专题12 二项式定理的相关计算（原卷版）-遇见最美的数学系列——计算专题

72观千剑而后识器 临渊羡鱼不如退而结网 专题 12 二项式定理的相关计算 1 已知 ax2- 2 x  n 开式的二项式系数之 为 128， n= . 2 若 ax- y 8的 开式中 x3y5的系数为-448， a= . 3 x- 1 x  10 的 开式中 x的系数为 (用数字表示). 4 x- y 8 x+ y 的 开式中 x7y2的系数 . 5 若 (1+ 2x2) ax+ 1 x  6 的 开式中所有项的系数 为 192， 开式中 x4的系数为 ． 6 3x- 13 x2  8 的 开式中，x-2项的系数为 ． 7 已知 (1- x) (1+ x)3= a0+ a1x+ a2x2+ a3x3+ a4x4， a1+ a2+ a3= ． 8 已知二项式 1+ x+ a x2  5 的 数项为-59 ， a= . 73 操千曲而后晓声 9 3x2+ 1  x- 2x  5 的 开式中 x的系数为 ． 10 x2+ x 5的 开式中 x9的系数为 11 已知 数m> 0，x+ m x  6 的二项 开式中 x2项的系数 60， m的值为 ． 12 若 x- a  1+ 2x 5的 开式中 x3的系数为 60， 实数 a= ． 13 3x+ y x- 2y 5的 开式中 x3y3的系数 .(用数字 答) 14 (2x- 1)6 x- 1 x 的 开式中，x 4的系数为 ． (结果 数字) 15 2- x 7 开式中 x3项的系数为 . 16 xlog43+ log32 x  4 开式的 数项为 .(用最简 数表示) 17 (2+ ax)5 a≠ 0 的 开式中 x的项与 x2的项系数相等， a= . 18 已知 1+ 2x 4= a0+ a1x+ a2x2+ a3x3+ a4x4， a0+ a2+ a4的值等于 . 计算专题训练 12二项式定理的相关计算 74观千剑而后识器 临渊羡鱼不如退而结网 19 已知 2x- 1 x+ 1 5= a0+ a1x+ a2x2+ a3x3+ a4x4+ a5x5+ a6x6， a2+ a3+ a4+ a5= ． (用数字 答) 20 1+ 2 x2 1+ x  5 开式中 x3项的系数为 . 21 已知 a> 0，若 (x+ a)9= a0+ a1(x+ 1) + a2(x+ 1)2+⋯+a9(x+ 1)9，且 a5= 126， a= . 22 若 x3+ 1  x2 - 1 x  n 的 开式中 项系数之 为 1 32， 开式中 x 3的系数为 . 23 x- 2 x  5 的 开式中 x-1项的系数为 ． 24 (x- 1)4(x- 2)的 开式中， x3的项的系数 ． 25 2x+ 1 x  4 开式的 数项 ． (用数字 答) 26 若 x+ ay 6 开式中 x3y3的系数为-160， a= ． 27 已知 2x+ 1 x  n 的 开式中 项系数的 为 243， 这个 开式中 x3项的系数 ． 75 操千曲而后晓声 28 (3x- 1)6的 开式中， x2的项的系数为 . 29 二项式 (1+ 3x) (1- 2x)5的 开式中的 x4项的系数为 . 30 x- 1 x  9 的 开式中，x-6的系数为 ． 31 1 x + x  2x- 1x  7 的 开式中 数项为 . 32 二项式 x2+ 2 x  6 的 开式中，x3项的二项式系数为 ． 33 1 x2 + 3 y x2- y 7的 开式中 x8y2的系数为 .(用数字 答) 34 3 x+ 2 x  6 的 开式中 x的系数为 . 35 1 x - x3  4 的二项 开式中的 数项为 ． 36 已知二项式 x 1 2 - ax-1  9 的 开式中 x3的系数为-18， 该二项 开式中的 数项为 . 计算专题训练 12二项式定理的相关计算 76观千剑而后识器 临渊羡鱼不如退而结网 37 x2- 1 x  10 的 开式中的 数项为 . 38 已知 x+ m x  6 的 开式中 数项为 20， 实数m的值为 ． 