专题13～14 计数原理 概率-遇见最美的数学系列——23真题汇编

专 13 计数 理 126. (2023新高考Ⅱ卷)某学 为了解学 运 的 况， 比 的 抽 方法 抽 查，拟从 中部 高中部两 共抽取 60 学 ，已知该 中部 高中部 400 200 学 ， 不 的抽 结 共 ( ) A. C45400 ⋅C15200种 B. C20400 ⋅C40200种 C. C30400 ⋅C30200种 D. C40400 ⋅C20200种 127. (2023全国乙卷理) 乙两 学从 6种课 读物中 自 读 2种， 这两人 读的课 读物中 1种 相 的 法共 ( ) A. 30种 B. 60种 C. 120种 D. 240种 128. (2023全国甲卷理) 五 志 社 ，共 六、 两 ，每 从中任 两人 ， 1人连续 两 的 择种数为 ( ) A. 120 B. 60 C. 40 D. 30 129. (2023新高考Ⅰ卷)某学 设了 4门 修课 4门 修课，学 从这 8门课中 修 2门 或 3门课， 且每 修课至 修 1门， 不 的 课方 共 种 ( 数字 )． 130.（2023北京卷）2x- 1x  5 的 中 x的系数为 ( ) A. - 80 B. - 40 C. 40 D. 80 131. (2023天津卷) 2x3- 1x  6 的 中，x2 的系数为 ． 132.（2023上海卷）已知 (1+ 2023x)100+ (2023- x)100= a0+ a1x+ a2x2+⋯+a99x99+ a100x100，若存 k∈{0， 1，2，⋯，100} ak< 0， k的 为 ． 24 专 14 133. (2023全国甲卷理) 50人报 足球俱乐部，60人报 乒乓球俱乐部，70人报 足球或乒乓球俱乐部， 若已知某人报足球俱乐部， 其报乒乓球俱乐部的 为 ( ) A. 0.8 B. 0.4 C. 0.2 D. 0.1 134. (2023全国甲卷文)某 文 部 4 学 ，其中高一、高二 级 2 ．从这 4 学 中 2 组 织 文 ， 这 2 学 自不 级的 为 ( ) A. 16 B. 1 3 C. 1 2 D. 2 3 135. (2023全国乙卷理(文))设O为 系的 点， 域 x,y 1≤ x2+ y2≤ 4 内 取一点，记 该点为A， 直线OA的 斜角不 于 π4 的 为 ( ) A. 18 B. 1 6 C. 1 4 D. 1 2 136. (2023全国乙卷文)某学 举 文比赛，共 6个主 ，每 赛 学从中 抽取一个主 准 文， 、乙两 赛 学抽 不 主 为 ( ) A. 56 B. 2 3 C. 1 2 D. 1 3 137. (2023新高考Ⅱ卷) 信 内 输 0，1信号，信号的 输相互独 ．发 0时，收 1的 为 α(0< α< 1)，收 0的 为 1- α；发 1时，收 0的 为 β(0< β< 1)，收 1的 为 1- β. 虑两种 输方 ： 次 输 三次 输． 次 输 每个信号只发 1次，三次 输 每个信号 发 3次．收 的信号 译 ，译 下： 次 输时，收 的信号 为译 ；三次 输时，收 的信号中出 次数 的 为译 ( ，若 次收 1，0，1， 译 为 1). A. 次 输方 ，若 次发 1，0，1， 次收 l，0，1的 为 (1- α) (1- β)2 B. 三次 输方 ，若发 1， 次收 1，0，1的 为 β(1- β)2 C. 三次 输方 ，若发 1， 译 为 1的 为 β(1- β)2+ (1- β)3 D. 0< α< 0.5时，若发 0， 三次 输方 译 为 0的 于 次 输方 译 为 0的 138. (2023天津卷) 乙丙三个盒子中装 一定数 的黑球 白球，其 数之比为 5:4:6．这三个盒子中黑球 数的比 为 40%,25%,50%． 从三个盒子中 取一个球，取 的三个球都 黑球的 为 ； 三个盒子混 任取一个球， 白球的 为 ． 