（小升初高频易错）容斥原理（讲义）-2023-2024学年六年级下册数学北师大版

容斥原理 第一部分【知识考点归纳】 【知识点归纳】 容斥原理1：两量重叠问题 A类与B类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数 用符号可表示成：A∪B＝A+B﹣A∩B （其中符号“∪”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思，符号“∩”读作“交”，相当于中文“且”的意思）． 容斥原理2：三量重叠问题 A类、B类与C类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素个数+C类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数﹣既是B类又是C类的元素个数﹣既是A类又是C类的元素个数+同时是A类、B类、C类的元素个数． 用符号表示为：A∪B∪C＝A+B+C﹣A∩B﹣B∩C﹣A∩C+A∩B∩C 【注意事项】 1、理解概念 清楚“容斥”的含义，即先“容纳”所有的数量，再“排斥”重复计算的部分。 2、仔细分辨集合 明确题目中所涉及的不同集合，以及它们之间的关系。 注意集合之间是完全独立，还是存在交叉重叠。 3、避免重复和遗漏 在计算时，要确保每个元素都被准确计算，既不重复计算，也不遗漏。 4、分步计算 对于复杂的问题，可以分步骤计算每个集合的数量，以及它们之间的交集。 先分别计算单个集合的元素个数，再计算交集的元素个数。 5、画图辅助 绘制韦恩图（集合图）可以更直观地展示集合之间的关系。 帮助清晰思路，减少错误。 6、检查计算 计算完成后，代入题目条件进行检查，看结果是否符合题意。 特别注意计算交集时是否准确。 第二部分【经典例题分析】 【典例1】用125块体积相等的黑白两种正方体，黑白相间的拼成一个大正方体（如下图），那么露在表面上的黑色正方体的个数是多少？ 【答案】50个 【分析】对此类问题，一般是分类来逐步求出每一部分的个数，或者利用容斥原理来解题：即由每个面的黑格数乘6再减去多算的几个黑方块． 【详解】解法一：八个顶点共有1×8=8（个）黑方块；十二条棱中间共有1×10=12（个）黑方块；六个面中间共有5×6=30（个）黑方块．所以，露在表面上的黑色正方体的个数是8+12+30=50（个）． 解法二：如果一个黑格子是一个黑正方体，则有13×6=78（个），但八个顶点的八个黑正方体被计算了三遍，十二条棱中间的十二个黑正方体被计算了两遍．所以露在表面上的黑色正方体的个数有78-8×2-12=78-16-12=50（个）． 【典例2】三（1）班同学组织秋游，人人带了水或饮料．带饮料的有28人，带矿泉水的有35人，矿泉水和饮料都带的有19人．三（1）班参加秋游的一共有多少人？ 【答案】44人 【分析】由题意，用28+35求出至少带一种的同学的总人数，再减去矿泉水和饮料都带的人数就是参加秋游的总人数；据此解答． 【详解】28+35﹣19 =63﹣19 =44（人） 答：三（1）班参加秋游的一共有44人． 故答案为44人． 【典例3】三（1）班的20个女同学参加了少年宫的歌咏比赛和舞蹈比赛．其中有13人参加了歌咏比赛，15人参加了舞蹈比赛．这两项都参加的有多少人？ 【答案】8人 【分析】根据容斥原理，用歌咏比赛的13人与参加舞蹈比赛的15人的和，减去总人数20人即可． 【详解】13+15﹣20 =28﹣20 =8（人） 答：这两项都参加的有8人． 【典例4】三年级二班订《米老鼠》的有24人，订《智力大王》的有22人，全班每人至少订了这两种期刊中的一种，两种都订的有4人．三年级二班一共有多少人 【答案】42人 【分析】订《米老鼠》的有24人，订《智力大王》的有22人，则24+22=46人中有4人被加了两次，实际订报刊的人数是46﹣4=42人，也就是三年级二班一共有42人． 【详解】24+22﹣4 =46﹣4 =42（人） 答：三年级二班一共有42人． 第三部分【高频考题巩固】 1．在学校举办的运动会上，参加跳高和跳远的共有35人，其中参加跳高的有28人，参加跳远的有16人，两项都参加的有多少人？ 2．在一次考试中，甲、乙两人考试结果如下：甲答错了全部试题的，乙答错了7道题，甲、乙都答错的题目占全部试题的，则甲、乙两人都答对的题目最少多少道？ 3．光明小学组织棋类比赛，分成围棋、中国象棋和国际象棋三个组进行，参加围棋比赛的有人，参加中国象棋比赛的有人，参加国际象棋比赛的有人，同时参加了围棋和中国象棋比赛的有人，同时参加了围棋和国际象棋比赛的有人，同时参加了中国象棋和国际象棋比赛的有人，其中三种棋赛都参加的有人，问参加棋类比赛的共有多少人？ 4．某学校派出若干名学生参加体育竞技比赛，比赛一共只有三个项目，已知参加长跑、跳高、标枪三个项目的人数分别为10、15、20人，长跑、跳高、标枪每一项的的参加选手中人中都有五分之一的人还参加了别的比赛项目，求这所学校一共派出多少人参加比赛？ 5．在人参加的采摘活动中，只采了樱桃的有人，既采了樱桃又采了杏的有人，既没采樱桃又没采杏的有人，问：只采了杏的有多少人？ 6．