专题2 解一元二次不等式（原卷版）-遇见最美的数学系列——计算专题

7 操千曲而后晓声 专题 2 解一元二次不等式 1 解不等式 (1) - x2+ 3x+ 40> 0 (2) 3 x+ 1 < 1 2 解不等式： (1) - x2+ x≥ 3x+ 1； (2)x2- 2x> 2x2+ 2. 3 解一元二次不等式： (1)4x2+ 4x+ 1> 0； (2)2x2- x- 3≤ 0. 4 解下 不等式： (1) x- 13 + 2< x- 3< 2x+ 3 2 ； (2)3x+ 4- x 2< 0． 5 解下 不等式的解 ： (1) - x2+ 4x+ 5< 0； (2)2x2- 5x+ 2≤ 0； (3) 4x- 1 - 7≤ 0； (4) x+ 1 x- 5 2 x- 2  < 0； (5) 4- x2x+ 3 ≥ 1. 6 解下 不等式： (1)x2- 5x+ 6< 0； (2) - x2+ 2x+ 3< 0； (3) 3x+ 13- x >-1； (4) x+ 1 x- 3 ≥ 0. 7 解下 不等式 (1)log2 x2- 2 ≤ 1； (2) x- 1 x- 4 ≥ 0； (3) - 3x2- 2x+ 8≥ 0； 计算专题训练 1解一元二次不等式 8观千剑而后识器 临渊羡鱼不如退而结网 8 解下 关于 x的不等式： (1) - x2+ 2x+ 4> 0； (2) 2x- 3 x+ 1 ≥ 1 9 下 不等式的解 ： (1) 4x+ 3 x- 1 > 5; (2) 2x- 3 < 3x- 2 10 解下 不等式： (1)2x2+ 5x- 3< 0； (2) - 3x2+ 6x≤ 2； (3) x+ 5 x- 3 ≤ 1 2 ； (4) x- 1 x- 2 < x 2x- 5 + 3 11 解下 不等式： (1)x2< 3x+ 4； (2)2+ x- x2≥ 0; (3)x 9- x > 0. 12 下 不等式的解 ： (1)x2- 3x- 10> 0； (2) - 3x2+ 5x- 4> 0 13 解下 不等式： (1)2+ 3x- 2x2> 0； (2)x2- 2x+ 3> 0． 14 解不等式： (1)x2+ x- 6≤ 0; (2)6- 2x2- x< 0． 15 解下 不等式： (1)2+ 3x- 2x2> 0； (2)x 3- x ≤ x x+ 2 - 1. 9 操千曲而后晓声 16 解下 不等式. (1)x2- 5x+ 6> 0； (2) - 3x2+ 5x- 2> 0. 17 解下 不等式： (1)2x2+ x- 3> 0; (2) - 4x2+ 4x- 1≥ 0; (3) - 4x2+ 3x- 2< 0 18 下 不等式的解 ： (1) - x2+ 3x+ 2< 6x- 2； (2) 2x+ 1 x- 3 > 3 x2+ 2  19 解下 不等式: (1) 2x- 1 x+ 2 ≤ 0; (2)|1- 2x| > 3． 20 解下 关于 x的不等式： (1) - x2+ 4x- 4< 0; (2) 1- x x- 5 > 0 21 (1)4x- 2x- 2< 0； (2) log2x 2- 5log2x+ 6≥ 0． 22 下 不等式的解 ： (1) - 3x2- 2x+ 8≥ 0； (2) 3x2x+ 1 ≤ 1. 23 解下 不等式的解 ： (1)x2- 4x+ 4> 0； (2) - 3x2+ 5x- 2> 0； (3)2x2+ 7x+ 3> 0； (4)2x2< x- 1. 计算专题训练 1解一元二次不等式 10观千剑而后识器 临渊羡鱼不如退而结网 24 解下 不等式： (1)4x2- 4x+ 1> 0； (2)x2- 6x+ 9≤ 0； (3) - x2+ 2x- 3> 0； (4) (x+ 2) (x- 3)< 6. 25 解下 不等式． (1) - 2x2+ 3x- 1< 0； (2)x2+ x+ 2< 0． 26 下 不等式的解 ． (1) - 2x2+ 5x- 3≤ 0； (2) x+ 4 x+ 1 ≥ 2 27 解下 不等式： (1)x2+ x- 2< 0; (2) x+ 2  3- x ≤ 0 28 解下 不等式 (1) - 2x2+ x+ 3< 0； (2) 2x- 13- 4x ≥ 1； (3) x- 2 x- 1 < x． 29 下 不等式的解 (1) x- 1 x > 2； (2) -x 2+ 5x+ 6 x- 1 ≥ 0． 30 解下 不等式 (组) (1) - 2< 1- 3x≤ 4; (2) 1- 2x ≤ 5 2x- 3 > 1  ; (3) 2x+ 5> 5x- 1 -x2+ 2 3x≤ 3  31 解关于 x的不等式. (1)2x2- x- 6> 0； (2) - 2x2+ x+ 3≥ 0； (3)x2- 3x- 2< 0. 11 操千曲而后晓声 32 解下 不等式： (1) - 2x2+ x+ 1< 0； (2) x- 2 x- 1 ≥ 2． 33 下 不等式的解 ： (1)2x2- 5x+ 3< 0； (2) 3x+ 12- x < 0. 34 下 不等式的解 ： (1) (x+ 1) (x- 4)> 0; (2) - x2+ 4x- 4< 0 35 解下 关于 x的不等式： (1)x2- 3x+ 2> 0； (2)x2+ x+ 1> 0. 36 用函数解下 不等式： (1)2x2+ 7x+ 3> 0； (2)x2- 4x- 5≤ 0； (3) - 12 x 2+ 3x- 5> 0; (4) x- 3 x+ 7 < 0; (5) x- 43- x ≥ 1 37 解关于 x的不等式： (1)x2- 14x+ 45≤ 0; (2) 2x+ 1 x- 1 ≤ 1 38 下 不等式 不等式组的解 (1) 2x- 1 x+ 3 ≤ 1 (2) x x+ 2 > 0 x2< 1  计算专题训练 1解一元二次不等式 12观千剑而后识器 临渊羡鱼不如退而结网 39 解不等式： (1)x2- 2x- 3> 0; (2) x- 12x < 1 40 解不等式-x2+ 2x+ 3< 0． 41 解下 不等式 (1)2x 2-x< 4； (2) 2x- 13x+ 1 > 1 42 解下 不等式 5- x x+ 3 > 0 43 解下 不等式： (1)3x2+ 5x- 2> 0； (2) -2x2x- 1 > 1. 44 下 不等式的解 (1) x- 1 x- 2 < 0; (2)x2- 5x+ 4≤ 0; (3) 1- 2x ≥ 3; (4) 2x+ 1x- 3 > 0 45 下 不等式的解 ： (1)x2- 5x+ 6> 0； (2) - 12 x 2+ 3x- 5> 0; (3) 2x+ 3 x- 1 ≥ 1 46 解下 关于 x的不等式： (1)x2- 3x< 10; (2) 1- 2x x+ 2 ≥ 0 13 操千曲而后晓声 47 解下 不等式 (1) 1 x < 4； (2) 2x- 1 < 7． 48 解下 不等式： (1) x- 2 x+ 1 < 4； (2) x- 2x+ 1 ≥ 0. 49 解下 不等式； (1) - x2+ 2x- 3> 0； (2) x- 2  1- 3x > 2； (3) x+ 1x- 2 ≥ 3 计算专题训练 1解一元二次不等式 专业 专注 专心 博观而约取 厚积而薄发 专题 2 解一元二次不等式 1 解不等式 (1) - x2+ 3x+ 40> 0 (2) 3 x+ 1 < 1 【答案】(1) x -5< x< 8 (2) x x> 2 或 x<-1  【解析】(1)由-x2+ 3x+ 40> 0，得 x2- 3x- 40< 0，即 x- 8 x+ 5 < 0，解得-5< x< 8， 所以不等式的解集为 x -5< x< 8 ； (2)由 3 x+ 1 < 1，得 x- 2 x+ 1 > 0，即 x- 2 x+ 1 > 0，解得 x> 2或 x<-1， 所以不等式得解集为 x x> 2 或 x<-1 . 2 解不等式： (1) - x2+ x≥ 3x+ 1； (2)x2- 2x> 2x2+ 2. 【答案】(1) -1 (2)∅ 【解析】(1)由-x2+ x≥ 3x+ 1得 x2+ 2x+ 1≤ 0，即 x+ 1 2≤ 0， ∴ x+ 1= 0，∴ x=-1，即不等式-x2+ x≥ 3x+ 1的解集为 -1 ； (2)由 x2- 2x> 2x2+ 2得 x2+ 2x+ 2< 0，即 x+ 1 2+ 1< 0，不可能成立， 即不等式 x2- 2x> 2x2+ 2的解集为∅. 3 解一元二次不等式： (1)4x2+ 4x+ 1> 0； (2)2x2- x- 3≤ 0. 【答案】(1) -∞,- 12 ∪ - 1 2 , +∞  (2) -1, 3 2     【解析】(1)由 4x2+ 4x+ 1= 2x+ 1 2> 0可知， 不等式 4x2+ 4x+ 1> 0的解集为 -∞,- 12 ∪ - 1 2 , +∞ . (2)解 2x2- x- 3= 0得 x1=-1,x2= 32 ， 故由不等式 2x2- x- 3≤ 0，得-1≤ x≤ 32 ， 故不等式 2x2- x- 3≤ 0的解集为 -1, 32    . 4 解下 不等式： (1) x- 13 + 2< x- 3< 2x+ 3 2 ； (2)3x+ 4- x 2< 0． 【答案】(1) {x|x> 7}； (2) {x|x> 4或 x<-1}. 【解析】(1) ∵ x- 13 + 2< x- 3< 2x+ 3 2 ， ∴ x- 13 + 2< x- 3,x- 3< 2x+ 3 2 ，∴ x> 7且 x>- 9 2 ，∴ x> 7 ∴不等式的解集为 {x|x> 7}. (2) ∵ 3x+ 4- x2< 0，∴ x2- 3x- 4> 0，∴ (x- 4) (x+ 1)> 0， ∴ x> 4或 x<-1，∴不等式的解集为 {x|x> 4或 x<-1}． 5 解下 不等式的解 ： 第 10页 共 131页 专业专心 专注 (1) - x2+ 4x+ 5< 0； (2)2x2- 5x+ 2≤ 0； (3) 4x- 1 - 7≤ 0； (4) x+ 1 x- 5 2 x- 2  < 0； (5) 4- x2x+ 3 ≥ 1. 【答案】(1) x x<-1 或 x> 5 (2) x 12 ≤ x≤ 2 (3) x - 3 2 ≤ x≤ 2 (4) x -1< x< 2  (5) x - 32 < x≤ 1 3  【解析】(1)解：由-x2+ 4x+ 5< 0可得 x2- 4x- 5> 0，解得 x<-1或 x> 5， 故原不等式的解集为 x x<-1 或 x> 5 .(2)解：由 2x2- 5x+ 2≤ 0可得 2x- 1 x- 2 ≤ 0，解得 12 ≤ x≤ 2， 故原不等式的解集为 x 12 ≤ x≤ 2 .(3)解：由 4x- 1 - 7≤ 0可得 4x- 1 ≤ 7，即-7≤ 4x- 1≤ 7，解 得- 32 ≤ x≤ 2，故原不等式的解集为 x - 3 2 ≤ x≤ 2 . (4)解：由 x+ 1 x- 5 2 x- 2  < 0可得 x+ 1 x- 2 < 0 x- 5≠ 0  ，解得-1< x< 2，故原不等式的解集为 x -1< x< 2 . (5)解：由 4- x2x+ 3 ≥ 1可得 1- 4- x 2x+ 3 = 2x+ 3- 4- x  2x+ 3 = 3x- 1 2x+ 3 ≤ 0，解得- 3 2 < x≤ 1 3 ， 故原不等式的解集为 x - 32 < x≤ 1 3 . 6 解下 不等式： (1)x2- 5x+ 6< 0； (2) - x2+ 2x+ 3< 0； (3) 3x+ 13- x >-1； (4) x+ 1 x- 3 ≥ 0. 【答案】(1) 2,3  (2) -∞,-1 ∪ 3, +∞  (3) -2,3  (4) -∞,-1 ∪ 3, +∞  【解析】(1)由 x2- 5x+ 6< 0，得 x- 2 x- 3 < 0，解得 2< x< 3， 故不等式的解集为 2,3 . (2)由-x2+ 2x+ 3< 0，得 x2- 2x- 3> 0，即 x+ 1 x- 3 > 0，解得 x<-1或 x> 3， 故不等式的解集为 -∞,-1 ∪ 3, +∞ . (3)由 3x+ 13- x >-1，得 2x+ 4 x- 3 < 0，即 2x+ 4 x- 3 < 0，解得-2< x< 3， 故不等式的解集为 -2,3 . (4)由 x+ 1 x- 3 ≥ 0，得 x+ 1 x- 3 ≥ 0 x- 3≠ 0  ，解得 x≤-1或 x> 3， 故不等式的解集为 -∞,-1 ∪ 3, +∞ . 7 解下 不等式 (1)log2 x2- 2 ≤ 1； (2) x- 1 x- 4 ≥ 0； (3) - 3x2- 2x+ 8≥ 0； 【答案】(1) {x| -2≤ x<- 2 或 2< x≤ 2}.(2) {x|x≤ 1或 x≥ 4} (3) {x -2≤ x≤ 43 ． 【解析】(1)由 log2 x2- 2 ≤ 1得 0< x2- 2≤ 2，即 2< x2≤ 4， 解得-2≤ x<- 2，或 2< x≤ 2. 所以原不等式的解集为 {x| -2≤ x<- 2 或 2< x≤ 2}. (2)由 x- 1 x- 4 ≥ 0解得 x≤ 1，或 x≥ 4. 所以原不等式的解集为 {x|x≤ 1或 x≥ 4}. 计算专题训练 1 解一元二次不等式 第 11页 共 131页 专业 专注 专心 博观而约取 厚积而薄发 (3)不等式-3x2- 2x+ 8≥ 0变形为，3x2+ 2x- 8≤ 0，即 3x- 4 x+ 2 ≤ 0，解得-2≤ x≤ 43 . 所以原不等式的解集为 x -2≤ x≤ 43  8 解下 关于 x的不等式： (1) - x2+ 2x+ 4> 0； (2) 2x- 3 x+ 1 ≥ 1 【答案】(1) (1- 5 ,1+ 5 ) (2) -∞,-1 ∪ 4, +∞  【解析】(1) - x2+ 2x+ 4> 0等价于 x2- 2x- 4< 0，即 x- 1- 5 x+ 5- 1 < 0 解得 1- 5< x< 5+ 1，故该不等式的解集为：1- 5 , 5+ 1  (2) 2x- 3 x+ 1 - 1≥ 0⇒ x- 4 x+ 1 ≥ 0⇒ x- 4 x+ 1 ≥ 0且 x+ 1≠ 0，解得 x≥ 4或 x<-1. 即该不等式的解集为：-∞,-1 ∪ 4, +∞  9 下 不等式的解 ： (1) 4x+ 3 x- 1 > 5; (2) 2x- 3 < 3x- 2 【答案】(1) (1,8) (2) (1, +∞) 【解析】(1) 4x+ 3 x- 1 > 5⇔ x- 8 x- 1 < 0⇔ x- 1 x- 8 < 0，故解集为 (1,8)； (2)|2x- 3| < 3x- 2⇔-3x+ 2< 2x- 3< 3x- 2， 故解集为 (1, +∞). 10 解下 不等式： (1)2x2+ 5x- 3< 0； (2) - 3x2+ 6x≤ 2； (3) x+ 5 x- 3 ≤ 1 2 ； (4) x- 1 x- 2 < x 2x- 5 + 3 【答案】(1) -3, 12 (2) -∞,1- 3 3 ∪ 1+ 3 3 , +∞   (3) -13,3 (4) -∞,1 ∪ 1, +∞  【解析】(1) ∵ 2x2+ 5x- 3< 0，∴ 2x- 1 x+ 3 < 0，∴-3< x< 12 ，即不等式的解集为 -3, 1 2 ； (2) ∵-3x2+ 6x≤ 2，∴ 3x2- 6x+ 2≥ 0，解得 x≤ 1- 33 或 x≥ 1+ 3 3 ； 即不等式的解集为 -∞,1- 33 ∪ 1+ 3 3 , +∞   ； (3) ∵ x+ 5 x- 3 ≤ 1 2 ，∴ x+ 5≤ 12 x- 3  x- 3> 0  或 x+ 5≥ 12 x- 3  x- 3< 0  解得-13≤ x< 3，即不等式的解集为 -13,3 ； (4) ∵ x- 1 x- 2 < x 2x- 5 + 3，整理得 x2- 2x+ 1> 0， 解得 x≠ 1，即不等式的解集为 -∞,1 ∪ 1, +∞ . 11 解下 不等式： (1)x2< 3x+ 4； (2)2+ x- x2≥ 0; (3)x 9- x > 0. 【答案】(1) -1,4 (2) -1,2 (3) 0,9  【解析】(1)不等式 x2< 3x+ 4，可化为 x2- 3x- 4< 0， 方程 x2- 3x- 4= 0的解为 x1=-1或 x2= 4， 作函数 y= x2- 3x- 4的图象可得， 第 12页 共 131页 专业专心 专注 观察图象可得不等式 x2- 3x- 4< 0的解集为 -1,4 ， 所以不等式 x2< 3x+ 4的解集为 -1,4 ； (2)不等式 2+ x- x2≥ 0，可化为 x2- x- 2≤ 0， 方程 x2- x- 2= 0的解为 x3=-1或 x4= 2， 作函数 y= x2- x- 2的图象可得， 观察图象可得不等式 x2- x- 2≤ 0的解集为 -1,2 ， 所以不等式 2+ x- x2≥ 0的解集为 -1,2 ； (3)不等式 x 9- x > 0，可化为 x2- 9x< 0， 方程 x2- 9x= 0的解为 x5= 0或 x6= 9， 作函数 y= x2- 9x的图象可得， 观察图象可得不等式 x2- 9x< 0的解集为 0,9 ， 所以不等式 x 9- x > 0的解集为 0,9 . 12 下 不等式的解 ： (1)x2- 3x- 10> 0； (2) - 3x2+ 5x- 4> 0 【答案】(1) x| x> 5或 x<-2 (2)∅ 【解析】(1)原不等式化为 x+ 2 x- 5 > 0，解得 x> 5或 x<-2， 所以原不等式解集为 x| x> 5或 x<-2 ；(2)原不等式化为 3x2- 5x+ 4< 0，又Δ= (-5)2- 4× 3× 4 =-23< 0， 所以原不等式无解，解集为∅． 13 解下 不等式： 计算专题训练 1 解一元二次不等式 第 13页 共 131页 专业 专注 专心 博观而约取 厚积而薄发 (1)2+ 3x- 2x2> 0； (2)x2- 2x+ 3> 0． 【答案】(1) x - 12 < x< 2 (2)R 【解析】(1)原不等式可化为 2x2- 3x- 2< 0，即 2x+ 1 x- 2 < 0， 故原不等式的解集为 x - 12 < x< 2 . (2) ∵Δ= -2 2- 4× 3× 1=-8< 0, ∴原不等式的解集为R. 14 解不等式： (1)x2+ x- 6≤ 0; (2)6- 2x2- x< 0． 【答案】(1) x -3≤ x≤ 2 (2) x x -2或 x 32  【解析】(1)原不等式等价于： x+ 3 x- 2 ≤ 0解得：-3≤ x≤ 2 所以原不等式解集为：x -3≤ x≤ 2  (2)原不等式等价于：2x2+ x- 6> 0 即 2x- 3 x+ 2 > 0解得：x<-2或 x> 32 所以原不等式的解集为：x x<-2或 x> 3 2  15 解下 不等式： (1)2+ 3x- 2x2> 0； (2)x 3- x ≤ x x+ 2 - 1. 【答案】(1) x - 12 < x< 2 (2) x x≤- 1 2 或 x≥ 1  【解析】(1)原不等式可化为 2x2- 3x- 2< 0，所以 (2x+ 1) (x- 2)< 0,解得- 12 < x< 2， 故原不等式的解集是 x - 12 < x< 2 . (2)原不等式可化为 2x2- x- 1≥ 0,所以 (2x+ 1) (x- 1)≥ 0，解得 x≤- 12 或 x≥ 1， 故原不等式的解集为 x x≤- 12 或 x≥ 1 . 16 解下 不等式. (1)x2- 5x+ 6> 0； (2) - 3x2+ 5x- 2> 0. 【答案】(1) -∞,2 ∪ 3, +∞ (2) 23 ,1  【解析】(1)因为 x2- 5x+ 6= x- 2 x- 3 > 0， 所以 x< 2或 x> 3，即 x∈ -∞,2 ∪ 3, +∞ ； (2)因为-3x2+ 5x- 2> 0，即 3x2- 5x+ 2< 0，所以 x- 1  3x- 2 < 0，解得 23 < x< 1， 即 x∈ 23 ,1 . 17 解下 不等式： (1)2x2+ x- 3> 0; (2) - 4x2+ 4x- 1≥ 0; (3) - 4x2+ 3x- 2< 0 【答案】(1) -∞,- 32 ∪ 1, +∞ (2) 1 2  (3)R 【解析】(1)由 2x2+ x- 3> 0可得 2x+ 3 x- 1 > 0， 所以 x> 1或 x<- 32 ，即解集为 -∞,- 3 2 ∪ 1, +∞ ； (2)由-4x2+ 4x- 1≥ 0可得 2x- 1 2≤ 0， 所以 x= 12 ，即解集为 1 2  ； (3)由-4x2+ 3x- 2< 0可得 4x2- 3x+ 2= 2x- 34  2+ 2316 > 0，所以解集为R. 第 14页 共 131页 专业专心 专注 18 下 不等式的解 ： (1) - x2+ 3x+ 2< 6x- 2； (2) 2x+ 1 x- 3 > 3 x2+ 2  【答案】(1) x x<-4 或 x> 1 (2)∅ 【解析】(1)原不等式整理得，x2+ 3x- 4> 0，即 x- 1 x+ 4 > 0，解得 x<-4或 x> 1， ∴原不等式的解集为 x x<-4 或 x> 1  (2)原不等式整理得，x2+ 5x+ 9< 0，∵Δ= 52- 4× 1× 9=-11< 0，∴原不等式的解集为∅. 19 解下 不等式: (1) 2x- 1 x+ 2 ≤ 0; (2)|1- 2x| > 3． 【答案】(1) -2, 12 ；(2) {x ∣ x<-1或 x> 2} 【解析】(1) 2x- 1 x+ 2 ≤ 0⇒ (x+ 2) (2x- 1)≤ 0 x+ 2≠ 0  ⇒-2< x≤ 1 2 ， 所以不等式的解为 -2, 12 . (2) ∵ |1- 2x| > 3，∴ 1- 2x> 3或 2x- 1> 3，∴ x<-1或 x> 2, 所以不等式的解为 {x ∣ x<-1或 x> 2}. 20 解下 关于 x的不等式： (1) - x2+ 4x- 4< 0; (2) 1- x x- 5 > 0 【答案】(1) x ∣ x≠ 2 (2) {x ∣ 1< x< 5} 【解析】(1)由-x2+ 4x- 4< 0可得：x2- 4x+ 4= x- 2 2> 0， 所以 x≠ 2，故解集为 x ∣ x≠ 2 .(2) ∵ 1- xx- 5 > 0，∴ x- 1 x- 5 < 0，等价转化为 x- 1 x- 5 < 0， 解得 1< x< 5，所以不等式解集为 {x ∣ 1< x< 5}. 21 (1)4x- 2x- 2< 0； (2) log2x 2- 5log2x+ 6≥ 0． 【答案】(1) -∞,1 ；(2) 0,4 ∪ 8, +∞ . 