25 139.（2023北京卷）为 某种农产 价 变 的 ，收 了该农产 连续 40 的价 变 数 ， 下表所示． 述价 变 时，“+”表示“上 ”， 价 比 一 价 高；“-”表示“下跌”， 价 比 一 价 ；“0”表示“不变”， 价 与 一 价 相 ． 时段 价 变 1 20 - + + 0 - - - + + 0 + 0 - - + - + 0 0 + 21 40 0 + + 0 - - - + + 0 + 0 + - - - + 0 - + 计 ． (1)试 计该农产 价 “上 ”的 ； (2) 设该农产 每 的价 变 相互独 的． 的日子 任取 4 ，试 计该农产 价 这 4 中 2 “上 ”、1 “下跌”、1 “不变”的 ； (3) 设该农产 每 的价 变 只受 一 价 变 的 ． 断 41 该农产 价 “上 ”“下跌” “不变”的 计 哪个 ． (结论不 证 ) 140. (2023新高考Ⅰ卷) 、乙两人投篮，每次 其中一人投篮， 下：若 中 此人继续投 ，若 中 为对方投篮．无论之 投篮 况 ， 每次投篮的 中 为 0.6，乙每次投篮的 中 为 0.8． 抽 定 1次投篮的人 ， 1次投篮的人 、乙的 为 0.5． (1) 2次投篮的人 乙的 ； (2) i次投篮的人 的 ； (3)已知：若 变 Xi 从两点 ，且P Xi= 1 = 1-P Xi= 0 = qi,i= 1,2, ⋅⋅⋅ ,n， E n i=1 Xi = n i=1 qi ．记 n次 ( 从 1次 n次投篮)中 投篮的次数为Y， E Y ． 26 141. (2023新高考Ⅱ卷)某 组经过 发 某种 的 与 的某 学 差 ，经过 查， 下的 该 的 直方图： 该 定一个 准， 定临 c， 该 于 c的人 定为 ， 于或 于 c的人 定为 ．此 准的 诊 定为 的 ，记为 p(c)；误诊 定为 的 ，记为 q(c)． 设数 组内 ，以事件发 的 为相 事件发 的 ． (1) 诊 p c = 0.5％时， 临 c 误诊 q c ； (2)设函数 f c = p c + q c ， c∈ 95,105 时， f c 的解 ， f c  间 95,105 的 ． 142.（2023上海卷）2023 6 7日，21世纪 车 上 举行，已知某 车模 公司共 25个 车模 ，其 内 的 下表所示： 红色外观 蓝色外观 棕色内饰 12 8 米色内饰 2 3 (1)若 从这些模 中 拿一个模 ，记事件A为 取 红 的模 ，事件B为 取 棕 内 的模 ， P(B) P(B|A)， 断事件A 事件B 独 ； (2)该公司举行了一个抽 ， 定 一次抽 中，每人可以一次 从这些模 中拿两个 车模 ，给出 以下 设： 设 1：拿 的两个模 出 三种结 ， 内 为 、 内 都 、以 仅 或仅内 ； 设 2： 结 的可能 ， 越 越高； 设 3：该抽 的 金 为：一 600元，二 300元、三 150元； 请 对 的结 ，设X为 金 ，写出X的 出X的数学 ． 27 (2)当 a= 4时，点A的横坐标为 4 2 4 = 4，则A(4,4)， 设B(b,0)，则AB的中点为 b+ 42 ,2 ， 由题意可得 22= 4× b+ 42 ，解得 b=-2， 所以B(-2,0)， 则 kAB= 4- 0 4+ 2 = 2 3 ， 由点斜式可得，直线AB的方程为 y= 23 (x+ 2)，即 2x- 3y+ 4= 0， 所以原点O到直线AB的距离为 4 22+ 32 = 4 1313 ； (3)如图， 设P t 2 4 ,t ,A a2 4 ,a ,H(-3,t) (t≠ a> 0)，则 kAP= t- a t2 4 - a2 4 = 4t+ a， 故直线AP的方程为 y- a= 4t+ a x- a2 4 ， 令 x=-3，可得 y= a- a 2 4 + 3 ⋅ 4 t+ a，即Q -3,a- a2 4 + 3 ⋅ 4 t+ a ， 