专题9 诱导公式的化简求值（原卷版）-遇见最美的数学系列——计算专题

55 操千曲而后晓声 专题 9 诱导公式的化简求值 1 已知 α∈ 0, π2 ，sinα= 3 5 ， sin α+ 9π2 + sin(α+ 8π) sin 5π2 + α + sin(7π+ α) = ． 2 若 cos α+ π12 = 2 3 ， sin 2α+ 2π 3 = . 3 计算 cos 7π6 sin 5π 4 tan 4π3 的结果为 ． 4 点A 3,4  角 θ的终边上， sin(π+ θ) + 2cosθ cos π2 - θ - cosθ = ． 5 若 sinα= 13 ， cos π 2 + α = . 6 已知角 α终边上一点P -2,3 ， cos π2 + α sin π- α  cos π+ α cot 3π2 + α  = ． 7 tan - 23π3 = . 计算专题训练 9诱导公式的化简求值 56观千剑而后识器 临渊羡鱼不如退而结网 8 cos660° = . 9 化简: sin -2π- θ cos 6π- θ  cos θ- π sin 5π+ θ  = . 10 若 sin π- α = 33 ， cos α+ π 2 = ． 11 cos π- α  sin α- π  sin π2 - α cos α+ π 2 = 12 已知 cos π+ α =- 12 ， 3 2 π< α< 2π， sin 3π+ α = ． 13 tan 2π- x sin -2π- x cos 6π- x cos π- x  sin x+ 3π2 cos π 2 - x  = 14 若 α的终边过点 -1,2 ， sin π- α  sin π2 + α - cos π+ α  = . 15 已知 sin π+ α = 13 ， cos π 2 + α = . 16 若角 α的终边过点 1, -2 ， sin α- π2 = . 57 操千曲而后晓声 17 cos - 174 π - sin - 17 4 π = ． 18 sin 7π3 的值为 19 已知 sinα= 513， cos α+ π 2 = . 20 已知 tanα= 3， sin(4π- α) + 3cos(-π- α) 2sin - 9π2 + α - sin(7π+ α) = 21 已知角 x 第二 ，且 cos x+ π2 =- 4 5 , tan2x= ． 22 若 sin π+A =- 12 ， cos A- 3π 2 = ． 23 化简： cos 3π- α  sin α+ π2  ⋅ tan α- π2  cot 2π+ α  = ． 24 已知 α 第二 角，sinα= 13 ， sin π 2 + α = ． 25 已知 tanα= 12 ， cos π- α  cos π2 + α  = ． 计算专题训练 9诱导公式的化简求值 58观千剑而后识器 临渊羡鱼不如退而结网 26 已知 cosα= 12 ， 3π 2 < α< 2π， sin 2π- α = . 27 化简： cos π+ α cos π2 + α cos 11π 2 - α  cos π- α sin -π- α sin 9π2 + α  = ． 28 化简 sin(θ- 5π)cos θ- π2 cos(8π- θ) sin θ- 3π2 sin(-θ- 4π) = ． 29 化简 2sin(π+ α)cos(π- α) + cos(2π- α) 1+ cos2 3π2 - α + cos 3π 2 + α - sin 2 π 2 + α  的结果为 . 30 已知角 θ的顶点 标原点，始边与 x轴的 负半轴 ，终边经过点P -8m, -6m m> 0 ． (1) sinθ，cosθ的值； (2) sin -θ ⋅ sin θ- 3π ⋅ cos π+ θ ⋅ cos 3π2 - θ  sin 2π- θ ⋅ cos 3π- θ ⋅ sin 5π2 - θ ⋅ sin θ- π  的值． 31 已知角 θ的始边为 x轴 负半轴,终边过点A(-1, 2 ). (1) -cos 3π2 + θ + 2 sin π 2 + θ  sin(2π- θ) - 2 2cos(-θ) 的值. (2)已知角 α的始边为 x轴 负半轴,角 θ α的终边关于 y轴对称, sin α- π6 的值. 59 操千曲而后晓声 32 已知 f α = sin α- π2 cos π 2 + α  cos π- α sin 3π2 + α  . (1)若角 α的终边经过点 m,2m ，m≠ 0， f α 的值； (2)若 f α = 2， sinα+ cosαsinα- cosα 的值. 33 已知 f α = sin π2 - α sin -α tan π- α  tan 2π- α sin π+ α  (1)化简 f α ． (2)若 α为第三 角，且 cos 3π2 - α = 1 5 ， f α 的值． 34 已知 f α = sin 2π- α ⋅ sin 3π2 - α  sin π2 + α ⋅ cos α- π  ． (1)化简 f α ； (2)若 f α = 2， 2sin 2α- 1 sin2α+ 2cos2α 的值 35 (1)化简： tan(π- α)cos(2π- α)sin -α+ 3π2  cos(-α- π)sin(-π- α) ； (2)已知 cos π4 + x = 3 5 ， sin2x- 2sin2x 1- tanx 的值． 36 已知 f α = cos π2 + α tan π- α sin 3π 2 + α  cos π+ α tan 3π+ α  . (1)若 α∈ 0,2π ，且 f α =- 12 ， α的值； (2)若 f α - f 3π2 + α = 1 5 ，且 α∈ π 2 , 3π 2 ， tanα的值. 计算专题训练 9诱导公式的化简求值 60观千剑而后识器 临渊羡鱼不如退而结网 37 已知 tanα= 3， sin π2 + α + 3sin π+ α  cos 3π2 - α - cos 5π+ α  的值． 38 已知 sin π- α + sin α+ 5π2  2sin α- π2 + sin α+ π  = 3. (1) tanα的值； (2) 4sinαcosα+ 2cos2α的值. 39 已知角 α终边上一点P(-4,3), cos π2 + a - sin -π- α  cos 11π2 - a + sin 9π 2 + a  的值． 40 设 f θ = 2cos3θ+ sin2 θ+ π2 - 2cos(-θ- π) 2+ 2cos2(7π+ θ) + cos(-θ) ， f 2023π3 的值. 41 已知 tanθ=- 12 ， 下 式的值： (1) 2cos 2θ- 1 2sinθcosθ ； (2) tan(θ- π)sin(π- θ) sin θ+ 3π2 cos θ- π 2 cos θ+ π 2  ． 42 已知 f α = sin α- 3π ⋅ cos 2π- α ⋅ sin -α+ 32 π  cos -π- α ⋅ sin -π+ α  ． (1)化简 f α ； (2)若 α=- 313 π，f α ． 61 操千曲而后晓声 43 已知 f(α) = sin(α- 3π)cos(2π- α)sin -α+ 3π2  cos(-π- α)sin(-π- α) . (1)化简 f(a)； (2)若 α 第三 角，且 cos α- 3π2 = 1 5 ， f α+ π 6 的值； 44 sin(2π- α)sin(π+ α)cos(-π- α) sin(3π- α)cos(π- α) . 45 (1)化简：f α = sin 2π- α cos π+ α cos π2 + α cos 11π 2 - α  cos π- α sin 3π- α sin -π- α sin 9π2 + α  (2) 值：cos21° ⋅ cos24° +sin159° ⋅ sin204°． 46 .化简下 式： (1)sin - 296 π + cos 12 5 π ⋅ tan4π； (2) tan(π+ α) ⋅ cos(2π+ α) ⋅ sin α- 32 π  cos(-α- 3π) ⋅ sin(-π- α) . 47 已知 f x = sin 2π- x cos π+ x cos 5π2 - x  cos π- x sin -π- x sin 9π2 + x  ． (1)化简 f x ； (2)已知 f α = 2， sin2α的值． 48 (1)已知 tan π- α =- 23 ， cosα- 3sinα cosα+ 9sinα 的值； (2)化简 sin π- θ sin 3π2 - θ tan 2π- θ  sin π2 - θ tan π+ θ cos -θ  . 计算专题训练 9诱导公式的化简求值 62观千剑而后识器 临渊羡鱼不如退而结网 49 已知 sinα= 2cosα， ： (1)化简 cos α- π2  sin 5π2 + α  sin α- 2π cos 2π- α ； (2) sin2α sin2α+ sinαcosα- cos2α- 1 的值. 50 化简以下式子： sin 7π2 + α cos π+ α tan 3π- α  sin -α- 2π tan π+ α cos 9π- α  专业 专注 专心 博观而约取 厚积而薄发 专题 9 诱导公式的化简求值 1 已知 α∈ 0, π2 ，sinα= 3 5 ， sin α+ 9π2 + sin(α+ 8π) sin 5π2 + α + sin(7π+ α) = ． 【答案】7 【解析】因为 sinα= 35 ，且 α∈ 0, π 2 ， 所以 cosα= 1- sin2α= 45 ， 所以 tanα= sinαcosα = 3 4 ． 所以 sin α+ 9π2 + sin(α+ 8π) sin 5π2 + α + sin(7π+ α) = cosα+ sinαcosα- sinα = 1+ tanα 1- tanα = 1+ 34 1- 34 = 7． 故答案为：7. 2 若 cos α+ π12 = 2 3 ， sin 2α+ 2π 3 = . 【答案】- 19 【解析】sin 2α+ 2π3 = sin 2 α+ π 12 + π 2    = cos 2 α+ π 12   = 2cos2 α+ π12 - 1= 2× 2 3  2- 1=- 19 . 故答案为：- 19 . 3 计算 cos 7π6 sin 5π 4 tan 4π3 的结果为 ． 【答案】 2 4 / 1 4 2 【解析】因为 cos 7π6 = cos π+ π 6 =-cos π 6 =- 3 2 ， sin 5π4 = sin π+ π 4 =-sin π 4 =- 2 2 ， tan 4π3 = tan π+ π 3 = tan π 3 = 3， 所以 cos 7π6 sin 5π 4 tan 4π3 = - 32 × - 22  3 = 24 ， 故答案为： 2 4 . 4 点A 3,4  角 θ的终边上， sin(π+ θ) + 2cosθ cos π2 - θ - cosθ = ． 第 96页 共 131页 专业专心 专注 【答案】2 【解析】因为点A 3,4 在角 θ的终边上，则 tanθ= 43 ， 所以 sin(π+ θ) + 2cosθ cos π2 - θ - cosθ = -sinθ+ 2cosθsinθ- cosθ = -tanθ+ 2 tanθ- 1 = - 43 + 2 4 3 - 1 = 2. 故答案为：2 5 若 sinα= 13 ， cos π 2 + α = . 【答案】- 13 【解析】cos π2 + α =-sinα=- 1 3 . 故答案为：- 13 6 已知角 α终边上一点P -2,3 ， cos π2 + α sin π- α  cos π+ α cot 3π2 + α  = ． 【答案】- 3 1313 【解析】由诱导公式知， cos π2 + α sin π- α  cos π+ α cot 3π2 + α  == -sinα ⋅ sinα-cosα ⋅ (-tanα) =-sinα， 因为角 α终边上一点P -2,3 ， 所以 sinα= 3 (-2)2+ 32 = 3 1313 ， 所以原式=-sinα=- 3 1313 . 故答案为：- 3 1313 7 tan - 23π3 = . 【答案】 3 【解析】tan - 23π3 =-tan 23π 3 =-tan 7π+ 2π 3 =-tan 2π 3 = tan π 3 = 3 故答案为： 3 . 8 cos660° = . 【答案】 1 2 /0.5 【解析】cos660° = cos 2× 360° -60° = cos -60° = cos60° = 12 故答案为： 1 2 9 化简: sin -2π- θ cos 6π- θ  cos θ- π sin 5π+ θ  = . 【答案】-1 【解析】原式= sin -θ ⋅ cos -θ  cos π+ θ ⋅ sin π+ θ  = -sinθ ⋅ cosθ -cosθ ⋅ -sinθ  =-1. 故答案为：-1. 计算专题训练 9 诱导公式的化简求值 第 97页 共 131页 专业 专注 专心 博观而约取 厚积而薄发 10 若 sin π- α = 33 ， cos α+ π 2 = ． 【答案】- 33 【解析】因为 sin π- α = sinα= 33 ， 所以 cos α+ π2 =-sinα=- 3 3 . 故答案为：- 33 11 cos π- α  sin α- π  sin π2 - α cos α+ π 2 = 【答案】-cos2α 【解析】原式= -cosα  -sinα  ⋅ cosα ⋅ -sinα =-cos2α 故答案为：-cos2α. 12 已知 cos π+ α =- 12 ， 3 2 π< α< 2π， sin 3π+ α = ． 【答案】 3 2 【解析】∵ cos π+ α =- 12 ， ∴-cosα=- 12 ，即 cosα= 1 2 ， ∵ 32 π< α< 2π， ∴ sinα=- 1- cos2α=- 32 ∴ sin 3π+ α =-sinα= 32 . 故答案为： 3 2 . 13 tan 2π- x sin -2π- x cos 6π- x cos π- x  sin x+ 3π2 cos π 2 - x  = 【答案】sinx 【解析】tan 2π- x =-tanx,sin -2π- x = sin -x =-sinx， cos 6π- x = cos -x = cosx,cos π- x =-cosx， sin x+ 3π2 =-cosx,cos π 2 - x = sinx， 原式= -tanx × -sinx × cosx× -cosx  -cosx × sinx = tanx× cosx= sinx， 故答案为：sinx. 14 若 α的终边过点 -1,2 ， sin π- α  sin π2 + α - cos π+ α  = . 【答案】-1 【解析】因为 α的终边过点 (-1,2)，由三角函数的定义可得 tanα= 2-1 =-2， 所以 sin π- α  sin π2 + α - cos π+ α  = sinαcosα+ cosα = 1 2 tanα= 1 2 × (-2) =-1. 第 98页 共 131页 专业专心 专注 故答案为：-1 15 已知 sin π+ α = 13 ， cos π 2 + α = . 【答案】 1 3 【解析】由已知 sin(π+ α) =-sinα= 13 ，sinα=- 1 3 ， 所以 cos π2 + α =-sinα= 1 3 ． 故答案为： 1 3 ． 16 若角 α的终边过点 1, -2 ， sin α- π2 = . 【答案】- 55 【解析】角 α的终边过点 (1, -2)， 由三角函数的定义得 cosα= 1 12+ (-2)2 = 55 ， 由诱导公式得 sin α- π2 =-sin π 2 - α =-cosα=- 5 5 ， 故答案为：- 55 17 cos - 174 π - sin - 17 4 π = ． 【答案】 2 【解析】cos - 17π4 - sin - 17π 4 = cos 17π 4 + sin 17π 4 = cos 4π+ π 4 + sin 4π+ π 4  = cos π4 + sin π 4 = 2 2 + 2 2 = 2 ； 故答案为： 2 . 18 sin 7π3 的值为 【答案】 3 2 【解析】sin 7π3 = sin 2π+ π 3 = sin π 3 = 3 2 . 故答案为： 3 2 . 19 已知 sinα= 513 ， cos α+ π 2 = . 【答案】- 513 【解析】由 cos α+ π2 =-sinα=- 5 13 . 故答案为：- 513 20 已知 tanα= 3， sin(4π- α) + 3cos(-π- α) 2sin - 9π2 + α - sin(7π+ α) = 【答案】-6 【解析】原式= -sinα- 3cosα-2cosα+ sinα = -tanα- 3 -2+ tanα = -3- 3 -2+ 3 =-6. 故答案为：-6. 计算专题训练 9 诱导公式的化简求值 第 99页 共 131页 专业 专注 专心 博观而约取 厚积而薄发 21 已知角 x 第二 ，且 cos x+ π2 =- 4 5 , tan2x= ． 【答案】 24 7 /3 3 7 【解析】cos x+ π2 =- 4 5 ，即-sinx=- 4 5 ，则 sinx= 4 5 ， ∵角 x在第二象限，则 cosx=- 1- sin2x=- 35 ，则 tanx=- 4 3 ， ∴ tan2x= 2tanx 1- tan2x = 247 . 故答案为： 24 7 . 22 若 sin π+A =- 12 ， cos A- 3π 2 = ． 【答案】- 12 /- 0.5 【解析】因为 π+A - A- 3π2 = 5π 2 ， 所以 cos A- 3π2 = cos π+A - 5π 2    = cos π+A - π 2    = cos π 2 - π+A     = sin π+A =- 1 2 . 故答案为：- 12 23 化简： cos 3π- α  sin α+ π2  ⋅ tan α- π2  cot 2π+ α  = ． 【答案】1 【解析】 cos 3π- α  sin α+ π2  ⋅ tan α- π2  cot 2π+ α  = -cosαcosα ⋅ -cotα cotα = 1. 故答案为：1 24 已知 α 第二 角，sinα= 13 ， sin π 2 + α = ． 【答案】- 2 23 /- 2 3 2 【解析】因为 α是第二象限角，sinα= 13 ， 所以 sin π2 + α = cosα=- 1- sin 2α=- 1- 19 =- 2 2 3 ， 故答案为：- 2 23 25 已知 tanα= 12 ， cos π- α  cos π2 + α  = ． 【答案】2 【解析】因为 tanα= 12 ，所以 cos π- α  cos π2 + α  = -cosα-sinα = 1 tanα = 2. 故答案为：2. 26 已知 cosα= 12 ， 3π 2 < α< 2π， sin 2π- α = . 【答案】 3 2 / 1 2 3 第 100页 共 131页 专业专心 专注 【解析】因为 cosα= 12 , 3π 2 < α< 2π， 所以 sinα=- 1- cos2α=- 32 ， 所以 sin(2π- α) =-sinα= 32 . 故答案为： 3 2 . 27 化简： cos π+ α cos π2 + α cos 11π 2 - α  cos π- α sin -π- α sin 9π2 + α  = ． 【答案】tanα 【解析】 cos π+ α cos π2 + α cos 11π 2 - α  cos π- α sin -π- α sin 9π2 + α  = -cosα ⋅ -sinα -sinα  -cosαsinαcosα = tanα. 故答案为：tanα. 28 化简 sin(θ- 5π)cos θ- π2 cos(8π- θ) sin θ- 3π2 sin(-θ- 4π) = ． 【答案】sinθ 【解析】 sin(θ- 5π)cos θ- π2 cos(8π- θ) sin θ- 3π2 sin(-θ- 4π) = (-sinθ)sinθcosθ cosθ(-sinθ) = sinθ． 故答案为：sinθ. 29 化简 2sin(π+ α)cos(π- α) + cos(2π- α) 1+ cos2 3π2 - α + cos 3π 2 + α - sin 2 π 2 + α  的结果为 . 【答案】 1 tanα 【解析】 2sin(π+ α)cos(π- α) + cos(2π- α) 1+ cos2 3π2 - α + cos 3π 2 + α - sin 2 π 2 + α  = 2(-sinα) (-cosα) + cosα 1+ cos2 π+ π2 - α  + cos π+ π 2 + α  - cos 2α = 2sinαcosα+ cosα 1+ -cos π2 - α   2- cos π2 + α - cos 2α = 2sinαcosα+ cosα 1+ sin2α+ sinα- cos2α = 2sinαcosα+ cosα 2sin2α+ sinα = (2sinα+ 1)cosα(2sinα+ 1)sinα = cosα sinα = 1 tanα . 故答案为： 1 tanα . 30 已知角 θ的顶点 标原点，始边与 x轴的 负半轴 ，终边经过点P -8m, -6m m> 0 ． (1) sinθ，cosθ的值； (2) sin -θ ⋅ sin θ- 3π ⋅ cos π+ θ ⋅ cos 3π2 - θ  sin 2π- θ ⋅ cos 3π- θ ⋅ sin 5π2 - θ ⋅ sin θ- π  的值． 【答案】(1)sinθ=- 35 ，cosθ=- 4 5 ；(2) - 3 4 计算专题训练 9 诱导公式的化简求值 第 101页 共 131页 专业 专注 专心 博观而约取 厚积而薄发 【解析】(1)由题意知，r= -8m 2+ -6m 2= 10m， ∴ sinθ= y r = -6m10m =- 3 5 ， cosθ= x r = -8m10m =- 4 5 ； (2)原式= -sinθ ⋅ -sinθ ⋅ -cosθ ⋅ -sinθ  -sinθ ⋅ -cosθ ⋅ cosθ ⋅ -sinθ  =- sin 3θ ⋅ cosθ sin2θ ⋅ cos2θ =-tanθ， 由 (1)知，tanθ= sinθcosθ = 3 4 ， ∴ sin -θ ⋅ sin θ- 3π ⋅ cos π+ θ ⋅ cos 3π2 - θ  sin 2π- θ ⋅ cos 3π- θ ⋅ sin 5π2 - θ ⋅ sin θ- π  =- 34 ． 31 已知角 θ的始边为 x轴 负半轴,终边过点A(-1, 2 ). (1) -cos 3π2 + θ + 2 sin π 2 + θ  sin(2π- θ) - 2 2 cos(-θ) 的值. (2)已知角 α的始边为 x轴 负半轴,角 θ α的终边关于 y轴对称, sin α- π6 的值. 【答案】(1) - 2(2) 3 2- 36 【解析】(1)由题可知OA= 3 ,则 sinθ= 63 ,cosθ=- 3 3 ,tanθ=- 2 , 所以 -cos 3π2 + θ + 2 sin π 2 + θ  sin(2π- θ) - 2 2 cos(-θ) = -sinθ+ 2 cosθ -sinθ- 2 2 cosθ = -tanθ+ 2 -tanθ- 2 2 =-2. (2)因为角 θ和 α的终边关于 y轴对称, 所以 sinα= 63 ,cosα= 3 3 , 所以 sin α- π6 = 3 2 sinα- 1 2 cosα= 3 2- 3 6 . 32 已知 f α = sin α- π2 cos π 2 + α  cos π- α sin 3π2 + α  . (1)若角 α的终边经过点 m,2m ，m≠ 0， f α 的值； (2)若 f α = 2， sinα+ cosαsinα- cosα 的值. 【答案】(1)2(2)3 【解析】(1)f α = sin α- π2 cos π 2 + α  cos π- α sin 3π2 + α  = -cosα ⋅ -sinα  -cosα ⋅ -cosα  = tanα， 因为角 α的终边经过点 m,2m ，m≠ 0， 所以 f α = tanα= 2mm = 2. (2)由 (1)知 f α = tanα= 2， 所以 sinα+ cosα sinα- cosα = tanα+ 1 tanα- 1 = 2+ 1 2- 1 = 3. 33 已知 f α = sin π2 - α sin -α tan π- α  tan 2π- α sin π+ α  (1)化简 f α ． (2)若 α为第三 角，且 cos 3π2 - α = 1 5 ， f α 的值． 第 102页 共 131页 专业专心 专注 【答案】(1)f α = cosα(2)f α =- 2 65 【解析】(1)f α = sin π2 - α sin -α tan π- α  tan -α sin π+ α  = cosα ⋅ -sinα ⋅ -tanα  -tanα ⋅ -sinα  = cosα． (2) ∵ α为第三象限角，且 cos 3π2 - α =-sinα= 1 5 ， ∴ sinα=- 15 ，f α = cosα=- 1- sin 2α=- 2 65 ． 34 已知 f α = sin 2π- α ⋅ sin 3π2 - α  sin π2 + α ⋅ cos α- π  ． (1)化简 f α ； (2)若 f α = 2， 2sin 2α- 1 sin2α+ 2cos2α 的值 【答案】(1)f α =-tanα(2) 12 【解析】(1)f α = sin 2π- α ⋅ sin 3π2 - α  sin π2 + α ⋅ cos α- π  = -sinα ⋅ -cosα  cosα ⋅ -cosα  =-tanα； (2)由 (1)得-tanα= 2，∴ tanα=-2， ∴ 2sin 2α- 1 sin2α+ 2cos2α = 2sin2α- sin2α+ cos2α  sin2α+ 2cos2α = sin 2α- cos2α sin2α+ 2cos2α = tan 2α- 1 tan2α+ 2 = 4- 14+ 2 = 1 2 . 35 (1)化简： tan(π- α)cos(2π- α)sin -α+ 3π2  cos(-α- π)sin(-π- α) ； (2)已知 cos π4 + x = 3 5 ， sin2x- 2sin2x 1- tanx 的值． 【答案】(1) - 1；(2) 725 【解析】(1) tan(π- α)cos(2π- α)sin -α+ 3π2  cos(-α- π)sin(-π- α) = (-tanα) ⋅ cosα ⋅ (-cosα) (-cosα) ⋅ sinα =- sinα cosα ⋅ cosα sinα =-1； (2) sin2x- 2sin 2x 1- tanx = 2sinx(cosx- sinx) 1- sinxcosx = 2sinxcosx， cos π4 + x = 3 5 ⇒ 2 2 cosx- 2 2 sinx= 3 5 ⇒ cosx- sinx  2= 1825 ⇒ 1- 2sinxcosx= 18 25 ⇒ 2sinxcosx = 725 ， 因此 sin2x- 2sin2x 1- tanx = 7 25 . 36 已知 f α = cos π2 + α tan π- α sin 3π 2 + α  cos π+ α tan 3π+ α  . (1)若 α∈ 0,2π ，且 f α =- 12 ， α的值； (2)若 f α - f 3π2 + α = 1 5 ，且 α∈ π 2 , 3π 2 ， tanα的值. 计算专题训练 9 诱导公式的化简求值 第 103页 共 131页 专业 专注 专心 博观而约取 厚积而薄发 【答案】(1)α= 7π6 或 α= 11π 6 (2)tanα=- 4 3 【解析】(1)f α = cos π2 + α tan π- α sin 3π 2 + α  cos π+ α tan 3π+ α  = -sinα -tanα -cosα  -cosαtanα = sinα， α∈ 0,2π ，且 f α = sinα=- 12 ，则 α= 7π 6 或 α= 11π 6 . (2)f α - f 3π2 + α = sinα- sin 3π 2 + α = sinα+ cosα= 1 5 ， 则 sinα= 15 - cosα，所以 cos 2α+ sin2α= cos2α+ 15 - cosα  2= 1， 解得 cosα= 45 或 cosα=- 3 5 ，由 α∈ π 2 , 3π 2 ，则 cosα=- 3 5 ，得 sinα= 4 5 ， 所以 tanα= sinαcosα = 4 5 - 35 =- 43 37 已知 tanα= 3， sin π2 + α + 3sin π+ α  cos 3π2 - α - cos 5π+ α  的值． 【答案】4 【解析】因为 sin π2 + α = cosα,sin π+ α =-sinα， cos 3π2 - α =-sinα,cos 5π+ α = cos π+ α =-cosα， 所以 sin π2 + α + 3sin π+ α  cos 3π2 - α - cos 5π+ α  = cosα- 3sinα-sinα+ cosα = 1- 3tanα -tanα+ 1 ， 又 tanα= 3，所以 sin π2 + α + 3sin π+ α  cos 3π2 - α - cos 5π+ α  = 1- 3× 3-3+ 1 = 4. 故答案为：4. 38 已知 sin π- α + sin α+ 5π2  2sin α- π2 + sin α+ π  = 3. (1) tanα的值； (2) 4sinαcosα+ 2cos2α的值. 【答案】(1)tanα=- 74 (2) - 16 13 【解析】(1)依题意得， sin π- α + sin α+ 5π2  2sin α- π2 + sin α+ π  = sinα+ cosα-2cosα- sinα = tanα+ 1 -2- tanα = 3，解得 tanα=- 7 4 (2)4sinαcosα+ 2cos2α= 4sinαcosα+ 2cos 2α sin2α+ cos2α = 4tanα+ 2 tan2α+ 1 =- 1613 . 39 已知角 α终边上一点P(-4,3), cos π2 + a - sin -π- α  cos 11π2 - a + sin 9π 2 + a  的值． 【答案】 6 7 【解析】角 α终边上一点P(-4,3), ∴ tanα= y x =- 34 , 第 104页 共 131页 专业专心 专注 则原式= -sinα- sinα-sinα+ cosα = -2tanα -tanα+ 1 = -2× - 34  3 4 + 1 = 67 . 故答案为： 6 7 40 设 f θ = 2cos3θ+ sin2 θ+ π2 - 2cos(-θ- π) 2+ 2cos2(7π+ θ) + cos(-θ) ， f 2023π3 的值. 【答案】 1 2 . 【解析】因为 f θ = 2cos3θ+ sin2 θ+ π2 - 2cos(-θ- π) 2+ 2cos2(7π+ θ) + cos(-θ) = 2cos 3θ+ cos2θ+ 2cosθ 2+ 2cos2θ+ cosθ = cosθ(2cos 2θ+ cosθ+ 2) 2+ 2cos2θ+ cosθ = cosθ， 所以 f 2023π3 = cos 2023π 3 = cos 337× 2π+ π 3 = cos π 3 = 1 2 41 已知 tanθ=- 12 ， 下 式的值： (1) 2cos 2θ- 1 2sinθcosθ ； (2) tan(θ- π)sin(π- θ) sin θ+ 3π2 cos θ- π 2 cos θ+ π 2  ． 【答案】(1) - 34 (2) 5 4 【解析】(1)原式= 2cos2θ- sin2θ+ cos2θ  2sinθcosθ = cos2θ- sin2θ 2sinθcosθ = 1- tan2θ 2tanθ = 1- - 12  2 2× - 12  =- 34 ． (2)原式= tanθsinθ(-cosθ)sinθ(-sinθ) = 1 cos2θ = sin 2θ+ cos2θ cos2θ = 1+ tan2θ= 1+ - 12  2= 54 ． 42 已知 f α = sin α- 3π ⋅ cos 2π- α ⋅ sin -α+ 32 π  cos -π- α ⋅ sin -π+ α  ． (1)化简 f α ； (2)若 α=- 313 π，f α ． 【答案】(1)cosα(2) 12 【解析】(1)由题意可得：f α = sin α- 3π ⋅ cos 2π- α ⋅ sin -α+ 32 π  cos -π- α ⋅ sin -π+ α  = sin -π+ α ⋅ cosα ⋅ -cosα  -cosα ⋅ sin -π+ α  = cosα， 故 f α = cosα. (2) ∵ α=- 313 π，则 f α = f - 31 3 π = cos - 31 3 π = cos - π 3 - 10π = cos - π 3 = cos π 3 = 1 2 ， ∴ f α = 12 . 43 已知 f(α) = sin(α- 3π)cos(2π- α)sin -α+ 3π2  cos(-π- α)sin(-π- α) . (1)化简 f(a)； 计算专题训练 9 诱导公式的化简求值 第 105页 共 131页 专业 专注 专心 博观而约取 厚积而薄发 (2)若 α 第三 角，且 cos α- 3π2 = 1 5 ， f α+ π 6 的值； 【答案】(1)f(α) =-cosα；(2) 6 2- 110 【解析】(1)f(α) = sin(α- 3π)cos(2π- α)sin -α+ 3π2  cos(-π- α)sin(-π- α) = (-sinα) ⋅ cosα ⋅ (-cosα)(-cosα)sinα =-cosα. (2)因为 cos α- 3π2 = 1 5 ，又 cos α- 3π 2 = cos α+ π 2 =-sinα， 所以 sinα=- 15 ，又 α是第三象限的角，所以 cosα=- 1- - 1 5  2=- 2 65 ， 所以 f α+ π6 =-cos α+ π 6 =-cosαcos π 6 + sinαsin π 6 =- - 2 65 × 3 2 + - 1 5 × 1 2 = 6 2- 1 10 . 44 sin(2π- α)sin(π+ α)cos(-π- α) sin(3π- α)cos(π- α) . 【答案】sinα 【解析】因为 sin(2π- α) = sin(-α) =-sinα,sin(π+ α) =-sinα, cos(-π- α) = cos(π+ α) =-cosα， sin(3π- α) = sin(π- α) = sinα,cos(π- α) =-cosα, 所以原式= -sinα ⋅ (-sinα) ⋅ (-cosα) sinα ⋅ (-cosα) = sinα. 45 (1)化简：f α = sin 2π- α cos π+ α cos π2 + α cos 11π 2 - α  cos π- α sin 3π- α sin -π- α sin 9π2 + α  (2) 值：cos21° ⋅ cos24° +sin159° ⋅ sin204°． 【答案】(1) - tanα；(2) 22 ． 【解析】(1)f α = sin 2π- α cos π+ α cos π2 + α cos 11π 2 - α  cos π- α sin 3π- α sin -π- α sin 9π2 + α  = sin -α -cosα -sinα cos 6π- π2 + α   -cosα sin π- α -sin π+ α  sin 4π+ π2 + α   = -sinα -cosα -sinα cos - π2 + α   -cosα sinαsinαsin π2 + α  = -sin2αcosαcos π2 + α  -cosα sin2αcosα = -sin2αcosα -sinα  -cosα sin2αcosα =- sinαcosα =-tanα (2)cos21° ⋅ cos24° +sin159° ⋅ sin204° = cos21° ⋅ cos24° -sin21°sin24° = cos 21° +24° = cos45° = 22 46 .化简下 式： (1)sin - 296 π + cos 12 5 π ⋅ tan4π； 第 106页 共 131页 专业专心 专注 (2) tan(π+ α) ⋅ cos(2π+ α) ⋅ sin α- 32 π  cos(-α- 3π) ⋅ sin(-π- α) . 【答案】(1) - 12 (2) - 1 【解析】(1)原式=-sin 5π6 + cos 2π 5 × 0 =-sin π6 =- 1 2 (2)原式= tanα ⋅ cosα ⋅ cosα-cosα ⋅ sinα =-1 47 已知 f x = sin 2π- x cos π+ x cos 5π2 - x  cos π- x sin -π- x sin 9π2 + x  ． (1)化简 f x ； (2)已知 f α = 2， sin2α的值． 【答案】(1) - tanx(2) - 45 【解析】(1)由题意得 f x = sin 2π- x cos π+ x cos 5π2 - x  cos π- x sin -π- x sin 9π2 + x  = (-sinx) (-cosx)sinx(-cosx)sinxcosx =- sinx cosx =-tanx. (2)由 f α = 2，可得-tanα= 2, ∴ tanα=-2， 则 sin2α= 2sinαcosα sin2α+ cos2α = 2tanα tan2α+ 1 =- 45 . 48 (1)已知 tan π- α =- 23 ， cosα- 3sinα cosα+ 9sinα 的值； (2)化简 sin π- θ sin 3π2 - θ tan 2π- θ  sin π2 - θ tan π+ θ cos -θ  . 【答案】(1) - 17 ；(2)tanθ. 【解析】(1)因为 tan π- α =-tanα=- 23 ，可得 tanα= 2 3 ， 所以 cosα- 3sinα cosα+ 9sinα = 1- 3tanα 1+ 9tanα = 1- 3× 23 1+ 9× 23 =- 17 ； (2) sin π- θ sin 3π2 - θ tan 2π- θ  sin π2 - θ tan π+ θ cos -θ  = sinθ -cosθ -tanθ  cos2θtanθ = tanθ. 49 已知 sinα= 2cosα， ： (1)化简 cos α- π2  sin 5π2 + α  sin α- 2π cos 2π- α ； (2) sin2α sin2α+ sinαcosα- cos2α- 1 的值. 【答案】(1) 45 (2)1 【解析】(1)因为 sinα= 2cosα，sin2α+ cos2α= 1， 计算专题训练 9 诱导公式的化简求值 第 107页 共 131页 专业 专注 专心 博观而约取 厚积而薄发 所以 sin2α+ sinα2  2= 1，即 sin2α= 45 ， cos α- π2  sin 5π2 + α  sin α- 2π cos 2π- α = sinαcosα sinαcosα= sin 2α= 45 . (2) ∵ tanα= sinαcosα = 2， ∴ sin2α sin2α+ sinαcosα- cos2α- 1 = 2sinαcosα sin2α+ sinαcosα- 2cos2α- 1 - 1 = 2sinαcosα sin2α+ sinαcosα- 2cos2α = 2tanα tan2α+ tanα- 2 = 2× 2 22+ 2- 2 = 1 . 50 化简以下式子： sin 7π2 + α cos π+ α tan 3π- α  sin -α- 2π tan π+ α cos 9π- α  【答案】- 1tanα 【解析】 sin 7π2 + α cos π+ α tan 3π- α  sin -α- 2π tan π+ α cos 9π- α  = sin 3π2 + α -cosα tan -α  sin -α tanαcos π- α  = -cosα -cosα -tanα  -sinα tanα -cosα  =- cosαsinα =- 1 tanα . 第 108页 共 131页