39 1- x2  x- 2x  8 的 开式中的 数项为 ． 40 二项式 x+ 2 x  4 的 开式中， 数项为 (用数值表示)． 41 x+ 2 x2  10 的 开式中， 数项为 .(结果用数字表示) 42 x2- 2 x  6 的 开式中，x3项的系数 ． 43 x+ 1 2x3  8 开式中的 数项为 ． 44 二项式 x+ 1 x  5 x- 1 的 数项为 ． 45 若 3 x- 1 x  6 的 开式中，x-2的系数为 ． (用数字 答) 77 操千曲而后晓声 46 已知 (1- ax)5(1+ 3x)4的 开式中 x的系数为 2， 实数 a的值为 ． 47 (2x+ 1)4的 开式中，x2的系数为 ． (用数字 答) 48 x2+ y2 (x+ y)6的 开式中，x5y3的系数为 ． 49 已知 1- ax  1+ x 8的 开式中 x5的系数为-84， 实数 a的值 . 50 3x3- 1 x  6 开式中 x2的系数为 . 计算专题训练 12二项式定理的相关计算 专业 专注 专心 博观而约取 厚积而薄发 专题 12 二项式定理的相关计算 1 已知 ax2- 2 x  n 开式的二项式系数之 为 128， n= . 【解析】根据展开式的二项式系数之和为 2n，所以 2n= 128，解得 n= 7，故答案为：7. 2 若 ax- y 8的 开式中 x3y5的系数为-448， a= . 【解析】二项式 ax- y 8展开式的通项为Tr+1=Cr8 ax 8-r -y r 所以 ax- y 8的展开式中含 x3y5的项为C58 ax3 -y 5=-56a3x3y5， 所以 ax- y 8的展开式中 x3y5的系数为-56a3=-448，所以 a= 2.故答案为：2 3 x- 1 x  10 的 开式中 x的系数为 (用数字表示). 【解析】 x- 1 x  10 的通项为Cr10 -1 rx10-rx - 12 r=Cr10 -1 rx 10- 32 r,r∈ 0,1,2,⋯ ,10 , 令 10- 32 r= 1⇒ r= 6，所以展开式中 x的系数为C 6 10 -1 6= 210, 故答案为：210 4 x- y 8 x+ y 的 开式中 x7y2的系数 . 【解析】二项式 x- y 8中，Tr+1= -1 rCr8x8-ryr， 当 x+ y中取 x时，这一项为 -1 rCr8x9-ryr，所以 r= 2，-1 2C28= 28， 当 x+ y中取 y时，这一项为 -1 rCr8x8-ryr+1，所以 r= 1，-1 1C18=-8， 所以展开式中 x2y7的系数为-8+ 28= 20.故答案为：20. 5 若 (1+ 2x2) ax+ 1 x  6 的 开式中所有项的系数 为 192， 开式中 x4的系数为 ． 【解析】令 x= 1，得 3 a+ 1 6= 192，解得 a= 1，进而可得 x+ 1x  6 的展开式为Tr+1=Cr6x6-2r，令 r= 1， 得T2=C16x4= 6x4，令 r= 2，得T3=C26x2= 15x2， 故 x4的系数为 1× 6+ 2× 15= 36．故答案为：36 6 3x- 13 x2  8 的 开式中，x-2项的系数为 ． 【解析】由二项式展开式通项为Tr+1=Cr8(3x)8-r - 13 x2  r = (-1)r38-rCr8x 8- 5r3 ， 令 8- 5r3 =-2，则 r= 6，则T7= 3 2C68x -2= 252x-2，故 x-2项的系数为 252.故答案为：252 7 已知 (1- x) (1+ x)3= a0+ a1x+ a2x2+ a3x3+ a4x4， a1+ a2+ a3= ． 【解析】依题意 (1- x) (1+ x)3= a0+ a1x+ a2x2+ a3x3+ a4x4，令 x= 0，得 a0= 1， 令 x= 1，得 a0+ a1+ a2+ a3+ a4= 0.因为 a4x4=-x×C33x3, 可以得出 a4=-C33=-1, a0+ a1+ a2+ a3+ a4= 1+ a1+ a2+ a3- 1= 0，故 a1+ a2+ a3= 0.