则 |HQ| = t- a+ a 2 4 + 3 ⋅ 4 t+ a ， 依题意，t- a+ a 2 4 + 3 ⋅ 4 t+ a > 4恒成立， 又 t+ a+ a 2 4 + 3 ⋅ 4 t+ a - 2a≥ 4 a2 4 + 3- 2a> 0， 则最小值为 4 a 2 4 + 3- 2a> 4，即 2 a2 4 + 3> 2+ a，即 a 2+ 12> 2+ a， 则 a2+ 12> a2+ 4a+ 4，解得 0< a< 2， 又当 a= 2时，t+ 2+ 16t+ 2 - 4≥ 2 (t+ 2) ⋅ 16 t+ 2 - 4= 4，当且仅当 t= 2时等号成立， 而 a≠ t，即当 a= 2时，也符合题意． 故实数 a的取值范围为 (0，2]． 专 13 计数 理 115 126. (2023新高考Ⅱ卷)某学 为了解学 运 的 况， 比 的 抽 方法 抽 查，拟从 中部 高中部两 共抽取 60 学 ，已知该 中部 高中部 400 200 学 ， 不 的抽 结 共 ( ) A. C45400 ⋅C15200种 B. C20400 ⋅C40200种 C. C30400 ⋅C30200种 D. C40400 ⋅C20200种 【答案】D 【解析】根据分层抽样的定义知初中部共抽取 60× 400600 = 40人，高中部共抽取 60× 200 600 = 20， 根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有C40400 ⋅C20200种. 故选：D. 127. (2023全国乙卷理) 乙两 学从 6种课 读物中 自 读 2种， 这两人 读的课 读物中 1种 相 的 法共 ( ) A. 30种 B. 60种 C. 120种 D. 240种 【答案】C 【解析】首先确定相同得读物，共有C16 种情况， 然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的 5种读物里，选出两种进行排列，共有A25种， 根据分步乘法公式则共有C16 ⋅A25= 120种， 故选：C. 128. (2023全国甲卷理) 五 志 社 ，共 六、 两 ，每 从中任 两人 ， 1人连续 两 的 择种数为 ( ) A. 120 B. 60 C. 40 D. 30 【答案】B 【解析】不妨记五名志愿者为 a,b,c,d,e， 假设 a连续参加了两天社区服务，再从剩余的 4人抽取 2人各参加星期六与星期天的社区服务，共有A24= 12种方法， 同理：b,c,d,e连续参加了两天社区服务，也各有 12种方法， 所以恰有 1人连续参加了两天社区服务的选择种数有 5× 12= 60种. 故选：B. 129. (2023新高考Ⅰ卷)某学 设了 4门 修课 4门 修课，学 从这 8门课中 修 2门 或 3门课， 且每 修课至 修 1门， 不 的 课方 共 种 ( 数字 )． 【答案】64 【解析】(1)当从 8门课中选修 2门，则不同的选课方案共有C14C14= 16种； (2)当从 8门课中选修 3门， 116 ①若体育类选修课 1门，则不同的选课方案共有C14C 2 4= 24种； ②若体育类选修课 2门，则不同的选课方案共有C24C 1 4= 24种； 综上所述：不同的选课方案共有 16+ 24+ 24= 64种. 故答案为：64. 130.（2023北京卷）2x- 1x  5 的 中 x的系数为 ( ) A. - 80 B. - 40 C. 40 D. 80 【答案】D 【解析】 2x- 1x  5 展开式的通项为Tr+1=Cr5 2x 5-r - 1x  r= -1 r25-rCr5x5-2r 令 5- 2r= 1得 r= 2 所以 2x- 1x  5 的展开式中 x的系数为 -1 225-2C25= 80 故选：D 131. (2023天津卷) 2x3- 1x  6 的 中，x2 的系数为 ． 