专题8 向量运算的坐标表示（原卷版）-遇见最美的数学系列——计算专题

临渊装鱼不如退而结网 专题8 向量运算的坐标表示 国若向量à=(-1,1)，6=(2,3)，=(-7，-3). (1)=λà+6，求入+μ的值： (2)若kà+与亡共线，求k的值. 回已知向量à=(3,2)，6=(x,-1). (1)若(a+26⊥(2a-),求实数x的值： (2)若=(-8，-1)，à∥(6+)，求向量a与6的夹角0. 3向量a=(cos23°，cos67),向量6=(cos68°，cos22). (1)求6： (2)若向量与向量共线，立=+，求立的模的最小值. ④已知向量à=(2，-1)，6=(3,0)，c=(4,1). (1)求与垂直的单位向量e的坐标： (2)若（à+k)∥(-2），求实数k的值. 同已知à=(-2,3)，6=(4,2). (1)求a+6,a-: (2)求2a+36. 0已知à=(1,0)，6=(2,1). (1)当k为何值时，kd-6与a+26共线？ (2)若AB=2a+36,BC=a+m6且A,B,C三点共线，求m的值. 现千到而唇识器 50 针算表题训练8向量进算的坐稀赛示 7已知=(sinx+cosx,2cos0),6=(2sin0,2in2z） ()若亡=(-3,4)且x=至0∈(0，)时，与的夹角为纯角，求cos0的取值范围： (②)若0=等，函数f四)=à，求f回)的最小值 8已知平面向量à=(1,2)，6=(0，-1)，a1t,且6.=3. (1)求的坐标： (2)求向量ā-c在向量石上的投影向量的模。 9已知向量d=(1,1),6=(2,0). (1)求3-2： (2)求a与6-2a的夹角. 画己知向量d=(cosx,sinx),6=(1,23). ()若x=号，求方在à上的投影向量的模长： (2)若（à-⊥(a+,求实数k的值. 回设à，是两个不共线的向量。 (1)若à=(-1,3)，=(2，-1)，求（位，： (2)若(aà+∥(3a+),求入的值. 2己知a=(1,1),6=(0,-2)当k为何值时， (1)kd-6与d+6共线： (2)3a-kd与a+6的夹角为90 51 稀千曲而后晓声 缩渊美鱼不如退而结两 超(1)已知单位向量a、6的夹角为45，ka-与d垂直，求k: (2)已知向量d=(1,2),=(2,-2),=(1,入)，若∥(2a+,求入 国已知向量d=(2,-1),6=(1,2),=(3-4),求： (1)若=md+6,求m+n: (2)若(k+∥，求k的值. 5已知向量a=(-1,2),6=(1,4). (1)若(kà+2∥(a-),求k的值： (2)若(kd+2)⊥(6-3)，求k的值. 16已知平面向量à=(1,2)，6=(-3-2). (1)6在à方向上的投影向量： (2)当k为何值时，kà+6与a-36垂直. 7已知向量à=(1,0)，6=(2,1)， (1)当实数k为何值时，向量à-6与a+36共线 (2)当实数k为何值时，向量k-6与d+36垂直 国已知向量=(2，t),6=(-3,2),=(3,-1),t∈R. (1)求t=1时，求a+2的值： (2)若6-a与共线，求d,夹角 国已知向量à=（亿，1），6=1,3). (1)求à与夹角的余弦值： (2)若（位+2）⊥(aa-),求λ的值. 现千到而唇识器 52 针算表题训练8向量建算的坐稀赛示 20设平面三点A(-2,1),B(4,-1),C(2,3). (1)若AB=C元，试求D点的坐标： (2)试求向量AB与AC的夹角余弦值： 2四已知à，6是同一平面内的两个向量，其中à=(1,2)，且=√5. (1)若à⊥6，求6的坐标： (2)若a+=a-2,求a与6夹角. 22设A,B,C,D为平面内的四点，且A(1,3),B2,-2),C(4,1). (1)若AB=C元，求D点的坐标： (2)设向量à=AB,=BC,若向量kd-方与+33平行，求实数k的值」 23已知，6，是同一平面内的三个向量，其中a=(1,-√3). (1)若=4，且à∥c,求c的坐标： (2)若=1，且d+26与2a-6垂直，求a与6的夹角0. 