重难点17 数列的求和（8大题型+最新模拟）-备战2025年高考数学重难点专题突破（新高考专用）

数列的求和 1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式. 2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常用方法． 公式法 对于等差数列、等比数列等特殊数列，可以利用等差数列、等比数列的求和公式直接求和. 例1（1）（2024·贵州贵阳·二模）记等比数列的前项和为，则（    ） A．121 B．63 C．40 D．31 （2）（2024·内蒙古包头·一模）已知等差数列中，，，设，则（    ） A．245 B．263 C．281 D．290 【类题演练1】（2024·新疆喀什·三模）已知等差数列满足，记的前项和为，则（    ） A．18 B．24 C．27 D．45 【类题演练2】（23-24高三上·浙江绍兴·期末）已知数列的前n项和为.若为等差数列，且满足，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求. 倒序相加法 如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解． 例2．（2024·上海·模拟预测）已知，数列的前项和为，点均在函数的图象上. (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前2024项和. 【类题演练1】（24-25高三上·广东·开学考试）若，数列的前项和为，且，，则（    ） A．76 B．38 C．19 D．0 【类题演练2】（2024·湖南衡阳·模拟预测）数列的综合求和方法有：错位相减法，裂项相消法，分组求和法及倒序相加法.在组合数的计算中有如下性质：，.应用上述知识，计算 . 【类题演练3】（23-24高三下·海南海口·阶段练习）设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.已知：任何三次函数都有拐点，又有对称中心，且拐点就是对称中心.设，数列的通项公式为，则 . 并项法 若数列的相邻两项的和是常数或特殊数列时，可采用并项法，并项法的本质是转化思想的应用. 例3 （2024·陕西宝鸡·三模）已知数列是公差不为0的等差数列，，且成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前2024项和． 【类题演练1】（23-24高二下·北京·期中）在数列中，，且，则其前项的和为（    ） A．841 B．421 C．840 D．420 【类题演练2】（2024·辽宁·模拟预测）已知数列的前项和为，且． (1)证明：是等比数列，并求其通项公式； (2)设，求数列的前100项和． 【类题演练3】（2024·河南·三模）在等比数列中，，且，，成等差数列． (1)求的通项公式； (2)设，数列的前n项和为，求满足的k的值． 分组求和 若数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减. 若数列的通项公式是分段的形式，往往也用分组求和的方法. 例4（2024·全国·高考真题）已知等比数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和. 【类题演练1】（2024·河北张家口·三模）已知数列的前n项和为，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【类题演练2】（2024·山东·二模）已知数列，中，，，是公差为1的等差数列，数列是公比为2的等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【类题演练3】（2024·全国·二模）已知数列的前n项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和为. 裂项相消法 形如（k为非零常数）型 例5（2024·广东·二模）数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前n项和． 【类题演练1】（2024·陕西榆林·模拟预测）已知等差数列的公差不为0，其前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【类题演练2】（2024·新疆喀什·三模）已知数列的首项，且满足（）． (1)求证：数列为等比数列； (2)记，求数列的前项和，并证明． 【类题演练3】（2025·全国·高三专题练习）已知数列满足． (1)证明为等差数列，并的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【类题演练4】已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列. （1）求数列{an}的通项公式； （2）令，求数列{bn}的前n项和Tn. 形如（k为非零常数）型 例6　已知函数f（x）＝xα的图象过点（4，2），令an＝，n∈N*，记数列{an}的前n项和为Sn，则S2 023＝　　　　.  【对点演练1】数列{an}的通项公式是an＝，前n项和为9，则n等于(　　) A.9 B.99 C.10 D.100 形如（k为非零常数）型 例7 （2024·福建龙岩·三模）若数列是公差为1的等差数列，且，点在函数的图象上，记数列的前项和为. (1)求数列的通项公式; (2)设，记数列的前项和为，证明:. 【类题演练1】（2024·山东烟台·三模）在数列中，已知，. (1)求数列的通项公式； (2)若，为数列的前n项和，证明：. 【类题演练2】已知为数列的前项和，． (1)求数列的通项公式； (2)设，记的前项和为，证明：． 形如（k为非零常数）型 例8 （24-25高三上·广东·开学考试）已知数列的各项均为正数，为的前项和，且． (1)求的通项公式； (2)设，记的前项和为，求证：． 【类题演练1】（2023·海南省直辖县级单位·文昌中学校考模拟预测）已知数列的前项和，且. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【类题演练2】（2024河北三模）设数列的前n项和为，已知，，． (1)证明：数列是等差数列； (2)记，为数列的前n项和，求． 【类题演练3】已知是数列的前项和，满足，且. (1)求； (2)若，求数列的前项和. 【类题演练4】（2024·陕西安康·模拟预测）已知数列满足. (1)证明：数列是等差数列； (2)设，求的前n项和. 错位相减法 例9（2024·全国·高考真题）记为数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【类题演练1】（2024·四川内江·三模）已知等差数列的公差为4，且，，成等比数列，数列的前n项和为，且. (1)求数列、的通项公式； (2)设，求数列的前n项和. 【类题演练2】（24-25高三上·全国·单元测试）已知数列满足． (1)求的通项公式； (2)求的前项和． 【类题演练3】（2024·河南·三模）已知等差数列满足，． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 三角函数型 例10 （2024·陕西宝鸡·三模）已知数列是公差不为0的等差数列，，且成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前2024项和． 【类题演练1】（2024·山东菏泽·二模）定义二元函数，同时满足：①；②；③三个条件． (1)求的值； (2)求的解析式； (3)若．比较与0的大小关系，并说明理由． 附：参考公式 【类题演练2】（2023·安徽安庆·模拟预测）已知. (1)求； (2)证明：是等差数列，并求出； (3)设，求的前项和. 新定义问题 例11 （23-24高二下·河南南阳·期末）意大利人斐波那契在1202年写的《算盘书（Libe rAbaci）》中提出一个兔子繁殖问题：假设一对刚出生的小兔一个月后能长成大兔，再过一个月便能生下一对小兔，此后每个月生一对小兔，这种成长与繁殖过程会一直持续下去.设第个月的兔子对数为，则，观察数列的规律，不难发现，，我们称该数列为斐波那契数列. (1)若数列是斐波那契数列，求出和的值，并证明. (2)若数列是斐波那契数列，且，求证：数列是等比数列； (3)若数列是斐波那契数列，在（2）的条件下，求数列的前项和. 【类题演练】（23-24高二下·吉林·期末）对任意正整数，定义的丰度指数，其中为的所有正因数的和． (1)求的值： (2)若，求数列的前项和 (3)对互不相等的质数，证明：，并求的值． 一、单选题 1．（2024·甘肃张掖·三模）已知为等差数列的前项和，，则（    ） A．60 B．120 C．180 D．240 2．（2024高三·上海·专题练习）已知函数，若等比数列满足，则（    ） A．2020 B． C．2 D． 3．（2023·黑龙江佳木斯·三模）复数的虚部是（    ） A．1012 B．1011 C． D． 4.（2024·全国·模拟预测）已知数列的前项和为.若，则（    ） A．110 B．115 C．120 D．125 5．（2024·重庆·模拟预测）已知数列满足：，则（    ） A．511 B．677 C．1021 D．2037 6．（2024·全国·模拟预测）已知数列满足，其前n项和为，则使得成立的n的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 7.（24-25高二上·全国·课后作业）已知等差数列中，，，则数列的前2023项和为（   ） A．1012 B．1011 C．2023 D． 8．（23-24高三上·云南曲靖·阶段练习）已知数列是公比为q（）的正项等比数列，且，若，则（    ） A．4069 B．2023 C．2024 D．4046 二、多选题 9．（2024·吉林·模拟预测）已知在公差不为0的等差数列中，是与的等比中项，数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高三上·云南·阶段练习）已知和，数列和的公共项由小到大组成数列，则（    ） A． B．不是等比数列 C．数列的前项和 D．数列的前项和 11.（2024·浙江·三模）利用不等式“，当且仅当时，等号成立”可得到许多与n（且）有关的结论，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（23-24高二下·辽宁鞍山·阶段练习）在等差数列中，，，为数列的前项和，则 ． 13．（2024·陕西·模拟预测）已知数列的前项和为，且，则数列的则前项和 . 14．（2024高三·全国·专题练习）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学王子．他年幼时，在的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律而生成．此方法也称为高斯算法．现有函数，设数列满足，若存在使不等式成立，则的取值范围是 ． 四、解答题 15．（2024高三·全国·专题练习）设等差数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝－7，S3＝－15.求： (1)Sn及Sn的最小值； (2)数列{|an|}的前n项和Tn. 16．（2024·陕西渭南·二模）已知等比数列的各项均为正数，前n项和为，且满足，. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前2n项和. 17.（2024·江西·模拟预测）记为等差数列的前项和，已知，. (1)求的通项公式； (2)记，求数列的前30项的和. 18.（2024·河南周口·模拟预测）记为正项等比数列的前项和，已知，，. (1)求数列的通项公式； (2)设，为数列的前项和，证明：. 19．（2024·浙江·三模）已知等比数列和等差数列，满足，，，． (1)求数列，的通项公式； (2)记数列的前项和为，数列的前项和为．证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数列的求和 1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式. 2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常用方法． 公式法 对于等差数列、等比数列等特殊数列，可以利用等差数列、等比数列的求和公式直接求和. 例1（1）（2024·贵州贵阳·二模）记等比数列的前项和为，则（    ） A．121 B．63 C．40 D．31 【答案】A 【分析】利用等比数列的下标和性质求得，进而利用等比数列的通项公式求得，再利用等比数列的求和公式即可得解. 【详解】根据题意，设等比数列的公比为， 若，则有，得， 又由，则，解得， 故， 则. 故选：A. （2）（2024·内蒙古包头·一模）已知等差数列中，，，设，则（    ） A．245 B．263 C．281 D．290 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出等差数列的公差及通项公式，判断正数、负数项，再求出. 【详解】等差数列中，由，，得公差， 则，显然当时，，当时，， 所以 . 故选：C 【类题演练1】（2024·新疆喀什·三模）已知等差数列满足，记的前项和为，则（    ） A．18 B．24 C．27 D．45 【答案】D 【分析】根据等差中项可得，即可由等差数列求和公式求解. 【详解】由可得， 所以， 故选：D 【类题演练2】（23-24高三上·浙江绍兴·期末）已知数列的前n项和为.若为等差数列，且满足，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题意求出的通项公式，可求得，再由与的关系求出； （2）由的通项公式，知，分和讨论，并利用等差数列前n项和公式求解. 【详解】（1）由题意，设等差数列的公差为，又，， ，， ， ，则，， ，又， ，. （2）由（1）得，， 当时，， 当时， ， . 倒序相加法 如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解． 例2．（2024·上海·模拟预测）已知，数列的前项和为，点均在函数的图象上. (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前2024项和. 【答案】(1) (2)1012 【分析】（1）由题意得，再利用可求出， （2）先求得，，然后利用倒序相加法可求得结果. 【详解】（1）因为点均在函数的图象上， 所以， 当时，，即， 当时， ， 因为满足上式， 所以； （2）因为， 所以， 因为，所以， 所以 ①， 又 ②， ①+②，得， 所以. 【类题演练1】（24-25高三上·广东·开学考试）若，数列的前项和为，且，，则（    ） A．76 B．38 C．19 D．0 【答案】A 【分析】由题意可知函数关于对称，然后再通过，求解数列的通项，进而求解. 【详解】因为， 所以 所以的图象关于点对称， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 又，， 所以，， 所以，所以， 所以，， 所以. 故选:A. 【类题演练2】（2024·湖南衡阳·模拟预测）数列的综合求和方法有：错位相减法，裂项相消法，分组求和法及倒序相加法.在组合数的计算中有如下性质：，.应用上述知识，计算 . 【答案】 【分析】令，结合得到，倒序相加求出答案. 【详解】令， 则有， 结合可有， 倒序相加法得， ，， 即. 故答案为：. 【类题演练3】（23-24高三下·海南海口·阶段练习）设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.已知：任何三次函数都有拐点，又有对称中心，且拐点就是对称中心.设，数列的通项公式为，则 . 【答案】8 【分析】由题意对已知函数求两次导数可得图象关于点对称，即，即可得到结论． 【详解】， ， ， 令，解得：， 而， 故函数关于点对称， ， ， ，， ， 同理可得，，， ， 故答案为：8. 并项法 若数列的相邻两项的和是常数或特殊数列时，可采用并项法，并项法的本质是转化思想的应用. 例3 （2024·陕西宝鸡·三模）已知数列是公差不为0的等差数列，，且成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前2024项和． 【答案】(1) (2)1012 【分析】（1）由等差数列、等比数列基本量的计算求得即可； （2）得到表达式后，发现（），故由分组求和法即可求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由题意可知，，即，解得， 所以； （2）由（1）可知，， 对于任意，有， 所以， 故数列的前2024项和为 ． 【类题演练1】（23-24高二下·北京·期中）在数列中，，且，则其前项的和为（    ） A．841 B．421 C．840 D．420 【答案】A 【分析】设数列的前项和为，则，利用等差数列求和公式计算可得. 【详解】设数列的前项和为，因为，且， 则 . 故选：A 【类题演练2】（2024·辽宁·模拟预测）已知数列的前项和为，且． (1)证明：是等比数列，并求其通项公式； (2)设，求数列的前100项和． 【答案】(1)证明见解析，． (2)100. 【分析】（1）利用给定的递推公式，结合及等比数列定义推理得证，再求出通项公式. （2）利用（1）的结论求出，再利用分组求和法计算即得. 【详解】（1）数列中，，当时，，两式相减得， 而，解得，所以是首项为2，公比为5的等比数列， 通项公式为. （2）由（1）知，， 所以 ． 【类题演练3】（2024·河南·三模）在等比数列中，，且，，成等差数列． (1)求的通项公式； (2)设，数列的前n项和为，求满足的k的值． 【答案】(1)； (2)40或37． 【分析】（1）利用等比数列的通项公式，结合等差中项的意义求出公比及首项作答. （2）由（1）的结论求出，再分奇偶求和作答. 【详解】（1）设的公比为q，由，得，解得， 由，，成等差数列，得，即，解得， 所以数列的通项公式是． （2）由（1）知，，， 当k为偶数时，，令，得； 当k为奇数时，，令，得， 所以或37. 分组求和 若数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减. 若数列的通项公式是分段的形式，往往也用分组求和的方法. 例4（2024·全国·高考真题）已知等比数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首项后可求通项； （2）利用分组求和法即可求. 【详解】（1）因为,故， 所以即故等比数列的公比为， 故，故，故. （2）由等比数列求和公式得， 所以数列的前n项和 . 【类题演练1】（2024·河北张家口·三模）已知数列的前n项和为，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分奇数项和偶数项求递推关系，然后记，利用构造法求得，然后分组求和可得. 【详解】因为， 所以，，且， 所以， 记，则，所以， 所以是以为首项，2为公比的等比数列， 所以，， 记的前n项和为，则. 故选：A 【类题演练2】（2024·山东·二模）已知数列，中，，，是公差为1的等差数列，数列是公比为2的等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据题意及等差数列的通项公式计算出数列的通项公式，再根据等比数列的通项公式计算出数列的通项公式，即可计算出数列的通项公式； （2）根据数列的通项公式的特点运用分组求和法，以及等差数列和等比数列的求和公式即可计算出前项和． 【详解】（1）由题意，可得， 故，， 数列是公比为2的等比数列，且， ， ，． （2）由题意及（1），可得， 则 ． 【类题演练3】（2024·全国·二模）已知数列的前n项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和为. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，作差得到，从而得到，再由等差数列的定义及通项公式计算可得 （2）由（1）可得，利用分组求和法计算可得. 【详解】（1）因为， 即， 当时，解得或（舍去）， 当时， 所以， 即， 即，即， 又，所以，即， 所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以. （2）由（1）可得， 所以 . 裂项相消法 形如（k为非零常数）型 例5（2024·广东·二模）数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）利用累加法结合等差数列求和公式即可得解； （2）直接用裂项相消法即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 又 因此是以为首项，1为公差的等差数列， 设的前n项和为，则， 又由， 得，， 当时，经检验也满足， ∴． （2） ． （3） 因此． 【类题演练1】（2024·陕西榆林·模拟预测）已知等差数列的公差不为0，其前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意列方程组算出即可； （2）由裂项相消法求解即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为，则，解得，． ∴． （2）由（1）知，， ∴， ∴． 【类题演练2】（2024·新疆喀什·三模）已知数列的首项，且满足（）． (1)求证：数列为等比数列； (2)记，求数列的前项和，并证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析 【分析】（1）由等比数列的定义即可求证， （2）由裂项相消法求和，即可求解,根据单调性，即可求证. 【详解】（1）由得， 又，所以是首项为2，公比为2的等比数列． （2）由（1）知，，所以 所以， 当时，单调递增，故． 