故答案为：0. 8 已知二项式 1+ x+ a x2  5 的 数项为-59 ， a= . 【解析】由题意可知 1+ x+ a x2  5 = 1+ x+ a x2      2 ，则其通项为Tr+1=Cr5 x+ a x2  r ,r= 0,1,2,⋯ ,5， 第 124页 共 131页 专业专心 专注 而 x+ a x2  r 的通项为Tk+1=Ckrxr-k a x2  k = akCkrxr-3k,k= 0,1,2,⋯ ,r，令 r- 3k= 0, ∴ r= 3k， 当 k= 0时，r= 0；当 k= 1时，r= 3；当 k≥ 2时，r≥ 6，不合题意， 由二项式 1+ x+ a x2  5 的常数项为-59，可得C05C00a0+C35C13a1=-59， 即 30a=-60，解得 a=-2，故答案为：-2 9 3x2+ 1  x- 2x  5 的 开式中 x的系数为 ． 【解析】 3x2+ 1  x- 2x  5= 3x2 x- 2 x  5+ x- 2 x  5 的展开式中 x的项为 3x2C35x2 - 2x  3+C25x3 - 2x  2=-240x+ 40x=-200x，所以展开式中 x的系数为-200．故答案为：-200. 10 x2+ x 5的 开式中 x9的系数为 【解析】 x2+ x 5展开式的通项为Tr+1=Cr5 ⋅ x2 5-rxr=Cr5x10-r r= 0,1,2,⋯ ,5 ， 令 10- r= 9，解得 r= 1，所以展开式中 x9的系数为C15= 5.故答案为：5. 11 已知 数m> 0，x+ m x  6 的二项 开式中 x2项的系数 60， m的值为 ． 【解析】由已知 x+ m x  6 ，则其展开式的通项为Cr6x 6-r m x  r=Cr6mrx6-2r， 又其二项展开式中 x2项的系数是 60，则令 6- 2r= 2，即 r= 2，C26m2= 15m2= 60， 又m> 0，所以m= 2，故答案为：2. 12 若 x- a  1+ 2x 5的 开式中 x3的系数为 60， 实数 a= ． 【解析】∵ x- a  1+ 2x 5的展开式中含 x3的项为 x ⋅C25 2x 2- a ⋅C35 2x 3= 40- 80a x3， 由已知 x3的系数为 40- 80a= 60，∴ a=- 14 ．故答案为：- 1 4 . 13 3x+ y x- 2y 5的 开式中 x3y3的系数 .(用数字 答) 【解析】 3x+ y x- 2y 5= 3x x- 2y 5+ y x- 2y 5，而 x- 2y 5的通项为Cr5x5-r(-2y)r，r= 0,1,2,3,4, 5， 故展开式中 x3y3的系数是 3×C35× (-2)3+C25× (-2)2=-200,故答案为：-200. 14 (2x- 1)6 x- 1 x 的 开式中，x 4的系数为 ． (结果 数字) 【解析】设 (2x- 1)6的展开式通项为Tr+1=Cr6(2x)6-r(-1)r= (-1)r26-rCr6x6-r， 当 6- r= 3时，r= 3，x3的系数为 (-1)323C36=-160；当 6- r= 5时，r= 1，x5的系数为 (-1)125C16=-192； 所以 x4的系数为 1× (-160) + (-1) × (-192) = 32.故答案为：32 15 2- x 7 开式中 x3项的系数为 . 【解析】 2- x 7展开式的通项公式为Tr+1=Cr727-r - x r= -1 rCr727-rx r 2， 令 r 2 = 3，则 r= 6，所以含 x 3项为T7=C672x3= 14x3，所以 2- x 7展开式中含 x3项的系数为 14. 故答案为：14. 16 xlog43+ log32 x  4 开式的 数项为 .