专题3 复数的四则运算（原卷版）-遇见最美的数学系列——计算专题

14观千剑而后识器 临渊羡鱼不如退而结网 专题 3 复数的四则运算 1 i3+ i4的共轭复数为 ( ) A. 1+ i B. 1- i C. - 1+ i D. - 1- i 2 若 z = 2i+ i 2 1+ i ， z= ( ) A. 12 + 3 2 i B. 1 2 - 3 2 i C. - 1 2 + 3 2 i D. - 1 2 - 3 2 i 3 已知 z+ i= zi， z = ( ) A. 22 B. 0 C. 1 2 D. 1 4 已知 i z = 1+ i(其中 i为虚数单 )，若 z z的共轭复数， z- z = ( ) A. - 1 B. 1 C. - i D. i 5 54- 3i = ( ) A. - 4+ 3i B. 4+ 3i C. - 45 + 3 5 i D. 4 5 + 3 5 i 6 若复数 z满足 i ⋅ z= 4+ 3i， z = ( ) A. 2 B. 5 C. 3 D. 5 15 操千曲而后晓声 7 若 a为实数，且 7+ ai3+ i = 2- i， a= ( ) A. 2 B. 1 C. - 1 D. - 2 8 (1+ 3 i)2= ( ) A. 2+ 2 3 i B. 2- 2 3 i C. - 2+ 2 3 i D. - 2- 2 3 i 9 已知复数 z= 3+ i1+ 2i + 2i， z = ( ) A. 1 B. 2 C. 2 D. 2 2 10 z 1- i = 1- 3 i ， z = ( ) A. 1+ i B. 1- i C. 2+ 2i D. 2- 2i 11 设 z= 11+ i， z- z  = ( ) A. - i B. i C. 1 D. 0 12 已知 i为虚数单 ，复数 z= 1- 3i2+ i ， z = ( ) A. 2 B. 3 C. 2 D. 5 13 已知 i为虚数单 ，复数 z满足 (1+ 3 i)z = 3+ i， z= ( ) A. - i B. 3- i C. 32 - 1 2 i D. 3 2 + 1 2 i 计算专题训练 3复数的四则运算 16观千剑而后识器 临渊羡鱼不如退而结网 14 若复数 z= 4- 3i i， z = ( ) A. 25 B. 20 C. 10 D. 5 15 设复数 z满足 z 1- i = 4， z = ( ) A. 2 2 B. 1 C. 2 D. 2 16 已知复数 z= 1- i  2+ ai a∈R  复 对 的点 实轴上， a= ( ) A. 12 B. - 1 2 C. 2 D. - 2 17 已知复数 z满足 (z- 1) (2- 3i) = 3+ 2i， z= ( ) A. 0 B. i C. - 1+ i D. 1+ i 18 若复数 z满足 i ⋅ z = 1- 2i， z= ( ) A. - 2- i B. - 2+ i C. 2+ i D. 2- i 19 设 i为虚数单 ，若复数 z满足 zi = 3- i 1- i， z的虚部为 ( ) A. - 2 B. - 1 C. 1 D. 2 20 已知复数 z满足 (2+ i)z= 2- 4i， z的虚部为 ( ) A. - 2i B. 2i C. - 2 D. 2 21 已知 z1- 2i = i，i为虚数单 ， z= ( ) A. - 2+ i B. 2- i C. 2+ i D. - 2- i 17 操千曲而后晓声 22 已知复数 z满足 1- i  z- 2i = 2i， z的虚部为 ( ) A. - 1 B. - i C. 3 D. 3i 23 已知复数 z= a+ i a∈R 满足 z ⋅ z = 5， a的值为 ( ) A. 6 B. 2 C. ± 6 D. ± 2 24 已知复数 z 方 x2- 2x+ 2= 0的一个根， z = ( ) A. 1 B. 2 C. 2 D. 3 25 若复数 z= a- 2i2+ i a∈R  纯虚数， a= ( ) A. - 2 B. 2 C. - 1 D. 1 26 已知复数 z满足 1+ i z= 3- i， 复数 z = ( ) A. 2 B. 5 C. 2 2 D. 10 27 已知复数 z= 32 + 1 2 i， z 3 = ( ) A. 34 B. 3 2 C. 1 D. 7 2 28 已知复数 z  满足 z ⋅ i= 4+ 3i， z = ． 29 3+ ii = 计算专题训练 3复数的四则运算 18观千剑而后识器 临渊羡鱼不如退而结网 30 复数 z满足 2z+ z = 6- i(i 虚数单 )， z的虚部为 . 31 设复数 z满足 1+ i z= 2i(i为虚数单 )， z= ． 32 复数 z1，z2 复 上对 的点 为Z1 2,1 ，Z2 1, -2 ， z1+ z2= . 33 若复数 z= 21+ i (i为虚数单 )， z- i = . 34 若复数 z满足 z(1- i) = 1+ 2i(i 虚数单 )， 复数 z= ． 35 若 z 1+ 2i = 1+ 3 i ， z 1+ i = 36 若复数 z满足 2z - 1= 3+ 6i(其中 i 虚数单 )， z= . 37 已知复数 iz2+ i =-1+ 2i， z  的虚部为 ． 38 已知复数 z满足 z2+ z+ 1= 0， z ⋅ z = . 39 已知复数 z满足 z 1- i = i(i为虚数单 )， z的虚部为 ． 19 操千曲而后晓声 40 复 内，复数 z所对 的点为 (1,1)， z ⋅ z = ． 41 已知复数 z满足 z 1+ 2i = |4- 3i|(其中 i为虚数单 )， 复数 z的共轭复数为 . 42 复数 1+ 2i 3+ i3 的值 ． 计算专题训练 3复数的四则运算 专业专心 专注 专题 3 复数的四则运算 1 i3+ i4的共轭复数为 ( ) A. 1+ i B. 1- i C. - 1+ i D. - 1- i 【答案】A 【解析】因为 i3+ i4= 1- i，则其共轭复数为 1+ i．故选:A 2 若 z = 2i+ i 2 1+ i ， z= ( ) A. 12 + 3 2 i B. 1 2 - 3 2 i C. - 1 2 + 3 2 i D. - 1 2 - 3 2 i 【答案】B 【解析】因为 z  = 2i- 11+ i = (2i- 1) (1- i) (1+ i) (1- i) = 1+ 3i 2 = 1 2 + 3 2 i，所以 z= 1 2 - 3 2 i．故选：B 3 已知 z+ i= zi， z = ( ) A. 22 B. 0 C. 1 2 D. 1 【答案】A 【解析】设 z= a+ bi，则 a+ b+ 1 i= ai+ bi2=-b+ ai，故 a=-b b+ 1= a  ，解之得 a= 12 b=- 12  ， 所以 z = a2+ b2= 22 .故选:A 4 已知 i z = 1+ i(其中 i为虚数单 )，若 z z的共轭复数， z- z = ( ) A. - 1 B. 1 C. - i D. i 【答案】D 【解析】由 i z = 1+ i，则 z= i1+ i = i 1- i  1+ i  1- i  = 1+ i2 ，则 z  = 1- i2 ， 所以 z- z = i．故选：D． 5 54- 3i = ( ) A. - 4+ 3i B. 4+ 3i C. - 45 + 3 5 i D. 4 5 + 3 5 i 【答案】D 【解析】 5 4- 3i = 5 4+ 3i  4- 3i  4+ 3i  = 5 4+ 3i  25 = 4 5 + 3 5 i.故选：D 6 若复数 z满足 i ⋅ z= 4+ 3i， z = ( ) A. 2 B. 5 C. 3 D. 5 【答案】D 【解析】∵ i ⋅ z= 4+ 3i，∴ z= 4+ 3ii = 4+ 3i ⋅ i i ⋅ i = 4i- 3 -1 = 3- 4i， 计算专题训练 3 复数的四则运算 第 23页 共 131页 专业 专注 专心 博观而约取 厚积而薄发 ∴ z = 32+ -4 2= 5.故选：D. 7 若 a为实数，且 7+ ai3+ i = 2- i， a= ( ) A. 2 B. 1 C. - 1 D. - 2 【答案】C 【解析】由题意得，a= 2- i  3+ i - 7 i = -i i =-1，故选：C． 8 (1+ 3 i)2= ( ) A. 2+ 2 3 i B. 2- 2 3 i C. - 2+ 2 3 i D. - 2- 2 3 i 【答案】C 【解析】(1+ 3 i)2= 1+ 2 3 i+ 3i2=-2+ 2 3 i；故选：C. 9 已知复数 z= 3+ i1+ 2i + 2i， z = ( ) A. 1 B. 2 C. 2 D. 2 2 【答案】B 【解析】因为 z= 3+ i1+ 2i + 2i= 3+ i  1- 2i  5 + 2i= 1- i+ 2i= 1+ i，所以 z = 2．故选:B 10 z 1- i = 1- 3 i ， z = ( ) A. 1+ i B. 1- i C. 2+ 2i D. 2- 2i 【答案】B 【解析】∵ z 1- i = 1- 3 i = 12+ - 3 2= 2，∴ z= 21- i = 2 1+ i  1- i  1+ i  = 2 1+ i  2 = 1+ i， ∴ z = 1- i.故选：B. 11 设 z= 11+ i ， z- z  = ( ) A. - i B. i C. 1 D. 0 【答案】A 【解析】由题意可得 z= 11+ i = 1- i 2 = 1 2 - 1 2 i，则 z  = 12 + 1 2 i， 所以 z- z = 12 - 1 2 i - 1 2 + 1 2 i =-i.故选：A 12 已知 i为虚数单 ，复数 z= 1- 3i2+ i ， z = ( ) A. 2 B. 3 C. 2 D. 5 【答案】C 【解析】z= 1- 3i2+ i = 1- 3i  2- i  2+ i  2- i  = -1- 7i5 =- 1 5 - 7 5 i， 则 z = - 15  2+ - 75  2= 125 + 49 25 = 2 .故选：C. 13 已知 i为虚数单 ，复数 z满足 (1+ 3 i)z = 3+ i， z= ( ) A. - i B. 3- i C. 32 - 1 2 i D. 3 2 + 1 2 i 【答案】D 第 24页 共 131页 专业专心 专注 【解析】依题意，z  = 3+ i 1+ 3 i = ( 3+ i) (1- 3 i) (1+ 3 i) (1- 3 i) = 2 3- 2i4 = 3 2 - 1 2 i， 所以 z= 32 + 1 2 i.故选：D 14 若复数 z= 4- 3i i， z = ( ) A. 25 B. 20 C. 10 D. 5 【答案】D 【解析】因为 z= 4- 3i i= 3+ 4i，所以 z = 9+ 16= 5，故选:D. 15 设复数 z满足 z 1- i = 4， z = ( ) A. 2 2 B. 1 C. 2 D. 2 【答案】A 【解析】由 z 1- i = 4，得 z= 41- i = 4× 1+ i  1- i × 1+ i  = 4+ 4i2 = 2+ 2i， 所以 z = 22+ 22= 2 2 .故选：A. 16 已知复数 z= 1- i  2+ ai a∈R  复 对 的点 实轴上， a= ( ) A. 12 B. - 1 2 C. 2 D. - 2 【答案】C 【解析】依题意，z= 1- i  2+ ai = 2+ a + a- 2 i，因为复数 z在复平面对应的点在实轴上， 所以 a- 2= 0，解得 a= 2.故选：C. 17 已知复数 z满足 (z- 1) (2- 3i) = 3+ 2i， z= ( ) A. 0 B. i C. - 1+ i D. 1+ i 【答案】D 【解析】∵ (z- 1) (2- 3i) = 3+ 2i，∴ z= 3+ 2i2- 3i + 1= 3+ 2i  2+ 3i  2- 3i  2+ 3i  + 1= 13i4+ 9 + 1= 1+ i， 故选：D. 18 若复数 z满足 i ⋅ z = 1- 2i， z= ( ) A. - 2- i B. - 2+ i C. 2+ i D. 2- i 【答案】B 【解析】由已知可得，z  = 1- 2ii =-2- i，从而 z=-2+ i.故选：B. 19 设 i为虚数单 ，若复数 z满足 zi = 3- i 1- i ， z的虚部为 ( ) A. - 2 B. - 1 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】由 z i = 3- i 1- i = 3- i  1+ i  1- i  1+ i  = 4+ 2i2 = 2+ i，则 z= 2i- 1，所以 z的虚部为 2．故选：D． 