 a×c+b×c=(a+b)×c a×c-b×c=(a-b)×c。 【典型例题】 简便计算。   解析： ＝ ＝ ＝22 【对应练习1】 简便计算。    解析：                     ＝ ＝15×1 ＝15 【对应练习2】 简便计算。 ×34＋17× 解析： ×34＋17× ＝2＋2 ＝4 【对应练习3】 简便计算。 解析： ＝ ＝ ＝60 【考点四】简便计算其四：添加因数1。 【方法点拨】 形如A×B+A的式子，在进行简便计算时，要把单独的一个数看作A×1，即 A×B+A=A×B+A×1，然后再使用乘法分配律进行简便计算。。 【典型例题】 简便计算。 解析： ＝ ＝ ＝ 【对应练习1】 简便计算。 解析： ＝ ＝ 【对应练习2】 简便计算。 解析： ＝ ＝ ＝75 【对应练习3】 简便计算。 37×＋64×0.75－ 解析： 37×＋64×0.75－ ＝37×＋64×－ ＝（37＋64－1）× ＝100× ＝75 【考点五】简便计算其五：分子、分母交换与拆分。 【方法点拨】 分数乘分数时，分子与分子之间，分母与分母之间可以交换位置，不影响积的大小，因此在简便计算时，可以考虑将分母或分子拆分，重新组成可以使用乘法分配律的式子。 【典型例题】 简便计算。 解析： 【对应练习1】 简便计算。 ×＋× 解析：；； 【对应练习2】 简便计算。 解析：5；； 【对应练习3】 简便计算。   解析： 【考点六】简便计算其六：乘法分配律与混合型算式。 【方法点拨】 观察算式特点，结合乘法分配律的使用条件，在简便计算的过程中可能需要多次使用乘法分配律或逆运算。 【典型例题】 简便计算。 【答案】648 【分析】把分数化为小数，然后将73.8拆分为61.3＋2.8，然后根据乘法分配律，将算式变为，再根据乘法分配律，将算式变为，然后计算括号里面的加法，再把2.8拆分为4×0.7，再根据乘法结合律，将算式变为进行简算即可。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 【对应练习1】 简便计算。 【答案】 【分析】先将拆分为，然后根据乘法分配律和减法的性质，将算式变为，再根据带符号搬家，将算式变为，然后根据乘法分配律，将算式变为，再计算括号里面的减法，进而计算括号外面的乘法，将的被减数和减数同时减去6进行简算即可。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 【对应练习2】 简便计算。 【答案】 【分析】先根据乘法分配律，将算式变为，然后去掉小括号，根据带符号搬家，将算式变为，然后运用括号以及减法的性质，将算式变为，算式中减去9个，加上9个8，据此将算式变为，然后计算小括号里面的结果，再将算式变为，然后根据乘法分配律，将算式变为进行计算即可。 【详解】 【考点七】简便计算其七：带分数化加式或化减式。 【方法点拨】 当带分数不容易化成假分数时，可以将带分数写成整数+真分数或整数-真分数的形式，然后再使用乘法分配律进行简便计算。 【典型例题1】带分数化加式。 简便计算。 24× 20×25 解析：；； 【对应练习1】 简便计算。 （1）               （2） 【答案】（1）；（2）72 【分析】（1）先把带分数改写成，再把拆成，把给分数，这样算式变成，然后根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c进行简算； （2）先把带分数、改写成、，再把拆成、把拆成，都把给后面的分数，最后根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c进行简算。 【详解】（1） （2） 【对应练习2】 简便计算。 （1）                           （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）（2）把带分数改写成“整数＋真分数”的形式，再根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c进行简算。 【详解】（1） （2） 【对应练习3】 简便计算。 20× 33× 21× 解析：；；18 【典型例题2】带分数化减式。 简便计算。 解析： 29×＋39×＋49＋59 ＝（30－）×＋（40－）×＋（50－）×＋（60－）× ＝20－＋30－＋40－＋50－ ＝（20＋30＋40＋50）－（＋）－（＋） ＝139－1 ＝137 【对应练习】 简便计算。 14×10 25×8 解析：；148；203 【考点八】简便计算其八：分数化加式或化减式。 【方法点拨】 当因数是一个分数且接近1时，可以把这个分数拆分成“1+分数”或“1-分数”的形式，然后再使用乘法分配律。 【典型例题1】分数化减式。 简便计算。 ×27 解析：26 【典型例题2】分数化加式。 简便计算。 ×17 解析：17 【对应练习1】 简便计算。 ×13 ×13 解析：； 【对应练习2】 简便计算。 ×13 ×25 解析：； 【对应练习3】 简便计算。 【答案】4025 【分析】把原式化为2011×（1＋）＋2012×（1＋）＋，，然后运用乘法分配律化为2011＋＋2012＋＋＋，再运用加法交换律和加法结合律进行计算即可。 【详解】 ＝2011×（1＋）＋2012×（1＋）＋ ＝2011＋＋2012＋＋＋ ＝2011＋2012＋（＋）＋（＋） ＝2011＋2012＋（1＋1） ＝2011＋2012＋2 ＝4023＋2 ＝4025 【考点九】简便计算其九：整数化加减式或化倍式。 【方法点拨】 当因数是整数且这个整数接近分母或者与分母成倍数关系时，可以把这个整数拆分，然后再使用乘法分配律。 【典型例题1】整数化加式。 简便计算。 解析： ＝ ＝ ＝ ＝ 【典型例题2】整数化减式。 简便计算。 200× 解析： 200× ＝（201－1）× ＝201×－1× ＝199－ ＝ 【典型例题3】整数化倍式。 简便计算。 93× 解析：42 【对应练习1】 简便计算。 解析： 101× 解析： 101× ＝（100＋1）× ＝100×＋1× ＝59＋ ＝ 【对应练习2】 简便计算。 （1）                   （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先把99拆成98＋1，再根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c进行简算； （2）先把67拆成68－1，再根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c进行简算。 【详解】（1） （2） 【对应练习3】 简便计算。 52× 1001× 199× 解析：38；100；178；34 【考点十】简便计算其十：连锁约分。＊ 【方法点拨】 多个不同分数之间的乘法，可以考虑连锁约分，需要注意寻找约分的数字。 【典型例题】 简便计算。 ×××…×× 【答案】 【分析】仔细观察可以发现，算式中前一个数的分母与后一个数的分子是相同的，即可以进行约分，据此约分得出结果即可。 【详解】×××…×× ＝1× ＝ 【点睛】找出前分数的分母与后分数的分子之间的关系是解决此题的关键。 【对应练习1】 简便计算。 （1+）（1-）（1+）（1-）…（1+）（1-） 【答案】 【详解】原式=（）×（）×（）×…×( ) ×() ×() ×() ×…×() =50×() = 【对应练习2】 简便计算。 解析： （3） ＝ ＝ 【对应练习3】 简便计算。 2021×（1－）×（1－）×（1－）×…×（1－） 解析： 2021×（1－）×（1－）×（1－）×…×（1－） ＝2021××××…× ＝1 【考点十一】简便计算其十一：分组简算法。＊ 【方法点拨】 分析已知条件，列出乘法算式。 【典型例题】 简便计算。 解析： 原式= = = = 【对应练习1】 简便计算。 【答案】 【分析】根据减法的性质，将算式变为，然后根据乘法分配律，将算式变为，再计算括号里面的减法和加法，然后计算括号外面的乘法，最后计算括号外面的减法。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 【对应练习2】 简便计算。 【答案】190 【分析】根据加法交换律和减法的性质，将算式变为，然后根据乘法分配律，将算式变为，再计算出，接着将首尾相加，将算式变为，然后计算出小括号里面的加法，最后去掉括号进行计算即可。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 【考点十二】简便计算其十二：换元法（字母代换法）。＊ 【方法点拨】 在计算过程中，有些式子很长，计算复杂，那么就可以用字母代替式子中的一部分，使计算简便，这样的方法成为换元法，也叫字母代换法 1. 一般情况下，设最短式子为A，次短式子为B； 2.单独分离整数，即整数不包括在A、B之内。 【典型例题】 简便计算。 【答案】 【分析】令＝A，＝B，将原式改写成含字母A、B的式子，再根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c将式子化简，最后再把A、B换回原来的式子计算出结果。 【详解】令＝A，＝B； 原式＝A×（B＋）－（A＋）×B ＝AB＋A－AB－B ＝A－B ＝×（A－B） ＝×[（）－（）] ＝×[] ＝×1 ＝ 【对应练习1】 简便计算。 【答案】 【分析】假设，，把字母代入原式化简含有字母的式子，最后再把a和b的值代入化简后的式子求出结果，据此计算。 【详解】假设， 原式＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 【对应练习2】 简便计算。 解析： 【对应练习3】 简便计算。 【答案】 【详解】（ ++）×（++）﹣（+++）×（+） ＝（++）×（+）+（++）×﹣（++）×（+）﹣×（+） ＝×+（+）×﹣×（+） ＝× ＝. 【考点十三】简便计算其十三：裂项法（分数裂和与分数裂差）。 【方法点拨】 1.裂项法。 把一个分数拆分成两个或两个以上分数相减的形式，然后再进行计算的方法叫做裂项法。 2.常用裂项法公式。 ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥。 【典型例题1】其一。 观察下列等式： ，，， 请将以上三个等式两边分别相加得： 。 （1）猜想并写出：( )。 （2）( )。 （3）探究并计算：( )。 （4）计算： 【答案】（1） （2） （3） （4） 【分析】（1）先根据题中所给出的等式进行猜想，写出猜想结果即可； （2）根据（1）中的猜想计算出结果； （3）根据乘法分配律提取，再计算即可求解； （4）先拆项，再抵消结果即可求解。 【详解】（1） ＝ ＝ 【点睛】本题考查的是分数的混合运算，根据题意找出规律是解答此题的关键。 【对应练习1】 简便计算。 ＋＋ 【答案】 【分析】根据裂项求和的方法，，，，然后根据加法交换律和加法结合律进行计算即可。 【详解】＋＋ ＝＋＋ ＝（－＋－） ＝（） ＝ ＝ 【点睛】本题考查裂项求和，熟练运用交换律和结合律是解题的关键。 【对应练习2】 简便计算。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝ 【典型例题2】其二。 简便计算。 解析： 【对应练习】 简便计算。 +++…+ 【答案】 【详解】试题分析：因为=（﹣），=（﹣），…，因此通过拆分，加减相互抵消，解决问题． 解：+++…+ =（﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣） =﹣ = 点评：完成此题，注意分数的拆分，通过加减相抵消的方法，求出结果． 【典型例题3】其三。 简便计算。 解析： ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 【点睛】此题用分数拆项的方法解决问题更便捷，做这类问题，应仔细审题，找到解决的最佳途径，运用运算技巧灵活解答。 【对应练习】 简便计算。 【答案】39 【分析】通过计算发现：每一项的结果都是“2﹣分数单位”的形式，分母为原来的分母．然后把分数拆分，通过加减相互抵消，即可求出结果． 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝39＋ ＝39 【点睛】此题解答的关键在于把分数拆分，变成相互抵消的形式，使计算简便． 【典型例题4】其四。 简便计算。 解析： 【对应练习】 简便计算。 解析： 【典型例题5】其五。 简便计算。 【答案】 【分析】分母是两个连续自然数的乘积，分子是两个连续自然数的平方和。把分数进行拆分与裂项。，＝2＋，＝2＋……，。＝1－，＝－，＝－……＝－，＝－。 【详解】 ＝2＋＋2＋＋2＋＋……＋2＋＋2＋ ＝2×19＋（＋＋＋……＋＋） ＝38＋（1－＋－＋－＋……－＋－） ＝38＋（1－） ＝38＋ ＝ 【对应练习】 计算。 【答案】 【详解】原式 【典型例题6】其六。 计算。 。 【答案】 【分析】由于，所以题目中的式子可变形为： ，根据分数裂项变形可得： ，一加一减抵消后可得，最后通分计算即可。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝ 【点睛】此题考查了分数连续相加求和与分数裂项求和的变形，主要是掌握是解题的关键。 【对应练习】 计算。 【答案】 【详解】略 【考点十四】分数乘法与定义新运算。 【方法点拨】 1.定义新运算。 定义新运算是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算。 2.解题方法。 解决定义新运算类型题，关键是理解新定义的算式的含义，严格按照新定义的计算顺序，将数值代入算式中，再把它转化为一般的四则运算，最后再进行计算。 3.注意事项。 （1）定义新运算的符号常是特殊的运算符号，例如：✱、▲、◉、◎等，它们并不表示实际意义。 （2）在新定义的算式中，如果有括号，要先算括号里面的，同样，有中括号和小括号，要先算小括号里的，再算中括号里的。 【典型例题】 定义新运算：已知△3＝，△2＝。求△4－△4的值。 【答案】 【分析】定义新运算的一般解题步骤： （1）关键问题：审题。正确理解定义的运算符号的意义。 （2）严格按照新定义的计算顺序，将数值代入算式中，准确找出要计算的习题中数据与定义中字母的对应关系，把它转化为一般的四则运算，然后进行计算。 （3）求解。 观察可知，运算符号前面的分数表示第一个乘数，后面的数表示乘数的个数，且分母从第一个乘数开始依次增加1，分子都是1，据此根据定义新运算的一般解题步骤计算即可。 【详解】△4－△4 【对应练习1】 定义新运算：设，求。 【答案】 【分析】根据题目中所给的公式，这里面a＝，b＝，把这两个数代入到4a－2b＋ab这个公式里即可。 【详解】＝4×－2×＋×× ＝－＋ ＝ 【对应练习2】 定义新运算：若，则( )。 【答案】0.1 【分析】根据题意可知，a＝8，b＝3，c＝，d＝0.2，代入ad－bc的式子中，计算出结果即可。 【详解】8×0.2－3× ＝1.6－1.5 ＝0.1 若，0.1。 【点睛】本题考查含有字母式子的求值，关键是要正确地理解新定义的算式含义，然后按照新定义的算式，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算。 【对应练习3】 定义新运算：a◎b＝3a＋4b，若x◎7＝37，那么◎（x◎4）＝( )。 【答案】101 【分析】根据所给出的等式：a◎b＝3a＋4b，若x◎7＝37，找到新的运算法则，由此方法计算x◎7＝37求出x的值，再求出◎（x◎4）的值即可。 【详解】解：x◎7＝37 3x＋4×7＝37 3x＝9 x＝3 ◎（x◎4） ＝◎（3◎4） ＝◎（3×3＋4×4） ＝◎25 ＝×3＋4×25 ＝1＋100 ＝101 【点睛】定义新运算：这种新运算其实只是变了形的求式子值的问题，只要弄清新的运算法则，然后再分步求值就可得出答案。 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$