精品解析：广东省中山市卓雅外国语学校2023-2024学年高一下学期综合素养评价（二）（3月）数学试题

中山市卓雅外国语学校2023-2024学年第二学期综合素养评价（二） 高一年级数学学科试题 （2024．3） 命题与校对：秦雪燕 满分：150分 考试用时：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，则等于（　　） A. B. C. D. 2. 为了得到函数的图象，只要把的图象上的所有的点（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 3. 已知非零向量与共线，下列说法不正确的是（　　） A. 或 B. 与平行 C. 与方向相同或相反 D. 存在实数，使得 4. （ ） A. B. C. D. 5. 在正方形中，为的中点，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量，满足，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 已知为第二象限角，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设，是平面内两个不共线的向量，则以下，可作为该平面内一组基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 下列各式中，值是的是（ ） A. B. C. D. 11. 下列四个式子中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 给出下列四个命题： ①若，则； 　　　　②向量不可以比较大小； ③若，，则； 　④，． 其中正确的命题为___________．（填正确命题的序号） 13. 已知向量，，若，则_________． 14. 已知，，则___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量与的夹角为，且，求： （1）； （2）． 16. 已知. （1）求，的值； （2）求的值. 17. 已知，，. （1）求与的夹角和的值； （2）设，，若与共线，求实数m的值. 18. 已知的一段图象如下图所示． （1）求函数的解析式； （2）求函数的单调减区间； （3），求函数的值域． 19. 已知函数． （1）求的最小正周期； （2）求的单调递增区间； （3）存在，有，求m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 中山市卓雅外国语学校2023-2024学年第二学期综合素养评价（二） 高一年级数学学科试题 （2024．3） 命题与校对：秦雪燕 满分：150分 考试用时：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，则等于（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量坐标的加减可得. 【详解】 故选：A 2. 为了得到函数的图象，只要把的图象上的所有的点（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角函数图象变换可得结论. 【详解】为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点向右平移个单位长度. 故选：B 3. 已知非零向量与共线，下列说法不正确的是（　　） A. 或 B. 与平行 C. 与方向相同或相反 D. 存在实数，使得 【答案】A 【解析】 【分析】根据共线向量的概念，以及向量共线定理，逐项判断，即可得出结果. 【详解】非零向量与共线， 对于A，，，故A错误； 对于B，∵向量与共线，∴向量与平行，故B正确； 对于C，∵向量与共线，∴与方向相同或相反，故C正确； 对于D，∵与共线，∴存在实数，使得，故D正确． 故选：A． 4. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两角和的正弦公式和特殊角三角函数求解. 【详解】. 故选：D. 5. 在正方形中，为的中点，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图形结合向量的线性运算求解. 【详解】因为为的中点，为的中点， 所以. 故选：C. 6. 已知向量，满足，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据数量积运算法则计算出，从而利用投影向量的公式进行求解. 【详解】， 因为，所以， 故. 故选：A 7. 已知为第二象限角，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据第二象限角的三角函数值的正负分别判断各选项. 【详解】因为为第二象限角， 所以，，， 则，，， 而的取值不确定. 故选：C. 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过平方的方法求得正确答案. 【详解】依题意，， 两边平方得， ， 所以. 故选：B 二、多选题：每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设，是平面内两个不共线的向量，则以下，可作为该平面内一组基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意结合基底的定义逐个分析判断. 【详解】对于A，因为，是平面内两个不共线的向量，且，， 所以与为不共线的两个向量，所以与可作为该平面内一组基底，所以A正确； 对于B，若与共线，则，所以， 因为，是平面内两个不共线的向量，所以，方程组无解， 所以与不共线，所以与可作为该平面内一组基底，所以B正确； 对于C，因为，，所以， 所以与共线，所以与不能作为该平面内一组基底，所以C错误； 对于D，若与共线，则，所以， 因为，是平面内两个不共线的向量，所以，方程组无解， 所以与不共线，所以与可作为该平面内一组基底，所以D正确. 故选：ABD 10. 下列各式中，值是的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用两角差的余弦公式，诱导公式，二倍角公式即可逐个选项判断. 【详解】 ，A正确； ，B不对； ，C正确； ，D正确. 故选：ACD 11. 下列四个式子中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用诱导公式和两角和与差的正切、正弦公式一一判断即可. 【详解】对A，由诱导公式可知，，故A错误； 对B，，故B正确； 对C，，故C错误； 对D，，故D正确. 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 给出下列四个命题： ①若，则； 　　　　②向量不可以比较大小； ③若，，则； 　④，． 其中正确的命题为___________．（填正确命题的序号） 【答案】②③ 【解析】 【详解】①，但方向不定，故不能推出，故错误； ②因为向量既具有大小又有方向，方向不能比较大小，故向量不能比较大小，故正确； ③由向量相等的定义可得若，，则，故正确； ④ 由向量相等的定义可得 ，，反过来 ，，与共线，方向可以不同，故错误. 故答案为： ②③. 13. 已知向量，，若，则_________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标公式求解即可 【详解】因为，所以，故． 故答案为：3 14. 已知，，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用求的值. 【详解】 ． 故答案为5 【点睛】本题主要考查差角的正切公式的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量与的夹角为，且，求： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）12 【解析】 【分析】(1)利用向量数量积的定义直接求解即可. (2)利用向量数量积的运算律，求解即可. 【小问1详解】 由已知得 【小问2详解】 ． 16. 已知. （1）求，的值； （2）求的值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据同角三角函数关系得到余弦值，正切值，利用二倍角公式求得；（2）在第一问的基础上，利用余弦的差角公式进行求解. 【小问1详解】 ∵,且, ∴, ∴,. 【小问2详解】 17. 已知，，. （1）求与的夹角和的值； （2）设，，若与共线，求实数m的值. 【答案】（1）与的夹角为，；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据求出，根据数量积关系求出夹角，求出模长； （2）根据共线定理必存在使得：，求解参数. 【详解】（1），，， ， ， 所以， 所以与的夹角为， ； （2）由（1）可得：与不共线， ，，若与共线， 则必存在使得：， 所以， 得. 【点睛】此题考查向量的数量积运算，根据数量积关系求向量夹角和模长，利用平面向量基本定理结合向量共线求参数的值. 18. 已知的一段图象如下图所示． （1）求函数的解析式； （2）求函数的单调减区间； （3），求函数的值域． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由图象可知，求出，从而可求出的值，再将代入函数中可求出的值； （2）由可求出函数减区间； （3）由求出的范围，再结合正弦函数的性质可求出其值域. 【小问1详解】 由图象可知，则， 所以，得， 所以， 因为的图象过点， 所以，得， 得， 因为，所以， 所以； 【小问2详解】 由，得 ， 所以， 所以的递减区间为； 【小问3详解】 由，得， 所以， 所以，即， 所以， 所以的值域为. 19. 已知函数． （1）求的最小正周期； （2）求的单调递增区间； （3）存在，有，求m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由二倍角公式、辅助角公式、周期公式化简运算即可求解. （2）整体代入法解不等式即可得单调递增区间. （3）存在，有，等价于，由复合函数单调性、三角函数单调性即可求得，进一步可得的取值范围. 【小问1详解】 由题意， 所以的最小正周期. 【小问2详解】 由题意令，解得， 所以的单调递增区间为. 【小问3详解】 由题意存在，有，则只需， 而当时，， 又在单调递增，在单调递减， 所有， 所以m的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $