专题4 函数定义域的相关计算（原卷版）-遇见最美的数学系列——计算专题

20观千剑而后识器 临渊羡鱼不如退而结网 专题 4 函数定义域的相关计算 1 函数 f(x) = x- 1 x2+ 1 的定义域为 . 2 函数 f x = tanx- 1+ lg 1- x2 的定义域为 . 3 函数 f x = 13- x + ln x- 1 的定义域为 . 4 函数 y= 5- 5x 的定义域 ． (结果写成 或区间) 5 函数 f(x) = 1- 2cosx+ ln sinx- 22 的定义域为 ． 6 函数 f x = 2 x 2-4x+4+ x2- 2x的最 值为 . 7 函数 y= lg sinx- 22 + 1- 2cosx的定义域为 . 8 函数 y= tanx- 1 tan x+ π6  的定义域为 ． 21 操千曲而后晓声 9 函数 y= 3- 1x 的定义域为 ． 10 函数 y= 12+ cosx 的定义域为 . 11 函数 y= 1- 3x 2-2x-3 的定义域为 ． 12 函数 y= x+ 1 0 x - x + 1- 6x 2+x-2 的定义域 ． 13 若 y= x 2- 9+ 9- x2 x- 2 + 1， 3x+ 4y= . 14 函数 y= lgsinx+ 12 - cosx的定义域 ． 15 函数 y= 1 log5 2x- 1  的定义域 . 16 函数 y= 1 x- 1 + (x- 3)0的定义域 . 17 函数 f(x) = 1 1- x2 的定义域为 . 计算专题训练 4定义域的相关计算 22观千剑而后识器 临渊羡鱼不如退而结网 18 函数 f(x) = x+ 1 x 的定义域 ． 19 已知函数 f x = 16- x 2 log3(2- x) 的定义域为 ． 20 函数 f x = 3- 3-x+ ln x 的定义域为 . 21 函数 f(x) = 3- x的定义域 ． 22 函数 y= x- 1的定义域为 ． 23 函数 f x = 1ex- 2 + lg(2x- x2)的定义域为 ． 24 函数 y= 12  x- 1的定义域为 . 25 函数 y= lg(-x) + 2 x2- 1 的定义域为 ． 26 函数 f x = lg x- 1  x- 2 的定义域为 . 23 操千曲而后晓声 27 函数 f x = 3- xx+ 2 的定义域 . 28 函数 f(x) = 8- 2x+ log3 x- 3 的定义域为 ． 29 函数 f(x) = ln(2x- 1)的定义域为 . 30 函数 f x = 1- x+ 1x 的定义域为 . 31 函数 y= lg x+ 12- x 的定义域 . 32 函数 y= 1 x- 1 的定义域为 ． 33 函数 f x = lg x+ 2 + 12- x 的定义域为 ． 34 函数 y= lg 3x- 1 的定义域 ． 35 函数 y= 4- x2+ 1 lg 2x- 3  的定义域为 . 计算专题训练 4定义域的相关计算 24观千剑而后识器 临渊羡鱼不如退而结网 36 函数 f x = 4- 3x- x 2 2x+ 1 的定义域为 ． 37 函数 y= 2 ln 2- x  的定义域 . 38 函数 y= 2x+ 1+ log2 2- x 的定义域为 ． 39 已知函数 f x = x- 2 · x+ 5的定义域 . 40 函数 f x = x- 2+ 1x- 3 的定义域 . 41 函数 f x = log2 2- x + 9- x2 的定义域为 ． 42 函数 f x = 1- 2x+ 1x+ 3 的定义域为 . 43 函数 f x = 4- x2+ 1x- 1 的定义域为 . 