【答案】60 【解析】展开式的通项公式Tk+1=Ck6 2x3 6-k - 1 x  k= -1 k× 26-k×Ck6 × x18-4k， 令 18- 4k= 2可得，k= 4， 则 x2项的系数为 -1 4× 26-4×C46= 4× 15= 60. 故答案为：60. 132.（2023上海卷）已知 (1+ 2023x)100+ (2023- x)100= a0+ a1x+ a2x2+⋯+a99x99+ a100x100，若存 k∈{0， 1，2，⋯，100} ak< 0， k的 为 ． 【答案】49 【解析】二项式 (1+ 2023x)100的通项为Tr+1=Cr100(2023x)r=Cr100 ⋅ 2023r ⋅ xr，r∈{0，1，2，⋯，100}， 二项式 (2023- x)100的通项为Tr+1=Cr1002023100-r(-x)r=Cr100 ⋅ 2023100-r ⋅ (-1)r ⋅ xr，r∈{0，1，2，⋯，100}， 所以 ak=Ck100 ⋅ 2023k+Ck100 ⋅ 2023100-k ⋅ (-1)k=Ck100[2023k+ 2023100-k ⋅ (-1)k]，k∈{0，1，2，⋯，100}， 若 ak< 0，则 k为奇数， 此时 ak=Ck100(2023k- 2023100-k)， 所以 2023k- 2023100-k< 0， 所以 k< 100- k， 所以 k< 50， 又因为 k为奇数， 所以 k的最大值为 49． 117 故答案为：49． 专 14 133. (2023全国甲卷理) 50人报 足球俱乐部，60人报 乒乓球俱乐部，70人报 足球或乒乓球俱乐部， 若已知某人报足球俱乐部， 其报乒乓球俱乐部的 为 ( ) A. 0.8 B. 0.4 C. 0.2 D. 0.1 【答案】A 【解析】报名两个俱乐部的人数为 50+ 60- 70= 40， 记“某人报足球俱乐部”为事件A,记“某人报兵乓球俱乐部”为事件B， 则P(A) = 5070 = 5 7 ,P(AB) = 40 70 = 4 7 ， 所以P(B ∣A) = P(AB) P(A) = 4 7 5 7 = 0.8. 故选:A. 134. (2023 全国甲卷文)某 文 部 4 学 ，其中高一、高二 级 2 ．从这 4 学 中 2 组织 文 ， 这2 学 自不 级的 为( ) A. 16 B. 1 3 C. 1 2 D. 2 3 【答案】D 【解析】依题意，从这 4名学生中随机选 2名组织校文艺汇演，总的基本事件有C24= 6件， 其中这 2名学生来自不同年级的基本事件有C12C 1 2= 4， 所以这 2名学生来自不同年级的概率为 46 = 2 3 . 故选：D. 135. (2023全国乙卷理(文))设O为 系的 点， 域 x,y 1≤ x2+ y2≤ 4 内 取一点，记 该点为A， 直线OA的 斜角不 于 π4 的 为 ( ) A. 18 B. 1 6 C. 1 4 D. 1 2 【答案】C 【解析】因为区域 x,y |1≤ x2+ y2≤ 4 表示以O 0,0 圆心，外圆半径R= 2，内圆半径 r= 1的圆环， 则直线OA的倾斜角不大于 π4 的部分如阴影所示，在第一象限部分对应的圆心角∠MON= π 4 ， 结合对称性可得所求概率P= 2× π4 2π = 1 4 . 118 故选：C. 136. (2023全国乙卷文)某学 举 文比赛，共 6个主 ，每 赛 学从中 抽取一个主 准 文， 、乙两 赛 学抽 不 主 为 ( ) A. 56 B. 2 3 C. 1 2 D. 1 3 【答案】A 【解析】甲有 6种选择，乙也有 6种选择，故总数共有 6× 6= 36种， 若甲、乙抽到的主题不同，则共有A26= 30种， 则其概率为 30 36 = 5 6 ， 故选：A. 137. (2023新高考Ⅱ卷) 信 内 输 0，1信号，信号的 输相互独 ．