专题10 函数-遇见最美的数学系列——23真题汇编

专 10 函数 77.（2023北京卷）下 函数中， 间 (0, +∞)上 的 ( ) A. f(x) =-lnx B. f(x) = 1 2x C. f(x) =- 1x D. f(x) = 3 |x-1| 78. (2023新高考Ⅰ卷)设函数 f x = 2x x-a  间 0,1 上 减， a的取 围 ( ) A. -∞,-2  B. -2,0  C. 0,2  D. 2, +∞  79. (2023新高考Ⅰ卷)已知函数 f x 的定义域为R，f xy = y2 f x + x2 f y ， ( ) A. f 0 = 0 B. f 1 = 0 C. f x  函数 D. x= 0为 f x 的 点 80. (2023天津卷)若 a= 1.010.5,b= 1.010.6,c= 0.60.5， a,b,c的 关系为 ( ) A. c> a> b B. c> b> a C. a> b> c D. b> a> c 81. (2023新高考Ⅱ卷)若 f x = x+ a ln 2x- 12x+ 1 为 函数， a= ( ) A. - 1 B. 0 C. 12 D. 1 82. (2023全国乙卷文(理))已知 f(x) = xe x eax- 1 函数， a= ( ) A. - 2 B. - 1 C. 1 D. 2 83. (2023全国甲卷文)已知函数 f x = e-(x-1) 2 ．记 a= f 22 ,b= f 3 2 ,c= f 6 2 ， ( ) A. b> c> a B. b> a> c C. c> b> a D. c> a> b 84. (2023天津卷)函数 f x 的图 下图所示， f x 的解 可能为 ( ) A. 5 ex- e-x  x2+ 2 B. 5sinx x2+ 1 C. 5 ex+ e-x  x2+ 2 D. 5cosx x2+ 1 85. (2023全国甲卷文(理))若 y= (x- 1)2+ ax+ sin x+ π2 为 函数， a= ． 14 86.（2023北京卷）设 a> 0，函数 f(x) = x+ 2,x<-a, a2- x2 , -a≤ x≤ a, - x- 1,x> a.  ，给出下 四个结论： ① f(x) 间 (a- 1, +∞)上 减； ② a≥ 1时，f(x)存 ； ③设M x1,f x1  x1≤ a ,N x2,f x2  x2> a ， |MN | > 1； ④设P x3,f x3  x3<-a ,Q x4,f x4  x4≥-a ．若 |PQ|存 ， a的取 围 0, 12 ． 其中所 正 结论的 号 ． 87. (2023天津卷)若函数 f x = ax2- 2x- x2- ax+ 1  且仅 两个零点， a的取 围为 ． 88.（2023北京卷）已知函数 f(x) = 4x+ log2x， f 12 = ． 89.（2023上海卷）已知函数 f(x) = 1,x≤ 0, 2x,x> 0  ， 函数 f(x)的 域为 ． 90.（2023上海卷）已知 a，c∈R，函数 f(x) = x 2+ (3a+ 1)x+ c x+ a ． (1)若 a= 0， 函数的定义域， 断 存 c f(x) 函数，说 理 ； (2)若函数过点 (1,3)，且函数 f(x)与 x轴负 轴 两个不 交点， 此时 c的 a的取 围． 15 76. (2023全国甲卷文(理))设 x，y满足约 件 -2x+ 3y≤ 3 3x- 2y≤ 3 x+ y≥ 1  ，设 z= 3x+ 2y， z的 为 ． 【答案】15 【解析】作出可行域，如图， 由图可知，当目标函数 y=- 32 x+ z 2 过点A时，z有最大值， 由 -2x+ 3y= 3 3x- 2y= 3  可得 x= 3 y= 3  ，即A(3,3), 所以 zmax= 3× 3+ 2× 3= 15. 故答案为：15 专 10 函数 77.