44 函数 f x = x- 1+ 1x- 2 的定义域为 ． 25 操千曲而后晓声 45 函数 f(x) = lg 4- x2 + 1- tanx的定义域 . 46 已知函数 y= f 2x- 1 的定义域为 -1,2 ， 函数 y= f x+ 1 的定义域为 ． 47 已知函数 f x = lg ax2- ax+ 1 的定义域 R， 实数 a的取值 围 . 48 函数 f x = log3 x- 2 + 6- x的定义域为 ． 49 函数 y= x+ 1+ 1 -x2- x+ 2 的定义域 . 50 函数 y= xx- 1 - log2 4- x 2 的定义域 . 计算专题训练 4定义域的相关计算 专业专心 专注 专题 4 函数定义域的相关计算 1 函数 f(x) = x- 1 x2+ 1 的定义域为 . 【解析】令 x- 1 x2+ 1 ≥ 0，可得 x- 1≥ 0，解得 x≥ 1. 故函数 f(x) = x- 1 x2+ 1 的定义域为 x x≥ 1 . 【答案】 x x≥ 1 . 2 函数 f x = tanx- 1+ lg 1- x2 的定义域为 . 【解析】由 tanx- 1≥ 0 1- x2> 0  ，解得 π 4 + kπ≤ x< π 2 + kπ,k∈Z -1< x< 1  ， 所以 π 4 ≤ x< 1，即函数 f x 的定义域为 π 4 ,1   . 【答案】 π 4 ,1   . 3 函数 f x = 13- x + ln x- 1 的定义域为 . 【解析】依题意， x- 1> 0 3- x> 0  ，解得 1< x< 3，所以原函数的定义域为 1,3 . 【答案】 1,3  4 函数 y= 5- 5x 的定义域 ． (结果写成 或区间) 【解析】由题设 5- 5x≥ 0，则 5x≤ 5，即 x≤ 1，所以定义域为 (-∞,1]. 【答案】(-∞,1] 5 函数 f(x) = 1- 2cosx+ ln sinx- 22 的定义域为 ． 【解析】函数 f(x) = 1- 2cosx+ ln sinx- 22 有意义，则 1- 2cosx≥ 0 sinx- 22 > 0  ，即 cosx≤ 12 sinx> 22  ， 解 cosx≤ 12 ，得 π 3 + 2kπ≤ x≤ 5π 3 + 2kπ,k∈Z，解 sinx> 2 2 ，得 π 4 + 2kπ< x< 3π 4 + 2kπ,k∈Z，于 是 π 3 + 2kπ≤ x< 3π 4 + 2kπ,k∈Z，所以所求定义域为 {x π 3 + 2kπ≤ x< 3π 4 + 2kπ,k∈Z . 【答案】 x π3 + 2kπ≤ x< 3π 4 + 2kπ,k∈Z  6 函数 f x = 2 x 2-4x+4+ x2- 2x的最 值为 . 【解析】函数 f x 的定义域为 -∞,0 ∪ 2, +∞ .由复合函数的单调性可知,f x 在 -∞,0 上单调递 减,在 2, +∞ 上单调递增.而 f 0 = 4,f 2 = 1.所以,函数 f x 的最小值为 1. 【答案】1. 7 函数 y= lg sinx- 22 + 1- 2cosx的定义域为 . 计算专题训练 4 定义域的相关计算 第 29页 共 131页 专业 专注 专心 博观而约取 厚积而薄发 【解析】y= lg sinx- 22 + 1- 2cosx的定义域需要满足 sinx- 22 > 0 1- 2cosx≥ 0  ，即 sinx> 22 cosx≤ 12  ， 所以 π 4 + 2kπ< x< 3π 4 + 2kπ π 3 + 2kπ≤ x≤ 5π 3 + 2kπ  ，其中 k∈Z，即 π 3 + 2kπ≤ x< 3π 4 + 2kπ,k∈Z， 【答案】 x π3 + 2kπ≤ x< 3π 4 + 2kπ,k∈Z . 