内蒙古兴安盟乌兰浩特第八中学2023-2024学年上学期九年级第三次月考数学试卷

2023-2024学年内蒙古兴安盟乌兰浩特八中九年级（上）第三次月考数学试卷 一、选择题（共12小题，共36分） 1．（3分）小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（　　） A．200（1+x）2＝242 B．200（1﹣x）2＝242 C．200（1+2x）＝242 D．200（1﹣2x）＝242 2．（3分）关于x的方程（k﹣1）2x2+（2k+1）x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A．k且k≠1 B．k≥且k≠1 C．k D．k≥ 3．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，∠C＝46°，连接OA，则∠OAB＝（　　） A．44° B．45° C．54° D．67° 4．（3分）如图，A，B是反比例函数y＝（k＞0）在第一象限内的图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是2和4，S△AOB＝3，则k的值为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 5．（3分）如图，等边△ABC的边长是6，D是等边△ABC边AB上的一点，且AD＝2，现将△ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E、F分别在AC、BC上，则CE：CF＝（　　） A．1：2 B．4：5 C．3：4 D．2：3 6．（3分）如图，A，B两点在反比例函数y＝的图象上，C，D两点在反比例函数y＝的图象上，AC⊥y轴于点E，BD⊥y轴于点F，AC＝5，BD＝3，EF的长度为8，则k1﹣k2的值是（　　） A．8 B．11 C．15 D．16 7．（3分）已知⊙O直径是10，点P是⊙O内一点，且OP＝3，过点P作弦，长度为整数的弦有（　　） A．3条 B．4条 C．6条 D．无数多条 8．（3分）在半径为1的⊙O中，弦AB，AC分别是、，则∠BAC的度数为（　　） A．15° B．15°或75° C．75° D．15°或65° 9．（3分）如图，正方形的边长为a，以各边为直径在正方形内画半圆，在正方形内随机取点，则此点来自阴影部分的概率是（　　） A．2﹣ B．﹣1 C．﹣ D．1﹣ 10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现给出下列结论：①abc＞0；②9a+3b+c＝0；③4ac﹣b2＜﹣8a；④a﹣b+c＞0．其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 11．（3分）如图，点D是▱OABC内一点，AD与x轴平行，BD与y轴平行，BD＝，∠BDC＝120°，S△BCD＝，若反比例函数y＝（x＜0）的图象经过C，D两点，则k的值是（　　） A．﹣6 B．﹣6 C．﹣12 D．﹣12 12．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC＝12，AD⊥BC于点D，点E在AD上且DE＝2AE，连接BE并延长交AC于点F，则线段AF长为（　　） A．4 B．3 C．2.4 D．2 二、填空题（共5小题，共15分） 13．（3分）若函数是反比例函数，则m＝　 　． 14．（3分）一组数：﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6，…，根据这个规律，第n个数是　 　（n为正整数）．（用含n的代数式表示） 15．（3分）如图，AB是⊙O的弦，C是AB的三等分点，连接OC并延长交⊙O于点D．若OC＝3，CD＝2，则圆心O到弦AB的距离是 　 　． 16．（3分）边长为1的正方形ABCD，在BC边上取一动点E，连接AE，作EF⊥AE，交CD边于点F，若CF的长为，则CE的长为　 　． 17．（3分）如图，已知⊙O是以坐标原点O为圆心，1为半径的圆，∠AOB＝45°，点P在x轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设P（x，0），则x的取值范围是　 　． 