【解析】(1)令m= 2x, m> 0 ，则原不等式可化为：m2-m- 2< 0，解得：-1<m< 2， 所以 0<m< 2.解不等式 2x< 2，解得：x< 1，所以原不等式的解集为 -∞,1  (2)令 n= log2x，则原不等式可化为：n2- 5n+ 6≥ 0，解得：n≤ 2或 n≥ 3， 即 log2x≤ 2或 log2x≥ 3，解得：0< x≤ 4或 x≥ 8，所以原不等式的解集为 0,4 ∪ 8, +∞ . 22 下 不等式的解 ： (1) - 3x2- 2x+ 8≥ 0； (2) 3x2x+ 1 ≤ 1. 【答案】(1) x - 2≤ x≤ 43 (2) x - 1 2 < x≤ 1   【解析】(1)因为-3x2- 2x+ 8≥ 0， 所以 3x2+ 2x- 8≤ 0，则 3x- 4 x+ 2 ≤ 0，解得-2≤ x≤ 43 ， 所以-3x2- 2x+ 8≥ 0的解集为 x - 2≤ x≤ 43 . (2)因为 3x2x+ 1 ≤ 1， 所以 3x 2x+ 1 - 1≤ 0，则 3x- 2x- 1 2x+ 1 ≤ 0，即 x- 1 2x+ 1 ≤ 0， 故 x- 1  2x+ 1 ≤ 0 2x+ 1≠ 0  ，解得- 1 2 < x≤ 1， 计算专题训练 1 解一元二次不等式 第 15页 共 131页 专业 专注 专心 博观而约取 厚积而薄发 所以 3x 2x+ 1 ≤ 1的解集为 x - 1 2 < x≤ 1  . 23 解下 不等式的解 ： (1)x2- 4x+ 4> 0； (2) - 3x2+ 5x- 2> 0； (3)2x2+ 7x+ 3> 0； (4)2x2< x- 1. 【答案】(1) -∞,2 ∪ 2, +∞ (2) 23 ,1 (3) -∞,-3 ∪ - 1 2 , +∞ (4)∅ 【解析】(1)x2- 4x+ 4> 0可化为 x- 2 2> 0，解得 x≠ 2， 所以不等式的解集为 -∞,2 ∪ 2, +∞ . (2) - 3x2+ 5x- 2> 0可化为 3x2- 5x+ 2< 0，即 3x- 2 x- 1 < 0，解得 23 < x< 1， 所以不等式的解集为 2 3 ,1 . (3)2x2+ 7x+ 3> 0可化为 2x+ 1 x+ 3 > 0，解得 x<-3或 x>- 12 ， 所以不等式的解集为 -∞,-3 ∪ - 12 , +∞ . (4)2x2< x- 1可化为 2x2- x+ 1< 0， 因为不等式对应的方程的判别式 Δ= -1 2- 4× 2=-7< 0， 所以不等式的解集为∅． 24 解下 不等式： (1)4x2- 4x+ 1> 0； (2)x2- 6x+ 9≤ 0； (3) - x2+ 2x- 3> 0； (4) (x+ 2) (x- 3)< 6. 【答案】(1) {x x≠ 12 (2) {x|x= 3} (3)∅ (4) {x| -3< x< 4} 【解析】(1) ∵ 4x2- 4x+ 1> 0，∴ 2x- 1 2> 0，解得：x≠ 12 .所以解集为：x x≠ 1 2  (2) ∵ x2- 6x+ 9≤ 0，∴ x- 3 2≤ 0，解得：x= 3.所以解集为：{x|x= 3} (3) ∵-x2+ 2x- 3> 0，∴Δ= 22- 4× -1 × -3 =-8< 0， 所以方程无解，解集为∅.所以解集为：∅ (4) ∵ (x+ 2) (x- 3)< 6，∴ x+ 3 x- 4 < 0，解得：-3< x< 4. 所以解集为：{x| -3< x< 4} 25 解下 不等式． (1) - 2x2+ 3x- 1< 0； (2)x2+ x+ 2< 0． 【答案】(1) x x> 1 或 x< 12 ；(2)∅ 【解析】(1)由-2x2+ 3x- 1< 0得：2x- 1 x- 1 > 0，解得：x< 12 或 x> 1， 所以不等式的解集为：x x> 1 或 x< 12 ； (2)由 x2+ x+ 2< 0，令 x2+ x+ 2= 0，可知Δ= 1- 4× 1× 2=-7< 0， 又 y= x2+ x+ 2对应抛物线开口向上，所以 x2+ x+ 2< 0的解集为：∅. 26 下 不等式的解 ． (1) - 2x2+ 5x- 3≤ 0； (2) x+ 4 x+ 1 ≥ 2 【答案】(1) x  x≤ 1或 x≥ 32 (2) x - 1< x≤ 2  【解析】(1) - 2x2+ 5x- 3≤ 0，将原不等式变形为 2x2- 5x+ 3≥ 0，即 2x- 3 x- 1 ≥ 0， 解得 x≤ 1或 x≥ 32 ，故原不等式的解集为 x  x≤ 1或 x≥ 3 2 ； 第 16页 共 131页 专业专心 专注 (2) x+ 4 x+ 1 ≥ 2，化简得 x+ 4 x+ 1 - 2≥ 0， -x+ 2 x+ 1 ≥ 0，等价于 -x+ 2 x+ 1 ≥ 0且 x+ 1≠ 0，即 x≠-1， 由 -x+ 2 x+ 1 ≥ 0且 x≠-1，解得-1< x≤ 2，故原不等式的解集为 x - 1< x≤ 2 . 27 解下 不等式： (1)x2+ x- 2< 0; (2) x+ 2  3- x ≤ 0 【答案】(1) -2,1 (2) -∞,-2 ∪ 3, +∞  【解析】(1)x2+ x- 2= x+ 2 x- 1 < 0，解得-2< x< 1，即 x∈ -2,1  (2) x+ 2  3- x ≤ 0，即 x+ 2 x- 3 ≥ 0，解得 x≥ 3或 x≤-2， 即 x∈ -∞,-2 ∪ 3, +∞  28 解下 不等式 (1) - 2x2+ x+ 3< 0； (2) 2x- 13- 4x ≥ 1； (3) x- 2 x- 1 < x． 【答案】(1) -∞,-1 ∪ 32 , +∞ ；(2) 2 3 , 3 4   ；(3) -∞,2- 2 ∪ 2+ 2 , +∞ . 