（2023北京卷）下 函数中， 间 (0, +∞)上 的 ( ) A. f(x) =-lnx B. f(x) = 1 2x C. f(x) =- 1x D. f(x) = 3 |x-1| 【答案】C 【解析】对于A，因为 y= lnx在 0, +∞ 上单调递增，y=-x在 0, +∞ 上单调递减， 所以 f x =-lnx在 0, +∞ 上单调递减，故A错误； 对于B，因为 y= 2x在 0, +∞ 上单调递增，y= 1x 在 0, +∞ 上单调递减， 所以 f x = 1 2x 在 0, +∞ 上单调递减，故B错误； 对于C，因为 y= 1x 在 0, +∞ 上单调递减，y=-x在 0, +∞ 上单调递减， 77 所以 f x =- 1x 在 0, +∞ 上单调递增，故C正确； 对于D，因为 f 12 = 3 1 2-1 = 3 1 2= 3，f 1 = 3 1-1 = 30= 1,f 2 = 3 2-1 = 3， 显然 f x = 3 x-1 在 0, +∞ 上不单调，D错误. 故选：C. 78. (2023新高考Ⅰ卷)设函数 f x = 2x x-a  间 0,1 上 减， a的取 围 ( ) A. -∞,-2  B. -2,0  C. 0,2  D. 2, +∞  【答案】D 【解析】函数 y= 2x在R上单调递增，而函数 f x = 2x x-a 在区间 0,1 上单调递减， 则有函数 y= x(x- a) = x- a2  2- a 2 4 在区间 0,1 上单调递减，因此 a 2 ≥ 1，解得 a≥ 2， 所以 a的取值范围是 2, +∞ . 故选：D 79. (2023新高考Ⅰ卷)已知函数 f x 的定义域为R，f xy = y2 f x + x2 f y ， ( ) A. f 0 = 0 B. f 1 = 0 C. f x  函数 D. x= 0为 f x 的 点 【答案】ABC 【解析】方法一： 因为 f(xy) = y2 f(x) + x2 f(y)， 对于A，令 x= y= 0，f(0) = 0f(0) + 0f(0) = 0，故A正确. 对于B，令 x= y= 1，f(1) = 1f(1) + 1f(1)，则 f(1) = 0，故B正确. 对于C，令 x= y=-1，f(1) = f(-1) + f(-1) = 2f(-1)，则 f(-1) = 0， 令 y=-1,f(-x) = f(x) + x2 f(-1) = f(x)， 又函数 f(x)的定义域为R，所以 f(x)为偶函数，故C正确， 对于D，不妨令 f(x) = 0，显然符合题设条件，此时 f(x)无极值，故D错误. 方法二： 因为 f(xy) = y2 f(x) + x2 f(y)， 对于A，令 x= y= 0，f(0) = 0f(0) + 0f(0) = 0，故A正确. 对于B，令 x= y= 1，f(1) = 1f(1) + 1f(1)，则 f(1) = 0，故B正确. 对于C，令 x= y=-1，f(1) = f(-1) + f(-1) = 2f(-1)，则 f(-1) = 0， 令 y=-1,f(-x) = f(x) + x2 f(-1) = f(x)， 78 又函数 f(x)的定义域为R，所以 f(x)为偶函数，故C正确， 对于D，当 x2y2≠ 0时，对 f(xy) = y2 f(x) + x2 f(y)两边同时除以 x2y2，得到 f(xy) x2y2 = f(x) x2 + f(y) y2 ， 故可以设 f(x) x2 = ln x (x≠ 0)，则 f(x) = x 2ln x ,x≠ 0 0,x= 0  ， 当 x> 0肘，f(x) = x2lnx，则 f x = 2xlnx+ x2 ⋅ 1x = x(2lnx+ 1)， 令 f x < 0，得 0< x< e - 12；令 f x > 0，得 x> e - 12； 故 f(x)在 0,e - 12 上单调递减，在 e- 1 2, +∞ 上单调递增， 因为 f(x)为偶函数，所以 f(x)在 -e - 12,0 上单调递增，在 -∞,e- 1 2 上单调递减， 显然，此时 x= 0是 f(x)的极大值，故D错误. 故选：ABC. 80. (2023天津卷)若 a= 1.010.5,b= 1.010.6,c= 0.60.5， a,b,c的 关系为 ( ) A. c> a> b B. c> b> a C. a> b> c D. b> a> c 【答案】D 【解析】由 y= 1.01x在R上递增，则 a= 1.010.5< b= 1.010.6， 由 y= x0.5在 [0, +∞)上递增，则 a= 1.010.5> c= 0.60.5. 所以 b> a> c. 