专题18～19 极坐标与参数方程(选修) 不等式(选修)-遇见最美的数学系列——23真题汇编

专题18极坐标与参数方程（选修） 174.223全国乙卷文（理）在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线C的极坐标方程为p=2n(停<0<受》，曲线C:仁-u为参数，号<a< (1)写出C的直角坐标方程： (2)若直线y=x+m既与C没有公共点，也与C2没有公共点，求m的取值范围. 175.2023全国甲春文理已知P2,1),直线z=2+tcosa(t为参数)，a为1的倾斜角，1与x轴，y轴正半 ly=1+tsina 轴交于A,B两点，PA·PB=4. (1)求a的值： (2)以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求1的极坐标方程. 38 专题19不等式（选修） 176.2023全国乙卷文（理）》已知f(x)=2x+x-2 (1)求不等式f(x)≤6-x的解集： ②在直角坐标系：0y中，求不等式组)≤0所确定的平面区城的面积 177.(2023全国甲卷文（理）己知f(x)=2x-a-a,a>0. (1)求不等式f(x)<x的解集： (2)若曲线y=f(x)与坐标轴所围成的图形的面积为2，求a. 39辅助线同方法一. 设点C到平面C1MA的距离为 h. VC1-AMC= 1 3 ×C1P×S△AMC= 1 3 × 2× 1 2 × 2  2= 23 ， VC-C1MA= 1 3 × h×S△AMC1= 1 3 × h× 1 2 × 2 × 3 2 2 = h 2 . 由VC1-AMC=VC-C1MA⇔ h 2 = 2 3 ，即 h= 4 3 . 专 17 法与 图 173. (2023全国甲卷文(理))执行下边的 图， 输出的B= ( ) A. 21 B. 34 C. 55 D. 89 【答案】B 【解析】当 k= 1时，判断框条件满足，第一次执行循环体，A= 1+ 2= 3，B= 3+ 2= 5，k= 1+ 1= 2； 当 k= 2时，判断框条件满足，第二次执行循环体，A= 3+ 5= 8，B= 8+ 5= 13，k= 2+ 1= 3； 当 k= 3时，判断框条件满足，第三次执行循环体，A= 8+ 13= 21，B= 21+ 13= 34，k= 3+ 1= 4； 当 k= 4时，判断框条件不满足，跳出循环体，输出B= 34． 故选：B. 专 18 与 数方 ( 修) 174. (2023全国乙卷文(理)) 直角 系 xOy中，以 点O为 点，x轴正 轴为 轴建 系， 曲线C1的 方 为 ρ= 2sinθ π4 ≤ θ≤ π 2 ，曲线C2： x= 2cosα y= 2sinα  (α为 数， π 2 < α< π). 151 (1)写出C1的直角 方 ； (2)若直线 y= x+m既与C1 公共点，也与C2 公共点， m的取 围. 【答案】(1)x2+ y- 1 2= 1,x∈ 0,1 ,y∈ 1,2 ;(2) -∞,0 ∪ 2 2 , +∞  【解析】(1)因为 ρ= 2sinθ，即 ρ2= 2ρsinθ，可得 x2+ y2= 2y， 整理得 x2+ y- 1 2= 1，表示以 0,1 为圆心，半径为 1的圆， 又因为 x= ρcosθ= 2sinθcosθ= sin2θ,y= ρsinθ= 2sin2θ= 1- cos2θ， 且 π 4 ≤ θ≤ π 2 ，则 π 2 ≤ 2θ≤ π，则 x= sin2θ∈ 0,1 ,y= 1- cos2θ∈ 1,2 ， 故C1:x2+ y- 1 2= 1,x∈ 0,1 ,y∈ 1,2 . (2)因为C2: x= 2cosα y= 2sinα  (α为参数， π 2 < α< π)， 整理得 x2+ y2= 4，表示圆心为O 0,0 ，半径为 2，且位于第二象限的圆弧， 如图所示，若直线 y= x+m过 1,1 ，则 1= 1+m，解得m= 0； 若直线 y= x+m，即 x- y+m= 0与C2相切，则 m  2 = 2 m> 0  ，解得m= 2 2， 若直线 y= x+m与C1,C2均没有公共点，则m> 2 2 或m< 0， 即实数m的取值范围 -∞,0 ∪ 2 2 , +∞ . 