【解析】(1)由-2x2+ x+ 3< 0，化为 2x2- x- 3> 0，即为 2x- 3 x+ 1 > 0， 解得 x<-1或 x> 32 ，所以原不等式的解集为 -∞,-1 ∪ 3 2 , +∞ ； (2)由 2x- 13- 4x ≥ 1，可得 6x- 4 3- 4x ≥ 0，等价为 6x- 4  4x- 3 ≤ 0，且 4x- 3≠ 0， 解得 2 3 ≤ x< 3 4 ，所以原不等式的解集为 2 3 , 3 4   ； (3)由 x- 2 x- 1 < x，可得 x2- 4x+ 2< 0，解得 x< 2- 2 或 x> 2+ 2， 所以原不等式的解集为 -∞,2- 2 ∪ 2+ 2 , +∞ ． 29 下 不等式的解 (1) x- 1 x > 2； (2) -x 2+ 5x+ 6 x- 1 ≥ 0． 【答案】(1) x| -1< x< 0 (2) x|x≤-1 或 1< x≤ 6  【解析】(1)已知 x- 1 x > 2，移项得 x- 1 x - 2> 0， 通分化简得 -1- x x > 0，等价于 x -1- x > 0，即 x x+ 1 < 0， 解得：-1< x< 0，故不等式 x- 1 x > 2的解集为 x| -1< x< 0 . (2)已知 -x 2+ 5x+ 6 x- 1 ≥ 0，等价于 -x 2+ 5x+ 6 x- 1 ≥ 0且 x- 1≠ 0， 即 x- 6 x+ 1 x- 1 ≤ 0且 x- 1≠ 0， 根据穿根法，如图可知不等式 -x2+ 5x+ 6 x- 1 ≥ 0的解集为 x|x≤-1 或 1< x≤ 6  30 解下 不等式 (组) (1) - 2< 1- 3x≤ 4; (2) 1- 2x ≤ 5 2x- 3 > 1  ; (3) 2x+ 5> 5x- 1 -x2+ 2 3x≤ 3  【答案】(1) [-1,1) (2) (2,3]∪ [-2,1) (3) (-∞,2) 【解析】(1)不等式-2< 1- 3x≤ 4可化为 1- 3x>-21- 3x≤ 4  ，解得：-1≤ x< 1， 所以原不等式的解集为 [-1,1). 计算专题训练 1 解一元二次不等式 第 17页 共 131页 专业 专注 专心 博观而约取 厚积而薄发 (2)不等式 1- 2x ≤ 5 2x- 3 > 1  可化为 -5≤ 2x- 1≤ 5 2x- 3> 1  或 -5≤ 2x- 1≤ 5 2x- 3<-1  ， 解得：2< x≤ 3或-2≤ x< 1， 所以原不等式的解集为 (2,3]∪ [-2,1) (3)不等式 2x+ 5> 5x- 1-x2+ 2 3x≤ 3  可化为 x< 2 x2- 2 3x+ 3≥ 0  ， 也即 x< 2 x- 3 2≥ 0  ，解得：x< 2， 所以原不等式的解集为 (-∞,2). 31 解关于 x的不等式. (1)2x2- x- 6> 0； (2) - 2x2+ x+ 3≥ 0； (3)x2- 3x- 2< 0. 【答案】(1) {x|x> 2或 x<- 32 } (2) x -1≤ x≤ 3 2 (3) x 3- 17 2 < x< 3+ 17 2  【解析】(1) ∵ 2x2- x- 6> 0，则 2x+ 3 x- 2 > 0， ∴ x> 2或 x<- 32 ，故不等式的解集为 {x|x> 2或 x<- 3 2 } (2) ∵-2x2+ x+ 3≥ 0，即 2x2- x- 3≤ 0，则 2x- 3 x+ 1 ≤ 0， ∴-1≤ x≤ 32 ，故不等式的解集为 x -1≤ x≤ 3 2 . (3)令 x2- 3x- 2= 0，则 x= 3- 172 或 x= 3+ 17 2 ， ∵ x2- 3x- 2< 0，∴ 3- 172 < x< 3+ 17 2 ， 故不等式的解集为 x 3- 172 < x< 3+ 17 2 . 32 解下 不等式： (1) - 2x2+ x+ 1< 0； (2) x- 2 x- 1 ≥ 2． 【答案】(1) {x|x> 1或 x<- 12 } (2) {x|0≤ x< 1} 【解析】(1)因为不等式-2x2+ x+ 1< 0可化为 2x2- x- 1> 0， 也即 (2x+ 1) (x- 1)> 0，解得：x> 1或 x<- 12 ， 所以原不等式的解集为 {x|x> 1或 x<- 12 }. (2)不等式 x- 2 x- 1 ≥ 2可化为 x- 2- 2(x- 1) x- 1 ≥ 0，也即 -x x- 1 ≥ 0， 所以 x- 1≠ 0 x(x- 1)≤ 0  ，解得：0≤ x< 1， 所以原不等式的解集为 {x|0≤ x< 1}. 33 下 不等式的解 ： (1)2x2- 5x+ 3< 0； (2) 3x+ 12- x < 0. 【答案】(1) x ∣ 1< x< 32  (2) x ∣ x<- 1 3 或 x> 2   【解析】(1) ∵ 2x2- 5x+ 3< 0， ∴ 2x- 3 x- 1 < 0，解得 1< x< 32 . ∴原不等式的解集为 x ∣ 1< x< 32  . 第 18页 共 131页 专业专心 专注 (2)不等式 3x+ 12- x < 0等价于 3x+ 1  2- x < 0， ∴ 3x+ 1 x- 2 > 0，解得 x<- 13 或 x> 2. ∴原不等式的解集为 x ∣ x<- 13  或 x> 2 . 34 下 不等式的解 ： (1) (x+ 1) (x- 4)> 0; (2) - x2+ 4x- 4< 0 【答案】(1) -∞,-1 ∪ 4, +∞ (2) -∞,2 ∪ 2, +∞  【解析】(1)由 x+ 1 x- 4 > 0，解得 x<-1或 x> 4，故不等式的解集为 -∞,-1 ∪ 4, +∞ . (2)由-x2+ 4x- 4< 0，得 x2- 4x+ 4> 0，即 x- 2 2> 0，解得 x≠ 2， 故不等式的解集为 -∞,2 ∪ 2, +∞ . 