8 函数 y= tanx- 1 tan x+ π6  的定义域为 ． 【解析】根据题意，得 tanx≥ 1 tan x+ π6 ≠ 0 x+ π6 ≠ π 2 + kπ k∈Z       ，解得 π 4 + kπ≤ x< π 2 + kπ k∈Z  x≠- π6 + kπ k∈Z  x≠ π3 + kπ k∈Z         ， 所以函数的定义域为 kπ+ π4 ,kπ+ π 3   ∪ kπ+ π3 ,kπ+ π 2 k∈Z . 【答案】 kπ+ π4 ,kπ+ π 3   ∪ kπ+ π3 ,kπ+ π 2 k∈Z . 9 函数 y= 3- 1x 的定义域为 ． 【解析】y= 3- 1x ，∴ 3- 1x ≥ 0 x≠ 0  ，x≥ 1 3 或 x< 0；所以定义域为：-∞,0 ∪ 1 3 , +∞   . 【答案】-∞,0 ∪ 13 , +∞    10 函数 y= 12+ cosx 的定义域为 . 【解析】由 2+ cosx≠ 0知 cosx≠-2；又由 cosx∈ -1,1 ，故定义域为R. 【答案】R 11 函数 y= 1- 3x 2-2x-3 的定义域为 ． 【解析】由题设 1- 3x 2-2x-3≥ 0，即 3x 2-2x-3≤ 1= 30，所以 x2- 2x- 3= (x+ 1) (x- 3)≤ 0，可得-1≤ x≤ 3， 故函数定义域为 [-1,3]. 【答案】[-1,3] 12 函数 y= x+ 1 0 x - x + 1- 6x 2+x-2 的定义域 ． 【解析】为使函数 y= x+ 1 0 x - x + 1- 6x 2+x-2 有意义，需满足 x+ 1≠ 0 x - x> 0 1- 6x 2+x-2≥ 0  ， 即 x≠-1 x > x 6x 2+x-2≤ 1  ⇒ x≠-1 x< 0 x2+ x- 2≤ 0  ⇒ x≠-1 x< 0 -2≤ x≤ 1  ，∴-2≤ x< 0且 x≠-1， ∴函数 y= x+ 1 0 x - x + 1- 6x 2+x-2 的定义域是 x  - 2≤ x< 0且 x≠-1 . 【答案】{x| -2≤ x< 0且 x≠-1} 第 30页 共 131页 专业专心 专注 13 若 y= x 2- 9+ 9- x2 x- 2 + 1， 3x+ 4y= . 【解析】由 y= x 2- 9+ 9- x2 x- 2 + 1有意义可得；x 2- 9≥ 0,9- x2≥ 0,x- 2≠ 0， 所以 x= 3或 x=-3，当 x= 3时，y= 1，3x+ 4y= 13，当 x=-3时，y= 1，3x+ 4y=-5， 【答案】-5或 13. 14 函数 y= lgsinx+ 12 - cosx的定义域 ． 【解析】要使函数有意义，需 sinx> 0 1 2 - cosx≥ 0  ；解得： 2kπ< x< π+ 2kπ,k∈Z π 3 + 2kπ≤ x≤ 5π 3 + 2kπ,k∈Z  即 2kπ+ π3 ≤ x< 2kπ+ π,k∈Z； 故答案为：2kπ+ π3 ,2kπ+ π   (k∈Z) 15 函数 y= 1 log5 2x- 1  的定义域 . 【解析】由题意可得 2x- 1> 0 log5 2x- 1 ≠ 0  ，解得 x> 1 2 且 x≠ 1.因此，函数 y= 1 log5 2x- 1  的定义域是 1 2 ,1 ∪ 1, +∞ . 【答案】 1 2 ,1 ∪ 1, +∞ . 16 函数 y= 1 x- 1 + (x- 3)0的定义域 . 