专题15 统计-遇见最美的数学系列——23真题汇编

专题15统计 143.2023新高考1卷)有一组样本数据x,x2,…,x6,其中x1是最小值，x是最大值，则 A.工2，E3,x,x的平均数等于x1,x2,…,6的平均数 B.2,3,E,的中位数等于1,2，…，的中位数 C.x2,工，工，，的标准差不小于工，x2,…,工的标准差 D.工2，，E,的极差不大于x1,x,…,x的极差 144,2023天津塞)调查某种群花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示，其中相关系数r=0.8245,下列说法 正确的是 () ◆花瓣长度 花萼长度 A.花瓣长度和花萼长度没有相关性 B.花瓣长度和花萼长度呈现负相关 C.花瓣长度和花萼长度呈现正相关 D.若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是0.8245 145.(2023上海卷)根据所示的散点图，下列说法正确的是 () 90 80 70 体 60 50 。 40- 30 150 160 180 190 A.身高越大，体重越大 B.身高越大，体重越小 C.身高和体重成正相关 D.身高和体重成负相关 28 146.(2023上海卷)现有某地一年四个季度的GDP(亿元)，第一季度GDP为232（亿元），第四季度GDP为 241(亿元)，四个季度的GDP逐季度增长，且中位数与平均数相同，则该地一年的GDP为 147.2023全国乙卷文（理）》某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每 次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处 理后的橡胶产品的伸缩率.甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为，(1=1,2，·，10).试 验结果如下： 试验序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 10 伸缩率 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548 伸缩率 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536 记=一h(1=1,2,…,10),记，22，…，a的样本平均数为2，样本方差为s2. (1)求元，s2: (2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果无 ≥2√亮，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否 则不认为有显著提高) 29 148.2023全国甲卷文)一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配 到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环 境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g).试验结果如下： 对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为 15.218.820.221.322.523.2 25.8 26.5 27.530.1 32.634.334.8 35.635.635.8 36.2 37.3 40.5 43.2 试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为 7.89.2 11.412.413.2 15.5 16.5 18.0 18.819.2 19.820.221.622.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5 (1)计算试验组的样本平均数： (2)()求40只小白鼠体重的增加量的中位数m,再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数， 完成如下列联表 <m ≥m 对照组 试验组 ()根据()中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加 量有差异？ 