【类题演练3】（2025·全国·高三专题练习）已知数列满足． (1)证明为等差数列，并的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【解析】（1）证明：因为，所以，即 所以是以为首项，为公差的等差数列，则， 所以； （2） . 【类题演练4】已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列. （1）求数列{an}的通项公式； （2）令，求数列{bn}的前n项和Tn. 【解析】：（1）因为S1＝a1，S2＝2a1＋×2＝2a1＋2， S4＝4a1＋×2＝4a1＋12. 由题意得（2a1＋2）2＝a1（4a1＋12），解得a1＝1， 所以an＝2n－1. （2）bn＝（－1）n－1＝（－1）n－1＝（－1）n－1. 当n为偶数时，Tn＝－＋…＋－＝1－＝. 当n为奇数时，Tn＝－＋…－＋＝1＋＝. 所以Tn＝. 形如（k为非零常数）型 例6　已知函数f（x）＝xα的图象过点（4，2），令an＝，n∈N*，记数列{an}的前n项和为Sn，则S2 023＝　　　　.  【答案】　2－1 【解析】　由函数f（x）＝xα的图象过点（4，2）得2＝4α，α＝，所以f（x）＝，an＝＝－.故S2 023＝（－1）＋（－）＋…＋（－）＝2－1. 【对点演练1】数列{an}的通项公式是an＝，前n项和为9，则n等于(　　) A.9 B.99 C.10 D.100 【答案】　B 【解析】　因为an＝＝－， 所以Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(－)＋(－)＋…＋(－)＋(－)＝－1， 令－1＝9，得n＝99. 形如（k为非零常数）型 例7 （2024·福建龙岩·三模）若数列是公差为1的等差数列，且，点在函数的图象上，记数列的前项和为. (1)求数列的通项公式; (2)设，记数列的前项和为，证明:. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）根据等差数列基本量的计算即可求解，代入到中即可求解， （2）利用裂项求和即可求解. 【详解】（1）由得，， 点在函数的图象上， （2）,显然数列为等比数列，首项为1，公比为3，则， . 【类题演练1】（2024·山东烟台·三模）在数列中，已知，. (1)求数列的通项公式； (2)若，为数列的前n项和，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）构造等比数列数列即可求得通项公式； （2）代入（1）中的通项公式可得，再根据，结合累加求和证明即可. 【详解】（1）由可得，则，即， 故是以为首项，为公比的等比数列. 故，则，. （2）. 易得，故. 又， 故 . 综上有，即得证. 【类题演练2】已知为数列的前项和，． (1)求数列的通项公式； (2)设，记的前项和为，证明：． 【解析】（1）当时，，则， 因为， 所以， 两式相减得： ， 所以，， ，，则，即也适合上式， 所以是以5为首项，公比为2的等比数列， 故：， 故； （2）由（1）得 ， 故 ， 当时，，故. 形如（k为非零常数）型 例8 （24-25高三上·广东·开学考试）已知数列的各项均为正数，为的前项和，且． (1)求的通项公式； (2)设，记的前项和为，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由题意知，当时，，代入题干表达式可得，通过计算数列的通项公式即可计算出前项和的表达式，最后结合公式，即可计算出数列的通项公式； （2）由（1）计算出数列的通项公式，再运用裂项相消法计算出前项和的表达式，最后根据不等式的性质即可证明结论成立． 【详解】（1）由，得，即； 又， 所以是以1为首项，2为公差的等差数列， 所以，又是正项数列，所以． 当时，， 又当时，不符合时的形式． 所以 （2）证明： ， ． 【类题演练1】（2023·海南省直辖县级单位·文昌中学校考模拟预测）已知数列的前项和，且. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【解析】（1）当时，， 当时， 因为对也成立. 所以，所以数列是等差数列， 则公差， 故. （2）因为， 所以， 故. 【类题演练2】（2024河北三模）设数列的前n项和为，已知，，． (1)证明：数列是等差数列； (2)记，为数列的前n项和，求． 【解析】（1）因为， 所以，即 所以 （为常数）， 所以数列是等差数列． （2）由（1）知，即. 所以， 所以为公比为的等比数列， 又， 所以， 因为， 所以， 所以数列的前项和为： ． 【类题演练3】已知是数列的前项和，满足，且. (1)求； (2)若，求数列的前项和. 【解析】（1）因为，显然， 所以，即， 所以 ， 所以，又当时，也满足，所以. （2）由（1）知，则当时，， 又也满足，所以， 则， 则. 【类题演练4】（2024·陕西安康·模拟预测）已知数列满足. (1)证明：数列是等差数列； (2)设，求的前n项和. 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）利用等差数列的定义即可证明； （2）根据（1）问，求出数列的通项公式，从而求得数列的通项公式，进而可求得数列的通项公式，最后利用裂项相消求和法求得 【详解】（1）证明：令，又，则有 ， 又，所以 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列 （2）由（1）知，， 又，所以， 所以， 所以 错位相减法 例9（2024·全国·高考真题）记为数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用退位法可求的通项公式． （2）利用错位相减法可求. 