某班有人，其中人爱打篮球，人爱打排球，人爱踢足球，人既爱打篮球又爱踢足球，人既爱打排球又爱踢足球，没有一个人三种球都爱好，也没有一个人三种球都不爱好。问：既爱打篮球又爱打排球的有几人？ 7．某班学生手中分别拿红、黄、蓝三种颜色的小旗，已知手中有红旗的共有人，手中有黄旗的共有人，手中有蓝旗的共有人。其中手中有红、黄、蓝三种小旗的有人。而手中只有红、黄两种小旗的有人，手中只有黄、蓝两种小旗的有人，手中只有红、蓝两种小旗的有人，那么这个班共有多少人？ 8．五一班有28位同学，每人至少参加数学、语文、自然课外小组中的一个。其中仅参加数学与语文小组的人数等于仅参加数学小组的人数，没有同学仅参加语文或仅参加自然小组，恰有6个同学参加数学与自然小组但不参加语文小组，仅参加语文与自然小组的人数是3个小组全参加的人数的5倍，并且知道3个小组全参加的人数是一个不为0的偶数，那么仅参加数学和语文小组的人有多少人？ 9．儿童节文艺汇演中，跳舞的有14人，合唱的有30人，参加这两项演出的一共有35人。两项都参加的有多少人？ 10．一次数学竞赛均是填空题，小明答错的恰是题目总数的，小亮答错5题，两人都答错的题目占总题数的。已知小明、小亮都答对的题目数超过了试题总数的一半，问他们都答对多少题？ 11．全班有个学生，其中人会骑自行车，人会游泳，人会滑冰，这三个运动项目没有人全会，至少会这三项运动之一的学生数学成绩都及格了，但又都不是优秀。若全班有个人数学不及格，那么： （1）数学成绩优秀的有几个学生？ （2）有几个人既会游泳，又会滑冰？ 12．某班组织象棋和军棋比赛，参加象棋比赛的有人，参加军棋比赛的有人，有人两项比赛都参加了，这个班参加棋类比赛的共有多少人？ 13．某次英语考试由两部分组成，结果全班有人得满分，第一部分有人做对，第二部分有人有错，问两部分都有错的有多少人？ 14．四（二）班有名学生，在一节自习课上，写完语文作业的有人，写完数学作业的有人，语文数学都没写完的有人。 （1）问语文数学都写完的有多少人？ （2）只写完语文作业的有多少人？ 15．一个长方形长厘米，宽厘米，另一个长方形长厘米，宽厘米，它们中间重叠的部分是一个边长厘米的正方形，求这个组合图形的面积。 16．某班共有人，参加美术小组的有人，参加音乐小组的有人，有人两个小组都参加了。这个班既没参加美术小组也没参加音乐小组的有多少人？ 17．芳草地小学四年级有人学钢琴，人学画画，人既学钢琴又学画画，问只学钢琴和只学画画的分别有多少人？ 18．实验小学四年级二班，参加语文兴趣小组的有人，参加数学兴趣小组的有人，有人两个小组都参加。这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？ 19．盛夏的一天，有个同学去冷饮店，向服务员交了一份需要冷饮的统计表：要可乐、雪碧、橙汁的各有人；可乐、雪碧都要的有人；可乐、橙汁都要的有人；雪碧、橙汁都要的有人；三样都要的只有人，证明其中一定有人这三种饮料都没有要。 20．50名同学面向老师站成一行。老师先让大家从左至右按1，2，3，…，49，50依次报数；再让报数是4的倍数的同学向后转，接着又让报数是6的倍数的同学向后转。问：现在面向老师的同学还有多少名？ 21．名学生参加数学和语文考试，其中语文得分分以上的人，数学得分分以上的人，两门都不在分以上的有人。问：两门都在分以上的有多少人？ 22．甲、乙、丙三个小组学雷锋，为学校擦玻璃，其中块玻璃不是甲组擦的，块玻璃不是乙组擦的，且甲组与乙组一共擦了块玻璃。那么，甲、乙、丙三个小组各擦了多少块玻璃？ 23．科技活动小组有人。在一次制作飞机模型和制作舰艇模型的定时科技活动比赛中，老师到时清点发现:制作好一架飞机模型的同学有人，制作好一艘舰艇的同学有人。每个同学都至少完成了一项制作。问两项制作都完成的同学有多少人？ 24．一根米长的木棍，从左端开始每隔2厘米画一个刻度，涂完后再从左端开始每隔3厘米画一个刻度，再从左端每隔5厘米画一个刻度，再从左端每隔7厘米画一个刻度，涂过按刻度把木棍截断，一共可以截成多少段小木棍？ 25．如图，三角形纸板、正方形纸板、圆形纸板的面积相等，都等于60平方厘米。阴影部分的面积总和是40平方厘米，3张板盖住的总面积是100平方厘米，3张纸板重叠部分的面积是多少平方厘米？ 26．如图，一张长厘米，宽厘米，另一个正方形边长为厘米，它们中间重叠的部分是一个边长为厘米的正方形，求这个组合图形的面积。 27．一次数学测验，甲答错题目总数的，乙答错3道题，两人都答错的题目是题目总数的。求甲、乙都答对的题目数。 28．对全班同学调查发现，会游泳的有人，会打篮球的有人。两项都会的有人，两项都不会的有人。这个班一共有多少人？ 29．一个班人，完成作业的情况有三种：一种是完成语文作业没完成数学作业；一种是完成数学作业没完成语文作业；一种是语文、数学作业都完成了。已知做完语文作业的有人；做完数学作业的有人。这些人中语文、数学作业都完成的有多少人？ 30．写有1到100编号的灯100盏，亮着排成一排，每一次把编号是3的倍数的灯拉一次开关，第二次把编号是5的倍数的灯拉一次开关，那么亮着的灯还有多少盏？ 31．将1～13这13个数字分别填入如图所示的由四个大小相同的圆分割成的13个区域中，然后把每个圆内的7个数相加，最后把四个圆的和相加，问：和最大是多少？ 32．60人中有的人会打乒乓球，的人会打羽毛球，的人会打排球，这三项运动都会的人有人，问：这三项运动都不会的最多有多少人？ 33．把长厘米和厘米的两根铁条焊接成一根铁条。已知焊接部分长厘米，焊接后这根铁条有多长？ 34．三个面积均为平方厘米的圆纸片放在桌面上（如图），三个纸片共同重叠的面积是平方厘米。三个纸片盖住桌面的总面积是平方厘米。问：图中阴影部分面积之和是多少？ 35．两张长厘米，宽厘米的长方形纸摆放成如图所示形状。把它放在桌面上，覆盖面积有多少平方厘米？ 36．如图所示，、、分别是面积为、、的三张不同形状的纸片，它们重叠在一起，露在外面的总面积为。若与、与的公共部分的面积分别为、，、、这三张纸片的公共部分为。求与公共部分的面积是多少？ 37．在阳光明媚的一天下午，甲、乙、丙、丁四人给100盆花浇水，已知甲浇了30盆，乙浇了75盆，丙浇了80盆，丁浇了90盆，请问恰好被3个人浇过的花最少有多少盆？ 38．六年级100名同学，每人至少爱好体育、文艺和科学三项中的一项。其中，爱好体育的55人，爱好文艺的56人，爱好科学的51人，三项都爱好的15人，只爱好体育和科学的4人，只爱好体育和文艺的17人。问：有多少人只爱好科学和文艺两项？只爱好体育的有多少人？ 39．实验二校一个歌舞表演队里，能表演独唱的有10人，能表演跳舞的有18人，两种都能表演的有7人。这个表演队共有多少人能登台表演歌舞？ 40．在阳光明媚的一天下午，甲、乙、丙、丁四人给100盆花浇水，已知甲浇了30盆，乙浇了75盆，丙浇了80盆，丁浇了90盆，请问恰好被1个人浇过的花最少有多少盆？ 41．A、B、C分别代表面积为12、28、16的三张不同形状的纸片，它们放在一起盖住的总面积为38，且A与B，B与C、C与A公共部分面积分别为8、7、6，求A、B、C三个图形公共部分（阴影部分）的面积。 42．某班学生都订了两份不同的报纸，订《数学报》的有32人，《作文报》的有40人，订《英语报》的有26人．问：同时订《数学报》《英语报》的有多少人？ 43．某年级的课外小组分为美术、音乐、手工三个小组，参加美术小组有20人，参加音乐小组有24人，参加手工小组有31人，同时参加美术和音乐两个小组有5人，同时参加音乐和手工两个小组有6人，同时参加美术和手工两个小组的有7人，三个小组都参加的有3人，这个年级参加课外小组的同学共有多少人？ 44．26人中．有13人喜欢打篮球，9人喜欢踢足球，12人喜欢打排球，有2人篮球、足球都喜欢，另有2人排球、足球都喜欢，但没有1人三种球都喜欢．问：有多少人喜欢打排球和篮球？ 45．在某个风和日丽的日子，个同学相约去野餐，每个人都带了吃的，其中个人带了汉堡，个人带了鸡腿，个人带了芝士蛋糕，有个人既带了汉堡又带了鸡腿，个人既带了鸡腿又带了芝士蛋糕。个人既带了汉堡又带了芝土蛋糕。问： （1）三种都带了的有几人？ （2）只带了一种的有几个？ 46．某班共有学生48人，其中27人会游泳，33人会骑自行车，40人会打乒乓球．那么，这个班至少有多少学生这三项运动都会？ 47．六一班有学生46人，其中会骑自行车的有19人，会游泳的有25人，既会骑车又会游泳的有7人，既不会骑自行车又不会游泳的有多少人？ 48．如图，有三个面积各为20平方厘米的圆纸片放在桌上．三个纸片共同重叠的面积是8平方厘米，三个纸片盖住桌面的总面积是36平方厘米．图中阴影部分的面积之和是多少平方厘米？ 49．六（1）班同学中有37人喜欢打乒乓球，26人喜欢打羽毛球，21人既爱打乒乓球又爱打羽毛球．全班喜欢打乒乓球或羽毛球的同学共有多少人？ 50．奥运会的会徽是五环图，一个五环图是由内直径为8厘米，外直径为10厘米的五个圆环组成，其中两两相交的小曲边四边形（阴影部分）的面积相等，已知五个圆环盖住的总面积是122.5平方厘米．求每个小曲边四边形的面积． 51．两个正方形的纸片盖在桌面上，位置与尺寸如图所示，则它们盖住桌面的面积是多少？（单位：厘米) 52．如图，一个长8厘米，宽6厘米的长方形与一个边长5厘米的正方形叠放在桌面上，求这两个图形盖住桌面的面积？ 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 第四部分【答案详解点评】 1．9人 【分析】根据题意可知，参加跳高和跳远的一共35人，跳高的有28人，跳远的有16人，参加跳高和跳远的总人数＝参加跳高的人数＋参加跳远的人数－两者都参加的人数，代入数据计算即可。 【详解】28＋16－35 ＝44－35 ＝9（人） 答：两项都参加的有9人。 【名师点评】本题主要考查重叠容斥问题，解决这类问题注意其中的重复部分，明确需要求的部分，从而找出解答方法。 2．道 【分析】根据容斥原理。甲答错、乙答对的题占全部试题的（），即；那么甲、乙都答对的题目是全部试题的（）减去乙答错的7道题目。可见全部试题越少，甲、乙都答对的题目就越少。则全部试题至少有15道，即可求出甲、乙两人都答对的题目最少有多少道。 【详解】3×5＝15（道） （道） 答：甲、乙两人都答对的题目最少6道。 