发 0时，收 1的 为 α(0< α< 1)，收 0的 为 1- α；发 1时，收 0的 为 β(0< β< 1)，收 1的 为 1- β. 虑两种 输方 ： 次 输 三次 输． 次 输 每个信号只发 1次，三次 输 每个信号 发 3次．收 的信号 译 ，译 下： 次 输时，收 的信号 为译 ；三次 输时，收 的信号中出 次数 的 为译 ( ，若 次收 1，0，1， 译 为 1). A. 次 输方 ，若 次发 1，0，1， 次收 l，0，1的 为 (1- α) (1- β)2 B. 三次 输方 ，若发 1， 次收 1，0，1的 为 β(1- β)2 C. 三次 输方 ，若发 1， 译 为 1的 为 β(1- β)2+ (1- β)3 D. 0< α< 0.5时，若发 0， 三次 输方 译 为 0的 于 次 输方 译 为 0的 【答案】ABD 【解析】对于A，依次发送 1，0，1，则依次收到 l，0，1的事件是发送 1接收 1、发送 0接收 0、发送 1接收 1的 3 个事件的积， 它们相互独立，所以所求概率为 (1- β) (1- α) (1- β) = (1- α) (1- β)2，A正确； 对于B，三次传输，发送 1，相当于依次发送 1，1，1，则依次收到 l，0，1的事件， 是发送 1接收 1、发送 1接收 0、发送 1接收 1的 3个事件的积， 119 它们相互独立，所以所求概率为 (1- β) ⋅ β ⋅ (1- β) = β(1- β)2，B正确； 对于C，三次传输，发送 1，则译码为 1的事件是依次收到 1，1，0、1，0，1、0，1，1和 1，1，1的事件和， 它们互斥，由选项B知，所以所求的概率为C23β(1- β)2+ (1- β)3= (1- β)2(1+ 2β)，C错误； 对于D，由选项C知，三次传输，发送 0，则译码为 0的概率P= (1- α)2(1+ 2α)， 单次传输发送 0，则译码为 0的概率P= 1- α，而 0< α< 0.5， 因此P-P= (1- α)2(1+ 2α) - (1- α) = α(1- α) (1- 2α)> 0，即P>P，D正确. 故选：ABD 138. (2023天津卷) 乙丙三个盒子中装 一定数 的黑球 白球，其 数之比为 5:4:6．这三个盒子中黑球 数的比 为 40%,25%,50%． 从三个盒子中 取一个球，取 的三个球都 黑球的 为 ； 三个盒子混 任取一个球， 白球的 为 ． 【答案】0.05 35 /0.6 【解析】设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为 5n,4n,6n，所以总数为 15n， 所以甲盒中黑球个数为 40%× 5n= 2n，白球个数为 3n； 甲盒中黑球个数为 25%× 4n=n，白球个数为 3n； 甲盒中黑球个数为 50%× 6n= 3n，白球个数为 3n； 记“从三个盒子中各取一个球，取到的球都是黑球”为事件A，所以， P A = 0.4× 0.25× 0.5= 0.05； 记“将三个盒子混合后取出一个球，是白球”为事件B， 黑球总共有 2n+n+ 3n= 6n个，白球共有 9n个， 所以，P B = 9n15n = 3 5 ． 故答案为：0.05；35 ． 139.（2023北京卷）为 某种农产 价 变 的 ，收 了该农产 连续 40 的价 变 数 ， 下表所示． 述价 变 时，“+”表示“上 ”， 价 比 一 价 高；“-”表示“下跌”， 价 比 一 价 ；“0”表示“不变”， 价 与 一 价 相 ． 时段 价 变 1 20 - + + 0 - - - + + 0 + 0 - - + - + 0 0 + 21 40 0 + + 0 - - - + + 0 + 0 + - - - + 0 - + 计 ． (1)试 计该农产 价 “上 ”的 ； (2) 设该农产 每 的价 变 相互独 的． 