2024年河南省郑州市中考数学二模试题按知识点分层汇编-02方程与不等式

河南省郑州市2024年中考数学二模试题按知识点分层汇编-02方程与不等式 一．选择题（共10小题） 1．（2024•管城区二模）下列关于方程x2﹣5x+7＝0的结论正确的是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有一个实数根 D．无实数根 2．（2024•管城区二模）明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：隔墙听得客分银，不知人数不知银；七两分之多四两，九两分之少半斤．其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两，问有多少人，多少银两（注：明代当时1斤＝16两，故有“半斤八两”这个成语）．设有x人，银子有y两，可列方程组是（　　） A． B． C． D． 3．（2024•郑州二模）已知关于x的方程（x﹣2）（x﹣4）＝m有实数根，则m的值有可能是（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D． 4．（2024•金水区二模）不等式组的解集在数轴上表示，正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（2024•金水区二模）我国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗，今持粟三解，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子．现拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗．设醑酒x斗，清酒y斗，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 6．（2024•金水区二模）下列方程有两个相等的实数根的是（　　） A．2x2﹣4x+1＝0 B．2x2﹣4x+2＝0 C．2x2+4x﹣3＝0 D．2x2+4x＝0 7．（2024•金水区二模）关于x的一元二次方程x2+m＝6x有两个不相等的实数根，则m的值可能是（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 8．（2024•金水区二模）关于x的方程x2﹣x+a﹣2＝0有两个不相等的实数根，则实数a的值可能为（　　） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 9．（2024•二七区二模）我国古代数学家梅縠成的《增删算法统宗》中有题如下：一千官军一千布，一官四疋无零数．四军才分布一疋，请问官军多少数．大意：今有1000官兵分1000疋布，1官分4疋，4兵分1疋，请问官兵各几人？若设官x人，兵y人，依题意可列方程组（　　） A． B． C． D． 10．（2024•郑州二模）关于x的一元二次方程x2+mx﹣4＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 二．填空题（共5小题） 11．（2024•金水区二模）不等式组的整数解的和是　 　． 12．（2024•管城区二模）已知x与y的互为相反数，并且2x﹣y＝3，则xy的值为 　 　． 13．（2024•郑州二模）不等式组的解是 　 　． 14．（2024•郑州二模）不等式组的解集是 　 　． 15．（2024•郑州二模）鱼缸里饲养A、B两种鱼，A种鱼的生长温度x℃的范围是20≤x≤28，B种鱼的生长温度x℃的范围是19≤x≤25，那么鱼缸里的温度x℃应该控制在 　 　范围内． 三．解答题（共5小题） 16．（2024•管城区二模）某超市分两次购进A、B两种商品进行销售，两次购进同一种商品的进价相同，具体情况如表所示： 购进数量（件） 购进所需费用（元） A B 第一次 30 40 2900 第二次 40 30 2700 （1）求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？ （2）商场决定A商品以每件45元出售，B商品以每件75元出售．为满足市场需求，需购进A、B两种商品共1000件，且A商品的数量不少于B种商品数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并确定最大利润． 17．（2024•管城区二模）（1）计算：； （2）解不等式组，并写出它的正整数解． 18．（2024•郑州二模）（1）计算：（）0+|1|． （2）解方程：． 19．（2024•金水区二模）某学校建立了劳动基地，计划在基地上种植甲、乙两种树苗．已知甲种树苗的单价比乙种树苗的单价多10元；3棵甲种树苗与4棵乙种树苗的总价相等． （1）求甲、乙两种树苗的单价分别为多少元？ （2）若购买甲、乙两种树苗共500棵，且甲种树苗的数量不少于乙种树苗的两倍．请为采购组设计最省钱的方案，并求出此时的总费用？ 20．（2024•金水区二模）数学的美无处不在．数学家们研究发现，弹拨琴弦发出声音的音调高低，取决于弦的长度，绷得一样紧的几根弦，如果长度的比能够表示成正整数的比，发出的声音就比较和谐、例如，三根弦长度之比是15：12：10，把它们绷得一样紧，用同样的力弹拨，它们将分别发出很调和的乐声do，mi，so．研究15，12，10这三个数的倒数发现，我们称15，12，10这三个正整数为一组“调和数”． （1）已知三个数x，5，3（x＞5）是一组“调和数”，则x的值为 　 　． （2）若a，b，c是一组调和数，其中a＞b＞c＞0，证明：a+c＞2b． 河南省郑州市2024年中考数学二模试题按知识点分层汇编-02方程与不等式 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．（2024•管城区二模）下列关于方程x2﹣5x+7＝0的结论正确的是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有一个实数根 D．无实数根 【解答】解：由题意得：Δ＝b2﹣4ac＝25﹣28＝﹣3＜0； ∴方程没有实数根； 故选：D． 2．（2024•管城区二模）明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：隔墙听得客分银，不知人数不知银；七两分之多四两，九两分之少半斤．其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两，问有多少人，多少银两（注：明代当时1斤＝16两，故有“半斤八两”这个成语）．设有x人，银子有y两，可列方程组是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由题意可得， ， 故选：B． 3．（2024•郑州二模）已知关于x的方程（x﹣2）（x﹣4）＝m有实数根，则m的值有可能是（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D． 【解答】解：关于x的方程（x﹣2）（x﹣4）＝m可化为x2﹣6x+8﹣m＝0， ∵方程有实数根， ∴Δ≥0，即Δ＝（﹣6）2﹣4（8﹣m）≥0， 解得m≥﹣1， ∵﹣3＜﹣21， ∴m的值可能为﹣1． 故选：C． 4．（2024•金水区二模）不等式组的解集在数轴上表示，正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：原不等式组化简为：． 故选：B． 5．（2024•金水区二模）我国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗，今持粟三解，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子．现拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗．设醑酒x斗，清酒y斗，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵共换了5斗酒， ∴x+y＝5； ∵一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，拿30斗谷子换了5斗酒， ∴3x+10y＝30． ∴所列方程组为． 故选：D． 6．（2024•金水区二模）下列方程有两个相等的实数根的是（　　） A．2x2﹣4x+1＝0 B．2x2﹣4x+2＝0 C．2x2+4x﹣3＝0 D．2x2+4x＝0 【解答】解：A、2x2﹣4x+1＝0中， ∵a＝2，b＝﹣4，c＝1， ∴Δ＝（﹣4）2﹣4×2×1＝8＞0， ∴此方程有两个不相等的实数根，不符合题意； B、2x2﹣4x+2＝0中， ∵a＝2，b＝﹣4，c＝2， ∴Δ＝（﹣4）2﹣4×2×2＝0， ∴此方程有两个相等的实数根，符合题意； C、方程2x2+4x﹣3＝0中， ∵a＝2，b＝4，c＝﹣3， ∴Δ＝42﹣4×2×（﹣3）＞0， ∴此方程有两个不相等的实数根，不符合题意； D、方程2x2+4x＝0， ∵a＝2，b＝4，c＝0， ∴Δ＝42﹣4×2×0＝16﹣8＝8＞0， ∴此方程有两个不相等的实数根，不符合题意． 故选：B． 7．（2024•金水区二模）关于x的一元二次方程x2+m＝6x有两个不相等的实数根，则m的值可能是（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 【解答】解：方程化为x2﹣6x+m＝0， 根据题意得Δ＝（﹣6）2﹣4m＞0， 解得m＜9． 故选：A． 8．（2024•金水区二模）关于x的方程x2﹣x+a﹣2＝0有两个不相等的实数根，则实数a的值可能为（　　） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【解答】解：∵关于x的方程x2﹣x+a﹣2＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝12﹣4×（a﹣2）＞0， 解得a． 观察选项，只有A选项符合题意． 故选：A． 9．（2024•二七区二模）我国古代数学家梅縠成的《增删算法统宗》中有题如下：一千官军一千布，一官四疋无零数．四军才分布一疋，请问官军多少数．大意：今有1000官兵分1000疋布，1官分4疋，4兵分1疋，请问官兵各几人？若设官x人，兵y人，依题意可列方程组（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵官、兵共1000人， ∴x+y＝1000； ∵1官分4疋，4兵分1疋，且共分1000疋布， ∴4xy＝1000． ∴根据题意可列方程组． 故选：A． 10．（2024•郑州二模）关于x的一元二次方程x2+mx﹣4＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【解答】解：对于一元二次方程x2+mx﹣4＝0， Δ＝m2﹣4×1×（﹣4）＝m2+16＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 二．填空题（共5小题） 11．（2024•金水区二模）不等式组的整数解的和是　5　． 【解答】解：， 由①得：x＞﹣2， 由②得：x≤3， ∴﹣2＜x≤3， ∴不等式组的整数解为：﹣1，0，1，2，3． 所有整数解的和为﹣1+0+1+2+3＝5． 故答案为：5． 12．（2024•管城区二模）已知x与y的互为相反数，并且2x﹣y＝3，则xy的值为 　1　． 【解答】解：∵x与y互为相反数， ∴x+y＝0， ∴， ①+②，得3x＝3， 解得x＝1， ∴y＝﹣1， ∴xy＝1﹣1＝1． 故答案为：1． 13．（2024•郑州二模）不等式组的解是 　﹣1≤x＜3　． 【解答】解：， 解不等式①，得：x≥﹣1， 解不等式②，得：x＜3， ∴该不等式组的解集为﹣1≤x＜3， 故答案为：﹣1≤x＜3． 14．（2024•郑州二模）不等式组的解集是 　x＜6　． 【解答】解：解不等式x﹣5＜1，得：x＜6， 解不等式3x﹣5≥0，得：x， 则不等式组的解集为x＜6， 故答案为：x＜6． 15．（2024•郑州二模）鱼缸里饲养A、B两种鱼，A种鱼的生长温度x℃的范围是20≤x≤28，B种鱼的生长温度x℃的范围是19≤x≤25，那么鱼缸里的温度x℃应该控制在 　20≤x≤25　范围内． 【解答】解：由题意得：， 解得：20≤x≤25， 故答案为：20≤x≤25． 三．解答题（共5小题） 16．（2024•管城区二模）某超市分两次购进A、B两种商品进行销售，两次购进同一种商品的进价相同，具体情况如表所示： 购进数量（件） 购进所需费用（元） A B 第一次 30 40 2900 第二次 40 30 2700 （1）求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？ （2）商场决定A商品以每件45元出售，B商品以每件75元出售．为满足市场需求，需购进A、B两种商品共1000件，且A商品的数量不少于B种商品数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并确定最大利润． 【解答】解：（1）设A、B两种商品每件的进价分别是x元，y元， 根据题意得：， 解得：， 答：A、B两种商品每件的进价分别是30元，50元； （2）设A商品a件，B商品（1000﹣a）件，利润为m元 根据题意得：， 解得：800≤a≤1000， m＝（45﹣30）a+（75﹣50）（1000﹣a）＝25000﹣10a， ∵k＝﹣10＜0， ∴m随a的增大而减小 ∴a＝800时，m的最大值为17000元． ∴A商品800件，B商品200件． 17．（2024•管城区二模）（1）计算：； （2）解不等式组，并写出它的正整数解． 【解答】解：（1） ＝22+1﹣2 ＝2； （2）， 由①得， 由②得x≥﹣5， 不等式组的解集为， 则它的正整数解为1，2． 18．（2024•郑州二模）（1）计算：（）0+|1|． （2）解方程：． 【解答】解：（1）（）0+|1| ＝11 ； （2）， 去分母，得（x﹣1）2﹣3＝x2﹣1， 化简，得﹣2x＝1， 解得x， 经检验，x是原方程的根． 19．（2024•金水区二模）某学校建立了劳动基地，计划在基地上种植甲、乙两种树苗．已知甲种树苗的单价比乙种树苗的单价多10元；3棵甲种树苗与4棵乙种树苗的总价相等． （1）求甲、乙两种树苗的单价分别为多少元？ （2）若购买甲、乙两种树苗共500棵，且甲种树苗的数量不少于乙种树苗的两倍．请为采购组设计最省钱的方案，并求出此时的总费用？ 【解答】解：（1）设甲种树苗的单价为x元，则乙种树苗的单价为（x﹣10）元， 根据题意得3x＝4（x﹣10）， 解得：x＝40， 则x﹣10＝30， ∴甲种树苗的单价为40元，乙种树苗的单价为30元． （2）设购买甲种树苗a棵，则购买甲种树苗（500﹣a）棵， 根据题意得a≥2（500﹣a）， 解得a， ∵a为正整数， ∴a≥334， 设购买500棵甲、乙两种树苗的总费用为y元， 则y＝40a+30（500﹣a）＝10a+15000， 由一次函数的性质可知，y随a的增大而增大， ∴当a＝334时，y取得最小值，最小值为10×334+15000＝18340（元）． 即最省钱的方案为购买甲种树苗334棵，购买甲种树苗166棵，此时的总费用为18340元． 20．（2024•金水区二模）数学的美无处不在．数学家们研究发现，弹拨琴弦发出声音的音调高低，取决于弦的长度，绷得一样紧的几根弦，如果长度的比能够表示成正整数的比，发出的声音就比较和谐、例如，三根弦长度之比是15：12：10，把它们绷得一样紧，用同样的力弹拨，它们将分别发出很调和的乐声do，mi，so．研究15，12，10这三个数的倒数发现，我们称15，12，10这三个正整数为一组“调和数”． （1）已知三个数x，5，3（x＞5）是一组“调和数”，则x的值为 　15　． （2）若a，b，c是一组调和数，其中a＞b＞c＞0，证明：a+c＞2b． 【解答】（1）解：∵三个数x，5，3（x＞5）是一组“调和数”， ∴， 解得：x＝15， 经检验：x＝15是原方程的根， 故答案为：15； （2）证明：a，b，c是一组调和数，其中a＞b＞c＞0， ∴， ∴， ∴， ∴b， ∵a＞c， ∴a+c＞0，a﹣c＞0， ∴（a﹣c）2＞0， ∴（a+c）2﹣4ac＞0， ∴（a+c）2＞4ac， ∴a+c， ∴a+c＞2b． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/8/15 16:15:57；用户：18582497371；邮箱：18582497371；学号：56246982 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$