【名师点评】解答本题时要注意：求都答对的题目“最少”有多少道，因此题目总数要取5和3的最小公倍数，再根据容斥原理即可求解。 3．人 【分析】先把参加围棋比赛的42人，参加中国象棋比赛的55人与参加国际象棋比赛的33人加起来，得到130人，把重复加一遍同时参加围棋和中国象棋的18人，同时参加围棋和国际象棋的10人与同时参加中国象棋和国际象棋的9人减去，但是，同时参加了三种棋赛的5人被加了3次，又被减了3次，其实并未计算在内，应当补上。 【详解】 （人） 答：参加棋类比赛的共有98人。 【名师点评】本题考查的是典型的三元容斥问题，解题的关键是区分每一部分的重叠次数。 4．人 【分析】由条件可知，参加长跑的人中有2人参加其它项目，参加跳高的人中有3人参加其它项目，参加标枪的人中有4人还参加别的项目，假设只参加长跑和跳高的人数为x，只参加长跑和标枪的人数为y，只参加标枪和跳高的有z人，三项都参加的有n人，列方程组求解。 【详解】解：（人），（人），（人）； 设只参加长跑和跳高的人数为x，只参加长跑和标枪的人数为y，只参加标枪和跳高的有z人，三项都参加的有n人。那么有以下方程组： 将3个等式相加则有2（x＋y＋z）＋3n＝9，由这个等式可以得到，n必须是奇数，所以，n只能是1或3、5、7……，如果n≥3时x、y、z中会出现负数。所以n＝1，这样可以求得x＝0，y＝1，z＝2.由此可得到这个学校一共派出了10＋15＋20－0－1－2－2×1＝40人。 答：这所学校一共派出40人参加比赛。 【名师点评】本题考查的是复杂的容斥问题，解方程组的时候利用到了人数的非负性。 5．人 【分析】如图，用长方形表示全体采摘人员46人，A圆表示采了樱桃的人数，B圆表示采了杏的人数，长方形中阴影部分表示既没采樱桃又没采杏的人数。 【详解】如图所示： 由图中可以看出，全体人员是至少采了一种的人数与两种都没采的人数之和，则至少采了一种的人数为： （人） 只采了杏的人数为： （人） 答：只采了杏的有15人。 【名师点评】本题考查的是容斥问题，可以先画韦恩图表示各个量之间的关系，然后再计算各部分的数量是多少。 6．人 【分析】把三种球都爱好的人数记作0个人，那么爱打篮球的26人加上爱打排球的17人，再加上爱踢足球的19人，减去既爱打篮球又爱踢足球、既爱打排球又爱踢足球、既爱打篮球又爱打排球的人数之和，再加上三种球都爱好的人数，得到的是总人数。 【详解】（人） 答：既爱打篮球又爱打排球的有7人。 【名师点评】本题考查的是三元容斥问题，对于三元容斥问题，关键是区分每一部分重复计算的次数。 7．人 【分析】如图，用A圆表示手中有红旗的，B圆表示手中有黄旗的，C圆表示手中有蓝旗的；如果用手中有红旗的、有黄旗的与有蓝旗的相加，发现手中只有红、黄两种小旗的各重复计算了一次，应减去，手中有三种颜色小旗的重复计算了二次，也应减去。 【详解】如图所示： （人） 答：这个班共有50人。 【名师点评】本题考查的是三元容斥问题，可以先画韦恩图表示出各部分的数量，重点是区分每一部分所计算的次数。 8．人 【分析】3个小组全参加的人数是一个不为0的偶数，且仅参加语文与自然小组的人数是3个小组全参加的人数的5倍，可以对3个小组全参加的人数进行假设，然后求出其它小组的人数；由于总人数是28人，那么如果3个小组全参加的人数大于或等于4，那么仅参加语文与自然小组的人数则大于等于20，而仅参加数学与自然小组的人有6个，这样至少应有30人，与题意矛盾，所以参加3个小组的人数为2。 【详解】参加3个小组的人数为2； （人） 仅参加语文与自然小组的人数为10人； （人） 仅参加数学与语文小组的人数和仅参加数学小组的人数一共是10人； （人） 仅参加数学和语文小组的有5人； 答：仅参加数学和语文小组的有5人。 【名师点评】本题考查的是三元容斥问题，可以画韦恩图表示各个量之间的关系，解题时可以进行假设。 9．9人 【分析】因为两种节目都参加的人数多计算了一次，所以求出参加跳舞和合唱的总人数，然后减去35人，就是两项都参加的人数，据此解答。 【详解】14＋30－35 ＝44－35 ＝9（人） 答：两项都参加的有9人。 【名师点评】此题是容斥问题，关键理解两项都参加的人数。 10．题 【分析】如图，根据题意小明答错的恰是题目总数的，两人都答错的题目占总题数的知试题总数为4的倍数也是6的倍数，所以试题数为12、24、36、48 ……；根据小亮错题为5题，两个人都错试题为知道试题数一定比题要少，但是根据都答对的题目数超过了试题总数的一半，知道试题总数为24。 【详解】如图所示： （题） （题） （题） （题） 答：他们都答对17题。 【名师点评】本题将分数应用题与容斥问题相结合，可以画图表示各部分的关系，方便理解问题。 11．（1）0人 （2）人 【分析】有6个数学不及格，那么及格的有19人，即最多不会超过19人会这三项运动之一，而又因为没人全会这三项运动，那么，最少也会有19人至少会这三项运动之一，于是，至少会三项运动之一的只能是19人，而这19人又不是优秀，说明全班25人中除了19人外，剩下的6名不及格，所以没有数学成绩优秀的；及格的19人中，每人都会两项运动：会骑车的一定有一部分会游泳，一部分会滑冰；会游泳的人中若不会骑车就一定会滑冰，而会滑冰的人中若不会骑车就一定会游泳，但既会游泳又会滑冰的人一定不会骑自行车。