175. (2023全国甲卷文(理))已知P(2,1)，直线 l: x= 2+ tcosα y= 1+ tsinα  (t为 数)，α为 l的 斜角，l与 x轴，y轴正 轴交于A，B两点，|PA| ⋅ |PB| = 4． (1) α的 ； (2)以 点为 点，x轴正 轴为 轴建 系， l的 方 ． 【答案】(1) 3π4 ;(2)ρcosα+ ρsinα- 3= 0 【解析】(1)因为 l与 x轴，y轴正半轴交于A,B两点，所以 π2 < α< π， 令 x= 0，t1=- 2cosα，令 y= 0，t2=- 1 sinα， 所以 PA PB = t2t1 = 2sinαcosα = 4 sin2α = 4，所以 sin2α=±1， 即 2α= π2 + kπ，解得 α= π 4 + 1 2 kπ,k∈Z， 152 因为 π 2 < α< π，所以 α= 3π 4 ． (2)由 (1)可知，直线 l的斜率为 tanα=-1，且过点 2,1 ， 所以直线 l的普通方程为：y- 1=- x- 2 ，即 x+ y- 3= 0， 由 x= ρcosα,y= ρsinα可得直线 l的极坐标方程为 ρcosα+ ρsinα- 3= 0． 专 19 不 ( 修) 176. (2023全国乙卷文(理))已知 f x = 2 x + x- 2 . (1) 不 f x ≤ 6- x的解 ； (2) 直角 系 xOy中， 不 组 f(x)≤ y x+ y- 6≤ 0  所 定的 域的 积. 【答案】(1) [-2,2]；(2)8. 【解析】(1)依题意，f(x) = 3x- 2, x> 2 x+ 2, 0≤ x≤ 2 -3x+ 2, x< 0      ， 不等式 f(x)≤ 6- x化为：x> 2 3x- 2≤ 6- x  或 0≤ x≤ 2 x+ 2≤ 6- x  或 x< 0 -3x+ 2≤ 6- x  ， 解 x> 2 3x- 2≤ 6- x  ，得无解；解 0≤ x≤ 2 x+ 2≤ 6- x  ，得 0≤ x≤ 2，解 x< 0 -3x+ 2≤ 6- x  ，得-2≤ x< 0，因此-2≤ x≤ 2， 所以原不等式的解集为：[-2,2] (2)作出不等式组 f(x)≤ y x+ y- 6≤ 0  表示的平面区域，如图中阴影△ABC， 由 y=-3x+ 2 x+ y= 6  ，解得A(-2,8)，由 y= x+ 2 x+ y= 6  , 解得C(2,4)，又B(0,2),D(0,6)， 所以△ABC的面积S△ABC= 1 2 |BD| × xC- xA = 1 2 |6- 2| × |2- (-2)| = 8. 177. (2023全国甲卷文(理))已知 f(x) = 2 x- a - a,a> 0． (1) 不 f x < x的解 ； (2)若曲线 y= f x 与 轴所围成的图 的 积为 2， a． 153 【答案】(1) a3 ,3a ;(2) 2 6 3 【解析】(1)若 x≤ a,则 f(x) = 2a- 2x- a< x, 即 3x> a,解得 x> a3 ,即 a 3 < x≤ a, 若 x> a,则 f(x) = 2x- 2a- a< x, 解得 x< 3a,即 a< x< 3a, 综上,不等式的解集为 a3 ,3a . (2)f(x) = -2x+ a, x≤ a 2x- 3a, x> a  . 画出 f(x)的草图,则 f(x)与坐标轴围成△ADO与△ABC △ABC的高为 a,D(0,a),A a2 ,0 ,B 3a 2 ,0 ,所以 |AB| = a 所以S△OAD+S△ABC= 1 2 OA ⋅ a+ 1 2 AB ⋅ a= 3 4 a 2= 2,解得 a= 2 63 154