【解析】y= 1 x- 1 + (x- 3)0的定义域满足 x- 1> 0 x- 3≠ 0  ，解得 x> 1且 x≠ 3， 【答案】 1,3 ∪ 3, +∞  17 函数 f(x) = 1 1- x2 的定义域为 . 【解析】要使函数 f(x) = 1 1- x2 有意义，则 1- x2≥ 0 1- x2≠ 0  ，解得-1< x< 1，即函数的定义域为 -1,1 . 【答案】-1,1 . 18 函数 f(x) = x+ 1 x 的定义域 ． 【解析】由 f(x) = x+ 1 x ，得 x+ 1≥ 0 x≠ 0  ，解得 x≥-1且 x≠ 0，所以函数的定义域为 [-1,0) ∪ (0, +∞). 【答案】[-1,0) ∪ (0, +∞). 19 已知函数 f x = 16- x 2 log3(2- x) 的定义域为 ． 【解析】函数 f x = 16- x 2 log3(2- x) 有意义，则有 16- x2≥ 0 log3 2- x ≠ 0 2- x> 0  ，解得-4≤ x< 2且 x≠ 1， 所以函数 f x = 16- x 2 log3(2- x) 的定义域为 [-4,1) ∪ (1,2). 【答案】[-4,1) ∪ (1,2) 20 函数 f x = 3- 3-x+ ln x 的定义域为 . 计算专题训练 4 定义域的相关计算 第 31页 共 131页 专业 专注 专心 博观而约取 厚积而薄发 【解析】函数 f x = 3- 3-x+ ln x 的定义域为 3- 3-x≥ 0 x≠ 0  ，解得：x∈ -1,0 ∪ 0, +∞ . 【答案】-1,0 ∪ 0, +∞ . 21 函数 f(x) = 3- x的定义域 ． 【解析】解：由解析式可知 3- x≥ 0∴ x≤ 3，故函数的定义域为：(-∞,3] 22 函数 y= x- 1 的定义域为 ． 【解析】解：若函数有意义，则 x- 1≥ 0，解得 x≥ 1，故函数的定义域为 x|x≥ 1 ． 【答案】 x|x≥ 1 ． 23 函数 f x = 1ex- 2 + lg(2x- x2)的定义域为 ． 【解析】要使函数函数 f x = 1ex- 2 + lg(2x- x2)有意义，需满足 e x- 2≠ 0 2x- x2> 0  ，解得 0< x< 2且 x≠ ln2， 故函数 f x = 1ex- 2 + lg(2x- x2)的定义域为 {x|0< x< 2且 x≠ ln2}， 【答案】{x|0< x< 2且 x≠ ln2} 24 函数 y= 12  x- 1 的定义域为 . 【解析】由题设 1 2  x- 1≥ 0，故 x≤ log 1 2 1= 0，故定义域为 -∞,0 . 【答案】-∞,0  25 函数 y= lg(-x) + 2 x2- 1 的定义域为 ． 【解析】由题意得 -x> 0 x2- 1> 0  ⇒ x<-1，则定义域为 (-∞,-1)， 【答案】(-∞,-1). 26 函数 f x = lg x- 1  x- 2 的定义域为 . 【解析】要使 f x 有意义，只需 x- 1> 0 x- 2≠ 0  ，解得 1< x< 2，或 x> 2， 所以函数 f x 的定义域为 1,2 ∪ 2, +∞ . 【答案】 1,2 ∪ 2, +∞ . 27 函数 f x = 3- xx+ 2 的定义域 . 【解析】要使函数有意义则： 3- x≥ 0 x+ 2≠ 0  ⇒ x≤ 3 x≠-2  ， 所以函数的定义域为 -∞,-2 ∪ -2,3 ， 【答案】-∞,-2 ∪ -2,3 . 28 函数 f(x) = 8- 2x+ log3 x- 3 的定义域为 ． 【解析】由题意得， 8- 2x≥ 0 x- 3> 0  ，解得 3< x≤ 4，即函数定义域为 (3,4]，故答案为：(3,4]． 