所以，全班有2既会游泳又会滑冰。 【详解】（1）（人） 有6人不及格； （人） 全班人中除了人外，剩下的名不及格，所以没有数学成绩优秀的； 答：数学成绩优秀的有0个学生。 （2）既会游泳又会滑冰的人一定不会骑自行车； （人） 答：有2个人既会游泳，又会滑冰。 【名师点评】本题考查的是三元容斥问题，并且要考虑及格和优秀这两种情况，求解起来要复杂很多。 12．人 【分析】如图，A圆表示参加象棋比赛的人，B圆表示参加军棋比赛的人，A与B重合的部分表示同时参加两项比赛的人，两个圆所覆盖的总面积表示这个班参加棋类比赛的人数。 【详解】如图所示： （人） 答：这个班参加棋类比赛的共有42人。 【名师点评】本题考查的是包含与排除的问题，也可以分别求出只参加象棋的人数、只参加军棋的人数、两项都参加的人数，然后相加得到总人数。 13．人 【分析】如图，长方形表示总人数，左圆表示做对第一部分的人数，右圆表示做对第二部分的人数，重叠部分表示两部分都做对的人数，其余部分表示两部分都做错的人数，其中，重叠部分是12人。 【详解】如图所示： （人） 只做对第一部分的有13人； （人） 两部分都有错的有人； 答：两部分都有错的有6人。 【名师点评】本题考查的是包含与排除的问题，求解此类问题最有效的方法是画韦恩图。 14．（1）8人 （2）22人 【分析】总共48人，有6人语文数学都没写完，那么至少写完一科的有42人，但是写完语文作业的30人加上写完数学作业的20人，显然多于42人，多的8人即语文数学都写完的人数；写完语文作业的30人减去语文数学都写完的8人，得到只写完语文作业的人数。 【详解】（1）（人） （人） 答：语文数学都写完的有8人。 （2）（人） 答：只写完语文作业的有22人。 【名师点评】本题考查的是两个量的容斥问题，可以画韦恩图表示各个量之间的关系，便于求解问题。 15．140平方厘米 【分析】两个长方形如图摆放时出现了重叠（见图中的阴影部分），重叠部分恰好是边长为4厘米的正方形，如果利用两个长方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积，那么重叠部分在两个长方形面积中各被计算了一次，而实际上这部分只需计算一次就可以了。所以，组合图形的面积＝长方形面积之和－重叠部分。 【详解】组合图形的面积： ＝96＋60－16 ＝140（平方厘米） 答：这个组合图形的面积是140平方厘米 【名师点评】本题可以按容斥问题求解，也可以分别求出三部分的面积，相加得到组合图形的面积。 16．人 【分析】可以求出至少参加美术小组或音乐小组其中一个的人数，然后用总人数减去至少参加一个小组的人数，得到两个小组都没有参加的人数。 【详解】（人） （人） 答：既没参加美术小组也没参加音乐小组的有16人。 【名师点评】本题考查的是两个量的容斥问题，可以利用韦恩图表示各个量的关系，便于求解问题。 17．只学钢琴的有21人，只学画画的有6人 【分析】如图，A圆表示学画画的人，B圆表示学钢琴的人，阴影表示既学钢琴又学画画的人，A圆不含阴影的部分表示只学画画的人，B圆不含阴影的部分表示只学钢琴的人。 【详解】如图所示： （人） （人） 答：只学钢琴的有21人，只学画画的有6人。 【名师点评】解包含与排除题，画图是一种很直观、简捷的方法，可以帮助解决问题，画图时注意把不同的对象与不同的区域对应清楚。 18．人 【分析】如图，A圆表示参加语文兴趣小组的人，B圆表示参加数学兴趣小组的人，A与B重合的部分 （阴影部分）表示同时参加两个小组的人，两个圆覆盖的总面积表示参加了语文或数学兴趣小组的人数。 【详解】如图所示： （人） 答：这个班有45人参加了语文或数学兴趣小组。 【名师点评】本题考查的是二元容斥问题，也可以求出只参加语文兴趣小组的人数、只参加数学兴趣小组的人数、两个小组都参加的人数，相加得到参加了语文或数学兴趣小组的人数。 19．见详解 【分析】根据这份需要冷饮的统计表，求出至少要了一种冷饮的人数是9人，那么还有一个人什么也没有要。 【详解】证明： （人） 即至少要了一种饮料的人数为9人； （人） 所以其中有人这三种饮料都没有要。 【名师点评】本题实质上考查的是三元容斥问题，总人数减去至少要了一种的人数，得到一种也没有要的人数。 20．名 【分析】转0次和转2次的学生最终是面向老师的，分别求出这两类学生的数量，相加得到面向老师的同学的数量。 【详解】在转过两次后，面向老师的同学分成两类： 第一类是标号既不是4的倍数，又不是6的倍数；第二类是标号既是4的倍数又是6的倍数。 1～50之间，4的倍数有＝12，6的倍数有＝8，即是4的倍数又是6的倍数的数一定是12的倍数，所以有＝4。于是，第一类同学有50－12－8＋4＝34人，第二类同学有4人，所以现在共有34＋4＝38名同学面向老师。 答：现在面向老师的同学还有38名。 【名师点评】本题考查的是二元容斥问题，同时结合了奇偶性的实际应用。 21．人 【分析】如图，用长方形表示这47名学生，A圆表示语文得分95分以上的人数，B圆表示数学得95分以上的人数，A与B重合的部分表示两门都在95分以上的人数，长方形内两圆外的部分表示两门都不在95分以上的人数。 