故选：D 81. (2023新高考Ⅱ卷)若 f x = x+ a ln 2x- 12x+ 1 为 函数， a= ( ) A. - 1 B. 0 C. 12 D. 1 【答案】B 【解析】因为 f(x)为偶函数，则 f(1) = f(-1)，所以 (1+ a)ln 13 = (-1+ a)ln3，解得 a= 0， 当 a= 0时，f x = xln 2x- 12x+ 1 ，2x- 1 2x+ 1 > 0，解得 x> 1 2 或 x<- 1 2 ， 则其定义域为 x x 12 或 x<- 1 2 ，关于原点对称. 79 f -x = -x ln 2 -x - 1 2 -x + 1 = -x ln 2x+ 12x- 1 = -x ln 2x- 1 2x+ 1  -1= xln 2x- 12x+ 1 = f x ， 故此时 f x 为偶函数. 故选：B. 82. (2023全国乙卷文(理))已知 f(x) = xe x eax- 1 函数， a= ( ) A. - 2 B. - 1 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】因为 f x = xe x eax- 1 为偶函数，则 f x - f -x = xe x eax- 1 - -x e-x e-ax- 1 = x ex- e a-1 x  eax- 1 = 0， 又因为 x不恒为 0，可得 ex- e a-1 x= 0，即 ex= e a-1 x， 则 x= a- 1 x，即 1= a- 1，解得 a= 2. 故选：D. 83. (2023全国甲卷文)已知函数 f x = e-(x-1) 2 ．记 a= f 22 ,b= f 3 2 ,c= f 6 2 ， ( ) A. b> c> a B. b> a> c C. c> b> a D. c> a> b 【答案】A 【解析】令 g(x) =- (x- 1)2，则 g(x)开口向下，对称轴为 x= 1， 因为 6 2 - 1- 1- 3 2 = 6+ 3 2 - 4 2 ，而 ( 6+ 3 ) 2- 42= 9+ 6 2- 16= 6 2- 7> 0， 所以 6 2 - 1- 1- 3 2 = 6+ 3 2 - 4 2 > 0，即 6 2 - 1> 1- 3 2 由二次函数性质知 g 62 < g 3 2 ， 因为 6 2 - 1- 1- 2 2 = 6+ 2 2 - 4 2 ，而 ( 6+ 2 ) 2- 42= 8+ 4 3- 16= 4 3- 8= 4( 3- 2)< 0， 即 6 2 - 1< 1- 2 2 ，所以 g 6 2 > g 2 2 ， 综上，g 22 < g 6 2 < g 3 2 ， 又 y= ex为增函数，故 a< c< b，即 b> c> a. 故选：A. 84. (2023天津卷)函数 f x 的图 下图所示， f x 的解 可能为 ( ) 80 A. 5 ex- e-x  x2+ 2 B. 5sinx x2+ 1 C. 5 ex+ e-x  x2+ 2 D. 5cosx x2+ 1 【答案】D 【解析】由图知：函数图象关于 y轴对称，其为偶函数，且 f(-2) = f(2)< 0， 由 5sin(-x) (-x)2+ 1 =- 5sinx x2+ 1 且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除； 当 x> 0时 5(e x- e-x) x2+ 2 > 0、5(e x+ e-x) x2+ 2 > 0，即A、C中 (0, +∞)上函数值为正，排除； 故选：D 85. (2023全国甲卷文(理))若 y= (x- 1)2+ ax+ sin x+ π2 为 函数， a= ． 【答案】2 【解析】因为 y= f x = x- 1 2+ ax+ sin x+ π2 = x- 1  2+ ax+ cosx为偶函数，定义域为R， 所以 f - π2 = f π 2 ，即 - π 2 - 1  2- π2 a+ cos - π 2 = π 2 - 1  2+ π2 a+ cos π 2 ， 则 πa= π2 + 1  2- π2 - 1  2= 2π，故 a= 2， 此时 f x = x- 1 2+ 2x+ cosx= x2+ 1+ cosx， 所以 f -x = -x 2+ 1+ cos -x = x2+ 1+ cosx= f x ， 又定义域为R，故 f x 为偶函数， 所以 a= 2. 故答案为：2. 86.（2023北京卷）设 a> 0，函数 f(x) = x+ 2,x<-a, a2- x2 , -a≤ x≤ a, - x- 1,x> a.  ，给出下 四个结论： ① f(x) 间 (a- 1, +∞)上 减； ② a≥ 1时，f(x)存 ； ③设M x1,f x1  x1≤ a ,N x2,f x2  x2> a ， |MN | > 1； ④设P x3,f x3  x3<-a ,Q x4,f x4  x4≥-a ．若 |PQ|存 ， a的取 围 0, 12 ． 其中所 正 结论的 号 ． 81 【答案】②③ 【解析】依题意，a> 0， 当 x<-a时，f x = x+ 2，易知其图像为一条端点取不到值的单调递增的射线； 当-a≤ x≤ a时，f x = a2- x2，易知其图像是，圆心为 0,0 ，半径为 a的圆在 x轴上方的图像 (即半圆)； 当 x> a时，f x =- x- 1，易知其图像是一条端点取不到值的单调递减的曲线； 对于①，取 a= 12 ，则 f x 的图像如下， 显然，当 x∈ (a- 1, +∞)，即 x∈ - 12 , +∞ 时，f x 在 - 1 2 ,0 上单调递增，故①错误； 对于②，当 a≥ 1时， 当 x<-a时，f x = x+ 2<-a+ 2≤ 1； 当-a≤ x≤ a时，f x = a2- x2 显然取得最大值 a； 当 x> a时，f x =- x- 1<- a- 1≤-2， 综上：f x 取得最大值 a，故②正确； 对于③，结合图像，易知在 x1= a，x2> a且接近于 x= a处，M x1,f x1  x1≤ a ,N x2,f x2  x2> a 的距 离最小， 当 x1= a时，y= f x1 = 0，当 x2> a且接近于 x= a处，y2= f x2 <- a- 1， 此时，MN > y1- y2> a+ 1> 1，故③正确； 对于④，取 a= 45 ，则 f x 的图像如下， 82 因为P x3,f x3  x3<-a ,Q x4,f x4  x4≥-a ， 结合图像可知，要使 PQ 取得最小值，则点P在 f x = x+ 2 x<- 45 上，点Q在 f x = 16 25 - x 2 - 45 ≤ x≤ 4 5 ， 同时 PQ 的最小值为点O到 f x = x+ 2 x<- 45 的距离减去半圆的半径 a， 此时，因为 f x = y= x+ 2 x<- 45 的斜率为 1，则 kOP=-1，故直线OP的方程为 y=-x， 联立 y=-x y= x+ 2  ，解得 x=-1 y= 1  ，则P -1,1 ， 显然P -1,1 在 f x = x+ 2 x<- 45 上，满足 PQ 取得最小值， 即 a= 45 也满足 PQ 存在最小值，故 a的取值范围不仅仅是 0, 1 2 ，故④错误. 故答案为：②③. 87. (2023天津卷)若函数 f x = ax2- 2x- x2- ax+ 1  且仅 两个零点， a的取 围为 ． 【答案】 -∞,0 ∪ 0,1 ∪ 1, +∞  【解析】(1)当 x2- ax+ 1≥ 0时，f x = 0⇔ a- 1 x2+ a- 2 x- 1= 0， 即 a- 1 x- 1  x+ 1 = 0， 若 a= 1时，x=-1，此时 x2- ax+ 1≥ 0成立； 若 a≠ 1时，x= 1a- 1 或 x=-1， 若方程有一根为 x=-1，则 1+ a+ 1≥ 0，即 a≥-2且 a≠ 1； 若方程有一根为 x= 1a- 1 ，则 1 a- 1  2- a× 1a- 1 + 1≥ 0，解得：a≤ 2且 a≠ 1； 若 x= 1a- 1 =-1时，a= 0，此时 1+ a+ 1≥ 0成立． (2)当 x2- ax+ 1< 0时，f x = 0⇔ a+ 1 x2- a+ 2 x+ 1= 0， 即 a+ 1 x- 1  x- 1 = 0， 若 a=-1时，x= 1，显然 x2- ax+ 1< 0不成立； 若 a≠-1时，x= 1或 x= 1a+ 1 ， 若方程有一根为 x= 1，则 1- a+ 1< 0，即 a> 2； 83 若方程有一根为 x= 1a+ 1 ，则 1 a+ 1  2- a× 1a+ 1 + 1< 0，解得：a<-2； 若 x= 1a+ 1 = 1时，a= 0，显然 x 2- ax+ 1< 0不成立； 综上， 当 a<-2时，零点为 1a+ 1 ， 1 a- 1 ； 当-2≤ a< 0时，零点为 1a- 1 ，-1； 当 a= 0时，只有一个零点-1； 当 0< a< 1时，零点为 1a- 1 ，-1； 当 a= 1时，只有一个零点-1； 当 1< a≤ 2时，零点为 1a- 1 ，-1； 当 a> 2时，零点为 1, -1． 所以，当函数有两个零点时，a≠ 0且 a≠ 1． 故答案为：-∞,0 ∪ 0,1 ∪ 1, +∞ ． 88.（2023北京卷）已知函数 f(x) = 4x+ log2x， f 12 = ． 【答案】1 【解析】函数 f(x) = 4x+ log2x，所以 f 12 = 4 1 2 + log2 12 = 2- 1= 1. 故答案为：1 89.（2023上海卷）已知函数 f(x) = 1,x≤ 0, 2x,x> 0  ， 函数 f(x)的 域为 ． 【答案】[1，+∞) 【解析】当 x≤ 0时，f(x) = 1，当 x> 0时，f(x) = 2x> 1，所以函数 f(x)的值域为 [1，+∞)． 故答案为：[1，+∞)． 90.（2023上海卷）已知 a，c∈R，函数 f(x) = x 2+ (3a+ 1)x+ c x+ a ． (1)若 a= 0， 函数的定义域， 断 存 c f(x) 函数，说 理 ； (2)若函数过点 (1,3)，且函数 f(x)与 x轴负 轴 两个不 交点， 此时 c的 a的取 围． 【答案】(1)不存在；(2) 13， 1 2 ∪ 1 2，+∞ ． 【解析】(1)若 a= 0，则 f(x) = x 2+ x+ c x = x+ c x + 1， 要使函数有意义，则 x≠ 0，即 f(x)的定义域为 {x|x≠ 0}， 因为 y= x+ cx 是奇函数，y= 1是偶函数， 所以函数 f(x) = x+ cx + 1为非奇非偶函数，不可能是奇函数，故不存在实数 c，使得 f(x)是奇函数． 84 (2)若函数过点 (1,3)，则 f(1) = 1+ 3a+ 1+ c1+ a = 3a+ 2+ c 1+ a = 3，得 3a+ 2+ c= 3+ 3a，得 c= 3- 2= 1， 此时 f(x) = x 2+ (3a+ 1)x+ 1 x+ a ，若数 f(x)与 x轴负半轴有两个不同交点， 即 f(x) = x 2+ (3a+ 1)x+ 1 x+ a = 0，得 x 2+ (3a+ 1)x+ 1= 0，当 x< 0时，有两个不同的交点， 设 g(x) = x2+ (3a+ 1)x+ 1， 则 ∆= (3a+ 1)2- 4> 0 x1x2= 1> 0 x1+ x2=- (3a+ 1)< 0 - 3a+ 12 < 0        ，得 3a+ 1> 2或 3a+ 1<-2 3a+ 1> 0  ，得 a> 13 或 a<-1 a>- 13  ，即 a> 1 3 ， 若 x+ a= 0即 x=-a是方程 x2+ (3a+ 1)x+ 1= 0的根， 则 a2- (3a+ 1)a+ 1= 0，即 2a2+ a- 1= 0，得 a= 12 或 a=-1， 则实数 a的取值范围是 a> 13 且 a≠ 1 2 且 a≠-1， 即 1 3 ， 1 2 ∪ 1 2 ，+∞ ． 专 11 导数 91. (2023全国甲卷文)曲线 y= e x x+ 1 点 1, e 2  的 线方 为 ( ) A. y= e4 x B. y= e 2 x C. y= e 4 x+ e 4 D. y= e 2 x+ 3e 4 【答案】C 【解析】设曲线 y= e x x+ 1 在点 1, e 2 处的切线方程为 y- e 2 = k x- 1 ， 因为 y= e x x+ 1 ， 所以 y= ex x+ 1 - ex x+ 1 2 = xe x x+ 1 2 ， 所以 k= y x=1 = e4 所以 y- e2 = e 4 x- 1  所以曲线 y= e x x+ 1 在点 1, e 2 处的切线方程为 y= e 4 x+ e 4 . 故选：C 92. (2023全国乙卷文)函数 f x = x3+ ax+ 2存 3个零点， a的取 围 ( ) A. -∞,-2  B. -∞,-3  C. -4, -1  D. -3,0  【答案】B 85