20 已知复数 z满足 (2+ i)z= 2- 4i， z的虚部为 ( ) A. - 2i B. 2i C. - 2 D. 2 【答案】C 计算专题训练 3 复数的四则运算 第 25页 共 131页 专业 专注 专心 博观而约取 厚积而薄发 【解析】z= 2- 4i2+ i = 2- 4i  2- i  2+ i  2- i  = -10i5 =-2i，故虚部为-2.故选：C 21 已知 z1- 2i = i，i为虚数单 ， z= ( ) A. - 2+ i B. 2- i C. 2+ i D. - 2- i 【答案】C 【解析】因为 z 1- 2i = i，则 z= i 1- 2i = 2+ i.故选：C. 22 已知复数 z满足 1- i  z- 2i = 2i， z的虚部为 ( ) A. - 1 B. - i C. 3 D. 3i 【答案】C 【解析】因为 z= 2i1- i + 2i= 2i 1+ i  1- i  1+ i  + 2i= i- 1+ 2i=-1+ 3i，所以 z的虚部为 3，故选：C. 23 已知复数 z= a+ i a∈R 满足 z ⋅ z = 5， a的值为 ( ) A. 6 B. 2 C. ± 6 D. ± 2 【答案】D 【解析】因为 z= a+ i，所以 z ⋅ z = (a+ i) (a- i) = a2+ 1= 5，解得 a=±2，故选：D 24 已知复数 z 方 x2- 2x+ 2= 0的一个根， z = ( ) A. 1 B. 2 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】因为方程 x2- 2x+ 2= 0是实系数方程，且Δ= -2 2- 4× 2=-4< 0， 所以该方程有两个互为共轭复数的两个虚数根，即 z= 2± 2i2 = 1± i，所以 z = 1 2+ ±1 2= 2 . 故选：C 25 若复数 z= a- 2i2+ i a∈R  纯虚数， a= ( ) A. - 2 B. 2 C. - 1 D. 1 【答案】D 【解析】由题意设 z= bi(b≠ 0)，z= a- 2i2+ i = bi，即 a- 2i= bi 2+ i =-b+ 2bi， 则 a=-b 2b=-2  ，解得：a= 1,b=-1.故选：D 26 已知复数 z满足 1+ i z= 3- i， 复数 z = ( ) A. 2 B. 5 C. 2 2 D. 10 【答案】B 【解析】因为 1+ i z= 3- i，则 z= 3- i1+ i = 3- i  1- i  1+ i  1- i  = 2- 4i2 = 1- 2i， 因此，z = 12+ -2 2= 5 .故选：B. 27 已知复数 z= 32 + 1 2 i， z 3 = ( ) A. 34 B. 3 2 C. 1 D. 7 2 第 26页 共 131页 专业专心 专注 【答案】C 【解析】法一：由复数乘法运算得 z3= 32 + 1 2 i  2 3 2 + 1 2 i = 1 2 + 3 2 i  3 2 + 1 2 i = i，则 z3 = 1， 法二：由 |z| = 32 + 1 2 i = 34 + 14 = 1，则 z3 = 1，故选：C 28 已知复数 z  满足 z ⋅ i= 4+ 3i， z = ． 【答案】5 【解析】由 z  ⋅ i= 4+ 3i得 z = 4+ 3ii = 4i+ 3i2 i2 = 4i- 3-1 = 3- 4i， 因为 z   = 32+ 42= 5，所以 z = z = 5，故答案为：5． 29 3+ ii = 【答案】1- 3i 【解析】 3+ i i = 3+ i i i2 = 1- 3i.故答案为：1- 3i 30 复数 z满足 2z+ z = 6- i(i 虚数单 )， z的虚部为 . 【答案】-1 【解析】令 z= a+ bi，则 z = a- bi，所以 2z+ z = 2 a+ bi + a- bi = 3a+ bi= 6- i，故 z的虚部为-1. 故答案为：-1. 31 设复数 z满足 1+ i z= 2i(i为虚数单 )， z= ． 【答案】1+ i 【解析】∵ 1+ i z= 2i，则 z= 2i1+ i = 2i 1- i  1+ i  1- i  = 1+ i.故答案为：1+ i. 32 复数 z1，z2 复 上对 的点 为Z1 2,1 ，Z2 1, -2 ， z1+ z2= . 【答案】3- i/- i+ 3 【解析】因为复数 z1，z2在复平面上对应的点分别为Z1 2,1 ，Z2 1, -2 ， 所以 z1= 2+ i，z2= 1- 2i，所以 z1+ z2= 3- i，故答案为：3- i. 33 若复数 z= 21+ i (i为虚数单 )， z- i = . 【答案】 5 【解析】z= 21+ i = 2 1- i  1+ i  1- i  = 2 1- i  2 = 1- i，所以 z- i = 1- 2i = 1 2+ -2 2= 5 .故答案 为： 5 . 34 若复数 z满足 z(1- i) = 1+ 2i(i 虚数单 )， 复数 z= ． 【答案】- 12 + 3 2 i． 【解析】由 z(1- i) = 1+ 2i可得 z= 1+ 2i1- i = 1+ 2i  1+ i  1- i  1+ i  = -1+ 3i2 =-- 1 2 + 3 2 i.故答案为：- 1 2 + 3 2 i. 35 若 z 1+ 2i = 1+ 3 i ， z 1+ i = 【答案】 6 5 - 2 5 i 计算专题训练 3 复数的四则运算 第 27页 共 131页 专业 专注 专心 博观而约取 厚积而薄发 【解析】因为 z 1+ 2i = 1+ 3 i = 1+ 3= 2，所以 z= 21+ 2i = 2 1- 2i  1+ 4 = 2- 4i 5 ， 故 z 1+ i = 2- 4i5 × 1+ i = 2+ 2i- 4i+ 4 5 = 6 5 - 2 5 i.故答案为： 6 5 - 2 5 i. 36 若复数 z满足 2z - 1= 3+ 6i(其中 i 虚数单 )， z= . 【答案】2- 3i 【解析】由 2z - 1= 3+ 6i，得 2z = 4+ 6i，∴ z = 2+ 3i，则 z= 2- 3i．故答案为：2- 3i． 37 已知复数 iz2+ i =-1+ 2i， z  的虚部为 ． 【答案】-4 【解析】解：由题意得 z= (-1+ 2i) (2+ i)i = (-4+ 3i)i i ⋅ i = 3+ 4i， 则 z  = 3- 4i，所以 z的虚部为-4，故答案为：-4 38 已知复数 z满足 z2+ z+ 1= 0， z ⋅ z = . 【答案】1 【解析】因为 z2+ z+ 1= z+ 12  2+ 34 = 0，即 z+ 1 2  2=- 34 = ± 3 2 i  2 ， 所以，z=- 12 - 3 2 i或 z=- 1 2 + 3 2 i， 若 z=- 12 - 3 2 i，则 z  =- 12 + 3 2 i，则 z ⋅ z  = - 12 - 3 2 i - 1 2 + 3 2 i = 1 4 + 3 4 = 1， 若 z=- 12 + 3 2 i，则 z  =- 12 - 3 2 i，则 z ⋅ z  = - 12 + 3 2 i - 1 2 - 3 2 i = 1 4 + 3 4 = 1. 综上所述，z ⋅ z = 1.故答案为：1. 39 已知复数 z满足 z 1- i = i(i为虚数单 )， z的虚部为 ． 【答案】 1 2 /0.5 【解析】由 z 1- i = i得：z= i1- i = i 1+ i  1- i  1+ i  = -1+ i2 =- 1 2 + 1 2 i，∴ z的虚部为 1 2 .故答案为： 1 2 . 40 复 内，复数 z所对 的点为 (1,1)， z ⋅ z = ． 【答案】2 【解析】由题意可知 z= 1+ i ，所以 z ⋅ z = 1+ i  1- i = 2，故答案为：2 41 已知复数 z满足 z 1+ 2i = |4- 3i|(其中 i为虚数单 )， 复数 z的共轭复数为 . 【答案】1+ 2i 【解析】由 z 1+ 2i = 4- 3i = 42+ -3 2= 5，得 z= 51+ 2i = 5 1- 2i  1+ 2i  1- 2i  = 5 1- 2i  1- 4i2 = 1- 2i， 则复数 z的共轭复数为 z  = 1+ 2i；故答案为：1+ 2i 42 复数 1+ 2i 3+ i3 的值 ． 【答案】 1 10 + 7 10 i 【解析】解： 1+ 2i 3+ i3 = 1+ 2i3- i = (1+ 2i) (3+ i) 10 = 1+ 7i 10 = 1 10 + 7 10 i．故答案为： 1 10 + 7 10 i. 第 28页 共 131页