35 解下 关于 x的不等式： (1)x2- 3x+ 2> 0； (2)x2+ x+ 1> 0. 【答案】(1) (-∞,1) ∪ (2, +∞) (2)R 【解析】(1)不等式 x2- 3x+ 2> 0可化为 (x- 1) (x- 2)> 0，解得 x< 1或 x> 2， 所以不等式的解集为 (-∞，1) ∪ (2，+∞) (2)因为不等式 x2+ x+ 1> 0对应方程的判别式Δ= 1- 4=-3< 0，不等式 x2+ x+ 1> 0的解集为R. 36 用函数解下 不等式： (1)2x2+ 7x+ 3> 0； (2)x2- 4x- 5≤ 0； (3) - 12 x 2+ 3x- 5> 0; (4) x- 3 x+ 7 < 0; (5) x- 43- x ≥ 1 【答案】(1) x x -3或 x - 12 (2) x -1≤ x≤ 5 (3)  ∅ (4) x| -7< x< 3} (5) x 3< x≤ 7 2  【解析】(1)解：方程 2x2+ 7x+ 3= 0的解为 x1=-3,x2=- 12 ， 所以不等式的解集为 x x -3或 x - 12 ； (2)解：方程 x2- 4x- 5= 0的解为 x1=-1,x2= 5， 所以不等式的解集为 x -1≤ x≤ 5 ； (3)解：对于方程- 12 x 2+ 3x- 5= 0，由于Δ= (-6)2- 4× 10=-4< 0， 所以不等式的解集为 ∅ ； (4)解：x- 3 x+ 7 < 0等价于 (x- 3) (x+ 7)< 0， 方程 (x- 3) (x+ 7) = 0的解为 x1=-7,x2= 3， 所以原不等式的解集是 {x| -7< x< 3}； (5)解：移项得 x- 43- x - 1≥ 0通分整理得 2x- 7 3- x ≥ 0， 等价于 2x- 7  3- x ≥ 0 3- x≠ 0  ，解得 3< x≤ 7 2 ， 所以原不等式的解集是 x 3< x≤ 72 ． 37 解关于 x的不等式： (1)x2- 14x+ 45≤ 0; (2) 2x+ 1 x- 1 ≤ 1 【答案】(1) {x|5≤ x≤ 9}． (2) {x| -2≤ x< 1}． 计算专题训练 1 解一元二次不等式 第 19页 共 131页 专业 专注 专心 博观而约取 厚积而薄发 【解析】(1)由 x2- 14x+ 45≤ 0.所以 x- 5 x- 9 ≤ 0则 5≤ x≤ 9， 所以不等式 x2- 14x+ 45≤ 0的解集为：{x|5≤ x≤ 9}． (2)由 2x+ 1 x- 1 ≤ 1即 x+ 2 x- 1 ≤ 0.所以 x- 1 x+ 2 ≤ 0且 x≠ 1，则-2≤ x< 1， 所以不等式 2x+ 1 x- 1 ≤ 1的解集为：{x| -2≤ x< 1}． 38 下 不等式 不等式组的解 (1) 2x- 1 x+ 3 ≤ 1 (2) x x+ 2 > 0 x2< 1  【答案】(1) x -3< x≤ 4 (2) x 0< x< 1  【解析】(1) 2x- 1 x+ 3 ≤ 1 2x- 1 x+ 3 - 1≤ 0 x- 4 x+ 3 ≤ 0，等价于 x- 4 x+ 3 ≤ 0 x≠-3  ，解得-3< x≤ 4， 所以不等式的解集为 x -3< x≤ 4 . (2)不等式 x x+ 2 > 0解得 x<-2或 x> 0； 不等式 x2< 1解得-1< x< 1， 所以不等式组的解集为 x 0< x< 1 . 39 解不等式： (1)x2- 2x- 3> 0; (2) x- 12x < 1 【答案】(1) x|x<-1 或 x> 3  (2) x|x<-1 或 x> 0  【解析】(1)x2- 2x- 3= x- 3 x+ 1 > 0，解得 x<-1或 x> 3， 所以不等式 x2- 2x- 3> 0的解集为 x|x<-1 或 x> 3 . (2) x- 12x < 1, x- 1 2x - 1= x- 1- 2x 2x = -x- 1 2x < 0， 即 2x -x- 1 < 0，解得 x<-1或 x> 0， 所以不等式 x- 1 2x < 1的解集为 x|x<-1 或 x> 0 . 40 解不等式-x2+ 2x+ 3< 0． 【答案】(-∞,-1) ∪ (3, +∞) 【解析】由-x2+ 2x+ 3< 0得 x2- 2x- 3> 0，即 (x+ 1) (x- 3)> 0， 故原不等式的解集为 (-∞,-1) ∪ (3, +∞)， 41 解下 不等式 (1)2x 2-x< 4； (2) 2x- 13x+ 1 > 1 【答案】(1) x - 1< x< 2 (2) x - 2< x<- 13  【解析】(1)由 2x 2-x< 4，则 2x 2-x< 22，即 x2- x< 2，x2- x- 2< 0，x+ 1 x- 2 < 0，解得-1< x< 2. 故解集为 x - 1< x< 2  (2)由 2x- 13x+ 1 > 1，则 2x- 1 3x+ 1 - 1> 0， 2x- 1- 3x- 1 3x+ 1 > 0， -x- 2 3x+ 1 > 0， x+ 2 3x+ 1 < 0，x+ 2  3x+ 1 < 0，解得-2< x<- 13 .故解集为 x - 2< x<- 1 3   第 20页 共 131页 专业专心 专注 42 解下 不等式 5- x x+ 3 > 0 【答案】 x| -3< x< 5  【解析】解：原不等式等价于 5- x x+ 3 > 0，即 x- 5 x+ 3 < 0，解得-3< x< 5 所以，原不等式的解集是 x| -3< x< 5  43 解下 不等式： (1)3x2+ 5x- 2> 0； (2) -2x2x- 1 > 1. 