的日子 任取 4 ，试 计该农产 价 这 4 中 2 “上 ”、1 “下跌”、1 “不变”的 ； (3) 设该农产 每 的价 变 只受 一 价 变 的 ． 断 41 该农产 价 “上 ”“下跌” “不变”的 计 哪个 ． (结论不 证 ) 【答案】(1)0.4(2)0.168(3)不变 120 【解析】(1)根据表格数据可以看出，40天里，有 16个+，也就是有 16天是上涨的， 根据古典概型的计算公式，农产品价格上涨的概率为： 16 40 = 0.4 (2)在这 40天里，有 16天上涨，14天下跌，10天不变，也就是上涨，下跌，不变的概率分别是 0.4，0.35，0.25， 于是未来任取 4天，2天上涨，1天下跌，1天不变的概率是C24 × 0.42×C12× 0.35× 0.25= 0.168 (3)由于第 40天处于上涨状态，从前 39次的 15次上涨进行分析，上涨后下一次仍上涨的有 4次，不变的有 9 次，下跌的有 2次， 因此估计第 41次不变的概率最大. 140. (2023新高考Ⅰ卷) 、乙两人投篮，每次 其中一人投篮， 下：若 中 此人继续投 ，若 中 为对方投篮．无论之 投篮 况 ， 每次投篮的 中 为 0.6，乙每次投篮的 中 为 0.8． 抽 定 1次投篮的人 ， 1次投篮的人 、乙的 为 0.5． (1) 2次投篮的人 乙的 ； (2) i次投篮的人 的 ； (3)已知：若 变 Xi 从两点 ，且P Xi= 1 = 1-P Xi= 0 = qi,i= 1,2, ⋅⋅⋅ ,n， E n i=1 Xi = n i=1 qi ．记 n次 ( 从 1次 n次投篮)中 投篮的次数为Y， E Y ． 【答案】(1)0.6 (2) 16 × 2 5  i-1+ 13 (3)E(Y) = 518 1- 2 5  n   + n 3 【解析】(1)记“第 i次投篮的人是甲”为事件Ai，“第 i次投篮的人是乙”为事件Bi， 所以，P B2 =P A1B2 +P B1B2 =P A1 P B2|A1 +P B1 P B2|B1  = 0.5× 1- 0.6 + 0.5× 0.8= 0.6. (2)设P Ai = pi，依题可知，P Bi = 1- pi，则 P Ai+1 =P AiAi+1 +P BiAi+1 =P Ai P Ai+1|Ai +P Bi P Ai+1|Bi ， 即 pi+1= 0.6pi+ 1- 0.8 × 1- pi = 0.4pi+ 0.2， 构造等比数列 pi+ λ ， 设 pi+1+ λ= 25 pi+ λ ，解得 λ=- 1 3 ，则 pi+1- 1 3 = 2 5 pi- 1 3 ， 又 p1= 12 ,p1- 1 3 = 1 6 ，所以 pi- 1 3  是首项为 1 6 ，公比为 2 5 的等比数列， 即 pi- 13 = 1 6 × 2 5  i-1,pi= 16 × 2 5  i-1+ 13 ． (3)因为 pi= 16 × 2 5  i-1+ 13 ，i= 1,2, ⋅⋅⋅ ,n， 所以当n∈N*时，E Y = p1+ p2+⋯+pn= 16 × 1- 25  n 1- 25 + n3 = 5 18 1- 2 5  n   + n 3 ， 121 故E(Y) = 518 1- 2 5  n   + n 3 ． 141. (2023新高考Ⅱ卷)某 组经过 发 某种 的 与 的某 学 差 ，经过 查， 下的 该 的 直方图： 该 定一个 准， 定临 c， 该 于 c的人 定为 ， 于或 于 c的人 定为 ．此 准的 诊 定为 的 ，记为 p(c)；误诊 定为 的 ，记为 q(c)． 设数 组内 ，以事件发 的 为相 事件发 的 ． (1) 诊 p c = 0.5％时， 临 c 误诊 q c ； (2)设函数 f c = p c + q c ， c∈ 95,105 时， f c 的解 ， f c  间 95,105 的 ． 【答案】(1)c= 97.5，q(c) = 3.5%； (2)f(c) = -0.008c+ 0.82, 95≤ c≤ 100 0.01c- 0.98, 100< c≤ 105  ，最小值为 0.02． 【解析】(1)依题可知，左边图形第一个小矩形的面积为 5× 0.002> 0.5%，所以 95< c< 100， 所以 c- 95 × 0.002= 0.5%，解得：c= 97.5， q(c) = 0.01× 97.5- 95 + 5× 0.002= 0.035= 3.5%． (2)当 c∈ [95,100]时， f(c) = p(c) + q(c) = (c- 95) × 0.002+ (100- c) × 0.01+ 5× 0.002=-0.008c+ 0.82≥ 0.02； 当 c∈ (100,105]时， f(c) = p(c) + q(c) = 5× 0.002+ (c- 100) × 0.012+ (105- c) × 0.002= 0.01c- 0.98> 0.02, 故 f(c) = -0.008c+ 0.82, 95≤ c≤ 100 0.01c- 0.98, 100< c≤ 105  ， 所以 f c 在区间 95,105 的最小值为 0.02． 142.（2023上海卷）2023 6 7日，21世纪 车 上 举行，已知某 车模 公司共 25个 车模 ，其 内 的 下表所示： 红色外观 蓝色外观 棕色内饰 12 8 米色内饰 2 3 (1)若 从这些模 中 拿一个模 ，记事件A为 取 红 的模 ，事件B为 取 棕 122 内 的模 ， P(B) P(B|A)， 断事件A 事件B 独 ； (2)该公司举行了一个抽 ， 定 一次抽 中，每人可以一次 从这些模 中拿两个 车模 ，给出 以下 设： 设 1：拿 的两个模 出 三种结 ， 内 为 、 内 都 、以 仅 或仅内 ； 设 2： 结 的可能 ， 越 越高； 设 3：该抽 的 金 为：一 600元，二 300元、三 150元； 请 对 的结 ，设X为 金 ，写出X的 出X的数学 ． 【答案】(1)P(A) = 1425，P(B) = 4 5 ．P(B|A) = 6 7 ．事件A和事件B不独立． (2)EX= 277(元)． 【解析】(1)若红色外观的模型，则分棕色内饰 12个，米色内饰 2个，则对应的概率P(A) = 12+ 225 = 14 25 ， 若小明取到棕色内饰，分红色外观 12，蓝色外观 8，则对应的概率P(B) = 12+ 825 = 20 25 = 4 5 ． 取到红色外观的模型同时是棕色内饰的有 12个，即P(AB) = 1225 ， 则P(B|A) = P(AB) P(A) = 12 25 14 25 = 1214 = 6 7 ． 因为P(A)P(B) = 1425 × 4 5 = 56 125 ≠ 12 25 ，所以P(A)P(B) ≠P(AB)， 即事件A和事件B不独立． (2)由题意知X= 600，300，150， 则外观和内饰均为同色的概率P= C 2 12+C28+C23+C22 C225 = 66+ 28+ 3+ 1300 = 98 300 = 49 150 ， 外观和内饰都异色的概率P= C12′C 1 3+C12C18 C225 = 52300 ， 仅外观或仅内饰同色的概率P= 1- 49150 - 52 300 = 150 300 ， 因为 150 300 > 49 150 > 52 300 ， 所以P(X= 150) = 150300 ，P(X= 300) = 98 300 = 49 150 ，P(X= 600) = 52 300 ， 则X的分布列为： X 150 300 600 P 150 300 49 150 52 300 则EX= 150× 150300 + 300× 49 150 + 600× 52 300 = 277(元)． 专 15 统计 143. (2023新高考Ⅰ卷) 一组 数 x1,x2, ⋅⋅⋅ ,x6，其中 x1 ，x6 ， ( ) 123