29 函数 f(x) = ln(2x- 1)的定义域为 . 【解析】由 2x- 1> 0⇒ x> 12 ，所以函数 f(x) = ln(2x- 1)的定义域为： 1 2 , +∞ . 第 32页 共 131页 专业专心 专注 【答案】 1 2 , +∞ . 30 函数 f x = 1- x+ 1x 的定义域为 . 【解析】要使函数 f x = 1- x+ 1x 有意义，只需 1- x≥ 0, x≠ 0,  解得：x≤ 1且 x≠ 0， 从而 f x 的定义域为 -∞,0 ∪ 0,1 . 【答案】-∞,0 ∪ 0,1  31 函数 y= lg x+ 12- x 的定义域 . 【解析】由题意得 x+ 1 2- x > 0，即 x+ 1  2- x > 0，解得-1< x< 2， 故定义域是 (-1,2). 【答案】(-1,2) 32 函数 y= 1 x- 1 的定义域为 ． 【解析】因为 y= 1 x- 1 ，所以 x- 1> 0，即 x> 1，所以定义域为 1, +∞ . 【答案】 1, +∞ . 33 函数 f x = lg x+ 2 + 12- x 的定义域为 ． 【解析】根据题意可得， x+ 2> 0 2- x> 0  ，解得-2< x< 2；即函数 f x 的定义域为 x -2< x< 2 . 【答案】 x -2< x< 2  34 函数 y= lg 3x- 1 的定义域 ． 【解析】函数 y= lg 3x- 1 的定义域满足：3x- 1> 0, ∴ x> 13 . 【答案】 1 3 , +∞ . 35 函数 y= 4- x2+ 1 lg 2x- 3  的定义域为 . 【解析】由题意可得 4- x2≥ 0 2x- 3> 0 lg 2x- 3 ≠ 0  ,故 -2≤ x≤ 2 x> 32 x≠ 2      ，即 3 2 < x< 2. 故函数 y= 4- x2+ 1 lg 2x- 3  的定义域为 3 2 ,2 . 【答案】 3 2 ,2 . 36 函数 f x = 4- 3x- x 2 2x+ 1 的定义域为 ． 【解析】函数 f x = 4- 3x- x 2 2x+ 1 有意义，需满足 4- 3x- x2≥ 0 2x+ 1≠ 0  ，解得-4≤ x≤ 1且 x≠- 1 2 ， 故函数 f x = 4- 3x- x 2 2x+ 1 的定义域为 -4, - 1 2   ∪ - 12 ,1 ， 【答案】-4, - 12   ∪ - 12 ,1  37 函数 y= 2 ln 2- x  的定义域 . 计算专题训练 4 定义域的相关计算 第 33页 共 131页 专业 专注 专心 博观而约取 厚积而薄发 【解析】函数 y= 2 ln 2- x  有意义应满足 2- x> 0 ln 2- x ≠ 0  ，解得 x∈ -∞,1 ∪ 1,2 ， 【答案】-∞,1 ∪ 1,2  38 函数 y= 2x+ 1+ log2 2- x 的定义域为 ． 【解析】由题意 2x+ 1≥ 0 2- x> 0  ，解得- 1 2 ≤ x< 2 ，即 x∈ - 1 2 ,2   ； 【答案】- 12 ,2    . 39 已知函数 f x = x- 2 · x+ 5 的定义域 . 【解析】函数 f x 的定义域应满足 x- 2≥ 0 x+ 5≥ 0  ，解得 x≥ 2.故函数 f x 的定义域为 2, +∞ . 【答案】 2, +∞ . 40 函数 f x = x- 2+ 1x- 3 的定义域 . 【解析】依题意 x- 2≥ 0 x- 3≠ 0  ，解得 x≥ 2且 x≠ 3，所以 f x 的定义域为 [2,3) ∪ (3, +∞). 【答案】[2,3) ∪ (3, +∞) 41 函数 f x = log2 2- x + 9- x2 的定义域为 ． 