【详解】（1）当时，，解得． 当时，，所以即， 而，故，故， ∴数列是以4为首项，为公比的等比数列， 所以. （2）, 所以 故 所以 ， . 【类题演练1】（2024·四川内江·三模）已知等差数列的公差为4，且，，成等比数列，数列的前n项和为，且. (1)求数列、的通项公式； (2)设，求数列的前n项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由已知结合等比数列的性质求解等差数列的首项，即可求解，由得，两式相减得，再验证，最后利用等比数列的定义求解即可. （2）利用错位相减法求解数列的和即可. 【详解】（1）依题意，设等差数列的首项为，因为，，成等比数列， 所以，又，即，解得， 故， 由已知，故， 两式相减，得， 又，解得，所以， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，故. （2）由（1）得， 故， 则， 两式相减得 ， 故. 【类题演练2】（24-25高三上·全国·单元测试）已知数列满足． (1)求的通项公式； (2)求的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由整理得，故为常数列，由题得，整理后即可求解. （2）由错位相减法和分组求和法即可求解. 【详解】（1）由， 得， 故，由此可得为常数列， 又，则， 即． （2）由（1）知， 由等差数列求和公式，知，记， 记， 则， 两式相减得， 故， 所以的前项和. 【类题演练3】（2024·河南·三模）已知等差数列满足，． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列通项公式计算得出通项； （2）应用错位相减法求出数列的和. 【详解】（1）设等差数列的公差为d， 由题意可得，解得， 所以． （2）设， 所以， 所以， 两式相减得，， 所以，所以． 三角函数型 例10 （2024·陕西宝鸡·三模）已知数列是公差不为0的等差数列，，且成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前2024项和． 【答案】(1) (2)1012 【分析】（1）由等差数列、等比数列基本量的计算求得即可； （2）得到表达式后，发现（），故由分组求和法即可求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由题意可知，，即，解得， 所以； （2）由（1）可知，， 对于任意，有， 所以， 故数列的前2024项和为 ． 【类题演练1】（2024·山东菏泽·二模）定义二元函数，同时满足：①；②；③三个条件． (1)求的值； (2)求的解析式； (3)若．比较与0的大小关系，并说明理由． 附：参考公式 【答案】(1)5；11 (2) (3)大小关系及理由见解析 【分析】（1）利用条件②代入可求，利用条件③代入可求； （2）利用累加法可得； （3）由（2），可得，所以， 则可得，根据裂项相消法得，讨论的范围即可求解. 【详解】（1）由条件②可得； 由条件③可得． （2）由条件②）可得： ， ， ， 将上述个等式相加，得； 由条件③可得： ， ， 将上述个等式相加，得． （3）由（2），所以， 则， 则 ， 当且仅当时，，上式取得等号， 即时，均有， 所以，当时，； 当时，； 当时，，所以． 【类题演练2】（2023·安徽安庆·模拟预测）已知. (1)求； (2)证明：是等差数列，并求出； (3)设，求的前项和. 【答案】(1)； (2)证明见解析，； (3) 【分析】（1）根据数列递推公式计算即可； （2）根据等差数列定义即可证明，根据等差数列通项公式计算可得数列通项公式； （3）由，根据裂项相消计算即可. 【详解】（1）. （2），故是以1为首项1为公差的等差数列.故. （3）因为，所以 新定义问题 例11 （23-24高二下·河南南阳·期末）意大利人斐波那契在1202年写的《算盘书（Libe rAbaci）》中提出一个兔子繁殖问题：假设一对刚出生的小兔一个月后能长成大兔，再过一个月便能生下一对小兔，此后每个月生一对小兔，这种成长与繁殖过程会一直持续下去.设第个月的兔子对数为，则，观察数列的规律，不难发现，，我们称该数列为斐波那契数列. (1)若数列是斐波那契数列，求出和的值，并证明. (2)若数列是斐波那契数列，且，求证：数列是等比数列； (3)若数列是斐波那契数列，在（2）的条件下，求数列的前项和. 【答案】(1)，证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）直接按照斐波那契数列的定义来求解即可； （2）结合斐波那契数列的定义、等比数列的定义直接证明即可； （3）首先得出，思路一：直接由等比数列求和公式即可求解；思路二：由累加法求和即可得解；思路三：由裂项求和法即可得解. 【详解】（1）. ； （2）因为， 所以 . ，即， 即，所以是以为首项，为公比的等比数列. （3）由（2）得. 即， 令，化简得， ， 因为，所以， 即是以为首项，为公比的等比数列， 故， 即； 法一： ； 法二：由得， ， ， ， ， 累加得，， 即， 所以，. 法三： 利用 .. 【点睛】关键点点睛：第三问的关键是得出，由此即可顺利得解. 【类题演练】（23-24高二下·吉林·期末）对任意正整数，定义的丰度指数，其中为的所有正因数的和． (1)求的值： (2)若，求数列的前项和 (3)对互不相等的质数，证明：，并求的值． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析， 【分析】（1）先找出的所有正因数，再根据题设定义，即可求解； （2）由题设定义，结合的正因数，求出，再由分组求和与错位相减法，即可求出结果； （3）先分别求出及的正因数，由丰度指数的定义，证明，再利用结论求解即可. 【详解】（1）因为的所有正因数为，所以，得到. （2）因为共有个正因数，它们为， 所以，得到， 所以， 令①，则②， 由①②得到， 所以， 故. （3）因为是互不相等的质数，则的正因数有个，它们是， 的正因数均为个，分别为和， 的正因数有个，分别为， 所以， ， 因为，所以. 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的．遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决． 一、单选题 1．（2024·甘肃张掖·三模）已知为等差数列的前项和，，则（    ） A．60 B．120 C．180 D．240 【答案】B 【分析】根据等差数列的性质和前项和公式运算. 【详解】因为，根据等和性可得， 则， 故选：B 2．（2024高三·上海·专题练习）已知函数，若等比数列满足，则（    ） A．2020 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】利用等比数列的性质，结合已知条件，利用倒序相加法，求和即可． 【详解】等比数列满足，则， 函数， ， 所以， 所以． 故选：A． 3．（2023·黑龙江佳木斯·三模）复数的虚部是（    ） A．1012 B．1011 C． D． 【答案】D 【分析】由错位相减法化简复数后再由复数的运算和复数的几何意义求出结果即可. 【详解】因为， ， 所以，① 因为，所以，， 所以化简①可得， 所以虚部为， 故选：D. 4.（2024·全国·模拟预测）已知数列的前项和为.若，则（    ） A．110 B．115 C．120 D．125 【答案】B 【分析】法一，当时，，两式相减可证明中奇数项成等差数列，偶数项成等差数列，公差均为4，由等差数列的前项和公式求解即可；法二：由题意可得，数列是以7为首项，8为公差的等差数列，由等差数列的前项和公式求解即可. 【详解】法一：①，当时，②， ①②得当时，， 中奇数项成等差数列，偶数项成等差数列，公差均为4. ，当为奇数时，； 当为偶数时，. . 法二： ，，， 数列是以7为首项，8为公差的等差数列， . 故选：B. 5．（2024·重庆·模拟预测）已知数列满足：，则（    ） A．511 B．677 C．1021 D．2037 【答案】B 【分析】由题意可得，，结合所给条件计算即可得. 【详解】 . 故选：B. 6．（2024·全国·模拟预测）已知数列满足，其前n项和为，则使得成立的n的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】D 【分析】由数列递推式，整理构造出等差数列，求得通项，再利用错位相减法求得，最后代入不等式求解即得. 【详解】因为， 所以． 两边同乘得，， 又因为，即， 所以是首项为1，公差为1的等差数列， 所以，则． 则， ， 两式相减得，， ， 所以， 则由可得，， 解得，则n的最小值为11． 故选：D． 7.（24-25高二上·全国·课后作业）已知等差数列中，，，则数列的前2023项和为（   ） A．1012 B．1011 C．2023 D． 【答案】D 【分析】先利用等差数列的基本量运算求出，然后利用并项求和法求解即可. 【详解】设数列的公差为d，则解得 所以，设， 所以，，…， 所以数列的前2023项和为. 故选：D 8．（23-24高三上·云南曲靖·阶段练习）已知数列是公比为q（）的正项等比数列，且，若，则（    ） A．4069 B．2023 C．2024 D．4046 【答案】D 【分析】由等比数列的性质可得，由，可得，故有，即可计算. 【详解】由数列是公比为q（）的正项等比数列，故， ，故， 即有， 由，则当时， 有， 故， 故， 故. 故选：D. 二、多选题 9．（2024·吉林·模拟预测）已知在公差不为0的等差数列中，是与的等比中项，数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】先由等差数列的条件求得通项公式，进而求得，，可判断AC，再根据，的正负情况判断BD. 【详解】设等差数列的公差为，则，， ，因为是与的等比中项，所以， 即，解得或，又因为，所以， 所以，故A正确； ， 令，则，又因为，所以，此时， 即只有时，且，除此之外， 所以成立，故B正确； ，故C错误； 因为只有时，，除此之外，所以的最小值为， 又时，，所以的最大值为， 所以成立，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题求解，，都比较常规，关键点在于由的正负特征推出的最值，从而判断出BD. 10．（24-25高三上·云南·阶段练习）已知和，数列和的公共项由小到大组成数列，则（    ） A． B．不是等比数列 C．数列的前项和 D．数列的前项和 【答案】AD 【分析】由题意，根据等比数列的定义和通项公式可得，即可判断AB；由，结合裂项相消求和法计算即可判断C；由，结合错位相减法计算即可判断D. 【详解】由，易知是以2为首领，4为公比的等比数列， ，则，故A正确，B错误； C：， 所以，故C错误； D：， 所以， ， 两式相减得， ， ，而，则，故D正确； 故选：AD. 