专题10 三角恒等变换（原卷版）-遇见最美的数学系列——计算专题

63 操千曲而后晓声 专题 10 三角恒等变换 1 cos70°cos20° -sin70°sin160° = ( ) A. 0 B. 12 C. 3 2 D. 1 2 sin40°cos10° +cos140°sin10° = ( ) A. - 32 B. 3 2 C. - 1 2 D. 1 2 3 sin20°cos40°+ cos20°sin140°= A. - 32 B. 3 2 C. - 1 2 D. 1 2 4 已知 cos α- π6 = 1 3 ， sin 2α+ π 6 = ( ) A. - 79 B. 7 9 C. - 2 2 3 D. 2 2 3 5 若 tanα= cosα3- sinα， sin 2α+ π 2 = ( ) A. 23 B. 1 3 C. 8 9 D. 7 9 6 sin20°cos40° +sin70°sin40° = ( ) A. 32 B. 1 2 C. 2 2 D. 1 计算专题训练 1解一元二次不等式计算专题训练 10三角恒等变换 64观千剑而后识器 临渊羡鱼不如退而结网 7 若 tan α- π8 = 2， tan 2α- π 4 = ( ) A. 34 B. - 3 4 C. 4 3 D. - 4 3 8 已知 α∈ 0, π2 ，且 2cos2α= sin α+ π 4 ， sin2α= ( ) A. - 34 B. 3 4 C. - 1 D. 1 9 已知 sin 5π12 + θ = 4 5 ， sin 2θ+ π 3 = ( ) A. - 2425 B. - 7 25 C. 7 25 D. 24 25 10 已知 tanα= 2， 1- 3cos 2α sin2α = ( ) A. 12 B. 1 4 C. 2 D. 4 11 化简： 2sin π- α + sin2α 2cos2 α2 = ( ) A. sinα B. sin2α C. 2sinα D. sin α2 12 cos78°cos18° +sin78°sin18°的值为 ( ) A. 12 B. 1 3 C. 3 2 D. 3 3 13 若 tanθ=-2， sin π2 + θ 1- sin2θ  sin π- θ + cos π+ θ  = 65 操千曲而后晓声 14 已知 π2 < θ< π，且 cosθ=- 4 5 ， tan2θ= ． 15 已知 cos2α sin α+ π4  = 47 ， sin2α的值 ． 16 已知 α∈ 0,π ，若 sin α- π6 = 3 3 ， cos 2α+ π 6 = . 17 若 x∈ - π2 ,0 ,sinx=- 3 5 ， tan2x= . 18 已知 α∈ π,2π ，cosα- 3sinα= 1， cos α2 = ． 19 若 α∈ 0, π2 ,tan2α= cosα sinα ， α= . 20 已知 tanα= 3， sin2α= ． 21 已知 α 第二 的角，cos2α= 14 ， tanα= ． 22 已知 2cos2α- 5sinα+ 1= 0， cos2α= ． 计算专题训练 1解一元二次不等式计算专题训练 10三角恒等变换 66观千剑而后识器 临渊羡鱼不如退而结网 23 若 tanθ= 2， sinθcos2θcosθ- sinθ = . 24 函数 f x = sin2xsinx1+ cosx 的值域 ． 25 已知 sin2α= cosα，α∈ 0, π2 ，tanα= ． 26 (1)计算：cos157° +sin97°sin60°cos97° ； (2)已知 tanα=-1， cos2α- 2sinαcosα- 1的值． 专业专心 专注 专题 10 三角恒等变换 1 cos70°cos20° -sin70°sin160° = ( ) A. 0 B. 12 C. 3 2 D. 1 【答案】A 【解析】cos20°cos70° -sin160°sin70° = cos20°cos70° -sin 180° -20° sin70° = cos20°cos70° -sin20°sin70° = cos 20° +70° = cos90° = 0． 故选：A． 2 sin40°cos10° +cos140°sin10° = ( ) A. - 32 B. 3 2 C. - 1 2 D. 1 2 【答案】D 【解析】sin40°cos10° +cos140°sin10°， = sin40°cos10° -cos40°sin10°， = sin(40° -10°)， = sin30° = 12 . 故选：D 3 sin20°cos40°+ cos20°sin140°= A. - 32 B. 3 2 C. - 1 2 D. 1 2 【答案】B 【解析】sin20°cos40° +cos20°sin140° = sin20°cos40° +cos20°sin40° = sin(20° +40°) = sin60° = 32 故选B 4 已知 cos α- π6 = 1 3 ， sin 2α+ π 6 = ( ) A. - 79 B. 7 9 C. - 2 2 3 D. 2 2 3 【答案】A 【解析】因为 cos α- π6 = 1 3 ， 故 sin 2α+ π6 = sin 2 α- π 6 + π 2    = cos2 α- π 6 = 2cos 2 α- π6 - 1= 2 9 - 1=- 7 9 ， 故选：A 5 若 tanα= cosα3- sinα， sin 2α+ π 2 = ( ) A. 23 B. 1 3 C. 8 9 D. 7 9 【答案】D 计算专题训练 1 解一元二次不等式计算专题训练 10 三角恒等变换 第 109页 共 131页 专业 专注 专心 博观而约取 厚积而薄发 【解析】因为 tanα= cosα3- sinα，所以 sinα cosα = cosα 3- sinα，即 3sinα- sin 2α= cos2α， 所以 3sinα= sin2α+ cos2α= 1，即 sinα= 13 ， 所以 sin 2α+ π2 = cos2α= 1- 2sin 2α= 79 ， 故选：D． 6 sin20°cos40° +sin70°sin40° = ( ) A. 32 B. 1 2 C. 2 2 D. 1 【答案】A 【解析】已知可化为：sin20°cos40° +cos20°sin40° = sin 20° +40° = 32 . 故选：A 7 若 tan α- π8 = 2， tan 2α- π 4 = ( ) A. 34 B. - 3 4 C. 4 3 D. - 4 3 【答案】D 【解析】由 tan 2α- π4 = 2tan α- π8  1- tan2 α- π8  = 41- 4 =- 4 3 . 故选：D 8 已知 α∈ 0, π2 ，且 2 cos2α= sin α+ π 4 ， sin2α= ( ) A. - 34 B. 3 4 C. - 1 D. 1 【答案】B 【解析】∵ 2 cos2α= sin α+ π4 ， ∵ 2 cos2α- sin2α = 22 (sinα+ cosα), ∴ (cosα+ sinα) cosα- sinα- 12 = 0， 又 α∈ 0, π2 ，则 sinα> 0,cosα> 0，即 cosα+ sinα> 0 所以 cosα- sinα= 12 ， 因为 α∈ 0, π2 ，所以 2α∈ (0,π)，sin2α> 0. 由 cosα- sinα= 12 平方可得 1- sin2α= 1 4 ，即 sin2α= 3 4 ，符合题意. 综上，sin2α= 34 . 故选：B. 9 已知 sin 5π12 + θ = 4 5 ， sin 2θ+ π 3 = ( ) A. - 2425 B. - 7 25 C. 7 25 D. 24 25 【答案】C 【解析】sin 5π12 + θ = sin π 2 - π 12 - θ  = cos π 12 - θ = 4 5 ， 第 110页 共 131页 专业专心 专注 所以 cos 2θ- π6 = cos π 6 - 2θ = 2cos 2 π 12 - θ - 1= 2× 4 5  2- 1= 725 ， 得 sin 2θ+ π3 = sin π 2 + 2θ- π 6  = cos 2θ- π 6 = 7 25 . 故选：C. 10 已知 tanα= 2， 1- 3cos 2α sin2α = ( ) A. 12 B. 1 4 C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】因为 tanα= 2， 所以 1- 3cos2α sin2α = sin2α- 2cos2α 2sinαcosα = tan2α- 2 2tanα = 2 4 = 1 2 ， 故选：A. 11 化简： 2sin π- α + sin2α 2cos2 α2 = ( ) A. sinα B. sin2α C. 2sinα D. sin α2 【答案】C 【解析】根据题意可知，利用诱导公式可得 2sin π- α + sin2α 2cos2 α2 = 2sinα+ sin2α 2cos2 α2 再由二倍角的正弦和余弦公式可得 2sinα+ sin2α 2cos2 α2 = 2sinα 1+ cosα  2cos2 α2 = 2sinα 1+ cosα  1+ cosα = 2sinα， 即 2sin π- α + sin2α 2cos2 α2 = 2sinα. 故选：C 12 cos78°cos18° +sin78°sin18°的值为 ( ) A. 12 B. 1 3 C. 3 2 D. 3 3 【答案】A 【解析】依题意由两角差的余弦公式可知， cos78°cos18° +sin78°sin18° = cos 78° -18° = cos60° = 12 . 故选：A 13 若 tanθ=-2， sin π2 + θ 1- sin2θ  sin π- θ + cos π+ θ  = 【答案】- 35 /- 0.6 【解析】 sin π2 + θ 1- sin2θ  sin π- θ + cos π+ θ  = cosθ sinθ- cosθ 2 sinθ- cosθ = cosθsinθ- cos 2θ = cossinθ- cos 2θ cos2θ+ sin2θ = tanθ- 1 1+ tan2θ = -2- 1 1+ (-2)2 =- 35 ， 计算专题训练 1 解一元二次不等式计算专题训练 10 三角恒等变换 第 111页 共 131页 专业 专注 专心 博观而约取 厚积而薄发 故答案为：- 35 14 已知 π2 < θ< π，且 cosθ=- 4 5 ， tan2θ= ． 【答案】- 247 【解析】cosθ=- 45 ，sinθ=± 1- cos 2θ=± 35 ， ∵ π2 < θ< π，∴ sinθ= 3 5 . ∴ tanθ= sinθcosθ =- 3 4 , tan2θ= 2tanθ 1- tan2θ = - 32 1- 916 =- 247 . 故答案为：- 247 . 15 已知 cos2α sin α+ π4  = 47 ， sin2α的值 ． 【答案】 41 49 【解析】 cos2α sin α+ π4  = 47 ⇒ cos2α- sin2α sinα ⋅ 22 + cosα ⋅ 2 2 = 47 ⇒ cosα- sinα= 2 2 7 ⇒ cos2α- 2sinαcosα+ sin2α= 849 ⇒ 1- sin2α= 8 49 ⇒ sin2α= 41 49 ， 故答案为： 41 49 16 已知 α∈ 0,π ，若 sin α- π6 = 3 3 ， cos 2α+ π 6 = . 【答案】± 2 23 【解析】因为 sin α- π6 = 3 3 ，α∈ 0,π ， 所以 cos α- π6 =± 1- sin 2 α- π6 =± 6 3 所以 sin2 α- π6 = 2sin α- π 6 cos α- π 6 =± 2 2 3 所以 cos 2α+ π6 = cos 2α- π 3 + π 2    = cos 2 α- π 6 + π 2    =-sin2 α- π 6 =± 2 2 3 . 故答案为：± 2 23 . 17 若 x∈ - π2 ,0 ,sinx=- 3 5 ， tan2x= . 【答案】- 247 【解析】∵ x∈ - π2 ,0 ,sinx=- 3 5 ∴ cosx= 4 5 ,tanx=- 3 4 ∴ tan2x= 2tanx 1- tan2x = - 32 1- 916 =- 247 故答案为：- 247 第 112页 共 131页 专业专心 专注 18 已知 α∈ π,2π ，cosα- 3sinα= 1， cos α2 = ． 【答案】- 1010 【解析】因为 α∈ π,2π ，所以 α2 ∈ π 2 ,π ，由 cosα- 3sinα= 1可得 1- 2sin 2 α 2 - 6sin α 2 cos α 2 = 1，整理可 得 sin α2 =-3cos α 2 ， sin α2 =-3cos α 2 sin2 α2 + cos 2 α 2 = 1 π 2 < α 2 < π        ⇒ cos α2 =- 10 10 ． 故答案为：- 1010 19 若 α∈ 0, π2 ,tan2α= cosα sinα ， α= . 【答案】 π 6 / 1 6 π 【解析】依题意，α∈ 0, π2 ,tan2α= cosα sinα ， 所以 2tanα 1- tan2α = 1tanα ,2tan 2α= 1- tan2α， tan2α= 13 ，而 α为锐角，所以 tanα= 3 3 ,α= π 6 . 故答案为： π 6 20 已知 tanα= 3， sin2α= ． 【答案】 3 5 【解析】sin2α= 2sinαcosα sin2α+ cos2α = 2tanα tan2α+ 1 = 2× 3 32+ 1 = 35 . 故答案为： 3 5 21 已知 α 第二 的角，cos2α= 14 ， tanα= ． 【答案】- 155 /- 1 5 15 【解析】因为 cos2α= 1- 2sin2α= 14 ，又 α是第二象限的角， 所以 sinα= 64 ，cosα=- 10 4 ， 所以 tanα= 6 4 - 104 =- 155 . 故答案为：- 155 . 22 已知 2cos2α- 5sinα+ 1= 0， cos2α= ． 【答案】 1 2 /0.5 【解析】解：已知 2cos2α- 5sinα+ 1= 2 1- sin2α - 5sinα+ 1=-2sin2α- 5sinα+ 3= 0， 即 2sin2α+ 5sinα- 3= 2sinα- 1  sinα+ 3 = 0， 解得 sinα= 12 或 sinα=-3(舍)， 计算专题训练 1 解一元二次不等式计算专题训练 10 三角恒等变换 第 113页 共 131页 专业 专注 专心 博观而约取 厚积而薄发 ∴ cos2α= 1- 2sin2α= 1- 2× 14 = 1 2 ， 故答案为： 1 2 . 23 若 tanθ= 2， sinθcos2θcosθ- sinθ = . 【答案】 6 5 /1.2/1 1 5 【解析】 sinθcos2θ cosθ- sinθ = sinθ cos2θ- sin2θ  cosθ- sinθ = sinθ cosθ+ sinθ  = sinθcosθ+ sin2θ= sinθcosθ+ sin 2θ sin2θ+ cos2θ = tanθ+ tan 2θ tan2θ+ 1 = 2+ 45 = 6 5 . 故答案为： 6 5 . 24 函数 f x = sin2xsinx1+ cosx 的值域 ． 【答案】 -4, 12  【解析】因为 f x = sin2xsinx1+ cosx = 2sin2xcosx 1+ cosx = 2 1- cos2x cosx 1+ cosx =-2cos 2x+ 2cosx=-2 cosx- 12  2+ 1 2 ， 因为-1≤ cosx≤ 1， 当 cosx= 12 时，f x 取得最大值 1 2 ， 当 cosx=-1时，f x 取得最小值-4， 又因为 1+ cosx≠ 0，所以 f x 的值域为 -4, 12 ． 故答案为：-4, 12 . 25 已知 sin2α= cosα，α∈ 0, π2 ，tanα= ． 【答案】 3 3 / 1 3 3 【解析】sin2α= cosα= 2sinαcosα，α∈ 0, π2 ，则 cosα≠ 0， sinα= 12 ，α= π 6 ，故 tanα= 3 3 . 故答案为： 3 3 26 (1)计算：cos157° +sin97°sin60°cos97° ； (2)已知 tanα=-1， cos2α- 2sinαcosα- 1的值． 【答案】(1) 12 ；(2) 1 2 【解析】(1) cos157° +sin97°sin60°cos97° = cos 97° +60° + sin97°sin60° cos97° = cos97°cos60° -sin97°sin60° +sin97°sin60°cos97° = cos60° = 12 ． 第 114页 共 131页 专业专心 专注 (2)cos2α- 2sinαcosα- 1 = cos 2α- 2sinαcosα cos2α+ sin2α - 1 = 1- 2tanα 1+ tan2α - 1 = 1- 2× -1  1+ -1 2 - 1 = 12 ． 计算专题训练 1 解一元二次不等式计算专题训练 10 三角恒等变换 第 115页 共 131页