附：K2= n(ad-bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)' P(K≥k) 0.100 0.050 0.010 k 2.706 3.841 6.635 30 149.2023全国甲卷理)为研究某药物对小鼠的生长抑制作用，将40只小鼠均分为两组，分别为对照组（不加 药物)和实验组（加药物） (1)从40只小鼠中任取两只小鼠，设对照组小鼠数目为X,求X的分布列和期望 (2)测得40只小鼠的体重如下（单位：g)(己经按照从小到大排好） 对照组： 17.3 18.4 20.1 20.4 21.5 23.2 24.6 24.8 25.0 25.4 26.1 26.3 26.4 26.5 26.8 27.0 27.4 27.5 27.6 28.3 实验组： 5.4 6.6 6.8 6.9 7.8 8.2 9.4 10.0 10.4 11.2 14.4 17.3 19.2 20.2 23.6 23.8 24.5 25.1 25.2 26.0 ()求40只小鼠体重的中位数m,并完成下面2×2列联表： ()根据2×2列联表，能否有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用. <m ≥m 对照组 实验组 参考公式及数据：k= n(ad-bc)2 (a+b)(b+c)(a+c)(b+d) 0.10 0.05 0.010 p2≥k) 2.706 3.841 6.635 31内 的模 ， P(B) P(B|A)， 断事件A 事件B 独 ； (2)该公司举行了一个抽 ， 定 一次抽 中，每人可以一次 从这些模 中拿两个 车模 ，给出 以下 设： 设 1：拿 的两个模 出 三种结 ， 内 为 、 内 都 、以 仅 或仅内 ； 设 2： 结 的可能 ， 越 越高； 设 3：该抽 的 金 为：一 600元，二 300元、三 150元； 请 对 的结 ，设X为 金 ，写出X的 出X的数学 ． 【答案】(1)P(A) = 1425，P(B) = 4 5 ．P(B|A) = 6 7 ．事件A和事件B不独立． (2)EX= 277(元)． 【解析】(1)若红色外观的模型，则分棕色内饰 12个，米色内饰 2个，则对应的概率P(A) = 12+ 225 = 14 25 ， 若小明取到棕色内饰，分红色外观 12，蓝色外观 8，则对应的概率P(B) = 12+ 825 = 20 25 = 4 5 ． 取到红色外观的模型同时是棕色内饰的有 12个，即P(AB) = 1225 ， 则P(B|A) = P(AB) P(A) = 12 25 14 25 = 1214 = 6 7 ． 因为P(A)P(B) = 1425 × 4 5 = 56 125 ≠ 12 25 ，所以P(A)P(B) ≠P(AB)， 即事件A和事件B不独立． (2)由题意知X= 600，300，150， 则外观和内饰均为同色的概率P= C 2 12+C28+C23+C22 C225 = 66+ 28+ 3+ 1300 = 98 300 = 49 150 ， 外观和内饰都异色的概率P= C12′C 1 3+C12C18 C225 = 52300 ， 仅外观或仅内饰同色的概率P= 1- 49150 - 52 300 = 150 300 ， 因为 150 300 > 49 150 > 52 300 ， 所以P(X= 150) = 150300 ，P(X= 300) = 98 300 = 49 150 ，P(X= 600) = 52 300 ， 则X的分布列为： X 150 300 600 P 150 300 49 150 52 300 则EX= 150× 150300 + 300× 49 150 + 600× 52 300 = 277(元)． 专 15 统计 143. (2023新高考Ⅰ卷) 一组 数 x1,x2, ⋅⋅⋅ ,x6，其中 x1 ，x6 ， ( ) 123 A. x2,x3,x4,x5的 数 于 x1,x2, ⋅⋅⋅ ,x6的 数 B. x2,x3,x4,x5的中 数 于 x1,x2, ⋅⋅⋅ ,x6的中 数 C. x2,x3,x4,x5的 准差不 于 x1,x2, ⋅⋅⋅ ,x6的 准差 D. x2,x3,x4,x5的 差不 于 x1,x2, ⋅⋅⋅ ,x6的 差 【答案】BD 【解析】对于选项A：设 x2,x3,x4,x5的平均数为m，x1,x2, ⋅⋅⋅ ,x6的平均数为 n， 则n-m= x1+ x2+ x3+ x4+ x5+ x66 - x2+ x3+ x4+ x5 4 = 2 x1+ x6 - x5+ x2+ x3+ x4  12 ， 因为没有确定 2 x1+ x6 ,x5+ x2+ x3+ x4的大小关系，所以无法判断m,n的大小， 例如：1,2,3,4,5,6，可得m=n= 3.5； 例如 1,1,1,1,1,7，可得m= 1,n= 2； 例如 1,2,2,2,2,2，可得m= 2,n= 116 ；故A错误； 对于选项B：不妨设 x1≤ x2≤ x3≤ x4≤ x5≤ x6， 可知 x2,x3,x4,x5的中位数等于 x1,x2, ⋅⋅⋅ ,x6的中位数均为 x3+ x4 2 ，故B正确； 对于选项C：因为 x1是最小值，x6是最大值， 则 