【详解】如图所示： 由图中可以看出，全体人数是至少一门在分以上的人数与两门都不在分以上的人数之和，则至少一门在分以上的人数为：（人）。根据包含排除法，两门都在分以上的人数为：（人） 答：两门都在95分以上的有10人。 【名师点评】本题考查的是二元容斥问题，可以先画线段图表示各个量之间的关系。 22．22块；38块；30块 【分析】68块玻璃不是甲组擦的，说明这68块玻璃是乙、丙两组擦的；52块玻璃不是乙组擦的，说明这52 块玻璃是甲、丙两组擦的；且甲组与乙组一共擦了60 块玻璃，利用三个量之间的关系求解。 【详解】（块） 这是两个丙组擦的玻璃数； （块） 丙组擦了块玻璃，乙组擦了：（块） 甲组擦了：（块）玻璃； 答：甲组擦了22块，乙组擦了38块，丙组擦了30块。 【名师点评】68、52、60的和相当于是甲、乙、丙数量的2倍，也可以先求出甲、乙、丙数量之和，再分别计算各自的数量。 23．人 【分析】每个同学都至少完成了一项制作，40与32的和大于55，显然有一些学生完成了两项制作，而总人数只有55人，多出来的部分即为完成两项制作的人数。 【详解】如图所示： （人） （人） 答：两项制作都完成的同学有17人。 【名师点评】本题考查的是两个量的容斥问题，画韦恩图可以方便理解问题。 24．段 【分析】1.8米也就是180厘米，分别求出每一次画刻度的时候所增加的刻度线的数量，总的刻度线的数量加上1得到段数。 【详解】米长的木棍，按2厘米一段画出刻度，那么也就是说所有的偶数点都已经划过了，即2、4、6、8、10…共89个点； 那么再画3的时候所有的偶数点都已经划过，那么会多出30个点，即3、9、15…； 再画5的时候会多出来的点是5、25、35、55、65、85、95、115、125、145、155、175，共12个； 最后画间隔7厘米的时候，会多出7、49、77、91、119、133、161共7个点； 那么所有的刻度总和应该是（个）； 答：截断之后应该会有139段小木棍。 【名师点评】本题考查的是容斥问题，也可以分别求出每隔2厘米、每隔3厘米、每隔5厘米、每隔7厘米画刻度线的数量，然后按照容斥问题求出总的刻度线的数量。 25．20平方厘米 【分析】阴影部分是有两块重叠的部分，被计算两次，而三张纸重叠部分是被计算了三次；三角形纸板、正方形纸板、圆形纸板的面积之和减去计算两次的部分，再减去计算了三次的部分的2倍，得到所覆盖的总面积。 【详解】三张纸重叠部分的面积： （平方厘米） 答：3张纸板重叠部分的面积是 20平方厘米。 【名师点评】本题考查的是三个量的容斥问题，首先要搞清楚每一部分所计算的次数是多少。 26．68平方厘米 【分析】两个图形如图摆放时出现了重叠（见图中的阴影部分），重叠部分恰好是边长为4厘米的正方形，如果利用长方形和正方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积，那么重叠部分在长方形和正方形面积中各被计算了一次，而实际上这部分只需计算一次就可以了。所以，组合图形的面积＝长方形面积＋正方形面积－重叠部分。 【详解】这个组合图形的面积： （平方厘米） 答：这个组合图形的面积是68平方厘米。 【名师点评】本题可以按照容斥问题求解，也可以把组合图形分成三部分，分别计算每一部分的面积，再计算总面积。 27．道题 【分析】由于题目的数量是整数，题目总数的也必须是整数，那么题目的数量必须是6的倍数，可以假设题目数量是6、12、18，然后通过甲答对的数量是总数的进行排除。 【详解】显然两人都答错的题目不多于3道，所以题目总数只可能是6、12、18，其中只有12，能使甲答错题目总数是整数，所以一共有12道题； （道） （道） （道） （道） 答：甲、乙都答对的题目有8道。 【名师点评】本题考查的是容斥问题，像人数、树的棵树，书本的数量等都只能是整数，可以利用这一点求解问题。 28．人 【分析】如图，用长方形表示全班人数，分别表示会游泳的人数、会打篮球的人数，长方形中阴影部分表示两项都不会的人数，中间重叠部分表示两项都会的人数。 【详解】如图所示： （人） 全班人数为：（人） 答：这个班一共有44人。 【名师点评】本题考查的是两个量的容斥问题，至少会一项的人数加上两项都不会的人数，得到总人数。 29．人 【分析】做完语文作业的37人加上做完数学作业的42人，总共79人，显然多于总人数48人，多的人数即为语文、数学作业都完成的人数。 【详解】如图所示： 线段表示全班人数，线段表示做完语文作业的人数，线段表示做完数学作业的人数，重叠部分则表示语文、数学都做完的人数。 根据题意，做完语文作业的有人，即。做完数学作业的有人，即。 （人）  ① （人）      ② ①式减②式，就有（人） 答：数学、语文作业都做完的有人。 【名师点评】本题考查的是两个量的容斥问题，也可以画韦恩图来表示各个量之间的关系。 30．盏 【分析】因为灯在开始的时候是亮着的，所以拉了两次或者没拉的灯最后还是亮的，先分别求出3的倍数的个数，5的倍数的个数，以及3和5的公倍数的个数，然后求出没有拉过的灯的个数，加上拉了两次的灯的数量，得到最终亮着的个数。 