四已知向量à=(cosa,sina),i=(cosR,sin),a-=25,求cosa-)的值. 25设向量à=(2,0)，6=(1,3). (1)求与+6垂直的单位向量： (2)若向量ta+与向量ā+6的夹角为钝角，求实数t的取值范围. 四已知非零向量G和G不共线。 (1)若AB=C+C,BC=2E+8e,CD=3(C-c),求证：A,B,D三点共线： (2)若向量ke+e与向量日+ke平行，求实数k的值. 53 稀千曲而后晓声 临渊装鱼不如退而结病 27已知平面向量d=(1,2),6=(-3,-2). (1)若c⊥(2a+),且d=5,求的坐标： (2)若à与d+6的夹角为锐角，求实数入的取值范围. 2四己知向量à=(1,2)、方=(0，-3). (1)求à与6的数量积. (2)求à与的夹角的余弦值， 2四已知向量a=(-2,2),6=(2,1),c=(2,-1),t∈R. (1)若a+t6=3,求t的值： (2)若a-t6与c垂直，求t的值. 30已知向量à=(1,2)，6=(3，-2) (1)已知=5且∥à，求 (2)已知=√10，且(2a+)⊥，求向量a与向量亡的夹角. 现千到而唇识器 54计算专题训川练8向童运氟的坐桥表示 专题8 向量运算的坐标表示 ①若向量à=(-1,1)，6=(2,3)，=(-7，-3). (1)=λà+6，求入+μ的值： (2)若ka+与共线，求k的值 【答案10A+=12=是 【解析】(1)因=λa+6.即(-7，-3)=入(-1,1)+4(2,3)=(-入+2，入+34)， {入27，解得三32故+=1 所 λ+3μ=-3 μ=-2 (2)国ka+方与2共线，kd+6=(-1.1)+(2.3)=(-k+2,k+3),=(-7,-3), 所以（一k+2)(一3）=传+3)(-7)，故表=-是 2已知向量=(3,2)，6=(x,-1). (1)若(a+2)⊥(2a-),求实数x的值： (2)若=(-8.-1)，d∥(6+)，求向量à与6的夹角0. 【答案】1)x=6或x=-3(20=开 【解析】(1)已知d=(3,2),6=(x,-1) 所以d+26=(3+2x,0).2-6=(6-x,5) 又国为(d+2⊥(2a-),所以有(d+2)·(2a-=0 所以(3+2)6-到+0×5=0，解得x=6或r=-号 (2)因为2=(-8-1)，所以6+=(x-8,-2) 又∥(6+)，所以3×(-2)-2×(x-8)=0, 解得x=5,所以6=(5，-1) 所以c0s0= 网而群品号 a.6 3×5-2×1 2 因为0≤0≤元，所以0=号 3向量d=(c0s23°，cos67),向量6=(c0s68°，cos22). (1)求d.6: (2)若向量与向量共线，立=a+,求立的模的最小值. 【答案10要阳号 【解折】0)a·6=c0s23cos68+cos67c0s22°=co23cos68°+sin23rsn68°=c0s(6g°-23)=cos45°=￥ 2 (2)由题设而=场且入∈R,则i=d+3=(c0s23°+1cos68°，c0s67°+入c0s22)= (sin67+λsin22°.cos67°+λc0s22) 所以|a=√(sin67+λsin22y+(cos67+λcos22=√1++2λ(sin67sin22+cos67cos22= 敖樊 第85页共131页 博现而约取厚积而薄发 +2x+=Va++ 当入=要时，间=号 2 ④已知向量=(2，-1)，6=(3,0)，亡=(4,1). (1)求与a垂直的单位向量e的坐标： (2)若（à+k)∥(6-2a),求实数k的值， 【管案10E=(5,5)或(-925)ek=青 【解析】(1)设与ā垂直的单位向量t=(红，y), 。标降 =9 5 2w5 25 5 =(9,5)或(95 5 (2)a+k2=(2+4k,-1+k),6-2a=(-1,2).又(d+k)∥(6-2a), ∴2(2+)=-（一1+），解得：k=-号 5已知à=(-2,3)，6=(4,2). (1)求a+6,a-: (②)求2a+36. 【答案】(1)(2.5：(-6,1)(2)4、w13 【解析】(1)）由à=(-2,3)，6=(4,2) 所以a+6=(-23)+(4,2)=(2.5),a-6=(-2.3)-(4,2)=(-61) (2)由d=(-23),6=(4,2) 则2a+36=2×(-2,3)+3×(4.2)=(8,12), 所以2a+3=V8+12=4√13. 6已知a=(1,0),6=(2,1). (1)当k为何值时，kd-石与d+26共线？ (2)若AB=2a+36,BC=+m6且A,B,C三点共线，求m的值】 【答案】0k=一吉2m=是 【解析】(1)由题可得，kd-6=k(1,0)-(21)=(k-2,-1): a+26=(1.0)+2(2,1)=(5,2) 国为d-6与+2第共线，则2(k-2)-(-1)×5=0=k=- (2)因为A,B,C三点共线，与6不共线，所以存在实数入，使得AB=BC(入ER),即2a+36= 入(d+m6),整理得(8.3)=（入+2m入，m入）， 所以 f入+2入=8 m入=3 m=号 ☑已知i=(sinx+cosx,2cos0).6=(2sin8,2in2z) 第86页共131页 敖獎 计算专题训川练8向童运氟的坐桥表示 ()若亡=(-3，)且x=牙0∈(0，)时，d与的夹角为钝角，求cos0的取值范围： (2)若6=，函数f()=a6,求f)的最小值. 【答案10(-1-2等2)u(22):②号-6 【解轿】0)当x=晋时，=(W2,200),d与i的夹角为纯角， 于是亡<0.且d与不共线 则at=-3W2+80s0<0,解得cos0<3y2,又0∈(0，)，即cos0e(-1,1) 8 则有-1<c0s0<32,又当a与t共线时，W2+6cos0=0,解得cos0=-22 8 3 因此立与亡不共线时，c0s0≠22 3 所以o0的取值范禹是(-1,2号)U(2号，号 2)依题意，当0=号时，f(x)=:6=(sinx+cosx,1):(N32im2z sincosi(sin+cos)+sin.rcos.r. 今1=nx+cost=V2sm(红+）e[-V②.V2],则ne0r=,1 2 于是@=V31+=+-2而画数y=+v-2在e[-Ev@]上为增通数， 则当1=一2时，y有最小值是-6， 所以f()的最小值为立-√6 8已知平面向量à=(1,2)，6=(0，-1)，立⊥亡，且6·亡=3. (1)求c的坐标： (2)求向量云-c在向量上的投影向量的模 【答案】(1)(6，-3)(2)5 【解析】(1)设=（红，y),因为d⊥2，所以x+2y=0,又万·=-y=3, 解得x=6,y=-3,所以=(6.-3)： (2)a-=(-5,5),所以(d-)·6=-5 (à-)6 则向量立一在向量6上的投影向量的模为 =5 同 综上，t=(6,一3)，向量d-在向量i上的投影向量的模为5， ⑨已知向量à=(1,1)，6=(2,0) (1)求6-2： (2)求à与6-2a的夹角， 【答案1122 【解析】(1)）因为向量d=(1.1),6=(2,0),所以6-2a=(0,-2) 则-2d=2 敖樊 第87页共131页 专必 博现而约取厚积而薄发 a.(6-2a (2)cos(d,6-2a= -2 d6-2a √2×2 2 所以正与6-2金的夫角为亚 10己知向量a=(cosx,sinx),6=(1,2√3)： ()若x=号，求石在石上的投影向量的模长： (2)若(a-k6)⊥(a+),求实数k的值. 【雀案10唱2=±晋 【解析们0)由题意得当x=晋时.d=(侵，9)。 则6=1×合+25×9=子问=1 2 所以在上的投影向量的模为 (2)由d=Vnx+cosx=1,存=13， 由（位-）⊥（位+），得（位-）·（位+）=-k容=0， 即1-13张=0，解得=士僵 四设，是两个不共线的向量. (1)若=(-1,3)，6=(2，-1)，求a,: (2)若(ad+∥(3d+A,求入的值. 【答案】)a,=平(2a=士5 【解们山图为m而=话7而之石受又向生夫角花福务 -5 6 所以位0=要 (2)因为(d+前∥(3a+λ，设λ+6=(3d+,4为实数， 即i+i=3i+w6,则公=3，即=3，解得入=±5. 入=1 回已知à=(1,1)，6=(0，-2)当k为何值时， (1)ka-6与à+6共线： (2)3a-k6与a+6的夹角为90° 【答案】(1)-1(2)0 【解析】(1)因为d=(1,1).6=(0.-2),所以d+6=(1.1)+(0.-2)=(1.-1), kd-i=k(1,1)-(0,-2)=(k,k+2) 由d-乃与+6共线，则k+2-(-k)=0,所以k=-1. (2)因为a+6=(1,-1),3a-k6=(3.3)-(0.-2)=(3,3+2) 国为3a-6与d+6的夹角为90，所以(3a-·(d+)=0,得到3-(3+2)=0，所以k=0. 图()已知单位向量à、6的夹角为45，à-与垂直，求k: 第88页共131页 敖樊 计算专题训川练8向童运氟的坐桥表示 (2)已知向量d=(1,2),6=(2,-2),=(1,),若∥(2a+),求入 【答案10受：②} 【螺折10国为单位向量五.6的夫角为，所以，6=树·所5=1x1×号=号 又赋-6与i垂直，所以(i-可)云=0，即赋-不-云=0，即×-受=0，解得表=号 2 (2)因为在=(1,2)，6=(2，-2)，所以2a+=2(1,2)+(2,-2)=(4.2) 又=(1，)且∥（酝+），所以4认=1×2，解得入=之 14已知向量a=(2,-1),6=(1,2),c=(3.-4),求： (1)若c=md+n6,求m+n: (2)若(kà+)∥亡，求k的值. 【答案】(1)1(2)-2 【解析】(1)因为i=(2,-1).6=(1,2),=(3,-4),所以md=(2m,-m),n6=(m,2n).所以md+n6= (2m+n,一m+21) 又因为=md+n6,所以 2m+1=3 一m+21=-4 解得m=2,n=-1,所以m十n=1 (2)因为a=(2,-1),3=(1,2),2=(3.-4),所以d+6=(2k+1,-k+2), 又(kd+)∥，所以(2k+1)×(-4)-3×(-k+2)=0,即-5k-10=0,所以k=-2 国已知向量d=(-1,2),6=(1,4). (1)若(kà+2∥（à-，求k的值： (2)若(k+2⊥(-3)，求k的值. 【答案1(1k=-昌：(2k=-号 【解析】(1)由已知ka+26=(2-k,8+2k),à-=(-2，-2)， :(d+2功∥d-,-22-2)+28+2)=0.解得表= (2)6-3a=(4,-2) :(位+2功)16-3动，∴42-)-28+4)=0，解得表=-号 16已知平面向量ā=(1,2)，6=(-3，-2). (1)在ā方向上的投影向量： (2)当k为何值时，kà+与a-36垂直. 【答案】a(-子号)2k=器 【g折10在i方有上的投影的量=风<6>日-话日-（子看引 团团团 (2):d+6与d-36垂直，kd+6=(k-3.2k-2),d-36=(10.8) :(位+可)位-3)=0，即10质-3)+82-2)=0，解得k=器 17已知向量à=(1,0)，=(2,1)， (1)当实数k为何值时，向量kà-6与à+33共线 敖望樊 第89页共131页 零 专业 博现而约取厚积而薄发 (2)当实数k为何值时，向量kd-6与a+36垂直 【答案10次=号2k=号 【解析】(1)k-6=k(1,0)-(2.1)=(k-2,-1),d+36=(1,0)+3(2,1)=(7,3), 向量城-方与立+汤共线，所以便-23=(-1)×7，所以表=-号 (2)ka-6=(1,0)-(2,1)=(k-2,-1),d+36=(1,0)+3(2,1)=(7,3) 向量位-6与+36垂直，所以7张-2)+3×(-1)=0，解得k=号 因已知向量d=(21,t),6=(-3,2),c=(3,-1),t∈R. (1)求t=1时，求a+2的值： (2)若6-a与t共线，求a,c夹角 【答案】(1W①(2)四 【解析】(1)a=(21,t,6=(-3,2,=(3.-1) 当1=1时，=(2.1)，∴d+25=(2,1)+2(-32)=(-4,5), “1a+2=√(-4+5=√T (2)6-i=(-3-24,2-t).且与t共线 (-3-20)×(-1)=3×2-0,解得1=寻，=（停） 所以cos(）)= a.t 号x3-哥 阔 √(9)+(}×V3+(-可 =要：clo 所以立，花夫角为平 1g已知向量a=(7,1),6=(1,3). (1)求与6夹角的余弦值： (2)若(a+2⊥(aà-)，求λ的值. 【答案】152) 【解析】(1)解：由向量d=(7,1),6=(1,3),可得a=52,6=√10且a6=7×1+1×3=10, 所以a与方夫角的余弦值cos(位，)= d.6 10=5 5W2×而5 (2)解：由（位+2⊥(d-),可得（位+2·(Ad-)=λ+(2以-1）d-i-2亦=50x+(2入-1)×10- 2×10=0 即70以-30=0，解得入=号 2四设平面三点A(-2,1),B(4,-1),C(2,3). (1)若AB=CD,试求D点的坐标： (2)试求向量AB与AC的夹角余弦值： 【管案10&白号 【解析】(1)设D(x,y),则AB=(6,-2),CD=(x-2y-3) 第90页共131页 敖樊 计算专题训川练8向童运氟的坐桥表示 因为AB=C元，所以 3=2解得=8 x-2=6 y=1 所以D点的坐标为(8,1) (2)由(1)知AB=(6.-2),又AC=(4.2) 所以cos(AB.AC)= √0xV元 AB·AC 2 故向营丽与AC的夫角余弦值为受 2四己知à，是同一平面内的两个向量，其中ā=(1,2)，且=√5. (1)若⊥6，求6的坐标： (2)若a+=a-2,求a与6夹角. 【答案】(1)6=(2，-1)或6=(-2.1)(2)写 【解析】1)设=（红，） 因为d⊥6，a=(1,2) 所以6=0即x+2y=0 又因为=√5，所以√爱+=√5 解之得x=2时，y=-1或x=-2时，y=1 所以6=(2，-1)或6=(-21) (2)记d与6夹角为8 因为a+引=a-2,所以(d+=(à-2， 则+存+2a.6=+4亦-4d,6,即2a,6= 所以c0s0= a.6 62=2 又国为0e0,,所以0= 22设A,B,C,D为平面内的四点，且A(1,3),B2,-2),C(4,1). ()若AB=C元，求D点的坐标： (2)设向量d=AB,6=BC,若向量kà-6与d+36平行，求实数k的值. 【答案1(0D6,-4:(②)-寻 【解析】(1)设D(x,y),因为AB=CD,于是(2，一2)-(1,3)=(x,y)-(4,1),整理得(1，-5)=(x-4,y- 1) 即布一己解得5 y=-4 所以D(5.-4) (2)因为d=AB=(1.-5),i=BC=(4,1)-(2.-2)=(2,3) 所以à-=(1，-5)-(2,3)=(k-2,-5k-3),d+36=(1,-5)+3(2,3)=(7,4), 国为向量松-不与立+3汤平行，周此7(-5-3)-4k-2)=0,解得k=- 所以实载k的值为一昌 函已知a,6,c是同一平面内的三个向量，其中=(1，-√3). 敖樊 第91页共131页 专 博现而约取厚积而薄发 (1)若=4，且a∥，求c的坐标： (2)若=1，且d+26与2a-6垂直，求a与6的夹角0. 【答案】1)=(2，-23)或=(-2,23)(2)m 【解析】（①解：设=(xy),因为日=4， ∴V+y=4,即x2+y2=16,@ 由d∥，得y+√3x=0,② 由0.样化化写 故=(2，-2W3)或=(-22w3) (2)解：因为d+26与2a-6垂直， 所以（à+2·(2a-)=0, 即2+3,6-2亦=0， 又=2,6=1 所以2×4+3液，6-2×1=0，整理得d.6=-2 .6 枚cos0= 团可 =-1 又0∈[0，π] 所以0=π 2☒己知向量d=(cosa,sina,=(cosg.sinp,a-=2,求cos(a-)的值， 【答案1号 【解析】：d=(cosa,sina),=(cos3.sin) dB=(cosa-cos3,sina-sinB), .d6=(cosa-cos)+(sina-sinB) =Vcos'a-2cosacosB+cos sin'a-2sinasinB+sin' =V2-2c0s(a-)=25 5 2-2sa-=号 cosa-别=号 25设向量=(2,0)，6=(1，v3). (1)求与à+垂直的单位向量： (2)若向量ta+与向量d+6的夹角为纯角，求实数t的取值范围. 【答案10是-9)或(-是号)2(5-2-u(-1v8-2到 【解析】(1)由已知d+6=(2,0)+(1,√3)=(3，)设与d+6垂直的单位向量为E=(x,y) 则屏好 x二立 (x=一2 或 2 2 即与+6垂直的单位向量为（侵-公）或(-2)月 第92页共131页 敖獎 计算专题训川练8向童运氟的坐桥表示 (2)由已知d·6=2,a=2,同=2 所以（位+）：（à+=+（忙+1）a,6+=2r+8+2 因为向量td+与向量a+6的夹角为钝角， 所以(a+6)(位+<0,2+8t+2<0,解得-V3-2<t<3-2, 又因为向量td+不与向量d+话反向共线， 设a+6=+商<0时+习 从而{代x化含)所以舞得1（一厚-2-）U(-1w5-2. 26己知非零向量名和不共线 (1)若AB=可+C,BC=2E+8E,C元=3(C-),求证：A,B,D三点共线： (2)若向量ke+e2与向量E+ke平行，求实数k的值 【答案】(1)证明见解析(2)k=±1 【解析】(1)：BD=BC+CD=2E+8e+3(何-动=5e+5e, 又AB=可+C,∴5AB=BD,A,B,D三点共线 (2):向量e+e与向量可+平行 .存在实数入使后+已=A(E+ke=A+e 什二么解得=出 2四已知平面向量à=(1,2)，6=(-3，-2)， ()若⊥(2a+),且=5，求的坐标： (2)若à与d+3的夹角为锐角，求实数入的取值范围. 【答案1()(-2-1)或(21)2(-0,0)U(0,号】 【解析】(1)由d=(1.2).6=(-3,-2) 所以2a+i=(2,4)+(-3,-2)=(-1,2), 设=（④y) 国为⊥(2a+ 所以·(2a+=-x+2y=0. 因为d=5,所以V+=5 所以的坐标为(-2，-1)或(2,1) (2)由d=(1,2),6=(-3.-2) 所以d+16=(1,2)+(-3入，-2入)=(1-3入，2-2入) 因为d与a+6的夹角为锐角， 所以d(d+>0且d与d+d不共线 1-3入+2(2-2λ)>0 12(1-3)≠2-2λ 解得入<号且入≠0， 敖樊 第93页共131页 博现而约取厚积而薄发 即实数入的取值范国为（一0,0）U(0,号) 2因已知向量à=(1,2)、6=(0，-3). (1)求d与的数量积 (2)求a与6的夹角的余弦值 【答案10)-62)- 【解析】(1)因为=(1,2)，5=(0.-3)，所以a·6=0×1+2×(-3)=-6. (2)因为d=(1,2),6=(0,-3),所以同=√1+2=5，=3， a6=-6=-25 听以co(a=.肠3得 5 2四已知向量à=(-2,2)，6=(2,1)，亡=(2，-1)，teR. (1)若a+t6=3,求t的值： (2)若a-6与垂直，求t的值. 【答案1(1=1或1=-}2)=-2 【解析】(1)因为d=(-2.2),6=(2.1), 所以d+t话=(-2,2)+t(2,1)=(-2+2,2+t),又a+t6=3 所以应+场=√(-2+24+(2+t订=V5-4t+8=3 即5t2-4t-1=0, 新得：=1或1=- (2)因为d=(-2,2).6=(2.1) 所以d-t6=(-2,2)-t(2.1)=(-2-2L,2-t), 义d-话与垂直，=(2.-1) 所以(-2-2)×2+(2-t)×(-1)=0, 解得1=-2. 3画已知向量d=(1,2),6=(3,-2) (但)已知d=5且t∥立，求 (2)已知=√10，且(2a+)⊥，求向量与向量c的夹角. 【答案11)=(65,2w5)或(-V5,-2y5)(2②)班 【解析】(1)）由c∥a,所以设=λd=(入，2以) 又日=5得+4以=25，解得入=±V5, 所以=(5,2/5)或(-5.-2w5) (2)由题知，d=(1,2),日=√10，(2a+⊥t, 所以d=5,(2a+)=0 所以2a.c+=0 所以2cos(d,)+f=0 所以2×√5×W10c0s(a,)+10=0 第94页共131页 敖樊