x2,x3,x4,x5的波动性不大于 x1,x2, ⋅⋅⋅ ,x6的波动性，即 x2,x3,x4,x5的标准差不大于 x1,x2, ⋅⋅⋅ ,x6的标准差， 例如：2,4,6,8,10,12，则平均数 n= 16 2+ 4+ 6+ 8+ 10+ 12 = 7， 标准差 s1= 16 2- 7  2+ 4- 7 2+ 6- 7 2+ 8- 7 2+ 10- 7 2+ 12- 7 2 = 1053 ， 4,6,8,10，则平均数m= 14 4+ 6+ 8+ 10 = 7， 标准差 s2= 14 4- 7  2+ 6- 7 2+ 8- 7 2+ 10- 7 2 = 5， 显然 105 3 > 5，即 s1> s2；故C错误； 对于选项D：不妨设 x1≤ x2≤ x3≤ x4≤ x5≤ x6， 则 x6- x1≥ x5- x2，当且仅当 x1= x2,x5= x6时，等号成立，故D正确； 故选：BD. 144. (2023天津卷) 查某种 萼 瓣 ，所 数 图所示，其中相关系数 r= 0.8245，下 说法 正 的 ( ) 124 A. 瓣 萼 相关 B. 瓣 萼 负相关 C. 瓣 萼 正相关 D. 若从 中抽取一部 ， 这部 的相关系数一定 0.8245 【答案】C 【解析】根据散点的集中程度可知，花瓣长度和花萼长度有相关性，A选项错误 散点的分布是从左下到右上，从而花瓣长度和花萼长度呈现正相关性，B选项错误，C选项正确； 由于 r= 0.8245是全部数据的相关系数，取出来一部分数据，相关性可能变强，可能变弱，即取出的数据的相 关系数不一定是 0.8245，D选项错误 故选：C 145.（2023上海卷） 所示的散点图，下 说法正 的 ( ) A. 高越 ， 越 B. 高越 ， 越 C. 高 成正相关 D. 高 成负相关 【答案】C 【解析】根据散点图的分布可得：身高和体重成正相关． 故选：C． 125 146.（2023上海卷） 某 一 四个季 的GDP(亿元)， 一季 GDP为 232(亿元)， 四季 GDP为 241(亿元)，四个季 的GDP 季 ，且中 数与 数相 ， 该 一 的GDP为 ． 【答案】946(亿元） 【解析】设第二季度GDP为 x亿元，第三季度GDP为 y亿元，则 232< x< y< 241， 因为中位数与平均数相同，所以 x+ y 2 = 232+ x+ y+ 241 4 ，所以 x+ y= 473， 所以该地一年的GDP为 232+ x+ y+ 241= 946(亿元)． 故答案为：946(亿元)． 147. (2023全国乙卷文(理))某 为比较 乙两种工 对橡胶产 的 理效 ，进行 10次 对试验，每 次 对试验 质相 的两个橡胶产 ， 其中一个 工 理，另一个 乙工 理， 理 的橡胶产 的 ． 、乙两种工 理 的橡胶产 的 记为 xi，yi i= 1,2, ⋅⋅⋅ ,10 ．试 验结 下： 试验 号 i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 xi 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548 yi 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536 记 zi= xi- yi i= 1,2, ⋅⋅⋅ ,10 ，记 z1,z2, ⋅⋅⋅ ,z10的 数为 z  ， 方差为 s2． (1) z，s2； (2) 断 工 理 的橡胶产 的 较乙工 理 的橡胶产 的 著提高 ( z ≥ 2 s 2 10 ， 认为 工 理 的橡胶产 的 较乙工 理 的橡胶产 的 著提高， 不认为 著提高) 【答案】(1)z = 11，s2= 61； (2)认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高. 【解析】(1)x = 545+ 533+ 551+ 522+ 575+ 544+ 541+ 568+ 596+ 54810 = 552.3， y = 536+ 527+ 543+ 530+ 560+ 533+ 522+ 550+ 576+ 53610 = 541.3， z = x - y = 552.3- 541.3= 11， zi= xi- yi的值分别为:9,6,8, -8,15,11,19,18,20,12， 故 s2= (9- 11)2+ (6- 11)2+ (8- 11)2+ (-8- 11)2+ (15- 11)2+ 0+ (19- 11)2+ (18- 11)2+ (20- 11)2+ (12- 11)2 10 = 61 (2)由 (1)知:z = 11，2 s 2 10 = 2 6.1= 24.4，故有 z  ≥ 2 s 2 10 , 所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高. 148. (2023全国甲卷文)一 试验旨 臭 效 ，试验方 下： 40只 白 ， 其中 20只 试验组，另 20只 对照组，试验组的 白 养 高 臭 ，对照组的 白 养 正 ，一段时间 统计每只 白 的 ( ：g)．