三、解答题（共9小题，69分） 18．（6分）已知函数y＝y1+y2，其中y1与x成正比例，y2与x成反比例，且当x＝1时，y＝4，当x＝2时，y＝5．求： （1）y关于x的函数解析式； （2）当x＝7时，求y的值． 19．（6分）圆锥的底面直径是80cm，母线长90cm．求它的侧面展开图的圆心角和圆锥的全面积． 20．（6分）如图，△ABC中，AB＝8，AC＝6，BC＝9，如果动点D以每秒2个单位长的速度，从点B出发沿边BA向点A运动，直线DE∥BC，交AC于E．记x秒时DE的长度是y，写出y关于x的函数关系式．并画出它的图象． 21．（6分）一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120mm，高AD＝60mm，把它加工成正方形零作如图1．使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上． （1）求这个正方形零件的边长； （2）如果把它加工成矩形零件如图，求这个矩形的最大面积． 22．（8分）为了解青少年健康状况，某班对50名学生的体育达标情况进行了测试，满分为50分．根据测试成绩，绘制出不完整的频数分布表和不完整的频数分布直方图如下： 组别 成绩x（分） 频数（人数） 第一组 5≤x＜15 1 第二组 15≤x＜25 5 第三组 25≤x＜35 12 第四组 35≤x＜45 m 第五组 45≤x＜55 14 请结合图表完成下列各题： （1）求表中m的值； （2）请把频数分布直方图补充完整； （3）若测试成绩不低于35分为达标，则本次测试的达标率是多少？ （4）第三组12名学生中有A、B、C、D四名女生，现将这12名学生平均分成两组进行竞赛练习，每组两名女生，请用画树状图法或列表法求B、C两名女生分在同一组的概率． 23．（8分）如图，一次函数y＝x+5的图象与反比例函数y＝（k为常数，且k≠0）的图象相交于A（﹣2，m）和B两点． （1）求反比例函数的表达式； （2）直接写出不等式x+5≤的解集 　 　． （3）将一次函数y＝x+5的图象沿y轴向下平移b个单位（b＞0）．使平移后的图象与反比例函数y＝的图象有且只有一个交点，求b的值． 24．（8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，点D是的中点，过点D作EF∥BC，分别交AB，AC的延长线于点E，F，连接AD，BD，∠ABC的平分线BM交AD于点M． （1）求证：EF是⊙O的切线． （2）若AB：BE＝5：2，AD＝，求线段BD的长． 25．（8分）某超市经销一种商品，每件成本为50元．经市场调研，当该商品每件的销售价为60元时，每个月可销售300件，若每件的销售价每增加1元，则每个月的销售量将减少10件．设该商品每件的销售价为x元，每个月的销售量为y件． （1）求y与x的函数表达式； （2）当该商品每件的销售价为多少元时，每个月的销售利润最大？最大利润是多少？ 26．（13分）如图，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于A（3，0），B（﹣1，0）两点，交y轴于点C，动点P在抛物线的对称轴上． （1）求抛物线的解析式； （2）当以P，B，C为顶点的三角形周长最小时，求点P的坐标及△PBC的周长； （3）若点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 2023-2024学年内蒙古兴安盟乌兰浩特八中九年级（上）第三次月考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（共12小题，共36分） 1．【分析】设该快递店揽件日平均增长率为x，关系式为：第三天揽件数＝第一天揽件数×（1+揽件日平均增长率）2，把相关数值代入即可． 【解答】解：根据题意，可列方程：200（1+x）2＝242， 故选：A． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找到关键描述语，就能找到等量关系，是解决问题的关键．同时要注意增长率问题的一般规律． 2．【分析】分k﹣1＝0和k﹣1≠0两种情况，利用根的判别式求解可得． 