【点睛】思路点睛：根据的通项公式确定的通项公式，结合裂项相消求和法和错位相减法计算求解即可. 11.（2024·浙江·三模）利用不等式“，当且仅当时，等号成立”可得到许多与n（且）有关的结论，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】对于A：令，代入可得，运算整理即可；对于B：可得，令，可得，运算整理即可；对于C：取特值检验即可；对于D：令，可得，结合等比数列求和公式分析证明. 【详解】对于不等式，当且仅当时，等号成立， 对于选项A：令，则， 可得， 其中 ， 所以，A正确； 对于选项B：将x替换为，可得，当且仅当时等号成立． 令，可得，整理可得， 故， 即， 所以，故B正确； 对于选项C：令，可得，即， 这显然不成立，故C错误； 对于选项D：等价于证明， 将中的x替换为，其中，，则，即， 可得，当且仅当时，等号成立， 则， 所以，故D正确． 故选：ABD． 【点睛】方法点睛：对于已知不等式证明不等式的问题，常常利用代换的思想，结合数列求和进而放缩证明. 三、填空题 12．（23-24高二下·辽宁鞍山·阶段练习）在等差数列中，，，为数列的前项和，则 ． 【答案】112 【分析】设等差数列的公差为，依题意得到关于、的方程组，求出、，即可求出通项公式，再利用分组求和法计算可得. 【详解】设等差数列的公差为， 由，， 所以，解得，所以， 令，解得， 所以， 所以 . 故答案为： 13．（2024·陕西·模拟预测）已知数列的前项和为，且，则数列的则前项和 . 【答案】 【分析】根据作差得到，再求出，即可求出的通项公式，再利用错位相减法求和. 【详解】由，得， 所以，化简得， 又当时，，解得， 所以数列是等比数列，且公比，首项， 所以， 所以， 故①， 把①得：②， ①②得：③， ③得：④， ③④得： . 故答案为：. 14．（2024高三·全国·专题练习）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学王子．他年幼时，在的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律而生成．此方法也称为高斯算法．现有函数，设数列满足，若存在使不等式成立，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先计算出的图象关于点中心对称，利用倒序相加求出，从而得到，结合对勾函数的单调性得到，求出的取值范围. 【详解】因为 ， 所以的图象关于点中心对称． 因为， 所以， 两式相加得，所以． 由，得， 所以． 令，则当时，单调递减； 当时，单调递增． 又，所以， 所以，即的取值范围是． 故答案为： 四、解答题 15．（2024高三·全国·专题练习）设等差数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝－7，S3＝－15.求： (1)Sn及Sn的最小值； (2)数列{|an|}的前n项和Tn. 【答案】(1)Sn＝（n－4）2－16，最小值为－16 (2) 【详解】解： （1） 设等差数列{an}的公差为d. 由题意，得S3＝3a1＋3d＝－15.由a1＝－7，得d＝2. 所以{an}的通项公式为an＝2n－9， 所以Sn＝n2－8n＝（n－4）2－16. 所以当n＝4时，Sn取得最小值，最小值为－16. （2） 当1≤n≤4时，an＜0；当n≥5时，an＞0， 所以当1≤n≤4时，Tn＝＝－n2＋8n； 当n≥5时，Tn＝16＋＝n2－8n＋32. 综上，Tn＝ 16．（2024·陕西渭南·二模）已知等比数列的各项均为正数，前n项和为，且满足，. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前2n项和. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，借助等比数列的通项公式求出公比及首项即可. （2）由（1）的结论，利用分组求和法，结合等比数列前n项和公式求解即得. 【详解】（1）设等比数列的公比为，由及， 得， 解得，于是，即， 所以数列的通项公式是. （2）由（1）知，， 所以 . 17.（2024·河南周口·模拟预测）记为正项等比数列的前项和，已知，，. (1)求数列的通项公式； (2)设，为数列的前项和，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设等比数列的公比为，结合等比数列求和公式可得，即可得结果； （2）由（1）得，，利用错位相减法可得，进而分析证明. 【详解】（1）设等比数列的公比为，由可知，， 则，得，解得（负值舍去）， 将代入，解得， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）得，， 则，可得， 两式相减可得 ， 可得. 因为，可知数列为递增数列，则； 综上可得. 16．（2024·浙江·三模）已知等比数列和等差数列，满足，，，． (1)求数列，的通项公式； (2)记数列的前项和为，数列的前项和为．证明：． 【答案】(1)，． (2)证明见解析 【分析】（1）设的公比为，等差数列的公差为，依题意得到方程组，解得、，即可得解； （2）由（1）可得，利用错位相减法求出，即可得到，再由分组求和及裂项相消法计算可得. 【详解】（1）等比数列满足，，所以单调递增， 设的公比为，等差数列的公差为，依题意可得， 解得或（舍去）， 所以，． （2）由（1）可得， 所以 所以， 故， 又，， 即， 所以 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$