(用最简 数表示) 【解析】 xlog43+ log32 x  4 展开式通项公式Tr+1=Cr4(xlog43)4-r log32 x  r = (log43)4-r ⋅ (log32)rCr4x4-2r,r∈ N,r≤ 4， 计算专题训练 12 二项式定理的相关计算 第 125页 共 131页 专业 专注 专心 博观而约取 厚积而薄发 令 4- 2r= 0，解得 r= 2，则T3= 12 log23  2 ⋅ (log32)2C24= 14 × 6= 3 2 ， 所以 xlog43+ log32 x  4 展开式的常数项是 3 2 .故答案为： 3 2 17 (2+ ax)5 a≠ 0 的 开式中 x的项与 x2的项系数相等， a= . 【解析】由 (2+ ax)5的展开式的通项为Tr+1=Cr5 ⋅ 25-r ⋅ (ax)r= 25-rarCr5 ⋅ xr， 令 r= 1，可得T2= 24 ⋅ a1C15 ⋅ x= 80ax；令 r= 2，可得T2= 23 ⋅ a2C25 ⋅ x2= 80a2x2， 因为展开式中含 x的项与含 x2的项系数相等，可得 a2= a，又因为 a≠ 0，所以 a= 1.故答案为：1. 18 已知 1+ 2x 4= a0+ a1x+ a2x2+ a3x3+ a4x4， a0+ a2+ a4的值等于 . 【解析】令 x= 1，则 a0+ a1+ a2+ a3+ a4= 34= 81；令 x=-1，则 a0- a1+ a2- a3+ a4= 1，上述两式相加 得 2 a0+ a2+ a4 = 81+ 1，故 a0+ a2+ a4= 41；故答案为：41. 19 已知 2x- 1 x+ 1 5= a0+ a1x+ a2x2+ a3x3+ a4x4+ a5x5+ a6x6， a2+ a3+ a4+ a5= ． (用数字 答) 【解析】因为 2x- 1 x+ 1 5= a0+ a1x+ a2x2+ a3x3+ a4x4+ a5x5+ a6x6， 令 x= 0，得 a0=-1；令 x= 1，得 a0+ a1+ a2+ a3+ a4+ a5+ a6= 25= 32； 又 2x- 1 x+ 1 5= 2x x+ 1 5- x+ 1 5，二项式 (x+ 1)5的通项公式为Tr+1=Cr5 ⋅ x5-r ⋅ 1r=Cr5 ⋅ x5-r， 则 a6= 2×C05= 2，a1= 2× 1+ (-1) ×C45=-3，所以 a2+ a3+ a4+ a5= 32- 2- (-3) - (-1) = 34．故答 案为：34 20 1+ 2 x2 1+ x  5 开式中 x3项的系数为 . 【解析】因为 1+ x 5的二项展开式为Tr+1=Cr5× 15-r× xr=Cr5xr,r= 0,1,2,3,4,5， 所以 x3项为 1×T4+ 2 x2 ×T6=C35x3+ 2C55x3= 12x3，即展开式中 x3项的系数为 12.故答案为：12. 21 已知 a> 0，若 (x+ a)9= a0+ a1(x+ 1) + a2(x+ 1)2+⋯+a9(x+ 1)9，且 a5= 126， a= . 【解析】因为 (x+ a)9= a0+ a1(x+ 1) + a2(x+ 1)2+⋯+a9(x+ 1)9， 又 (x+ a)9=[(x+ 1) + a- 1]9，展开式通项为Tr+1=Cr9(x+ 1)9-r(a- 1)r， a5= 126对应 (x+ 1)5的系数，故得到 9- r= 5，解得 r= 4，其系数为C49(a- 1)4= 126⇒ a= 0或 a= 2. 又 a> 0，故实数 a的值为 2.故答案为：2. 22 若 x3+ 1  x2 - 1 x  n 的 开式中 项系数之 为 1 32 ， 开式中 x 3的系数为 . 【解析】因为 x3+ 1  x2 - 1 x  n 的展开式中各项系数之和为 1 32 ,令 x= 1,得 2× 1 2 - 1  n= 132 ,所以 n= 6. 因为 x 2 - 1 x  6 展开式的通顶公式为Tr+1=Cr6 x 2  6-r - 1 x  r =Cr6 1 2  6-r(-1)rx 6- 3r2 , 令 6- 3r2 = 3,得 r= 2;令 6- 3r 2 = 0,得 r= 4,所以展开式中 x 3的系数为C26× 1 2  4+C46× 1 2  2= 7516 . 故答案为： 75 16 23 x- 2 x  5 的 开式中 x-1项的系数为 ． 【解析】解：x- 2 x  5 展开式的通项为Tr+1=Cr5x5-r - 2x  r =Cr5(-2)rx 5- 32 r， 令 5- 32 r=-1，得 r= 4，所以展开式中常数项为C 4 5(-2)4= 80．故答案为：80 第 126页 共 131页 专业专心 专注 24 (x- 1)4(x- 2)的 开式中， x3的项的系数 ． 【解析】由题意可知 (x- 1)4中 x3的系数为C14(-1)1=-4,x2的系数为C24(-1)2= 6, 故 (x- 1)4(x- 2)的展开式中，含 x3的项的系数是 1× 6+ (-2) × (-4) = 14，故答案为：14 25 2x+ 1 x  4 开式的 数项 ． (用数字 答) 【解析】 2x+ 1 x  4 展开式的通项公式是Tr+1=Cr4(2x)4-r 1x  r= 24-rCr4x4-2r,r∈N,r≤ 4， 由 4- 2r= 0，得 r= 2，所以 2x+ 1 x  4 展开式的常数项为T3= 22C24= 4× 6= 24.故答案为：24 26 若 x+ ay 6 开式中 x3y3的系数为-160， a= ． 【解析】 x+ ay 6的通项为：Tr+1=Cr6x6-r ay r=Cr6arx6-ryr，令 r= 3，则C36a3=-160，解得：a=-2. 故答案为：-2. 27 已知 2x+ 1 x  n 的 开式中 项系数的 为 243， 这个 开式中 x3项的系数 ． 【解析】在 2x+ 1 x  n 中令 x= 1得展开式中各项系数的和为 3n= 243，求出 n= 5． ∴ 2x+ 1 x  n 的展开式的通项Tr+1=Cr5 ⋅ (2x)5-r ⋅ 1x  r= 25-r ⋅Cr5 ⋅ x5-2r，令 5- 2r= 3，得 r= 1, ∴T1+1= 24 ⋅ C15 ⋅ x3= 80x3．故答案为：80． 28 (3x- 1)6的 开式中， x2的项的系数为 . 【解析】在 (3x- 1)6展开式中，第 k+ 1项为Tk+1=Ck6(3x)6-k(-1)k=Ck636-k(-1)kx6-k，0≤ k≤ 6,k∈N， 令 k= 4，得含有 x2的项的系数为C46 ⋅ 32 ⋅ (-1)4= 135；故答案为：135. 29 二项式 (1+ 3x) (1- 2x)5的 开式中的 x4项的系数为 . 【解析】(1- 2x)5展开式的通项为Tk+1=Ck5 -2x k= -2 kCk5xk，k= 0,1,2,3,4,5， 所以当 k= 4时，T5= -2 4C45x4= 80x4，当 k= 3时，T4= -2 3C35x3=-80x3， 所以二项式 (1+ 3x) (1- 2x)5的展开式中含 x4项的系数为 80× 1+ (-80) × 3=-160.故答案为：-160. 30 x- 1 x  9 的 开式中，x-6的系数为 ． 【解析】因为 x- 1 x  9 的展开式的通项公式为Tr+1=Cr9 x 9-r - 1x  r 0≤ r≤ 9,r∈N∗ ， 即Tr+1= -1 rCr9x 9-3r 2 0≤ r≤ 9,r∈N∗ ，所以由 9- 3r2 =-6，得到 r= 7，故 x -6的系数为 (-1)7C79=-36. 故答案为：-36. 31 1 x + x  2x- 1x  7 的 开式中 数项为 . 【解析】 2x- 1 x  7 的展开式中通项为Tk+1=Ck7 2x 7-k - 1 x  k =Ck727-k -1 kx 7- 32 k,k= 0,1,2,⋯ ,7, 所以要使 1 x + x  2x- 1x  7 展开式中出现常数项，需 7- 32 k= 1或-1，当 7- 3 2 k= 1时，k= 4；当 7 - 32 k=-1时，k= 16 3 (舍去)，所以常数项为C 4 723 -1 4x ⋅ 1x = 280，故答案为：280. 32 二项式 x2+ 2 x  6 的 开式中，x3项的二项式系数为 ． 【解析】因为Tr+1=Cr6 x2 6-r 2 x  r=Cr6 ⋅ 2r ⋅ x12-3r，r= 0，1，2，⋯，6. 令 12- 3r= 3，得 r= 3，所以 x3项的二项式系数为C36= 20.故答案为：20 计算专题训练 12 二项式定理的相关计算 第 127页 共 131页 专业 专注 专心 博观而约取 厚积而薄发 33 1 x2 + 3 y x2- y 7的 开式中 x8y2的系数为 .(用数字 答) 【解析】由题意得 1 x2 + 3 y x2- y 7= 1x2 x 2- y 7+ 3y x 2- y 7， 因为 x2- y 7的展开式的通项为Tr+1=Cr7 x2 7-r -y r= -1 rCr7x14-2ryr， 令 r= 2，T3= -1 2C27x10y2= 21x10y2，令 r= 3，T4= -1 3C37x8y3=-35x8y3， 所以 1 x + 3 1- 3x 4的展开式中 x8y2的系数为 21+ -35 × 3=-84，故答案为：-84. 34 3 x+ 2 x  6 的 开式中 x的系数为 . 【解析】 3 x+ 2 x  6 的展开式的通项公式为Tr+1=Cr6 3 x 6-r 2 x  r =Cr636-r2rx3-r， 令 3- r= 1，得 r= 2，所以展开式中 x的系数为C26× 34× 22= 4860.故答案为:4860. 35 1 x - x3  4 的二项 开式中的 数项为 ． 【解析】二项式 1 x - x3  4 展开式的通项为Tr+1=Cr4 1x  4-r -x3 r=Cr4x4r-4 -1 r， 令 4r- 4= 0，解得 r= 1，所以T2 =C14x0 -1 1=-4，所以展开式中常数项为-4.故答案为：-4 36 已知二项式 x 1 2 - ax-1  9 的 开式中 x3的系数为-18， 该二项 开式中的 数项为 . 【解析】 x 1 2 - ax-1  9 的展开式的通项Tr+1=Cr9 x 1 2  9-r ⋅ -ax-1 r= -a rCr9x 9 2- 3r 2 ， 令 9 2 - 3r 2 = 3，解得 r= 1，∴-aC 1 9=-9a=-18，解得 a= 2，令 92 - 3r 2 = 0，解得 r= 3， ∴该二项展开式中的常数项为 -2 3C39=-672.故答案为：-672. 37 x2- 1 x  10 的 开式中的 数项为 . 【解析】二项式 x2- 1 x  10 展开式的通项为Tr+1=Cr10 x2 10-r ⋅ - 1x  r =Cr10 -1 r ⋅ x 20- 52 r， 令 20- 5r2 = 0，解得 r= 8，∴常数项为T8+1=C 8 10× -1 8= 45.故答案为：45． 38 已知 x+ m x  6 的 开式中 数项为 20， 实数m的值为 ． 【解析】展开式的通项为Cr6x 6-r m x  r=Cr6mrx6-2r，令 6- 2r= 0解得 r= 3，∴C36m3= 20． ∴m= 1．故答案为：1 39 1- x2  x- 2x  8 的 开式中的 数项为 ． 【解析】 x- 2 x  8 的展开式的通项公式为Tr+1= (-2)r ⋅Cr8x8-r ⋅ x-r= (-2)r ⋅Cr8x8-2r. 令 8- 2r= 0,r= 4，令 8- 2r=-2,r= 5.则 1- x2  x- 2x  8 的展开式中的常数项为 1× (-2)4 ⋅C48- ( -2)5 ⋅C58= 2912.故答案为：2912 40 二项式 x+ 2 x  4 的 开式中， 数项为 (用数值表示)． 【解析】由二项式定理可得 x+ 2 x  4=C04x4 2x-1 0+C14x3 2x-1 1+C24x2 2x-1 2+C34x1 2x-1 3+ C44x 0 2x-1 4， 显然其常数项为第三项即C24x 2 2x-1 2= 24，故答案为：24 第 128页 共 131页 专业专心 专注 41 x+ 2 x2  10 的 开式中， 数项为 .(结果用数字表示) 【解析】 x+ 2 x2  10 展开式通项为：Tr+1=Cr10 x 10-r ⋅ 2 x2  r = 2rCr10x 10-5r 2 ， 令 10- 5r 2 = 0，解得：r= 2，∴T3= 2 2×C210= 4× 45= 180，即常数项为 180.故答案为：180. 42 x2- 2 x  6 的 开式中，x3项的系数 ． 【解析】 x2- 2 x  6 展开式的通项公式为Tr+1=Cr6 x2 6-r ⋅ - 2 x  r=Cr6 -2 rx12-3r， 令 12- 3r= 3，得 r= 3，所以含 x3项的系数为C36 -2 3= 20× -8 =-160，故答案为：-160． 43 x+ 1 2x3  8 开式中的 数项为 ． 【解析】 x+ 1 2x3  8 展开式通项为Tr+1=Cr8x8-r ⋅ 12x3  r =Cr8 ⋅ 12r x8-4r r= 0,1,2,⋯ ,8 ， 令 8- 4r= 0，得 r= 2，所以常数项为 C 2 8 22 = 7．故答案为：7. 44 二项式 x+ 1 x  5 x- 1 的 数项为 ． 【解析】 x+ 1 x  5 的展开式的通项公式为Tr+1=Cr5x5-r 1x  r=Cr5x5-2r， 而 x+ 1 x  5 x- 1 = x x+ 1x  5- x+ 1 x  5 ，令 5- 2r+ 1= 0，得 r= 3；令 5- 2r= 0，得 r= 52 (舍). 所以 x+ 1 x  5 x- 1 的展开式中的常数项为C35= 10．故答案为：10 45 若 3 x- 1 x  6 的 开式中，x-2的系数为 ． (用数字 答) 【解析】 3 x- 1 x  6 的展开式通项为Tk+1=Ck6 ⋅ 3 x 6-k ⋅ - 1 x  k=Ck6 ⋅ -1 k ⋅ x 2- 43 k k= 0,1,2,⋯ ,6 ， 令 2- 43 k=-2，可得 k= 3，因此，展开式中 x -2的系数为C36 ⋅ -1 3=-20.故答案为：-20. 46 已知 (1- ax)5(1+ 3x)4的 开式中 x的系数为 2， 实数 a的值为 ． 【解析】解：(1- ax)5 展开式的通项公式为Cr5 -ax r，r= 1,2,...,5， (1+ 3x)4展开式的通项公式为 Cs4 3x s，s= 1,2,...,4，所以 (1- ax)5(1+ 3x)4的展开式中 x的系数为 C05 -a 0C1431+C15 -a 1C0430= 2，解得 a= 2，故答案为：2 47 (2x+ 1)4的 开式中，x2的系数为 ． (用数字 答) 【解析】(2x+ 1)4的展开式通项公式为Tr+1=Cr4 2x 4-r， 令 r= 2，得T3=C24 2x 2= 24x2，故 x2的系数为 24.故答案为：24. 48 x2+ y2 (x+ y)6的 开式中，x5y3的系数为 ． 【解析】因为 x2C36x 3y3+ y2C16x5y= 26x5y3，所以 x5y3的系数为 26．故答案为：26 49 已知 1- ax  1+ x 8的 开式中 x5的系数为-84， 实数 a的值 . 【解析】 1+ x 8的通项公式为Tr+1=Cr8xr，所以 (1- ax) (1+ x)8= (1- ax) ⋅Cr8xr=Cr8xr- aCr8xr+1， 令 r= 5，则Cr8xr的展开式中 x5的系数为C58= 56；令 r+ 1= 5,r= 4，则 aCr8xr+1的展开式中 x5的系数为 aC48= 70a；故 1- ax  1+ x 8的展开式中 x5的系数为 56- 70a=-84, ∴ a= 2.故答案为：2. 50 3x3- 1 x  6 开式中 x2的系数为 . 计算专题训练 12 二项式定理的相关计算 第 129页 共 131页 专业 专注 专心 博观而约取 厚积而薄发 【解析】 3x3- 1 x  6 展开式的通项公式为Tr+1= -1 r×Cr6× 36-r ⋅ x18-4r，令 18- 4r= 2，解得 r= 4， 所以含 x2的项的系数为 -1 4×C46× 36-4= 135.故答案为：135. 第 130页 共 131页