第一章 空间向量练习（3）-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2024年8月第二周 空间向量 8月第二周，我们进行暑假超车·预习：空间向量（3）！题目有难度，基础在前两期！ 注意：预习的模块专题开学后不会重复更新。（大家可以在评论区留言自己的需求） 1．（重庆市巴蜀中学校2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题·★★★）平行六面体中，底面ABCD为正方形，，，E为的中点，则异面直线BE和DC所成角的余弦值为（    ） A．0 B． C． D． 2．（福建省厦门市2023-2024学年高二下学期期末质量检测数学试题·★★★）在棱长为2的正方体中，E，F，G分别是棱，，的中点，过作平面，使得，则点到平面的距离是（    ） A． B． C． D． 3．（福建省漳州市2023-2024学年高二下学期期末教学质量检测·★★★☆）正方体的棱长为，是正方体外接球的直径，为正方体表面上的动点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（江苏省南京市鼓楼区2023-2024学年高二下学期6月期末考试·★★★☆）三棱锥满足，二面角的大小为，，，，则三棱锥外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 5．（河北省衡水市第十三中学2024届高三上学期质检三考试·★★★☆）正三棱柱中，为的中点，为棱上的动点，为棱上的动点，且，则线段长度的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（★★★）已知正方体棱长为2，点在线段上运动，则（ ） A．直线与所成角的取值范围是 B．三棱锥的体积为定值 C． D．的最小值为 7．（★★★）在正三棱锥中，，则下列结论正确的是（    ） A．异面直线与所成角为 B．直线与平面所成角的正弦值为 C．二面角的余弦值为 D．三棱锥外接球的表面积为 8．（★★★☆）如图，在四面体中，，，，O为AC的中点，点M是棱BC的点，则（    ） A．平面POB B．四面体的体积为 C．四面体外接球的半径为 D．M为中点，直线PC与平面PAM所成角最大 9．（江西省新余市2023-2024学年高三第二次模拟考试·★★★）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，且，.  (1)若为的中点，证明：平面平面； (2)若，，线段上的点满足，且平面与平面夹角的余弦值为，求实数的值. 10．（黑龙江省齐齐哈尔部分学校2022-2023学年高三上学期10月月考数学试题·★★★）如图，三棱锥P-ABC所有棱长都等，PO⊥平面ABC，垂足为O．点，分别在平面PAC，平面PAB内，线段，都经过线段PO的中点D． (1)证明： 平面ABC； (2)求直线AP与平面所成角的正弦值． 试卷第3页，共3页 2 学科网（北京）股份有限公司 答案第5页，共5页 2 学科网（北京）股份有限公司 1．A 【分析】由求解即可． 【详解】解：由题意，，， 又，， 所以，即有， 故选：A． 2．D 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用空间向量求出点到平面的距离. 【详解】在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ，设平面的法向量， 由，，得，则，令，得， 所以点到平面的距离. 故选：D 【点睛】方法点睛：求点到平面的距离可以利用几何法，作出点到平面的垂线段求解；也可以用向量法，求出平面的法向量，再求出这一点与平面内任意一点确定的向量在法向量的投影即可. 3．A 【分析】利用向量数量积的运算律可知，，进一步只需求出即可得解. 【详解】由题意等于正方体的体对角线长，设点为的中点， 所以， 则 ， 当点与某个侧面的中心重合时，最小，且， 当点与正方体的顶点重合时，最大，且， 由于点是在正方体表面连续运动，所以的取值范围是， 的取值范围是. 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题关键在于利用球心，将转化为，然后分析点位置即可. 4．C 【分析】设，根据对角线向量的性质列方程求关系，从而可得线线垂直，过作，连接，结合勾股定理，得线线关系，从而可得二面角的平面角，可将三棱锥补充直棱柱，从而可确定外接球球心位置得外接球半径，即可得球的体积. 