【解答】解：当k﹣1≠0，即k≠1时，此方程为一元二次方程． ∵关于x的方程（k﹣1）2x2+（2k+1）x+1＝0有实数根， ∴Δ＝（2k+1）2﹣4×（k﹣1）2×1＝12k﹣3≥0， 解得k≥； 当k﹣1＝0，即k＝1时，方程为3x+1＝0，显然有解； 综上，k的取值范围是k≥， 故选：D． 【点评】本题主要考查根的判别式和一元二次方程的定义，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系： ①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当Δ＜0时，方程无实数根． 3．【分析】根据圆周角定理可得∠AOB的度数，再进一步根据等腰三角形和三角形的内角和定理可求解． 【解答】解：如图，连接OB， ∵∠C＝46°， ∴∠AOB＝2∠C＝92°， ∵OA＝OB， ∴∠OAB＝＝44°． 故选：A． 【点评】此题综合运用了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理以及圆周角定理．一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 4．【分析】过点A作AD⊥x轴，过点B作BC⊥x轴，根据A，B是反比例函数y＝（k＞0）在第一象限内的图象上的两点，S△AOD＝S△BOC＝，再根据S四ABCO＝S△AOD+S四ADCB＝S△AOB+S△BOC，得S△ABO＝S四ADCB，列出方程，解出即可． 【解答】解：过点A作AD⊥x轴，过点B作BC⊥x轴， ∵A，B是反比例函数y＝（k＞0）在第一象限内的图象上的两点， ∴S△AOD＝S△BOC＝， ∵S四ABCO＝S△AOD+S四ADCB＝S△AOB+S△BOC， ∴S△ABO＝S四ADCB， ∵A（2，），B（4，）， ∴×2（+）＝3， ∴k＝4， 故选：A． 【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，掌握这两个知识点的综合应用，其中辅助线的做法是解题关键． 5．【分析】根据翻折变换的性质得到DE＝CE，DF＝CF，又由AD＝2，BD＝4，可得：△AED的周长为8，△BDF的周长为10，根据相似三角形的判定与性质即可解决问题． 【解答】解：∵△ABC为等边三角形， ∴AB＝AC＝6，∠A＝∠B＝∠C＝∠EDF＝60°， ∴∠EDA+∠FDB＝120°， 又∵∠EDA+∠AED＝120°， ∴∠FDB＝∠AED， ∴△AED∽△BDF， 由折叠，得：CE＝DE，CF＝DF， ∵AD＝2，BD＝4， ∴△AED的周长为8，△BDF的周长为10， ∴△AED与△BDF的相似比为4：5， ∴CE：CF＝DE：DF＝4：5． 故选：B． 【点评】主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是借助相似三角形的判定与性质；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求． 6．【分析】由反比例函数的性质可知S△AOE＝S△BOF＝k1，S△COE＝S△DOF＝﹣k2，结合S△AOC＝S△AOE+S△COE和S△BOD＝S△DOF+S△BOF可求得k1﹣k2的值． 【解答】解：连接OA、OC、OD、OB，如图： 由反比例函数的性质可知S△AOE＝S△BOF＝|k1|＝k1，S△COE＝S△DOF＝|k2|＝﹣k2， ∵S△AOC＝S△AOE+S△COE， ∴AC•OE＝×5×OE＝OE＝（k1﹣k2）…①， ∵S△BOD＝S△DOF+S△BOF， ∴BD•OF＝×3×（EF﹣OE）＝×3（8﹣OE）＝12﹣OE＝（k1﹣k2）…②， 由①②两式得：12﹣OE＝OE， 解得OE＝3， 则k1﹣k2＝15， 故选C． 【点评】本题考查反比例函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是利用参数，构建方程组解决问题，属于中考常考题型． 7．【分析】过点P的弦有无数条，求出最长的和最短的弦，再判断长度为整数的条数． 【解答】解：最长的弦是直径为10，1条， 最短的弦为8，1条 ∴长度为整数的弦还有9，2条， ∴经过P点的所有弦中长度为整数的有4条． 故选：B． 【点评】本题考查了勾股定理和垂径定理，解此类题目要注意将圆的问题转化成三角形的问题再进行计算． 注：最长的弦是直径，最短的弦是与直径垂直的弦． 8．【分析】根据圆的对称性分两种情况讨论求解． 【解答】解： 如图一，分别连接OA，OB，OC．做OD⊥AB于D，OE⊥AC． ∴AD＝，AE＝． ∵OA＝1， ∵＝，＝， ∴∠AOD＝45°，∠AOE＝60°． ∴∠AOC＝120°，∠AOB＝90°． ∴∠BOC＝150°，∴∠BAC＝75°．（圆周角定理） 如图二，∠BOC＝120°﹣90°＝30°，∴∠BAC＝15°． 故选：B． 【点评】本题综合考查了特殊角的三角函数值、垂径定理和圆周角的求法及性质． 9．【分析】求得阴影部分的面积后除以正方形的面积即可求得概率． 【解答】解：如图， 图中四个半圆都通过正方形的中心，用正方形的面积减去四空白的面积，剩下的就是阴影部分的面积，而正方形的面积减去两个半圆的面积就得两个空隙的面积， 所以所求阴影部分的面积为a2﹣[a2﹣π•（）2]×2＝a2﹣a2＝a2． 正方形的面积为a2， 故正方形内随机取点，则此点来自阴影部分的概率是＝， 故选：B． 【点评】本题考查了几何概率的知识，解题的关键是求得阴影部分的面积，难度不大． 10．【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案． 【解答】解：①由图象可知：a＞0，c＜0， ∴由于对称轴﹣＞0， ∴b＜0， ∴abc＞0，故①正确； ②抛物线过（3，0）， ∴x＝3，y＝9a+3b+c＝0，故②正确； ③顶点坐标为：（﹣，）， 由图象可知：＜﹣2， ∵a＞0， ∴4ac﹣b2＜﹣8a，故③正确； ④由图象可知：当x＝﹣1时，y＞0， ∴a﹣b+c＞0，故④正确； 故选：D． 【点评】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型． 11．【分析】过点C作CE⊥y轴，延长BD交CE于点F，易证△COE≌△ABD，求得OE＝，根据S△BCD＝，求得CF＝9，得到点D的纵坐标为4，设C（m，），则D（m+9，4），由反比例函数y＝（x＜0）的图象经过C，D两点，从而求出m，进而可得k的值． 【解答】解：过点C作CE⊥y轴，延长BD交CE于点F， ∵四边形OABC为平行四边形， ∴AB∥OC，AB＝OC， ∴∠COE＝∠1， ∵BD与y轴平行， ∴∠1＝∠ABD，∠ADB＝90°， ∴∠COE＝∠ABD， 在△COE和△ABD中， ， ∴△COE≌△ABD（AAS）， ∴OE＝BD＝， ∵S△BDC＝BD•CF＝， ∴CF＝9， ∵∠BDC＝120°， ∴∠CDF＝60°， ∴DF＝3， 点D的纵坐标为4， 设C（m，），则D（m+9，4）， ∵反比例函数y＝（x＜0）的图象经过C，D两点， ∴k＝m＝4（m+9）， ∴m＝﹣12， ∴k＝﹣12， 故选：C． 【点评】本题主要考查反比例函数，掌握平行四边形的性质和反比例函数图象的坐标特征是解题的关键． 12．【分析】作DH∥BF交AC于H，根据等腰三角形的性质得到BD＝DC，得到FH＝HC，根据平行线分线段成比例定理得到＝＝2，计算即可． 【解答】解：作DH∥BF交AC于H， ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BD＝DC， ∴FH＝HC， ∵DH∥BF， ∴＝＝2， ∴AF＝AC＝2.4， 故选：C． 【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、平行线分线段成比例定理，掌握等腰三角形的三线合一、平行线分线段成比例定理是解题的关键． 二、填空题（共5小题，共15分） 13．【分析】根据反比例函数的一般形式：x的次数是﹣1，且系数不等于0，即可求解． 【解答】解：根据题意得：， 解得：m＝3． 故答案为：3． 【点评】本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般式（k≠0）转化为y＝kx﹣1（k≠0）的形式． 14．【分析】根据题目中的数据，可以发现奇数个数都是负数、偶数个数都是正数、整数部分的绝对值是按照1，2，3，4，…，在变化，分数部分的分子是一些连续的奇数，分母部分是对应的个数的平方加1，然后即可写出第n个数，本题得以解决． 【解答】解：∵一组数：﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6，…， ∴这列数可以表示为：（﹣1）1×（1+），（﹣1）2×（2+），（﹣1）3×（3+），（﹣1）4×（4+），…， ∴这组数的第n个数为：（﹣1）n（n+）， 故答案为：（﹣1）n（n+）． 【点评】本题考查数字的变化类、列代数式，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，表示出第n个数． 15．【分析】延长DO交圆于点E，作OF⊥AB于点F，连接OB，根据相交线定理首先求得圆的半径，然后在直角△OBF中，利用勾股定理求得OF的长． 【解答】解：延长DO交圆于点E，作OF⊥AB于点F，连接OB． 则OE＝OC+CD＝5，CE＝8， ∵DC•CE＝AC•BC， ∴2×8＝AC•2AC， 解得：AC＝2， 则AB＝3AC＝6， ∵OF⊥AB， ∴BF＝AB＝3， 在直角△OBF中，OF＝＝＝． 故答案为：． 【点评】本题考查了垂径定理和相交弦定理，根据定理求得圆的半径长是关键． 16．【分析】由正方形的性质结合三角形内角和定理可得出∠BAE+∠AEB＝90°，结合∠AEB+∠CEF＝90°可得出∠BAE＝∠CEF，由∠B＝∠C，∠BAE＝∠CEF可证出△ABE∽△ECF，再利用相似三角形的性质可求出CE的长． 【解答】解：∵四边形ABCD为正方形， ∴∠B＝∠C＝90°， ∴∠BAE+∠AEB＝90°． ∵EF⊥AE， ∴∠AEF＝90°， ∴∠AEB+∠CEF＝90°， ∴∠BAE＝∠CEF， ∴△ABE∽△ECF， ∴＝，即＝， ∴CE＝或CE＝． 故答案为：或． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角形内角和定理，利用“两角对应相等的三角形相似”找出△ABE∽△ECF是解题的关键． 17．【分析】由题意得x有两个极值点，过点P与⊙O相切时，x取得极值，作出切线，利用切线的性质求解即可． 【解答】解：将OA平移至P'D的位置，使P'D与圆相切， 连接OD，由题意得，OD＝1，∠DOP'＝45°，∠ODP'＝90°， 故可得OP'＝，即x的极大值为， 同理当点P在y轴左边时也有一个极值点，此时x取得极小值，x＝﹣， 综上可得x的范围为：﹣≤x≤． 又∵DP'与OA平行， ∴x≠0， 故答案为：﹣≤x≤且x≠0． 【点评】此题主要考查了直线与圆的位置关系，得出直线与圆相切时OP的长是解决问题的关键，难度一般，注意两个极值点的寻找． 三、解答题（共9小题，69分） 18．【分析】（1）根据正比例与反比例的定义设出y与x之间的函数关系式，然后利用待定系数法求函数解析式计算即可得解； （2）把x＝7代入（1）中的函数关系式进行计算． 【解答】解：（1）设y1＝k1x（k1≠0），y2＝（k2≠0）， ∴y＝k1x+． ∵当x＝1时，y＝4，当x＝2时，y＝5． ∴， ∴， ∴y关于x的函数解析式是：y＝2x+； （2）由（1）知，y＝2x+，则 当x＝7时，y＝2×7+＝14． 【点评】此题主要考查了待定系数法求函数解析式，关键是掌握待定系数法求函数解析式的方法． 19．【分析】根据圆锥的底面直径求得圆锥的侧面展开扇形的弧长，再利用告诉的母线长求得圆锥的侧面展开扇形的面积，再利用扇形的另一种面积的计算方法求得圆锥的侧面展开图的圆心角即可． 【解答】解：∵圆锥的底面直径是80cm， ∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为：πd＝80π， ∵母线长90cm， ∴圆锥的侧面展开扇形的面积为： lr＝×80π×90＝3600πcm2， ∴＝3600πcm2， 解得：n＝160． ∵底面积为1600πcm2， ∴全面积为5200πcm2． 【点评】本题考查了圆锥的有关计算，解决此类题目的关键是明确圆锥的侧面展开扇形与圆锥的关系． 20．【分析】根据平行可得＝，利用x表示出AD，代入可得到y关于x的函数关系式，画出图象即可． 【解答】解： 由题意可知BD＝2x，则AD＝AB﹣BD＝8﹣2x， ∵DE∥BC， ∴＝，即＝， ∴y＝﹣x+9（0≤x≤4）， 其图象如图所示： 【点评】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键，在画函数图象时注意x的范围． 21．【分析】（1）设正方形零件的边长为x mm，则KD＝EF＝x，AK＝60﹣x，根据EF∥BC，得到△AEF∽△ABC，根据相似三角形的性质得到比例式，解方程即可得到结果； （2）根据矩形面积公式得到关于a的二次函数，根据二次函数求出矩形的最大值． 【解答】解：（1）∵正方形EGHF， ∴EF∥BC ∴△AEF∽△ABC 设EG＝EF＝x ∴， ∴， ∴x＝40 ∴正方形零件的边长为40mm， （2）设EG＝a ∵矩形EGHF ∴EF∥BC ∴△AEF∽△ABC ∴， ∴， ∴EF＝120﹣2a ∴矩形面积S＝a（120﹣2a）＝﹣2a2+120a＝﹣2（a﹣30）2+1800 当a＝30时，此时矩形面积最大，最大面积是1800mm2， 即：当EG＝30时，此时矩形面积最大，最大面积是1800mm2． 【点评】此题是相似形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解本题的关键是判断出△AEF∽△ABC． 22．【分析】（1）用总人数减去除第四组外的各组人数得到m的值； （2）利用第三组和第四组的频数补全直方图； （3）用第四组和第五组的频数和除以总人数得到本次测试的达标率； （4）画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出B、C两名女生分在同一组的结果数，然后根据概率公式求解． 【解答】解：（1）m＝50﹣1﹣5﹣12﹣14＝18； （2）如图， （3）本次测试的达标率为×100%＝64%； （4）画树状图为： 共用12种等可能的结果，其中B、C两名女生分在同一组的结果数为4， 所以B、C两名女生分在同一组的概率＝＝． 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率． 23．【分析】（1）由一次函数y＝x+5求得A的坐标，然后根据待定系数法可求反比例函数的表达式； （2）解析式联立长方程组，解方程组求得B的坐标，然后根据图象即可求得； （3）根据一次函数y＝x+5的图象沿y轴向下平移b个单位（b＞0），可得y＝x+5﹣b，根据平移后的图象与反比例函数y＝的图象有且只有一个交点，联立方程根据判别式＝0即可求出b的值． 【解答】解：（1）∵一次函数y＝x+5的图象与反比例函数y＝（k为常数，且k≠0）的图象相交于A（﹣2，m）， ∴m＝﹣2+5＝3， ∴k＝﹣2×3＝﹣6， ∴反比例函数解析式为：y＝﹣； （2）由得或， ∴B（﹣3，2）， 由图象可知，不等式x+5≤的解集是x≤﹣3或﹣2≤x＜0， 故答案为：x≤﹣3或﹣2≤x＜0； （3）∵一次函数y＝x+5的图象沿y轴向下平移b个单位（b＞0）， ∴y＝x+5﹣b， ∵平移后的图象与反比例函数y＝的图象有且只有一个交点， ∴x+5﹣b＝﹣， ∴x2+（5﹣b）x+6＝0， ∵Δ＝（5﹣b）2﹣24＝0， 解得b＝2+5或﹣2+5， 故b的值为2+5或﹣2+5． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，掌握反比例函数与一次函数的性质、数形结合思想的运用是解题的关键． 24．【分析】（1）连接OD，由垂径定理得OD⊥BC，从而得OD⊥EF，进而即可得到结论； （2）由平行线分线段定理得DN＝，再证明△BDN∽△ADB，可得BD＝2． 【解答】（1）证明：连接OD，如图， ∵点D是的中点， ∴， ∴OD⊥BC， ∵BC∥EF， ∴OD⊥EF， ∵OD为⊙O半径， ∴EF为⊙O的切线； （2）解：设BC、AD交于点N， ∵AB：BE＝5：2，，EF∥BC， ∴， ∴DN＝， ∵点D是的中点， ∴∠BAD＝∠CAD＝∠CBD， 又∵∠BDN＝∠ADB， ∴△BDN∽△ADB， ∴，即：， ∴BD＝2． 【点评】本题主要考查圆的基本性质，切线的判定定理、相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的判定和性质；找出相似三角形是解题的关键． 25．【分析】（1）根据题意列出函数表达式即可． （2）根据（1）中列出函数关系式，配方后依据二次函数的性质求得利润最大值． 【解答】解：（1）根据题意，y＝300﹣10（x﹣60） ∴y与x的函数表达式为：y＝﹣10x+900； （2）设每个月的销售利润为w， 由（1）知：w＝﹣10x2+1400x﹣45000， ∴w＝﹣10（x﹣70）2+4000， ∴每件销售价为70元时，获得最大利润；最大利润为4000元． 【点评】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用．此题难度不大，解题的关键是理解题意，找到等量关系，求得二次函数解析式． 26．【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）因为BC为定值，所以当PB+PC最小时，△PBC的周长最小，如图1，连接AC交对称轴于点P，由轴对称性质可知，此点P即为所求，再利用勾股定理求出AC、BC，即可得出答案； （3）设P（1，t），则AC2＝32+32＝18，AP2＝（1﹣3）2+t2＝t2+4，PC2＝12+（t﹣3）2＝t2﹣6t+10，分三种情况进行讨论①当以AP为对角线时，则CP＝CA，建立方程求解即可，②以AC为对角线时，则PC＝AP，建立方程求解即可，③当以CP为对角线时，则AP＝AC，建立方程求解即可． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于A（3，0），B（﹣1，0）两点， ∴， 解得：， ∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3； （2）在y＝﹣x2+2x+3中，令x＝0，得y＝3， ∴C（0，3）， ∵△PBC的周长为：PB+PC+BC，BC是定值， ∴当PB+PC最小时，△PBC的周长最小． 如图1，点A、B关于对称轴l对称，连接AC交l于点P，则点P为所求的点． ∵AP＝BP， ∴△PBC周长的最小值是AC+BC， ∵A（3，0），B（﹣1，0），C（0，3）， ∴AC＝3，BC＝． ∴△PBC周长的最小值是：3+． 抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1， 设直线AC的解析式为y＝kx+c，将A（3，0），C（0，3）代入，得： ， 解得：， ∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3， ∴P（1，2）； （3）存在． 设P（1，t），Q（m，n） ∵A（3，0），C（0，3）， 则AC2＝32+32＝18， AP2＝（1﹣3）2+t2＝t2+4， PC2＝12+（t﹣3）2＝t2﹣6t+10， ∵四边形ACPQ是菱形， ∴分三种情况：以AP为对角线或以AC为对角线或以CP为对角线， ①当以AP为对角线时，则CP＝CA，如图2， ∴t2﹣6t+10＝18， 解得：t＝3±， ∴P1（1，3﹣），P2（1，3+）， ∵四边形ACPQ是菱形， ∴AP与CQ互相垂直平分，即AP与CQ的中点重合， 当P1（1，3﹣）时， ∴＝，＝， 解得：m＝4，n＝﹣， ∴Q1（4，﹣）， 当P2（1，3+）时， ∴＝，＝， 解得：m＝4，n＝， ∴Q2（4，）， ②以AC为对角线时，则PC＝AP，如图3， ∴t2﹣6t+10＝t2+4， 解得：t＝1， ∴P3（1，1）， ∵四边形APCQ是菱形， ∴AC与PQ互相垂直平分，即AC与PQ中点重合， ∴＝，＝， 解得：m＝2，n＝2， ∴Q3（2，2）， ③当以CP为对角线时，则AP＝AC，如图4， ∴t2+4＝18， 解得：t＝±， ∴P4（1，），P5（1，﹣）， ∵四边形ACQP是菱形， ∴AQ与CP互相垂直平分，即AQ与CP的中点重合， ∴＝，＝， 解得：m＝﹣2，n＝3， ∴Q4（﹣2，3+），Q5（﹣2，3﹣）， 综上所述，符合条件的点Q的坐标为：Q1（4，﹣），Q2（4，），Q3（2，2），Q4（﹣2，3+），Q5（﹣2，3﹣）． 【点评】本题是二次函数压轴题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、图形面积计算、轴对称﹣最短路线，菱形性质，点和线段的平移等知识点，熟练掌握二次函数图象和性质，轴对称性质等相关知识是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$