【详解】 第一次拉了33盏； （盏） 第二次拉了20盏； 两次都拉的有6盏； （盏） 被拉过的有47盏； （盏） 没有被拉过的有53盏； 最后亮着的灯一共为（盏） 答：亮着的灯还有59盏。 【名师点评】本题考查的是二元容斥问题，并且与奇偶性的问题相结合，可以利用韦恩图求解。 31． 【分析】越是中间，被重复计算的越多，最中心的区域被重复计算四次，由内往外，有重复计算三次的，重复计算两次的，只计算一次的，将数字按从大到小依次填写于被重复计算多的区格中。 【详解】13×4＋（12＋11＋10＋9）×3＋（8＋7＋6＋5）×2＋（4＋3＋2＋1） ＝52＋126＋52＋10 ＝240 答：和最大是多少是240。 【名师点评】本题将容斥问题、最值问题、数阵图问题相结合，关键是区分每一个区域重复计算的次数。 32．人 【分析】先分别求出会打乒乓球、会打羽毛球、会打排球的人数，然后根据容斥原理求解问题。 【详解】解：设只会打乒乓球和羽毛球两项的人有人，只会打乒乓球和排球两项的有人，只会打羽毛球和排球两项的有人。由于只会三项运动中的一项的不可能小于，所以、、有如下关系： 会打乒乓球的人数：（人） 会打羽毛球的人数：（人） 会打排球的人数：（人） 将三条关系式相加，得到，而60人当中会至少一项运动的人数有 人，所以60人当中三项都不会的人数最多4人（当、、分别取、、时，不等式组成立）。 答：这三项运动都不会的最多有4人。 【名师点评】本题考查的是容斥原理与最值问题，可以画韦恩图表示各个量的关系，假设极端情况进行分析求解。 33．87厘米 【解析】两根铁条焊接成一根铁条，有一个焊缝，两根铁条的长度之和减去焊缝的长度，得到焊接后这根铁条的长度。 【详解】（厘米） 答：焊接后这根铁条长87厘米。 【名师点评】本题考查的是基础的容斥问题，这里需要注意的数n根铁条焊接成一根铁条，有n－1个焊缝。 34．30平方厘米 【分析】三个纸片共同重叠的面积是10平方厘米计算3次，阴影部分计算2次，三个纸片的面积之和减去阴影部分的面积，再减去2个10平方厘米，得到所覆盖的面积。 【详解】将图中的三个圆标上、、。根据包含排除法，三个纸片盖住桌面的总面积＝（圆面积圆面积圆面积）－（与重合部分面积与重合部分面积与重合部分面积）＋三个纸片共同重叠的面积，得：（与重合部分面积与重合部分面积与重合部分面积）＋10，得到、、三个圆两两重合面积之和为：平方厘米，而这个面积对应于圆上的那三个纸片共同重叠的面积的三倍与阴影部分面积的和，即：阴影部分面积，则阴影部分面积为：（平方厘米）。 答：图中阴影部分面积之和是30平方厘米。 【名师点评】本题考查的是三个量的容斥问题，首先要搞清楚图中每一部分分别计算了几次。 35．12平方厘米 【解析】阴影部分是边长为2厘米的正方形，两个空白部分也是边长为2厘米的正方形，求出三个正方形的面积之和即可。 【详解】（平方厘米） 答：覆盖面积是12平方厘米。 【名师点评】本题也可以按照容斥问题求解，用两个长方形的面积之和减去阴影部分的面积。 36．6 【分析】三张纸覆盖的总面积是38，可以设A与C公共部分的面积为未知数，表示出覆盖的总面积，解出未知数即可。 【详解】解：设与公共部分的面积为，由包含与排除原理可得： （1）先“包含”：把图形、、的面积相加：，那么每两个图形的公共部分的面积都重复计算了次，因此要排除掉。 （2）再“排除”：，这样一来，三个图形的公共部分被全部减掉，因此还要再补回。 （3）再“包含”：，这就是三张纸片覆盖的面积。 根据上面的分析得：，解得：。 答：A与C公共部分的面积是6。 【名师点评】本题实质上考查的是三个量的容斥问题，首先明确每一块所计算的次数，这是求解问题的关键。 37．盆 【分析】为了恰好被3个人浇过的花盆数量最少，那么被四个人浇过的花、两个人浇过的花和一个人浇过的花数量都要尽量多，那么应该可以知道被四个人浇过的花数量最多是30盆，那么接下来就变成乙浇了45盆，丙浇了50盆，丁浇60盆了，这时共有70盆花，我们要让这70盆中恰好被3个人浇过的花最少，这就是简单的容斥原理了。 【详解】（盆） （盆） （盆） （盆） （盆） 答：恰好被3个人浇过的花最少有15盆。 【名师点评】本题考查的是容斥原理与最值问题，可以画图表示各个量之间的关系。 38．人；人 【分析】可以设只爱好科学和文艺两项的人数为未知数，那么爱好体育的55人，爱好文艺的56人，爱好科学的51人相加的和，减去爱好体育和科学的人数，减去爱好体育和文艺的人数，减去爱好科学和文艺的人数，再加上三项都爱好的15人，得到总人数100人，解出未知数即可。 【详解】解：设只爱好科学和文艺两项的有人； 只爱好科学和文艺两项的有11人； 只爱好体育的有：（人） 答：只爱好科学和文艺两项的有11人；只爱好体育的有19人。 【名师点评】本题考查的是典型的三元容斥问题，注意题目给出的只爱好体育和科学的4人，只爱好体育和文艺的17人都不包含三项都爱好的人数。 39．人 【解析】能登台表演歌舞的人可能是只会唱歌，也可能是只会跳舞，或者既会唱歌也会跳舞，能表演独唱的10人加上能表演跳舞的18人，总共28人，但是把两种都能表演的7人多算了1次，减去7人即可。 【详解】（人） 答：有21人能登台表演歌舞。 【名师点评】本题考查的是二元容斥问题，可以先画韦恩图表示各个量之间的关系，关键是区分每一部分算了几次。 40．27盆 【解析】甲浇了30盆，乙浇了75盆，丙浇了80盆，丁浇了90盆，总共浇水275次，要使得恰好被1个人浇过的花最少，那么被浇4次的花也需要尽量多，也就是30盆。 【详解】（次） 100盆花共被浇水275次； （次） 平均每盆被浇2.75次； 为了让被浇1次的花最多，我们也需要被浇4次的花尽量多，为30盆； （次） 那么余下70盆共被浇155次； 平均每盆被浇（次） 说明需要一些花被浇3次才可以．我们假设70盆都被浇3次，那么多出（次） 每盆花少浇2次变为被浇1次，最多可以变为： （次） 所以本题答案为27盆； 答：恰好被1个人浇过的花最多有27盆。 【名师点评】这不是一道单纯的包含与排除问题，本题涉及较复杂的“最不利原则”理论，平均数理论，以及鸡兔同笼理论。 41．3 【详解】解：设阴影部分面积是x。由容斥原理知： （12＋28＋16）－（8＋7＋6）＋x＝38 56－21＋x＝38 35＋x＝38 x＝38－35 x＝3 答：A、B、C三个图形公共部分（阴影部分）的面积是3。 42．9人 【详解】总人数：（32+40+26）÷2=49（人） 同时定数学报和英语报的：49-40=9（人） 【名师点评】这道题分两步，第一步，先求出该班的总人数，第二步，该班没有定作文报的人数就是同时定数学报和英语报的人数． 43．60人 【详解】20+24+31-5-6-7+3 =75-5-6-7+3 =60（人） 答：这个年级参加课外小组的同学共有60人． 44．4个 【详解】解：设喜欢排球和篮球的人数为x,根据题意列方程： 26+2+2+x=13+12+9=34 解得，x=4 45．（1）0人 （2）人 【分析】如图，用A圆表示带汉堡的人，B圆表示带鸡腿的人，C圆表示带芝士蛋糕的人；根据包含排除法，总人数＝（带汉堡的人数＋带鸡腿的人数＋带芝士蛋糕的人数）－（带汉堡、鸡腿的人数＋带汉堡、芝士蛋糕的人数＋带鸡腿、芝士蛋糕的人数）＋三种都带了的人数。 【详解】如图所示： （1） （人） 答：三种都带了的有0人。 （2）求只带一种的人数，只需从10人中减去带了两种的人数； （人） 答：只带了一种的有人。 【名师点评】本题考查的是基础的三元容斥问题，首先画图表示出各部分的数量，任何再根据各部分之间的关系求解问题，注意区分各部分的重叠次数。 46．4人 【分析】这道题可以采用逆思考的方法，找出至少一项运动不会的人数，然后用全班人数减去至少一项运动不会的人数，剩下的是三项运动都会的人数；由已知，不会游泳的有21人，不会骑车的有15人，不会打乒乓球的有8人，至少一项运动也不会的最多的人数即可算出，再根据容斥原理，由此即可求要求的出答案． 【详解】解：不会游泳的有48-27=21（人） 不会骑车的有48-33=15（人） 不会打乒乓球的有48-40=8（人） 所以至少有一项运动不会的最多有：21+15+8=44（人）， 那么全班三项运动都会的至少有：48-44=4（人）； 答：至少有4人会三项运动． 47．9人 【分析】先求出46人中会骑车或会游泳的有多少人，从中减去会骑车或会游泳的人数，剩下的就是既不会骑车也不会游泳的人数． 【详解】解：19＋25－7=37（人） 46－37=9（人） 答：既不会骑车又不会游泳的有9人． 48．8平方厘米 【分析】根据本题题意和容斥原理知道，从三个圆片的总面积里去掉盖住桌面的总面积以及三张纸片重叠的面积的2倍（因为是两个重叠在一起，所以乘2），由此即可求出答案． 【详解】解：20×3-36-8×2 =60-36-16 =8（平方厘米） 答：图中阴影部分的面积和是8平方厘米． 49．42人 【详解】 37+26-21=42（人） 答：全班喜欢打乒乓球或羽毛球的同学共有42人． 50．2.35平方厘米 【分析】由题意得：五个圆环盖住的面积=5个圆环的面积之和-8个小曲边四边形面积，根据圆环面积=π（大圆半径的平方-小圆半径的平方），计算出一个圆环的面积，再乘5就是5个圆环面积，所以一个小曲边四边形面积=（5个圆环的面积之和-122.5）÷8，代入计算即可． 【详解】一个圆环面积为： 3.14×[（10÷2）2-（8÷2）2] =3.14×9 =28.26（平方厘米） 所以一个小曲边四边形面积为： （28.26×5-122.5）÷8 =（141.3-122.5）÷8 =18.8÷8 =2.35（平方厘米） 答：每个小曲边四边形的面积是2.35平方厘米． 51．10.75平方厘米 【详解】3×3+2×2-1.5×1.5 =9+4-2.25 =10.75（平方厘米） 答：它们盖住的面积是10.75平方厘米． 52．67平方厘米 【分析】阴影部分是直角三角形，是两个图形的重叠部分，两图形的面积和减去阴影部分的面积，即是两个图形盖住桌面的面积． 【详解】解：8×6＋5×5－3×4÷2=67（平方厘米） 答：盖住桌面的面积是67平方厘米． 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$