试验结 下： 126 对照组的 白 的 从 为 15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8 26.5 27.5 30.1 32.6 34.3 34.8 35.6 35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2 试验组的 白 的 从 为 7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.2 19.8 20.2 21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5 (1)计 试验组的 数； (2) (i) 40只 白 的 的中 数m，再 统计两 中 于m与不 于m的数 的个数， 完成 下 表 <m ≥m 对照组 试验组 (ii) (i)中的 表，能 95%的把握认为 白 高 臭 中与 正 中 的 差 ? ：K 2= n(ad- bc) 2 (a+ b) (c+ d) (a+ c) (b+ d)， P(K 2≥ k) 0. 100 0. 050 0. 010 k 2. 706 3. 841 6. 635 【答案】(1)19.8;(2) (i)m= 23.4；列联表见解析，(ii)能 【解析】(1)试验组样本平均数为： 1 20 (7.8+ 9.2+ 11.4+ 12.4+ 13.2+ 15.5+ 16.5+ 18.0+ 18.8+ 19.2+ 19.8+ 20.2 +21.6+ 22.8+ 23.6+ 23.9+ 25.1+ 28.2+ 32.3+ 36.5) = 39620 = 19.8 (2) (i)依题意，可知这 40只小鼠体重的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排后第 20位与第 21位数据 的平均数， 由原数据可得第 11位数据为 18.8，后续依次为 19.2,19.8,20.2,20.2,21.3,21.6,22.5,22.8,23.2,23.6,⋯， 故第 20位为 23.2，第 21位数据为 23.6， 所以m= 23.2+ 23.62 = 23.4， 故列联表为： <m ≥m 计 对照组 6 14 20 试验组 14 6 20 计 20 20 40 (ii)由 (i)可得，K 2= 40× (6× 6- 14× 14) 2 20× 20× 20× 20 = 6.400> 3.841， 所以能有 95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异. 127 149. (2023全国甲卷理)为 某 物对 的 抑 ， 40只 为两组， 为对照组 (不 物) 实验组 ( 物)． (1)从 40只 中任取两只 ，设对照组 数目为X， X的 ． (2) 40只 的 下 ( :g) (已经 照从 ) 对照组： 17.3 18.4 20.1 20.4 21.5 23.2 24.6 24.8 25.0 25.4 26.1 26.3 26.4 26.5 26.8 27.0 27.4 27.5 27.6 28.3 实验组： 5.4 6.6 6.8 6.9 7.8 8.2 9.4 10.0 10.4 11.2 14.4 17.3 19.2 20.2 23.6 23.8 24.5 25.1 25.2 26.0 (i) 40只 的中 数m, 完成下 2× 2 表： (ii) 2× 2 表，能 95%的把握认为 物对 抑 ． <m ≥m 对照组 实验组 公 数 :k2= n(ad- bc) 2 (a+ b) (b+ c) (a+ c) (b+ d) k0 0.10 0.05 0.010 p(k2≥ k0) 2.706 3.841 6.635 【答案】(1) (2) (1)m= 23.4(ii)见解析; 【解析】(1)由题意知X的取值可能为 0,1,2 p(X= 0) = C 2 20 C240 = 1978 p(X= 1) = C120C 1 20 C240 = 2039 p(X= 2) = C220 C240 = 1978 X的分布列为： X 0 1 2 P 19 78 20 39 19 78 (2) (i)m= 23.4 (ii) <m ≥m 对照组 6 14 实验组 14 6 k2= 40× (6× 6- 14× 14) 2 20× 20× 20× 20 = 6.400> 3.841 所以有 95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用． 128