【答案】(1) x x<-2或 x> 13 (2) x  1 4 < x< 1 2   【解析】(1)3x2+ 5x- 2> 0，3x- 1 x+ 2 > 0，解得 x<-2或 x> 13 . 故不等式的解集为 x x<-2或 x> 13 ； (2) -2x2x- 1 > 1， -2x 2x- 1 - 1> 0， -2x- 2x+ 1 2x- 1 > 0， -4x+ 1 2x- 1 > 0， 4x- 1 2x- 1 < 0， 4x- 1  2x- 1 < 0， 解得 1 4 < x< 1 2 ， 故不等式的解集为 x  14 < x< 1 2   44 下 不等式的解 (1) x- 1 x- 2 < 0; (2)x2- 5x+ 4≤ 0; (3) 1- 2x ≥ 3; (4) 2x+ 1x- 3 > 0 【答案】(1) 1,2 (2) 1,4 (3) -∞,-1 ∪ 2, +∞ (4) -∞,- 12 ∪ 3, +∞  【解析】(1)由 x- 1 x- 2 < 0可得 1< x< 2，所以其解集为 1,2 ， (2)由 x2- 5x+ 4≤ 0可得 1≤ x≤ 4，所以其解集为 1,4 ， (3)由 1- 2x ≥ 3可得 1- 2x≥ 3或 1- 2x≤-3，解得 x≥ 2或 x≤-1， 所以解集为 -∞,-1 ∪ 2, +∞ ， (4)由 2x+ 1 x- 3 > 0可得 2x+ 1 x- 3 > 0，所以 x> 3或 x<- 1 2 ， 所以解集为 -∞,- 12 ∪ 3, +∞ . 45 下 不等式的解 ： (1)x2- 5x+ 6> 0； (2) - 12 x 2+ 3x- 5> 0; (3) 2x+ 3 x- 1 ≥ 1 【答案】(1) {x|x> 3或 x< 2};(2)∅;(3) {x|x> 1或 x≤-4}. 【解析】(1)因为 x2- 5x+ 6> 0，即 x- 2 x- 3 > 0，解得 x> 3或 x< 2， 所以不等式的解集为 {x|x> 3或 x< 2}； (2)因为- 12 x 2+ 3x- 5> 0，即 x2- 6x+ 10< 0， 因为Δ= -6 2- 4× 10=-4< 0，所以方程 x2- 6x+ 10= 0无实数根， 又函数 y= x2- 6x+ 10开口向上，所以 x2- 6x+ 10> 0恒成立， 所以不等式- 12 x 2+ 3x- 5> 0的解集为∅； 计算专题训练 1 解一元二次不等式 第 21页 共 131页 专业 专注 专心 博观而约取 厚积而薄发 (3)由 2x+ 3 x- 1 ≥ 1，即 2x+ 3 x- 1 - 1≥ 0，可得 x+ 4 x- 1 ≥ 0， 等价于 (x- 1) (x+ 4)≥ 0，且 x≠ 1，解得 x> 1或 x≤-4， 所以不等式的解集为 {x|x> 1或 x≤-4}. 46 解下 关于 x的不等式： (1)x2- 3x< 10; (2) 1- 2x x+ 2 ≥ 0 【答案】(1) x| -2< x< 5 (2) x - 2< x≤ 12  【解析】(1)由 x2- 3x< 10得 x+ 2 x- 5 < 0，解得-2< x< 5，所以解集为 x| -2< x< 5 . (2)原不等式可化为 2x- 1 x+ 2 ≤ 0，等价于 2x- 1 x+ 2 ≤ 0 x+ 2≠ 0  ，解得-2< x≤ 1 2 ， 所以解集为 x - 2< x≤ 12 . 47 解下 不等式 (1) 1 x < 4； (2) 2x- 1 < 7． 【答案】(1) { x|x< 0或 x> 14 } (2) {x| -3< x< 4} 【解析】(1)由 1 x < 4，得 4- 1 x > 0，即 4x- 1 x > 0，则 x(4x- 1)> 0，解得 x< 0或 x> 14 ， ∴不等式的解集为 { x|x< 0或 x> 14 }． (2)由 |2x- 1| < 7，得-7< 2x- 1< 7，解得-3< x< 4，∴不等式的解集为 {x| -3< x< 4}． 48 解下 不等式： (1) x- 2 x+ 1 < 4； (2) x- 2x+ 1 ≥ 0. 【答案】(1) x| -2< x< 3 (2) x| x<-1或 x≥ 2  【解析】(1)由 x- 2 x+ 1 < 4得 x2- x- 6< 0即 x+ 2 x- 3 < 0, 解得-2< x< 3,所以不等式的解集为 x| -2< x< 3 . (2)原不等式等价于 (x- 2) (x+ 1)≥ 0 x+ 1≠ 0  解得 x<-1或 x≥ 2. 所以不等式的解集为 x| x<-1或 x≥ 2 . 49 解下 不等式； (1) - x2+ 2x- 3> 0； (2) x- 2  1- 3x > 2； (3) x+ 1x- 2 ≥ 3 【答案】(1)∅；(2) x 1< x< 43 (3) 2, 7 2  【解析】(1)因为-x2+ 2x- 3> 0，所以 x2- 2x+ 3< 0，因为 x- 1 2+ 2< 0无解， 所以 x∈∅，所以原不等式的解集为∅； (2)因为 x- 2  1- 3x > 2，所以-3x2+ 7x- 4> 0，即 3x2- 7x+ 4< 0， 因为 3x- 4 x- 1 < 0，所以 1< x< 43 ，所以原不等式的解集为 x 1< x< 4 3 ； (3)因为 x+ 1 x- 2 ≥ 3，所以 -2x+ 7 x- 2 ≥ 0，即 2x- 7 x- 2 ≤ 0，所以 2x- 7 x- 2 ≤ 0 x- 2≠ 0  解得 2< x≤ 72 ，所以原不等式的解集为 2, 7 2 . 第 22页 共 131页