【详解】设，则， 因为 ， 所以，解得：， 即，可知， 过作，连接，则， 可知，且二面角的平面角为， 则为等边三角形，即， 设，因为， 即，解得：或， 可知点与点A重合或与点B重合，两者是对称结构，不妨取点E与点A重合， 则，，由，平面，则平面， 且为二面的平面角，可知为等边三角形， 可将三棱锥补充直棱柱，如图所示， 为底面正的外心，即， 为的外接球球心，可知，且， 则三棱锥的外接球半径， 所以外接球的体积. 故选：C. 【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下： （1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径； （2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的； （3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解. 5．B 【分析】根据正三棱柱建立空间直角坐标系，设动点坐标，结合线线关系求线段MN的表达式，利用函数求最值即可. 【详解】因为正三棱柱中,O为BC的中点，取中点Q，连接OQ， 如图，以O为原点，为轴建立空间直角坐标系， 则， 因为M是棱上一动点，设，且， 所以，则， 因为，且所以在直角三角形中可得： 即，于是令， 所以，，又符合函数为增增符合，所以在上为增函数， 所以当时，，即线段MN长度的最小值为， 当时，，即线段MN长度的最大值为， 故选：B. 【点睛】关键点睛：1.找到，再利用函数单调性求出最值. 2.建系，设出动点，利用空间向量法求出，再结合线线关系求线段MN的表达式，利用函数求最值即可. 6．AC 【分析】由，根据在线段的位置，即可确定异面直线与所成角的范围可判断A；利用等体积法可判断B；由数量积的定义可判断C；将旋转到平面内，如图所述，旋转到，由余弦定理可判断D. 【详解】对于A，由，异面直线与所成角即为与所成角， 又为等边三角形，当与线段的两端点重合时，与所成角取最小值， 当与线段的中点重合时，与所成角取最大值， 故与所成角的范围，故A正确. 对于B，因为，平面，平面， 所以平面，所以直线上任意一点到平面的距离相等， 所以点到平面的距离等于点到平面， 所以，故B错误； 对于C，， 设， 所以， 当时，有最小值为；当或时，有最大值为； 故，所以，所以， 则，故C正确； 对于D，将旋转到平面内，如图所述，旋转到， 且最小值为：，故D错误. 故选：AC. 【点睛】方法点睛：对于立体几何的综合问题的解答方法： （1）立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求解轨迹的长度及动态角的范围等问题，解决方法一般根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程； （2）对于线面位置关系的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面位置关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论，则否定假设； （3）对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若有解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在. 7．BC 【分析】方法一：利用向量的线性运算得到向量的数量积为零，或利用线面垂直的判定定理与性质定理可判断A；利用等体积法结合线面角的定义和正弦定理可求出直线与平面所成角的正弦值可判断B；作，连接，利用三角形全等找到二面角的平面角，再由余弦定理求出即可判断C；列式求得外接球半径，从而判断D. 方法二：先建立如图所示坐标系，选项A用坐标表示向量的数量积可判断错误；选项B先找到平面的一个法向量，代入空间线面角的正弦公式求解即可得B正确；选项C找到平面的一个法向量，结合选项B的法向量再代入空间二面角公式求出即可得C正确；选项D同上解. 【详解】方法一： A：，则异面直线与所成角为，故A错误； 另解：如图①，取的中点，连接，则． 又，且平面，平面， 所以平面． 又平面，所以，即异面直线与所成角为 B：在正三棱锥中，因为， 所以的外接圆半径， 设点为外接圆圆心，则， 三棱锥的高为， 设为中点，则侧高为． 设点到平面的距离为，直线与平面所成角为， 则． 由， 得，解得， 则，故B正确．      C：如图①，作，垂足为，连接． 因为，所以， 则二面角的平面角即为， ． 在中，由余弦定理得，故C正确； D：如图①，取正三角形的中心，连接，则三棱锥的外接球球心在上，连接． 设，球半径为， 由，得，解得， 所以， 所以三棱锥外接球的表面积，故D错误． 方法二： 在正三棱锥中，过点作平面于点， 则为底面正三角形的重心，连接． 又的边长均为2，所以，所以． 建立如图②所示的空间直角坐标系， 则，． A：因为，所以，则异面直线与所成角为，故A错误； B：设平面的一个法向量为，则， 因为，所以， 令，则，得． 又，设直线与平面所成角为， 则，故B正确． C：设平面的一个法向量为，则 因为， 所以，则，令，则，得． 设二面角的大小为，则， 由图②可知该二面角为锐角，所以，C正确． D：由题意知三棱锥外接球的球心在轴上，设为，连接，设球半径为． 由，得，解得， 所以， 所以三棱锥外接球的表面积，故错误． 故选：BC． 【点睛】关键点点睛：本题方法二解决的关键在于，依题意建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可得解. 8．AC 【分析】利用到的距离相等说明平面，然后用线面垂直的性质和判定定理即可验证A；直接使用三棱锥体积计算公式即可验证B；设出外接球半径，列出并求解方程即可验证C；使用空间向量法即可验证D. 【详解】 由已知得是等腰直角三角形， 故斜边，且的外心为的中点，其满足. 而，故平面，且. 由于是的中点，， 故，而，在平面内交于点，故平面，故A正确； 我们有，故B错误； 设四面体的外接球球心为点，外接球半径为， 则，解得，故C正确； 以为原点，为轴正方向，建立空间直角坐标系. 则，，，，设， 则，故，. 若是平面的法向量，则. 这得到，从而可取. 而，故直线与平面所成角的正弦值等于 . 而在处最大， 所以当与点重合时，直线与平面所成角最大，D错误. 故选：AC. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于D选项将空间角与函数最值问题相结合，需对参数计算空间角. 9．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取中点为，利用直角梯形中位线的性质，线面垂直的性质判定推理即可； （2）通过正三角形证明，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用二面角得向量求法计算求解即可. 【详解】（1）取中点为，由条件可得为梯形的中位线，则， 又，则， 且，平面，平面， 根据线面垂直的判定定理，得平面， 平面，. 由，则，又，为梯形的两腰，则与相交， 平面， 又平面，所以平面平面. （2）取的中点为Q，由，， 则，， 因此△为等边三角形，. 由（1）知平面，，，两两垂直， 如图，以，，分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，    由，，则， ，，，， 由， 所以，，，， 设平面的一个法向量为， 由 取，得，，得. 设平面的一个法向量为， 由 取，得，， 即平面的一个法向量为. 记平面与平面夹角的大小为， 所以，化简得，即，所以实数的值为. 10．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先得到，根据平面几何的知识得到O是的重心，从而求得； 作求得，进而得到，从而证得结论； （2）先求出平面的法向量，再根据线法角的计算公式计算即可． 【详解】（1）解：连接，延长交AB于点，连接，延长交AC于点， 分别连接，，． 是平面与平面的交线，， ， ∵ 三棱锥P-ABC所有棱长都相等， ∴ O为正△ ABC的重心，且，分别是AB，AC中点． ∴ ． 作交于点E，则． ∵ D是PO中点，∴ ． ∴ ．同理，． ∴ ． ∵ 平面ABC，平面ABC， ∴平面ABC． （2）解：根据条件得，，PO⊥AC．分别以过O平行于CA的直线为x轴，以直线OB为y轴，以直线OP为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz． 设， 则，，，． 是的中点，， 由（1）知，即, 设， 则， 易得：，同理得：． ∴　，，． 设是平面的一个法向量， 则，， ∴ ，， ∴ ， 不妨取，解得：，． ． 所以直线AP与平面所成角的正弦值为． 【点睛】本题（1）中的解题关键是判断，看似简单其实不易，另外用相似去求得也不容易想到，这种用几何法去证明线面平行，需要较强的平面几何知识，并且对空间中点、线、面的位置关系要有比较好的把握；（2）的难点在于点的坐标计算，计算一条线上的点的坐标，要想到用向量去处理． 答案第10页，共11页 答案第7页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $$