精品解析：湖南省郴州市桂阳县第三中学2023-2024学年九年级上学期数学期末考试模拟题 (5)

湖南省郴州市桂阳县2023-2024年九年级上期 数学期末考试模拟题（5） 一．选择题． 1. 下列方程中是一元二次方程的是（　　　） A. B. C. D. 2. 对于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 点（－2，1）在它的图象上 B. 它的图象在第一、三象限 C. 它的图象经过原点 D. 当x＞0时，y随x的增大而增大 3. 二次函数的图象与坐标轴的交点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4. 近年来，我国持续大面积的雾霾天气让环保和健康问题成为焦点．为进一步普及环保和健康知识，我市某校举行了“建设宜居成都，关注环境保护”的知识竞赛，某班的学生成绩统计如下： 成绩（分） 60 70 80 90 100 人 数 4 8 12 11 5 则该办学生成绩的众数和中位数分别是（ ） A. 70分，80分 B. 80分，80分 C. 90分，80分 D. 80分，90分 5. 如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（ ） A. ∠ABP=∠C B. ∠APB=∠ABC C. D. 6. 将抛物线向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是（　　） A. B. C. D. 7. 在Rt中，，若，则的值是（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，是反比例函数y＝与y＝在x轴上方的图象，点C是y轴正半轴上的一点，过点C作AB∥x轴分别交这两个图象于A点和B点，若点P在x轴上运动，则△ABP的面积等于（　　） A. 5 B. 4 C. 10 D. 20 二．填空题． 9. 在比例尺的地图上，量得，两地的距离是，则，两地的实际距离是________米. 10. 一元二次方程的解为__________． 11. 已知tan（α+15°）= ，则锐角α的度数为______°． 12. 如图，在△ABC中，DE∥AB，DE分别与AC，BC交于D，E两点．若，AC＝3，则DC＝_____． 13. 现有甲、乙两支排球队，每支球队队员身高的平均数为1.85米，方差分别为s甲2＝0.32，s乙2＝0.26，则身高较整齐的球队是___________队． 14. 已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的根为______． 15. 如图，在锐角中，，，动点D从点A出发到点B停止，动点E从点C出发到点A停止，点D运动的速度为1cm/s，点E运动的速度为2cm/s，如果两点同时开始运动，那么以点A，D，E为顶点的三角形与相似时的运动时间为_____秒． 16. 如图，抛物线的对称轴是，下列结论： ①；②；③；④；⑤． 其中正确的结论有________（填上正确结论的序号）． 三．解答题． 17. 计算：． 18. 如图所示的平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣3，2），B（﹣1，3），C（﹣1，1），请按如下要求画图： （1）以坐标原点O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°，得到，请画出； （2）以坐标原点O为位似中心，在x轴下方，画出△ABC的位似图形，使它与△ABC的位似比为2：1． 19. 如图，反比例函数y=﹣与一次函数y=﹣x+2的图象交于A、B两点． （1）求A、B两点的坐标； （2）求△AOB的面积． 20. 泉州市某学校抽样调查学生上学的交通工具，A类学生骑共享单车，B类学生坐公交车、私家车等，C类学生步行，D类学生（其它），根据调查结果绘制了不完整的统计图． （1）学生共　 　人，x=　 　，y=　 　； （2）补全条形统计图； （3）若该校共有2000人，骑共享单车的有　 　人． 21. 如图，在宽为，长为的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路，把耕地分成大小相等的六块作试验田，要使试验田面积为，求道路的宽度． 22. 如图，要在原始森林附近修一条公路MN，已知C点周围260米范围内为原始森林保护区，在M上的点A处测得C在A的东北方向上（即∠DAC＝45°），从A向东走800米到达B处，测得C在点B的北偏西60°方向上，MN是否穿过原始森林保护区，为什么？（结果精确到个位，参考数据：≈1.732） 23. 如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB中点． （1）求证：AC2＝AB•AD； （2）若AD＝4，AB＝6，求的值． 24. 先阅读下列一段文字，再回答问题． 已知平面内两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，这两点的距离P1P2．同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间的距离公式可简化为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|． （1）已知点A(2，4)，B(﹣3，﹣8)，试求A，B两点间的距离； （2）已知点A，B所在的直线平行于y轴，点B的纵坐标为﹣1，A，B两点间的距离等于6．试求点A的纵坐标； （3）已知一个三角形各顶点的坐标分别为A(﹣3，﹣2)，B(3，6)，C(7，﹣2)，你能判断三角形ABC的形状吗？说明理由． 25. （1）[基础巩固]如图①，在三角形纸片ABC中，，将折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，则AM与BM的数量关系为______； （2）[思维提高]如图②，在三角形纸片ABC中，，，将折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，求的值； （3）[拓展延伸]如图③，在三角形纸片ABC中，，，，将沿过顶点C的直线折叠，使点B落在边AC上的点处，折痕为CM．求线段AC的长； 26. 如图所示，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且点的坐标为，点的坐标为，对称轴为直线.点是抛物线上一个动点，设点的横坐标为，连接，，，． （1）求抛物线的函数表达式； （2）当的面积等于的面积的时，求的值； （3）在（2）的条件下，若点是轴上一动点，点是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省郴州市桂阳县2023-2024年九年级上期 数学期末考试模拟题（5） 一．选择题． 1. 下列方程中是一元二次方程的是（　　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的概念“等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程”依次进行判段即可得． 【详解】解：A、，不是一元二次方程，选项说法错误，不符合题意； B、化简为，不是一元二次方程，选项说法错误，不符合题意； C、，是一元二次方程，选项说法正确，符合题意； D、，不是一元二次方程，选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的概念． 2. 对于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 点（－2，1）在它的图象上 B. 它的图象在第一、三象限 C. 它的图象经过原点 D. 当x＞0时，y随x的增大而增大 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质，k=2＞0，函数位于一、三象限，在每一象限y随x的增大而减小 【详解】A. 把点（-2，1）代入反比例函数得1≠-1不成立，故选项错误； B. ∵k=2＞0，∴它的图象在第一、三象限，故选项正确； C. 不能经过原点，故选项错误； D. 当x＞0时，y随x的增大而减小，故选项错误． 故选：B 【点睛】本题考查了反比例函数的性质：①当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．②当k＞0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在同一个象限，y随x的增大而增大． 3. 二次函数的图象与坐标轴的交点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】该题考查函数图象与坐标轴的交点关系．首先用判定图象与轴的交点情况；再判定与轴交点的情况即可解答． 【详解】解：因为△判断，图象与轴有一个交点． ∵当时，， ∴函数图象与轴有一个交点， ∴二次函数与坐标轴有2个交点． 故选：C． 4. 近年来，我国持续大面积的雾霾天气让环保和健康问题成为焦点．为进一步普及环保和健康知识，我市某校举行了“建设宜居成都，关注环境保护”的知识竞赛，某班的学生成绩统计如下： 成绩（分） 60 70 80 90 100 人 数 4 8 12 11 5 则该办学生成绩的众数和中位数分别是（ ） A. 70分，80分 B. 80分，80分 C. 90分，80分 D. 80分，90分 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：众数是在一组数据中，出现次数最多的数据，这组数据中80出现12次，出现的次数最多，故这组数据的众数为80分； 中位数是一组数据从小到大（或从大到小）排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）.因此这组40个按大小排序的数据中，中位数是按从小到大排列后第20，21个数的平均数，而第20，21个数都在80分组，故这组数据的中位数为80分. 故选B． 考点：1.众数；2.中位数. 5. 如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（ ） A. ∠ABP=∠C B. ∠APB=∠ABC C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A．当∠ABP=∠C时， 又∵∠A=∠A， ∴△ABP∽△ACB， 故此选项错误； B．当∠APB=∠ABC时， 又∵∠A=∠A， ∴△ABP∽△ACB， 故此选项错误； C．当时， 又∵∠A=∠A， ∴△ABP∽△ACB， 故此选项错误； D．无法得到△ABP∽△ACB，故此选项正确． 故选：D． 6. 将抛物线向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由平移可知，抛物线的开口方向和大小不变，顶点改变，将抛物线化为顶点式，求出顶点，再由平移求出新的顶点，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式． 【详解】解：，即抛物线的顶点坐标为， 把点向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为， 所以平移后得到的抛物线解析式为． 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 7. 在Rt中，，若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形， 在中，已知，且，利用三角函数定义及勾股定理即可求解的值. 【详解】解：如图，在中，，且， 设对边为，则斜边为， 根据勾股定理，得， ∴. 故选：D. 8. 如图所示，是反比例函数y＝与y＝在x轴上方的图象，点C是y轴正半轴上的一点，过点C作AB∥x轴分别交这两个图象于A点和B点，若点P在x轴上运动，则△ABP的面积等于（　　） A. 5 B. 4 C. 10 D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】设点A（a，），则点B坐标（﹣ ，），从而求得三角形的面积. 【详解】设点A（a，） ∵AB∥x轴 ∴点B纵坐标为，且点B在反比例函数y= 图象上， ∴点B坐标（﹣ ，） ∴S△ABP=（a+）×=5 故选A． 【点睛】考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题关键是设点A（a，），利用字母a表示AB的长度和线段AB上的高． 二．填空题． 9. 在比例尺的地图上，量得，两地的距离是，则，两地的实际距离是________米. 【答案】 【解析】 【分析】图上距离和比例尺已知,依据"实际距离-图上距离比例尺"即可求出A、 B 两地的实际距离． 【详解】解:∵比例尺为1：10000，A，两地的距离是3cm， 设A，B两地的实际距离为cm， ∴ ∴， ∵， ∴A，B两地的实际距离为300米． 故答案为:300． 【点睛】本题主要考查图上距离、际距离和比例尺之间的关系，解答时要注意单位的换算． 10. 一元二次方程的解为__________． 【答案】x=或x=2 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解法解出答案即可． 【详解】 当x－2=0时,x=2, 当x－2≠0时,4x=1,x=, 故答案为:x=或x=2． 【点睛】本题考查解一元二次方程,本题关键在于分情况讨论． 11. 已知tan（α+15°）= ，则锐角α的度数为______°． 【答案】15 【解析】 【分析】直接利用特殊角的三角函数值求出答案． 【详解】解：tan（α+15°）= ∴α+15°=30°, ∴α=15° 故答案是15 【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关特殊角的三角函数值是解题关键． 12. 如图，在△ABC中，DE∥AB，DE分别与AC，BC交于D，E两点．若，AC＝3，则DC＝_____． 【答案】2 【解析】 【分析】由DE∥AB可得出△DEC∽△ABC，根据相似三角形的性质可得出，再结合AC＝3即可求出DC的长度． 【详解】∵DE∥AB， ∴△DEC∽△ABC， ∴， ∴． 又∵AC＝3， ∴DC＝2． 故答案为2． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的判定定理找出△DEC∽△ABC是解题的关键． 13. 现有甲、乙两支排球队，每支球队队员身高的平均数为1.85米，方差分别为s甲2＝0.32，s乙2＝0.26，则身高较整齐的球队是___________队． 【答案】乙 【解析】 【分析】根据方差的意义解答．方差，通俗点讲，就是和中心偏离的程度！用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）． 在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定． 【详解】∵s甲2＞s乙2， ∴身高较整齐的球队是乙队． 故答案为乙． 【点睛】本题考查方差的定义与意义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为 ，则方差S2= [（x1-）2+（x2-）2+…+（xn-）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立． 14. 已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的根为______． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，涉及一元二次方程与二次函数的关系．根据抛物线的对称性可知，关于1的对称点为3，因此一元二次方程的根为-1与3； 【详解】解：由题意可知：抛物线的对称轴为， 关于的对称点为， 因此一元二次方程的根为与； 故答案为：，． 15. 如图，在锐角中，，，动点D从点A出发到点B停止，动点E从点C出发到点A停止，点D运动的速度为1cm/s，点E运动的速度为2cm/s，如果两点同时开始运动，那么以点A，D，E为顶点的三角形与相似时的运动时间为_____秒． 【答案】3或4.8 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，解题关键是应用分类讨论的思想方法．本题先设运动t秒，再分两种情况，与，利用其性质列出方程即可求解． 【详解】解：设运动t秒时，以点A、D、E为顶点的三角形与相似， 则． ①当点D与点B对应时，有． ∴， ∴， ∴； ②当点D与点C对应时，有． ∴， ∴， ∴． 所以当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是3秒或秒． 故答案为：3或． 16. 如图，抛物线的对称轴是，下列结论： ①；②；③；④；⑤． 其中正确的结论有________（填上正确结论的序号）． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】由函数的图象得出抛物线开口向上，与x轴有两个交点，与y轴交点在负半轴上，且对称轴为x=1，且x=1或x=2时对应的函数值小于0，x=1或x=3时对应的函数值大于0，进而确定出b2﹣4ac大于0，选项①正确；a大于0，a与b异号，c小于0，根据对称轴公式得出a与b的关系式2a+b=0，由c＜0，在不等式左右两边同时加上﹣b，将右边的﹣b化为2a，变形后得到不等式，可得出④正确；由抛物线图象及对称性得到x=3时，所对应的函数值y大于0，将x=3代入抛物线解析式后，将表示出的a代入，可得出3b小于2c，选项②正确；将x=1代入抛物线解析式得到a+b+c小于0，再将x=﹣1代入抛物线解析式得到a﹣b+c大于0，两个不等式相乘，根据两数相乘异号得负的取符号法则及平方差公式变形后，得到（a+c）2小于b2，选项③错误；由x=2时对应的函数值小于0，将x=2代入抛物线解析式中得到4a+2b+c小于0，选项⑤错误，即可确定出正确选项的序号． 【详解】由函数图象可得：抛物线开口向上，与y轴交点在y轴负半轴，抛物线与x轴有两个交点，∴a＞0，c＜0，b2﹣4ac＞0，选项①正确； 又抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，∴2a+b=0，即b=﹣2a，∴b＜0． ∵x=3时，y=9a+3b+c＞0，且a=﹣b，∴﹣b+3b+c＞0，即c＞b，∴3b＜2c，选项②正确； ∵x=1时，y=a+b+c＜0，x=﹣1时，y=a﹣b+c＞0，∴（a+b+c）（a﹣b+c）＜0，即[（a+c）+b][（a+c）﹣b]=（a+c）2﹣b2＜0，∴（a+c）2＜b2，选项③错误； ∵c＜0，∴﹣b+c＜﹣b，又b=﹣2a，∴﹣b+c＜2a，即a＞，选项④正确； ∵x=2时，y=4a+2b+c＜0，选项⑤错误，则正确的序号有：①②④． 故答案为①②④． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，其中a的符号由抛物线的开口方向决定；当对称轴在y轴左侧时，a与b同号；当对称轴在y轴右侧时，a与b异号；c的符号有抛物线与y轴的交点位置决定；根的判别式的符号有抛物线与x轴交点的个数来决定；此外还要找出图象上的特殊点对应的函数值的正负来进行判断． 三．解答题． 17. 计算：． 【答案】2 【解析】 【分析】按顺序分别进行零指数幂运算、代入特殊角的三角函数值、化简绝对值、进行负整数指数幂的运算，然后再按运算顺序进行计算即可. 【详解】 = =． 【点睛】本题考查了实数的运算，涉及了0次幂、负指数幂、特殊角的三角函数值等，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键. 18. 如图所示的平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣3，2），B（﹣1，3），C（﹣1，1），请按如下要求画图： （1）以坐标原点O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°，得到，请画出； （2）以坐标原点O为位似中心，在x轴下方，画出△ABC的位似图形，使它与△ABC的位似比为2：1． 【答案】（1） 如图，即为所求． （2）如图，即为所求． 【解析】 【分析】（1）直接利用旋转的性质得出对应点的位置，画出图形即可； （2）直接利用位似图形的性质得出对应点的位置，画出图形即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了位似变换与旋转变换，正确得出对应点的位置是解题的关键． 19. 如图，反比例函数y=﹣与一次函数y=﹣x+2的图象交于A、B两点． （1）求A、B两点的坐标； （2）求△AOB的面积． 【答案】(1) A点坐标为（﹣2，4），B点坐标为（4，﹣2）；(2)6 【解析】 【分析】（1）解方程组可得到A点坐标和B点坐标； （2）先确定一次函数与y轴的交点D的坐标，然后根据S△AOB=S△AOD+S△BOD进行计算． 【详解】解：（1）解方程组得或． 所以A点坐标为（﹣2，4），B点坐标为（4，﹣2）； （2）直线AB交y轴于点D，如图， 把x=0代入y=﹣x+2得y=2， 则D点坐标为（0，2）， 所以S△AOB=S△AOD+S△BOD=×2×2+×2×4=6． 【点睛】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握两者的性质是解题的关键. 20. 泉州市某学校抽样调查学生上学的交通工具，A类学生骑共享单车，B类学生坐公交车、私家车等，C类学生步行，D类学生（其它），根据调查结果绘制了不完整的统计图． （1）学生共　 　人，x=　 　，y=　 　； （2）补全条形统计图； （3）若该校共有2000人，骑共享单车的有　 　人． 【答案】（1）共120人，x=0.25，y=0.2； （2）补全条形统计图如下： （3）骑共享单车的有500人 【解析】 【分析】（1）用B类的频数除以频率可得总人数，A类的频数除以总人数可得x，用1减去ABC类的频率可求得y； （2）求出m，n，可补全统计图； （3）用2000乘以骑共享单车的频率. 【详解】解：（1）18÷0.15=120人，x=30÷120=0.25，y=1-0.25-0.15-0.4=0.2; （2）m=120×0.4=48，n=120×0.2=24人， 补全条形统计图略 （3）骑共享单车的有：2000×0.25=500人. 【点睛】本题考查频率分布表、直方图与样本估计总体，能够根据频率、频数、总数之间的关系计算出对应数据是解题关键. 21. 如图，在宽为，长为的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路，把耕地分成大小相等的六块作试验田，要使试验田面积为，求道路的宽度． 【答案】道路的宽为． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键．耕地的面积矩形耕地的面积三条道路的面积道路重叠部分的两个小正方形的面积．如果设道路宽，可根据此关系列出方程求出的值，然后将不合题意的舍去即可． 【详解】解：设道路宽为， 根据题意，得：， 整理，得：， 解得：，， 经检验，是原方程的解，但，不符合题意，舍去； 答：道路的宽为． 22. 如图，要在原始森林附近修一条公路MN，已知C点周围260米范围内为原始森林保护区，在M上的点A处测得C在A的东北方向上（即∠DAC＝45°），从A向东走800米到达B处，测得C在点B的北偏西60°方向上，MN是否穿过原始森林保护区，为什么？（结果精确到个位，参考数据：≈1.732） 【答案】 不会，理由如下： 如图，过C作CH⊥AB于H，设CH=x， 由已知有∠DAC=45°，∠FBC=60°， 则∠CAH=45°，∠CBA=30°， 在Rt△ACH中，AH=CH=x， 在Rt△HBC中，tan∠HBC=， ∴HB=， ∵AH+HB=AB， ∴x+x=800， 解得x≈293（米） ∵293（米）＞260（米）． ∴MN不会穿过森林保护区． 【解析】 【分析】过点C作CH⊥AB，H是垂足．AH与BH都可以根据三角函数用CH表示出来．根据AB的长，得到一个关于CH的方程，解出CH的长．从而判断出这条公路会不会穿过原始森林保护区． 【详解】略 【点评】本题主要考查解直角三角形的应用，解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线． 23. 如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB中点． （1）求证：AC2＝AB•AD； （2）若AD＝4，AB＝6，求的值． 【答案】 （1）证明：∵AC平分∠DAB， ∴∠DAC=∠CAB， ∵∠ADC=∠ACB=90°， ∴△ADC∽△ACB， ∴AD：AC=AC：AB， ∴AC2=AB•AD； （2） 【解析】 【详解】试题分析：（1）由AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，可证得△ADC∽△ACB，然后由相似三角形的对应边成比例，证得AC2=AB•AD； （2）易证得△AFD∽△CFE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得的值． 试题解析：（1）略 （2）解：∵CE∥AD， ∴△AFD∽△CFE， ∴AD：CE=AF：CF， ∵CE=AB， ∴CE=×6=3， ∵AD=4， ∴， ∴． 考点：1．相似三角形的判定与性质；2．直角三角形斜边上的中线． 24. 先阅读下列一段文字，再回答问题． 已知平面内两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，这两点的距离P1P2．同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间的距离公式可简化为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|． （1）已知点A(2，4)，B(﹣3，﹣8)，试求A，B两点间的距离； （2）已知点A，B所在的直线平行于y轴，点B的纵坐标为﹣1，A，B两点间的距离等于6．试求点A的纵坐标； （3）已知一个三角形各顶点的坐标分别为A(﹣3，﹣2)，B(3，6)，C(7，﹣2)，你能判断三角形ABC的形状吗？说明理由． 【答案】（1）13； （2）﹣7或5； （3）△ABC为等腰三角形，理由： ∵， ， ， ∴△ABC为等腰三角形． 【解析】 【分析】（1）根据两点间距离公式求解即可． （2）根据与y轴平行的线段的特点以及两点间距离公式求解即可． （3）根据两点间距离公式求该三角形的各边长，从而进行判断即可． 【详解】（1）∵点，， ∴； （2）∵点A，B所在的直线平行于y轴，点B的纵坐标为﹣1，A，B两点间的距离等于6， ∴点A的纵坐标为﹣1﹣6=﹣7或﹣1+6=5； （3）略 【点睛】本题考查了两点间的距离公式问题，掌握两点间距离公式、等腰三角形的性质是解题的关键． 25. （1）[基础巩固]如图①，在三角形纸片ABC中，，将折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，则AM与BM的数量关系为______； （2）[思维提高]如图②，在三角形纸片ABC中，，，将折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，求的值； （3）[拓展延伸]如图③，在三角形纸片ABC中，，，，将沿过顶点C的直线折叠，使点B落在边AC上的点处，折痕为CM．求线段AC的长； 【答案】（1）AM＝BM （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理解决问题即可； （2）利用相似三角形的性质求出BM，AM即可； （3）证明△BCM∽△BAC，推出，由此即可解决问题． 【小问1详解】 解：如图①中， ∵△ABC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN， ∴MN垂直平分线段BC， ∴CN＝BN， ∵∠MNB＝∠ACB＝90°， ∴MN∥AC， ∵CN＝BN， ∴AM＝BM． 故答案为AM＝BM． 【小问2详解】 如图②中， ∵CA＝CB＝6， ∴∠A＝∠B， 由题意MN垂直平分线段BC， ∴BM＝CM， ∴∠B＝∠MCB， ∴∠BCM＝∠A， ∵∠B＝∠B， ∴△BCM∽△BAC， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 如图③中， 由折叠的性质可知，CB＝CB′＝6，∠BCM＝∠ACM， ∵∠ACB＝2∠A， ∴∠BCM＝∠A， ∵∠B＝∠B， ∴△BCM∽△BAC， ∴ ∴， ∴BM＝4， ∴AM＝CM＝5， ∴， ∴． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题． 26. 如图所示，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且点的坐标为，点的坐标为，对称轴为直线.点是抛物线上一个动点，设点的横坐标为，连接，，，． （1）求抛物线的函数表达式； （2）当的面积等于的面积的时，求的值； （3）在（2）的条件下，若点是轴上一动点，点是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）的值为3；（3）存在，点的坐标为，，，． 【解析】 【分析】（1）把A、C两点坐标代入函数解析式，结合对称轴方程，联立方程组，求出a，b，c的值即可； （2）过点作轴于点，交于点，过点作交的延长线于点．首先计算出的面积=6，得，求得B（4，0），直线的函数表达式为，可得点的坐标为，点的坐标为，根据得方程求解即可； （3）根据平行四边形的判定与性质分三种情况进行求解：①当为对角线时；②当为对角线时；③当为对角线时． 【详解】（1）由题意得，解得 故抛物线的函数表达式为 （2）过点作轴于点，交于点，过点作交的延长线于点． ∵点的坐标为，∴ ∵点的坐标为∴ ∴ ∴ 当时，， 解得，. ∴ 设直线的函数表达式为 则，解得， ∴直线的函数表达式为． 则点的坐标为，点的坐标为， ∴ ∵点的坐标为， ∴． ∴ ． 则有 解得(不合题意，舍去)，． ∴的值为3． （3）存在，点的坐标为，，， 在中， 当时，， ∴． 分三种情况讨论： ①当为对角线时，如图（1）， 易知点与点关于直线对称． ∴，， ∴， 又∵， ∴ ②当为对角线时，如图（2）， ，， ∴． 又∵， ∴ ③当为对角线时． ∵，易知点的纵坐标为． 将代入中，得， 解得，． 当时，点的位置如图（3）所示，则 分别过点作轴的垂线，垂足分别为点，易证． ∵， ∴， 又∵， ∴ 当时，点的位置如图（4）所示，则． 同理易得点的坐标为 综上所述：点的坐标为，，，． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形性质、面积计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $