精品解析： 辽宁省锦州市太和区第二初级中学2023-2024学年七年级下学期期末数学模拟题

2023-2024辽宁省锦州市太和二中七下期末数学模拟题 一．选择题 1. 下列图形中，是轴对称图形是（　　） A. B. C. D. 2. 清代诗人袁枚创作了一首诗《苔》：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”歌颂了苔在恶劣环境下仍有自己的生命意向．若苔花的花粉粒直径线约为米，用科学记数法表示为（     ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ）． A. B. C. D. 4. 一个不透明的袋子里装有个红球和个黄球，它们除颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一个球是红球的概率为（　　） A. B. C. D. 5. 如图，下列条件中，能判定的是（ ） A. B. C. D. 6. 若，，则值是（ ） A. 16 B. 20 C. 25 D. 26 7. 赵悦同学骑自行车上学，一开始以某一速度行进，途中车子发生故障，只好停下来修车，车修好后，因怕耽误上课时间，于是就加快了车速，如图所示的四个图象中（S为距离，t为时间），符合以上情况的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是的平分线，是中线，、相交于点E，于F，若，，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 如图，已知△ABC中，AC＜BC，分别以点A、点B为圆心，大于AB长为半径作弧，两弧交于点D、点E，作直线DE交BC边于点P，连接AP．根据以上作图过程得出下列结论，其中不一定正确的是（ ） A. PA+PC=BC B. PA＝PB C. DE⊥AB D. PA＝PC 10. 如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE＝DF，连接BF，CE，且∠FBD＝35°，∠BDF＝75°，下列说法：①△BDF≌△CDE，②△ABD和△ACD的面积相等，③BF∥CE，④∠DEC＝70°，其中正确的有(　　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二．填空题 11. 若与的乘积不含x的一次项，则m的值为 _______． 12. 如图，点A、C、F、B在同一直线上，CD平分，若，则大小为______ 13. 七巧板起源于我国宋代，后流传于世界各国．在“综合与实践”课堂上，兴趣小组同学用一张正方形纸板依据图1，经过折叠、剪切，制作了如图2所示的七巧板，再拼成如图3所示的作品，最后在作品上随机钉一枚图钉，将其固定在桌面上，则图钉的钉尖恰好落在①区域的概率是___________． 14. 某商场为了增加销售额，推出“五月销售大酬宾”活动，其活动内容为：“凡五月份在该商场一次性购物超过50元以上者，超过50元的部分按9折优惠”．在大酬宾活动中，李明到该商场为单位购买单价为30元的办公用品x件（x＞2），则应付货款y（元）与商品件数x的函数关系式是___________． 15. 已知：四边形ABCD中，AB=AD=CD，∠BAD=90°，三角形ABC的面积为1，则线段AC的长度是___________. 三．解答题 16. 计算：． 17. 计算 （1） （2） 18. 先化简，后求值：，其中，． 19. 在一个不透明的口袋中放入6个白球和14个红球，它们除颜色外完全相同． （1）求从口袋中随机摸出一个球是白球的概率； （2）现从口袋中取出若干个红球，并放入相同数量的白球，充分摇匀后，要使从口袋中随机摸出一个球是白球的概率是，问取出了多少个红球？ 20. 某书城为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（如图，转盘被平均分成份），并规定：顾客每购买元的图书，就可获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域（若指针恰好指在分割线上，则重转一次，直到指针指向某一扇形区域为止），那么顾客就可以分别获得元、元、元的购书券，凭购书券可以在书城继续购书． （1）甲顾客购书元，可转动一次转盘，求他获得购书券的概率； （2）乙顾客购书元，可转动一次转盘，求他获得元购书券的概率． 21. 小亮想了解一根弹簧的长度是如何随所挂物体质量的变化而变化的，他把这根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，下表是小亮测得的弹簧的长度y与所挂物体质量x的几组对应值． 所挂物体质量x/kg 0 1 2 3 4 5 弹簧长度y/cm 18 22 26 30 34 38 （1）由表格可知，弹簧不挂物体时的长度为______cm； （2）请直接写出y与x的关系式______； （3）当弹簧长度为50cm（在弹簧承受范围内）时，求所挂重物的质量．（写出求解过程） 22. 如图，已知在中，点D在边上，且． （1）用尺规作图法，作平分线，交于点P；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）在（1）的条件下，连接、求证：． 23. 如图，作出的边上的高．（用尺规完成作图，只保留作图痕迹，不要求写出作法） 24. 如图，，，点E在的延长线上，连接． （1）求证：； （2）若，平分，求的度数． 25. 今年大年初一上午十点整，首届四川天府新区兴隆湖新春环湖跑正式开跑．男子竞速组、女子竞速组、新春欢乐行三大方队相继出发，十余位世界及全国冠军领跑，来自各地数千名跑友一起奔向新一年． 新春欢乐行路线为天府新区大阳台南(起点)—环湖跑道—天府路演艺术中心(终点)，全长为5000 米． 小成和爸爸的行程S(单位：米) 随时间t(单位：分钟) 变化的图象如图所示． 根据图中信息回答以下问题： （1）第6分钟时，小成和爸爸相距多少米？ （2）由于体力不支，小成在中途降低速度，降速后小成速度是爸爸速度的，求小成和爸爸相遇时距天府路演艺术中心(终点) 还有多远？ （3）调整状态后，小成再次提高速度，当爸爸到达终点时，小成离终点还有880米，求整个跑步过程中爸爸和小成相距400米时的时间． 26. 【问题背景】阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题：如图1，在中，点D、E分别在边上，连接交于点F，，且．试说明． 【问题探究】小明经探究发现： 如图2，在上取一点G（不与E点重合），使，连接，从而可证，使问题得到解决． （1）请你按照小明的探究思路，完成他的证明过程 【问题拓展】参考小明思考问题的方法，解决下面的问题： （2）如图3，在等腰中，，点E在直线上，延长到D，延长到F，使得，连接．点M是上一点，连接交于点H，过点E作交于点G，延长到点N，连接，使得．试说明与全等． 27. 已知线段，点C是平面内一动点，且，连接，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接，，交于点E． （1）如图1，若． ①求的度数； ②如图2，作的角平分线交于F，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由； （2）若，当最长时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024辽宁省锦州市太和二中七下期末数学模拟题 一．选择题 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义，进行判断即可． 【详解】解：观察图形，只有选项C的图形，能够找到一条直线，使图形沿直线对折后能够完全重合，是轴对称图形， 故选C． 2. 清代诗人袁枚创作了一首诗《苔》：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”歌颂了苔在恶劣环境下仍有自己的生命意向．若苔花的花粉粒直径线约为米，用科学记数法表示为（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 详解】解： 故选B． 【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义． 3. 下列计算正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方及同底数幂的除法可进行排除选项． 【详解】解：A、，原计算错误，故不符合题意； B、，原计算正确，故符合题意； C、，原计算错误，故不符合题意； D、，原计算错误，故不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方及同底数幂的除法，熟练掌握同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方及同底数幂的除法是解题的关键． 4. 一个不透明的袋子里装有个红球和个黄球，它们除颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一个球是红球的概率为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了用概率公式求概率，解题的关键是：熟练掌握概率公式．用红球的个数除以总球的个数即可得出答案． 【详解】解：∵透明的袋子里装有个红球和个黄球，共有个球， ∴从袋中任意摸出一个球是红球的概率为． 故选：C． 5. 如图，下列条件中，能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定定理，根据平行线的判定定理即可作出判断． 【详解】解：A. ，不能判定，故该选项不正确，不符合题意； B. ∵，∴，故该选项正确，符合题意； C. ∵，∴，故该选项不正确，不符合题意； D. ，∴，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 6. 若，，则的值是（ ） A 16 B. 20 C. 25 D. 26 【答案】D 【解析】 【分析】根据，得到，代入计算即可． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴． 故选D． 【点睛】本题考查了完全平方公式的变形计算，熟练掌握公式是解题的关键． 7. 赵悦同学骑自行车上学，一开始以某一速度行进，途中车子发生故障，只好停下来修车，车修好后，因怕耽误上课时间，于是就加快了车速，如图所示的四个图象中（S为距离，t为时间），符合以上情况的是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可知，整个过程分为三段，分别分析三段过程即可得出答案． 【详解】首先一开始以某一速度行进，图象应该是一条逐渐向上的直线，而后停下来修车，图象应该是平行于x轴的直线，之后加速也是一条逐渐向上的直线，只不过比第一段更陡，所以B选项符合， 故选：B． 【点睛】本题主要考查函数图象，读懂题意分析出每一段过程中的图象是解题的关键． 8. 如图，是的平分线，是中线，、相交于点E，于F，若，，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意先过点E作，设，根据，得出的面积的面积，即，进而求得x的值即可． 【详解】解：过点E作， ∵是的平分线，于F， ∴， 设， ∵是中线，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查三角形的角平分线、中线以及三角形的面积的计算，解决问题的关键是根据的面积，列出方程求解．解题时注意方程思想的运用． 9. 如图，已知△ABC中，AC＜BC，分别以点A、点B为圆心，大于AB长为半径作弧，两弧交于点D、点E，作直线DE交BC边于点P，连接AP．根据以上作图过程得出下列结论，其中不一定正确的是（ ） A. PA+PC=BC B. PA＝PB C. DE⊥AB D. PA＝PC 【答案】D 【解析】 【分析】根据作图步骤可得，DP垂直平分AB，根据垂直平分线的性质，再对选项逐个判定即可求解． 【详解】解：根据作图步骤可得，DP垂直平分AB，C选项正确，不符合题意； 则，B选项正确，不符合题意； ，A选项正确，不符合题意； PA、PC不一定相等，故D选项符合题意； 故选：D 【点睛】此题考查了尺规作图-垂直平分线，解题的关键是掌握垂直平分线的性质． 10. 如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE＝DF，连接BF，CE，且∠FBD＝35°，∠BDF＝75°，下列说法：①△BDF≌△CDE，②△ABD和△ACD的面积相等，③BF∥CE，④∠DEC＝70°，其中正确的有(　　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵AD是△ABC的中线， ∴BD=CD， ∴△ABD的面积=△ACD的面积， 在△BDF和△CDE中， ， ∴△BDF≌△CDE(SAS)，故①②正确 ∴∠F=∠CED，∠DEC=∠F， ∴BF∥CE，故③正确， ∵∠FBD=35°，∠BDF=75°， ∴∠F=180°−35°−75°=70°， ∴∠DEC=70°，故④正确； 综上所述，正确的是①②③④4个． 故选D． 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，三角形内角和定理，三角形中线的性质平行线的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 二．填空题 11. 若与的乘积不含x的一次项，则m的值为 _______． 【答案】14 【解析】 【分析】利用多项式乘多项式法则，先计算两个多项式的积，根据乘积不含x的一次项，得到关于m的方程，求解即可． 【详解】解： ． ∵若与的乘积不含x的一次项， ∴， ∴． 故答案为：14． 【点睛】本题考查的是多项式的乘法中不含某项，熟记多项式的乘法运算法则与合并同类项的法则是解本题的关键． 12. 如图，点A、C、F、B在同一直线上，CD平分，若，则的大小为______ 【答案】61 【解析】 【详解】解：∵∠ECA=58°，∴∠ECB=180°﹣∠ECA=122°． ∵CD平分∠ECF，∴∠DCF=∠ECF=×122°=61°． ∵CD∥GF，∴∠GFB=∠DCF=61°． 故答案为61． 13. 七巧板起源于我国宋代，后流传于世界各国．在“综合与实践”课堂上，兴趣小组同学用一张正方形纸板依据图1，经过折叠、剪切，制作了如图2所示的七巧板，再拼成如图3所示的作品，最后在作品上随机钉一枚图钉，将其固定在桌面上，则图钉的钉尖恰好落在①区域的概率是___________． 【答案】 【解析】 【分析】图形①即为四边形，计算与正方形面积的比解题即可． 【详解】解：∵①的面积即四边形的面积，是的面积的一半，即为正方形面积的， 故答案为：． 【点睛】本题考查的几何概率，掌握几何概率即面积比是解题的关键． 14. 某商场为了增加销售额，推出“五月销售大酬宾”活动，其活动内容为：“凡五月份在该商场一次性购物超过50元以上者，超过50元的部分按9折优惠”．在大酬宾活动中，李明到该商场为单位购买单价为30元的办公用品x件（x＞2），则应付货款y（元）与商品件数x的函数关系式是___________． 【答案】y＝27x＋5（x＞2，且x为整数） 【解析】 【分析】容易知道y大于5，所以应付货款分成两部分，一部分原价付款，一部分按9折优惠；然后根据“应付货款y(元)=50+超过50的部分”列出关系式，化简即可得到答案． 【详解】∵ x＞2，且x为整数， ∴ 销售价超过50元，超过部分为30x-50， ∴ y=50+（30x-50）×0.9=27x+5（x＞2，且x为整数）． 故答案为：y＝27x＋5（x＞2，且x为整数）． 【点睛】本题考查了利用一次函数解决实际问题，找到所求的量的等量关系是解决问题的关键． 15. 已知：四边形ABCD中，AB=AD=CD，∠BAD=90°，三角形ABC的面积为1，则线段AC的长度是___________. 【答案】2 【解析】 【分析】过B作BE⊥AC于E, 过D作DF⊥AC于F,构造 得出BE=AF 利用等腰三角形三线合一的性质得出：AF=可得BE=AF=，利用三角形ABC的面积为1进行计算即可. 【详解】过B作BE⊥AC于E, 过D作DF⊥AC于F, ∴∠BEA=∠AFD=90° ∴∠2+∠3=90° ∵∠BAD=90° ∴∠1+∠2=90° ∴∠1=∠3 ∵AB=AD ∴ ∴BE=AF ∵AD=CD，DF⊥AC ∴AF= ∴BE=AF= ∴ ∴AC=2 故答案为2 【点睛】本题考查了利用一线三等角构造全等三角形，以及利用三角形面积公式列方程求线段，熟练掌握辅助线做法构造全等是解题的关键. 三．解答题 16. 计算：． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了是实数的混合运算，先将乘方，负整数幂，0次幂化简，再进行计算即可． 【详解】解： ． 17. 计算 （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据多项式与单项式的除法法则计算即可； （2）先根据平方差公式和完全平方公式计算，再去括号合并同类项即可； 【详解】（1） ； （2） ． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算顺序及乘法公式是解答本题的关键． 混合运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，按从左到右的顺序计算；如果有括号，先算括号里面的，并按小括号、中括号、大括号的顺序进行；有时也可以根据运算定律改变运算的顺序． 18. 先化简，后求值：，其中，． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简与求值，先根据整式的混合运算法则计算括号内的，再根据多项式除以单项式法则计算，最后代入计算即可，熟练掌握整式的化简与求值是解题的关键． 【详解】解： ， 当，时，原式． 19. 在一个不透明的口袋中放入6个白球和14个红球，它们除颜色外完全相同． （1）求从口袋中随机摸出一个球是白球的概率； （2）现从口袋中取出若干个红球，并放入相同数量的白球，充分摇匀后，要使从口袋中随机摸出一个球是白球的概率是，问取出了多少个红球？ 【答案】（1） （2）10个 【解析】 【分析】（1）用白球的个数除以总球的个数即可； （2）设取出了x个红球，根据概率公式列出算式，求出x的值即可得出答案． 【小问1详解】 解：口袋中共有6个白球和14个红球，所有可能的结果有20种，每种结果出现的可能性相同， ∴（摸出白球）． 答：从口袋中随机摸出一个球是白球的概率是； 【小问2详解】 设取出了个红球．根据题意，得： ， 解这个方程，得． 答：取出了10个红球． 【点睛】本题考查了概率的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 20. 某书城为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（如图，转盘被平均分成份），并规定：顾客每购买元的图书，就可获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域（若指针恰好指在分割线上，则重转一次，直到指针指向某一扇形区域为止），那么顾客就可以分别获得元、元、元的购书券，凭购书券可以在书城继续购书． （1）甲顾客购书元，可转动一次转盘，求他获得购书券的概率； （2）乙顾客购书元，可转动一次转盘，求他获得元购书券的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现种结果，那么事件A的概率．根据概率公式直接求解即可； （2）用红色区域的份数除以总份数即可得出获得元购书券的概率． 【小问1详解】 解：∵转盘平均分成份，共有种等可能的情况， 其中红色占份，黄色占份，绿色占份， ∴任意转动一次转盘获得购书券的概率是； 【小问2详解】 ∵转盘平均分成份，共有种等可能的情况，其中红色占份， ∴他获得元购书券的概率是． 【点睛】此题考查了概率公式，解决本题的关键是理解题意并熟练运用概率公式． 21. 小亮想了解一根弹簧的长度是如何随所挂物体质量的变化而变化的，他把这根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，下表是小亮测得的弹簧的长度y与所挂物体质量x的几组对应值． 所挂物体质量x/kg 0 1 2 3 4 5 弹簧长度y/cm 18 22 26 30 34 38 （1）由表格可知，弹簧不挂物体时的长度为______cm； （2）请直接写出y与x的关系式______； （3）当弹簧长度为50cm（在弹簧承受范围内）时，求所挂重物的质量．（写出求解过程） 【答案】（1）18 （2）y＝4x+18 （3）所挂物体质量为8kg 【解析】 【分析】（1）根据表格可知时弹簧长度即为不挂物体时弹簧长度； （2）利用表格中数据的变化求解； （3）将y＝50代入y与x的函数关系式求解． 【小问1详解】 解：（1）根据表格可知，当时，， ∴弹簧不挂物体时的长度为18cm； 故答案为：18． 【小问2详解】 由表格可得所挂物体每增加1千克，弹簧长度增加4cm，不挂物体时，弹簧长度为18cm， 则y与x的关系为y＝4x+18， 故答案为：y＝4x+18． 【小问3详解】 把y＝50代入y＝4x+18得 50＝4x+18， 解得x＝8， ∴所挂物体质量为8kg． 【点睛】本题考查函数的表示方法，解题关键是掌握函数的定义，根据题干中表格信息写出函数表达式． 22. 如图，已知在中，点D在边上，且． （1）用尺规作图法，作的平分线，交于点P；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）在（1）的条件下，连接、求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的作图方法，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握角平分线的作图方法和步骤，全等三角形的判定方法以及全等三角形对应边相等． （1）根据尺规作图—角平分线的作图方法和步骤即可解答； （2）根据证明，即可证明． 【小问1详解】 解：如图，为所作； 【小问2详解】 证明：∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 23. 如图，作出边上的高．（用尺规完成作图，只保留作图痕迹，不要求写出作法） 【答案】作图见详解 【解析】 【分析】本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键． 利用基本作图，过A点作的垂线即可． 【详解】解：如图，线段即为所求， 24. 如图，，，点E在的延长线上，连接． （1）求证：； （2）若，平分，求的度数． 【答案】（1）证明见详解 （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了平行线的判定以及性质，与角平分线有关的三角形内角和定理． （1）首先根据平行线的性质，可得，然后根据，推得，据此推出，推得． （2）首先根据平行线的性质，以及角平分线的定义得到，然后根据三角形的内角和定理，求出的度数即可． 【小问1详解】 证明∶∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 25. 今年大年初一上午十点整，首届四川天府新区兴隆湖新春环湖跑正式开跑．男子竞速组、女子竞速组、新春欢乐行三大方队相继出发，十余位世界及全国冠军领跑，来自各地数千名跑友一起奔向新的一年． 新春欢乐行路线为天府新区大阳台南(起点)—环湖跑道—天府路演艺术中心(终点)，全长为5000 米． 小成和爸爸的行程S(单位：米) 随时间t(单位：分钟) 变化的图象如图所示． 根据图中信息回答以下问题： （1）第6分钟时，小成和爸爸相距多少米？ （2）由于体力不支，小成在中途降低速度，降速后小成速度是爸爸速度的，求小成和爸爸相遇时距天府路演艺术中心(终点) 还有多远？ （3）调整状态后，小成再次提高速度，当爸爸到达终点时，小成离终点还有880米，求整个跑步过程中爸爸和小成相距400米时的时间． 【答案】（1）600米 （2）2600米 （3）整个跑步过程中爸爸和小成相距400米时的时间为第4分钟或第8分钟或第16分钟或第28分钟． 【解析】 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，一元一次方程的应用： （1）根据函数图象求出爸爸的速度，进而求出第6分钟时爸爸所走的路程即可得到答案； （2）设小成和爸爸在出发t分钟后相遇，先求出降速后小成的速度为米/分，再根据两人相遇时所走的路程相同列出方程求解即可； （3）求出小成再次提高速度后的速度为160米/分，设整个跑步过程中爸爸和小成相距400米时的时间为m分钟，分当小成没有降速时，两人相距400米，当小成降速后，二人相遇前，两人相距400米，当小成降速后，二人相遇后且小成未再次提速前，两人相距400米，当爸爸到达终点后，两人相距400米，四种情况分别列出方程求解即可． 【小问1详解】 解；由函数图象可知，小成爸爸的速度为米/分， ∴第6分钟时小成和爸爸相距米； 【小问2详解】 解：设小成和爸爸在出发t分钟后相遇， 由题意得，降速后小成的速度为米/分， ∴， 解得， ∴小成和爸爸相遇时距天府路演艺术中心(终点) 还有米； 【小问3详解】 解：米/分， ∴小成再次提高速度后的速度为160米/分， 设整个跑步过程中爸爸和小成相距400米时的时间为m分钟， 当小成没有降速时，两人相距400米，则，解得； 当小成降速后，二人相遇前，两人相距400米，则，解得； 当小成降速后，二人相遇后且小成未再次提速前，两人相距400米，则，解得； 当爸爸到达终点后，两人相距400米，则，解得； 综上所述，整个跑步过程中爸爸和小成相距400米时的时间为第4分钟或第8分钟或第16分钟或第28分钟． 26. 【问题背景】阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题：如图1，在中，点D、E分别在边上，连接交于点F，，且．试说明． 【问题探究】小明经探究发现： 如图2，在上取一点G（不与E点重合），使，连接，从而可证，使问题得到解决． （1）请你按照小明的探究思路，完成他的证明过程 【问题拓展】参考小明思考问题的方法，解决下面的问题： （2）如图3，在等腰中，，点E在直线上，延长到D，延长到F，使得，连接．点M是上一点，连接交于点H，过点E作交于点G，延长到点N，连接，使得．试说明与全等． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）在上取一点G（不与E点重合），使，连接，证明．利用等角的补角相等推出，得到．证明，即可证明结论成立； （2）先证明，利用平行线的性质推出，再推出．利用即可证明． 【详解】解：（1）在上取一点G（不与E点重合），使，连接， 因为， 所以， 所以． 因为， 所以． 因为． 所以， 所以， 即， 所以． 在和中， 因为， 所以， 所以； （2）因为， 所以，即． 又因为， 所以． 因为， 所以． 所以． 因为， 所以， 又因为，所以． 在和中， 因为， 所以． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质等知识；熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 27. 已知线段，点C是平面内一动点，且，连接，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接，，交于点E． （1）如图1，若． ①求的度数； ②如图2，作的角平分线交于F，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由； （2）若，当最长时，求的长． 【答案】（1）①；②；理由见解析 （2）4 【解析】 【分析】（1）①由题意得是等边三角形，继而得，再得； ②在线段上截取，证明，再利用角平分线定义得，继而得到，即可得到本题答案； （2）过作，且使，所以点是定点，的长度是定长，证明，继而得到当最长时，，，三点在同一条直线上，继而得到本题答案． 【小问1详解】 解：①，， 是等边三角形， ，， ， ， 由题意，得， ， ， ， ②；理由如下： 在线段上截取，如图2， ， ， ， ， 是的角平分线， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：如图3，过作，且使，所以点是定点，的长度是定长． ， ， ， 和中， ， ， ， 而， 当最长时，，，三点在同一条直线上，如图4， ，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查等边三角形判定及性质，三角形内角和定理，全等三角形性质及判定，最短路径问题，角平分线定义等．正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$