专题8～9 直线和圆 不等式-遇见最美的数学系列——23真题汇编

专 8 直线 69. (2023全国乙卷文)已知实数 x,y满足 x2+ y2- 4x- 2y- 4= 0， x- y的 ( ) A. 1+ 3 22 B. 4 C. 1+ 3 2 D. 7 70. (2023新高考Ⅰ卷)过点 0, -2 与 x2+ y2- 4x- 1= 0相 的两 直线的 角为 α， sinα= ( ) A. 1 B. 154 C. 10 4 D. 6 4 71.（2023上海卷）已知 x2+ y2- 4x-m= 0的 积为 π， m= ． 72. (2023新高考Ⅱ卷)已知直线 l:x-my+ 1= 0与⊙C : x- 1 2+ y2= 4交于A，B两点，写出满足“△ABC 积为 8 5”的m的一个 ． 12 专 9 不 73. (2023新高考Ⅰ卷)噪声 染问 越 越受 ． 声 级 声音的 ，定义声 级 Lp= 20× lg p p0 ，其中 数 p0 p0> 0  下 ，p 实 声 ．下表为不 声 的声 级： 声 与声 的距离/m 声 级/dB 燃 车 10 60∼ 90 混 车 10 50∼ 60 车 10 40 已知 距离燃 车、混 车、 车 10m 实 声 为 p1,p2,p3， ( ) A. p1≥ p2 B. p2> 10p3 C. p3= 100p0 D. p1≤ 100p2 74.（2023上海卷）不 |x- 2| < 1的解 为 ． 75. (2023全国乙卷文(理))若 x，y满足约 件 x- 3y≤-1, x+ 2y≤ 9, 3x+ y≥ 7,  z= 2x- y的 为 . 76. (2023全国甲卷文(理))设 x，y满足约 件 -2x+ 3y≤ 3 3x- 2y≤ 3 x+ y≥ 1  ，设 z= 3x+ 2y， z的 为 ． 13 ①若存在正整数N，使得SN=BrN-AN= 0，即AN=BrN， 可取 r= p= 0,q=N ,s= rN，使得Ap+Bs=Aq+Br； ②若不存在正整数N，使得SN= 0， 因为Sn∈ -1, -2, ⋅⋅⋅ ,1-m ，且 1≤n≤m， 所以必存在 1≤X<Y≤m，使得SX=SY， 即BrX-AX=BrY-AY，可得AX+BrY=AY+BrX， 可取 p=X,s= rY,q=Y,r= rX，使得Ap+Bs=Aq+Br； 综上所述：存在 0≤ p< q≤m,0≤ r< s≤m使得Ap+Bs=Aq+Br． 专 8 直线 69. (2023全国乙卷文)已知实数 x,y满足 x2+ y2- 4x- 2y- 4= 0， x- y的 ( ) A. 1+ 3 22 B. 4 C. 1+ 3 2 D. 7 【答案】C 【解析】法一：令 x- y= k，则 x= k+ y， 代入原式化简得 2y2+ 2k- 6 y+ k2- 4k- 4= 0， 因为存在实数 y，则Δ≥ 0，即 2k- 6 2- 4× 2 k2- 4k- 4 ≥ 0， 化简得 k2- 2k- 17≤ 0，解得 1- 3 2≤ k≤ 1+ 3 2， 故 x- y的最大值是 3 2+ 1， 法二：x2+ y2- 4x- 2y- 4= 0，整理得 x- 2 2+ y- 1 2= 9， 令 x= 3cosθ+ 2，y= 3sinθ+ 1，其中 θ∈ 0,2π ， 则 x- y= 3cosθ- 3sinθ+ 1= 3 2cos θ+ π4 + 1， 因为 θ∈ 0,2π ，所以 θ+ π4 ∈ π 4 , 9π 4    ，则 θ+ π 4 = 2π，即 θ= 7π 4 时，x- y取得最大值 3 2+ 1， 法三：由 x2+ y2- 4x- 2y- 4= 0可得 (x- 2)2+ (y- 1)2= 9， 设 x- y= k，则圆心到直线 x- y= k的距离 d= |2- 1- k| 2 ≤ 3， 解得 1- 3 2≤ k≤ 1+ 3 2 故选：C. 70. (2023新高考Ⅰ卷)过点 0, -2 与 x2+ y2- 4x- 1= 0相 的两 直线的 角为 α， sinα= ( ) A. 1 B. 154 C. 10 4 D. 6 4 【答案】B 73 【解析】方法一：因为 x2+ y2- 4x- 1= 0，即 x- 2 2+ y2= 5，可得圆心C 2,0 ，半径 r= 5， 过点P 0, -2 作圆C的切线，切点为A,B， 因为 PC = 22+ -2 2= 2 2，则 PA = PC 2- r2= 3， 可得 sin∠APC= 5 2 2 = 104 ,cos∠APC= 3 2 2 = 64 ， 则 sin∠APB= sin2∠APC= 2sin∠APCcos∠APC= 2× 104 × 6 4 = 15 4 ， cos∠APB= cos2∠APC= cos2∠APC- sin2∠APC= 64  2 - 104  2 =- 14 < 0， 即∠APB为钝角， 所以 sinα= sin π-∠APB = sin∠APB= 154 ； 法二：圆 x2+ y2- 4x- 1= 0的圆心C 2,0 ，半径 r= 5， 过点P 0, -2 作圆C的切线，切点为A,B，连接AB， 可得 PC = 22+ -2 2= 2 2，则 PA = PB = PC 2- r2= 3， 因为 PA 2+ PB 2- 2 PA ⋅ PB cos∠APB= CA 2+ CB 2- 2 CA ⋅ CB cos∠ACB 且∠ACB= π-∠APB，则 3+ 3- 6cos∠APB= 5+ 5- 10cos π-∠APB ， 即 3- cos∠APB= 5+ 5cos∠APB，解得 cos∠APB=- 14 < 0， 即∠APB为钝角，则 cosα= cos π-∠APB =-cos∠APB= 14 ， 且 α为锐角，所以 sinα= 1- cos2α= 154 ； 方法三：圆 x2+ y2- 4x- 1= 0的圆心C 2,0 ，半径 r= 5， 若切线斜率不存在，则切线方程为 y= 0，则圆心到切点的距离 d= 2> r，不合题意； 若切线斜率存在，设切线方程为 y= kx- 2，即 kx- y- 2= 0， 则 2k- 2  k2+ 1 = 5，整理得 k2+ 8k+ 1= 0，且Δ= 64- 4= 60> 0 设两切线斜率分别为 k1,k2，则 k1+ k2=-8,k1k2= 1， 可得 k1- k2 = k1+ k2 2- 4k1k2= 2 15， 所以 tanα= k1- k2  1+ k1k2 = 15，即 sinαcosα = 15，可得 cosα= sinα 15 ， 则 sin2α+ cos2α= sin2α+ sin 2α 15 = 1， 且 α∈ 0, π2 ，则 sinα> 0，解得 sinα= 15 4 . 故选：B. 74 71.（2023上海卷）已知 x2+ y2- 4x-m= 0的 积为 π， m= ． 【答案】-3 【解析】圆 x2+ y2- 4x-m= 0化为标准方程为：(x- 2)2+ y2= 4+m， 因为圆的面积为 π，所以圆的半径为 1，所以 4+m= 1，所以m=-3． 故答案为：-3． 72. (2023新高考Ⅱ卷)已知直线 l:x-my+ 1= 0与⊙C : x- 1 2+ y2= 4交于A，B两点，写出满足“△ABC 积为 8 5”的m的一个 ． 【答案】2(2, -2, 12 , - 1 2 中任意一个皆可以) 【解析】设点C到直线AB的距离为 d，由弦长公式得 AB = 2 4- d2， 所以S△ABC= 1 2 × d× 2 4- d 2= 85 ，解得：d= 4 5 5 或 d= 2 5 5 ， 由 d= 1+ 1  1+m2 = 2 1+m2 ，所以 2 1+m2 = 4 55 或 2 1+m2 = 2 55 ，解得：m=±2或m=± 1 2 ． 故答案为：2(2, -2, 12 , - 1 2 中任意一个皆可以)． 专 9 不 73. (2023新高考Ⅰ卷)噪声 染问 越 越受 ． 声 级 声音的 ，定义声 级 Lp= 20× lg p p0 ，其中 数 p0 p0> 0  下 ，p 实 声 ．下表为不 声 的声 级： 声 与声 的距离/m 声 级/dB 燃 车 10 60∼ 90 混 车 10 50∼ 60 车 10 40 已知 距离燃 车、混 车、 车 10m 实 声 为 p1,p2,p3， ( ) A. p1≥ p2 B. p2> 10p3 C. p3= 100p0 D. p1≤ 100p2 【答案】ACD 【解析】由题意可知：Lp1∈ 60,90 ,Lp2∈ 50,60 ,Lp3= 40， 75 对于选项A：可得Lp1-Lp2= 20× lg p1 p0 - 20× lg p2p0 = 20× lg p1p2 ， 因为Lp1≥Lp2，则Lp1-Lp2= 20× lg p1 p2 ≥ 0，即 lg p1p2 ≥ 0， 所以 p1 p2 ≥ 1且 p1,p2> 0，可得 p1≥ p2，故A正确； 对于选项B：可得Lp2-Lp3= 20× lg p2 p0 - 20× lg p3p0 = 20× lg p2p3 ， 因为Lp2-Lp3=Lp2- 40≥ 10，则 20× lg p2 p3 ≥ 10，即 lg p2p3 ≥ 12 ， 所以 p2 p3 ≥ 10 且 p2,p3> 0，可得 p2≥ 10 p3， 当且仅当Lp2= 50时，等号成立，故B错误； 对于选项C：因为Lp3= 20× lg p3 p0 = 40，即 lg p3p0 = 2， 可得 p3 p0 = 100，即 p3= 100p0，故C正确； 对于选项D：由选项A可知：Lp1-Lp2= 20× lg p1 p2 ， 且Lp1-Lp2≤ 90- 50= 40，则 20× lg p1 p2 ≤ 40， 即 lg p1 p2 ≤ 2，可得 p1p2 ≤ 100，且 p1,p2> 0，所以 p1≤ 100p2，故D正确； 故选：ACD. 74.（2023上海卷）不 |x- 2| < 1的解 为 ． 【答案】(1,3) 【解析】由 |x- 2| < 1可得，-1< x- 2< 1，解得 1< x< 3，即不等式的解集为 (1,3)． 故答案为：(1,3)． 75. (2023全国乙卷文(理))若 x，y满足约 件 x- 3y≤-1, x+ 2y≤ 9, 3x+ y≥ 7,  z= 2x- y的 为 . 【答案】8 【解析】作出可行域如下图所示： z= 2x- y，移项得 y= 2x- z， 联立有 x- 3y=-1, x+ 2y= 9,  解得 x= 5, y= 2,  设A 5,2 ，显然平移直线 y= 2x使其经过点A，此时截距-z最小，则 z最大， 代入得 z= 8， 故答案为：8. 76 76. (2023全国甲卷文(理))设 x，y满足约 件 -2x+ 3y≤ 3 3x- 2y≤ 3 x+ y≥ 1  ，设 z= 3x+ 2y， z的 为 ． 【答案】15 【解析】作出可行域，如图， 由图可知，当目标函数 y=- 32 x+ z 2 过点A时，z有最大值， 由 -2x+ 3y= 3 3x- 2y= 3  可得 x= 3 y= 3  ，即A(3,3), 所以 zmax= 3× 3+ 2× 3= 15. 故答案为：15 专 10 函数 77.（2023北京卷）下 函数中， 间 (0, +∞)上 的 ( ) A. f(x) =-lnx B. f(x) = 1 2x C. f(x) =- 1x D. f(x) = 3 |x-1| 【答案】C 【解析】对于A，因为 y= lnx在 0, +∞ 上单调递增，y=-x在 0, +∞ 上单调递减， 所以 f x =-lnx在 0, +∞ 上单调递减，故A错误； 对于B，因为 y= 2x在 0, +∞ 上单调递增，y= 1x 在 0, +∞ 上单调递减， 所以 f x = 1 2x 在 0, +∞ 上单调递减，故B错误； 对于C，因为 y= 1x 在 0, +∞ 上单调递减，y=-x在 0, +∞ 上单调递减， 77