【解析】由已知得 2- x> 0 9- x2≥ 0  ，解得-3≤ x< 2，即函数 f x = log2 2- x + 9- x 2 的定义域为 -3,2 . 【答案】-3,2 . 42 函数 f x = 1- 2x+ 1x+ 3 的定义域为 . 【解析】要使函数 f x 有意义，则需满足 1- 2x≥ 0 x+ 3≠ 0  ，解得 x<-3或-3< x≤ 1 2 ， 所以函数 f x 的定义域为 -∞,-3 ∪ -3, 12 . 【答案】-∞,-3 ∪ -3, 12 . 43 函数 f x = 4- x2+ 1x- 1 的定义域为 . 【解析】由已知得 4- x2≥ 0 x- 1≠ 0  ，解得-2≤ x≤ 2且 x≠ 1，即函数 f x = 4- x 2+ 1 x- 1 的定义域为 -2,1 ∪ 1,2 . 【答案】-2,1 ∪ 1,2 . 44 函数 f x = x- 1+ 1x- 2 的定义域为 ． 【解析】函数的定义域需满足 x- 1≥ 0 x- 2≠ 0  ，解得：x≥ 1且 x≠ 2， 所以函数的定义域是 1,2 ∪ 2, +∞ . 【答案】 1,2 ∪ 2, +∞  45 函数 f(x) = lg 4- x2 + 1- tanx的定义域 . 【解析】由 f(x) = lg 4- x2 + 1- tanx，得 4- x2> 0 1- tanx≥ 0  ，解得- π 2 < x≤ π 4 或 π 2 < x< 2， 第 34页 共 131页 专业专心 专注 所以函数的定义域为 - π2 , π 4 ∪ π 2 ,2 . 【答案】 - π2 , π 4 ∪ π 2 ,2 . 46 已知函数 y= f 2x- 1 的定义域为 -1,2 ， 函数 y= f x+ 1 的定义域为 ． 【解析】因为函数 y= f 2x- 1 的定义域为 -1,2 ，则-1≤ x≤ 2，所以-3≤ 2x- 1≤ 3，则有-3≤ x+ 1≤ 3，解得：-4≤ x≤ 2，所以函数 y= f x+ 1 的定义域为 [-4,2]， 【答案】[-4,2]. 47 已知函数 f x = lg ax2- ax+ 1 的定义域 R， 实数 a的取值 围 . 【解析】a= 0时，ax2- ax+ 1= 1> 0满足题意，a≠ 0时，由 ax2- ax+ 1> 0恒成立得 a> 0 a2- 4a> 0  得 0 < a< 4， 综上 a的取值范围是 [0,4)． 【答案】[0,4)． 48 函数 f x = log3 x- 2 + 6- x的定义域为 ． 【解析】对于函数 f x = log3 x- 2 + 6- x，有 x- 2> 0 6- x≥ 0  ，解得 2< x≤ 6， 因此，函数 f x 的定义域为 2,6 . 【答案】 2,6 . 49 函数 y= x+ 1+ 1 -x2- x+ 2 的定义域 . 【解析】对于函数 y= x+ 1+ 1 -x2- x+ 2 ，有 x+ 1≥ 0 -x2- x+ 2> 0  ，即 x+ 1≥ 0 x2+ x- 2< 0  ，解得-1≤ x< 1. 因此，函数 y= x+ 1+ 1 -x2- x+ 2 的定义域为 -1,1 . 【答案】-1,1 . 50 函数 y= xx- 1 - log2 4- x 2 的定义域 . 【解析】要使函数有意义，则 x x- 1 ≥ 0 x- 1≠ 0 4- x2> 0      ，解得-2< x≤ 0或 1< x< 2，所以函数的定义域为 (-2,0]∪ (1,2). 【答案】(-2,0]∪ (1,2). 计算专题训练 4 定义域的相关计算 第 35页 共 131页