专题6 解三角形-遇见最美的数学系列——23真题汇编

专 6 解三角 43. (2023全国乙卷文) △ABC中，内角A,B,C的对边 a,b,c，若 acosB- bcosA= c，且C= π5 ， ∠B= ( ) A. π10 B. π 5 C. 3π 10 D. 2π 5 44.（2023北京卷） △ABC中，(a+ c) (sinA- sinC) = b(sinA- sinB)， ∠C= ( ) A. π6 B. π 3 C. 2π 3 D. 5π 6 45. (2023全国甲卷理) △ABC中，AB= 2，∠BAC= 60°,BC= 6，D为BC上一点，AD为∠BAC的 线， AD= ． 46.（2023上海卷）某公园欲建设一段斜 ， 一 直线，斜 点距 的高 为 4 ， 与 所成 角为 θ．行人每 斜 上走 1m 的 为 (1.025- cosθ)，欲 行人走上斜 所 的 ， θ= ． 47.（2023上海卷）已知△ABC中，角A，B，C所对的边 a= 4，b= 5，c= 6， sinA= ． 48. (2023新高考Ⅰ卷)已知 △ABC中，A+B= 3C,2sin A-C = sinB． (1) sinA； (2)设AB= 5， AB边上的高． 49. (2023新高考Ⅱ卷)记△ABC的内角A,B,C的对边 为 a,b,c，已知△ABC的 积为 3，D为BC中 点，且AD= 1． (1)若∠ADC= π3 ， tanB； (2)若 b2+ c2= 8， b,c． 7 50. (2023全国甲卷文) △ABC中，已知∠BAC= 120°，AB= 2，AC= 1. (1) sin∠ABC； (2)若D为BC上一点，且∠BAD= 90°， △ADC的 积. 51. (2023全国甲卷文)记△ABC的内角A,B,C的对边 为 a,b,c，已知 b 2+ c2- a2 cosA = 2． (1) bc； (2)若 acosB- bcosA acosB+ bcosA - b c = 1， △ABC 积． 52. (2023天津卷) △ABC中，角A,B,C所对的边 a,b,c．已知 a= 39 ,b= 2,∠A= 120°． (1) sinB的 ； (2) c的 ； (3) sin B-C ． 8 所以 T 2 = 2π 3 - - π 3 = π,所以T= 2π,ω= 2π T = 1, 所以 f(x) = sin x+ φ ， 又因为 f - π3 =-1，所以 sin - π 3 + φ =-1， 所以- π3 + φ=- π 2 + 2kπ,k∈Z， 所以 φ=- π6 + 2kπ,k∈Z，因为 |φ| < π 2 ，所以 φ=- π 6 . 所以ω= 1，φ=- π6 ； 若选条件③：因为 f(x)在 - π3 , 2π 3    上单调递增，在 - π 2 , - π 3    上单调递减， 所以 f(x)在 x=- π3 处取得最小值-1，即 f - π 3 =-1. 以下与条件②相同． 专 6 解三角 43. (2023全国乙卷文) △ABC中，内角A,B,C的对边 a,b,c，若 acosB- bcosA= c，且C= π5 ， ∠B= ( ) A. π10 B. π 5 C. 3π 10 D. 2π 5 【答案】C 【解析】由题意结合正弦定理可得 sinAcosB- sinBcosA= sinC， 即 sinAcosB- sinBcosA= sin A+B = sinAcosB+ sinBcosA， 整理可得 sinBcosA= 0，由于B∈ 0,π ，故 sinB> 0， 据此可得 cosA= 0,A= π2 ， 则B= π-A-C= π- π2 - π 5 = 3π 10 . 故选：C. 44.（2023北京卷） △ABC中，(a+ c) (sinA- sinC) = b(sinA- sinB)， ∠C= ( ) A. π6 B. π 3 C. 2π 3 D. 5π 6 【答案】B 【解析】因为 (a+ c) (sinA- sinC) = b(sinA- sinB)， 所以由正弦定理得 (a+ c) (a- c) = b(a- b)，即 a2- c2= ab- b2， 则 a2+ b2- c2= ab，故 cosC= a 2+ b2- c2 2ab = ab 2ab = 1 2 ， 55 又 0<C< π，所以C= π3 . 故选：B. 45. (2023全国甲卷理) △ABC中，AB= 2，∠BAC= 60°,BC= 6，D为BC上一点，AD为∠BAC的 线， AD= ． 【答案】2 【解析】 如图所示：记AB= c,AC= b,BC= a， 方法一：由余弦定理可得，22+ b2- 2× 2× b× cos60° = 6， 因为 b> 0，解得：b= 1+ 3， 由S△ABC=S△ABD+S△ACD可得， 1 2 × 2× b× sin60° = 1 2 × 2×AD× sin30° + 1 2 ×AD× b× sin30°， 解得：AD= 3b 1+ b2 = 2 3 1+ 3  3+ 3 = 2． 故答案为：2． 方法二：由余弦定理可得，22+ b2- 2× 2× b× cos60° = 6，因为 b> 0，解得：b= 1+ 3， 由正弦定理可得， 6 sin60° = b sinB = 2 sinC ，解得：sinB= 6+ 24 ，sinC= 2 2 ， 因为 1+ 3> 6> 2，所以C= 45°，B= 180° -60° -45° = 75°， 又∠BAD= 30°，所以∠ADB= 75°，即AD=AB= 2． 故答案为：2． 46.（2023上海卷）某公园欲建设一段斜 ， 一 直线，斜 点距 的高 为 4 ， 与 所成 角为 θ．行人每 斜 上走 1m 的 为 (1.025- cosθ)，欲 行人走上斜 所 的 ， θ= ． 【答案】arccos 4041 【解析】斜坡的长度为 l= 4 sinθ ， 上坡所消耗的总体力 y= 4 sinθ × (1.025- cosθ) = 4.1- 4cosθ sinθ ， 56 函数的导数 y′ = 4sinθ ⋅ sinθ- (4.1- 4cosθ)cosθ sin2θ = 4- 4.1cosθ sin2θ ， 由 y′ = 0，得 4- 4.1cosθ= 0，得 cosθ= 4041 ，θ= arccos 40 41 ， 由 f′ (x)> 0时 cosθ< 4041 ，即 arccos 40 41 < θ< π 2 时，函数单调递增， 由 f′ (x)< 0时 cosθ> 4041 ，即 0< θ< arccos 40 41 时，函数单调递减， 即 θ= arccos 4041 ，函数取得最小值，即此时所消耗的总体力最小． 故答案为：θ= arccos 4041． 47.（2023上海卷）已知△ABC中，角A，B，C所对的边 a= 4，b= 5，c= 6， sinA= ． 【答案】 7 4 【解析】a= 4，b= 5，c= 6，由余弦定理得，cosA= b 2+ c2- a2 2bc = 25+ 36- 16 2× 5× 6 = 3 4 ， 又因为A∈ (0,π)，所以 sinA> 0，所以 sinA= 1- cos2A= 1- 34  2= 74 ． 故答案为： 7 4 ． 48. (2023新高考Ⅰ卷)已知 △ABC中，A+B= 3C,2sin A-C = sinB． (1) sinA； (2)设AB= 5， AB边上的高． 【答案】(1) 3 1010 ;(2)6 【解析】(1)因为A+B= 3C， 所以 π-C= 3C，即C= π4 ， 又 2sin(A-C) = sinB= sin(A+C)， 所以 2sinAcosC- 2cosAsinC= sinAcosC+ cosAsinC， 所以 sinAcosC= 3cosAsinC， 所以 sinA= 3cosA， 即 tanA= 3，所以 0<A< π2 ， 所以 sinA= 3 10 = 3 1010 . (2)由 (1)知，cosA= 1 10 = 1010 ， 57 由 sinB= sin(A+C) = sinAcosC+ cosAsinC= 22 3 10 10 + 10 10 = 2 5 5 ， 由正弦定理， c sinC = bsinB，可得 b= 5× 2 55 2 2 = 2 10， 所以 1 2 AB ⋅ h= 1 2 AB ⋅AC ⋅ sinA， 所以 h= b ⋅ sinA= 2 10 × 3 1010 = 6. 49. (2023新高考Ⅱ卷)记△ABC的内角A,B,C的对边 为 a,b,c，已知△ABC的 积为 3，D为BC中 点，且AD= 1． (1)若∠ADC= π3 ， tanB； (2)若 b2+ c2= 8， b,c． 【答案】(1) 35 ；(2)b= c= 2. 【解析】(1)方法 1：在△ABC中，因为D为BC中点，∠ADC= π3 ，AD= 1， 则S△ADC= 1 2 AD ⋅DCsin∠ADC= 1 2 × 1× 1 2 a× 3 2 = 3 8 a= 1 2 S△ABC= 3 2 ，解得 a= 4， 在△ABD中，∠ADB= 2π3 ，由余弦定理得 c 2=BD2+AD2- 2BD ⋅ADcos∠ADB， 即 c2= 4+ 1- 2× 2× 1× - 12 = 7，解得 c= 7，则 cosB= 7+ 4- 1 2 7 × 2 = 5 714 ， sinB= 1- cos2B = 1- 5 714  2 = 2114 ， 所以 tanB= sinBcosB = 3 5 . 方法 2：在△ABC中，因为D为BC中点，∠ADC= π3 ，AD= 1， 则S△ADC= 1 2 AD ⋅DCsin∠ADC= 1 2 × 1× 1 2 a× 3 2 = 3 8 a= 1 2 S△ABC= 3 2 ，解得 a= 4， 在△ACD中，由余弦定理得 b2=CD2+AD2- 2CD ⋅ADcos∠ADB， 即 b2= 4+ 1- 2× 2× 1× 12 = 3，解得 b= 3，有AC 2+AD2= 4=CD2，则∠CAD= π2 ， C= π6 ，过A作AE⊥BC于E，于是CE=ACcosC= 3 2 ,AE=ACsinC= 3 2 ，BE= 5 2 ， 所以 tanB= AEBE = 3 5 . (2)方法 1：在△ABD与△ACD中，由余弦定理得 c2= 14 a 2+ 1- 2× 12 a× 1× cos(π-∠ADC) b2= 14 a 2+ 1- 2× 12 a× 1× cos∠ADC  ， 58 整理得 1 2 a 2+ 2= b2+ c2，而 b2+ c2= 8，则 a= 2 3， 又S△ADC= 1 2 × 3 × 1× sin∠ADC= 3 2 ，解得 sin∠ADC= 1，而 0<∠ADC< π，于是∠ADC= π 2 ， 所以 b= c= AD2+CD2= 2. 方法 2：在△ABC中，因为D为BC中点，则 2AD  =AB  +AC  ，又CB  =AB  -AC  ， 于是 4AD  2+CB  2= (AB  +AC  )2+ (AB  -AC  )2= 2(b2+ c2) = 16，即 4+ a2= 16，解得 a= 2 3， 又S△ADC= 1 2 × 3 × 1× sin∠ADC= 3 2 ，解得 sin∠ADC= 1，而 0<∠ADC< π，于是∠ADC= π 2 ， 所以 b= c= AD2+CD2= 2. 50. (2023全国甲卷文) △ABC中，已知∠BAC= 120°，AB= 2，AC= 1. (1) sin∠ABC； (2)若D为BC上一点，且∠BAD= 90°， △ADC的 积. 【答案】(1) 2114 ；(2) 3 10 . 【解析】(1)由余弦定理可得： BC2= a2= b2+ c2- 2bccosA = 4+ 1- 2× 2× 1× cos120° = 7， 则BC= 7，cosB= a 2+ c2- b2 2ac = 7+ 4- 1 2× 2× 7 = 5 714 ， sinB= 1- cos2B = 1- 2528 = 21 14 . (2)由三角形面积公式可得 S△ABDS△ACD = 1 2 ×AB×AD× sin90° 1 2 ×AC×AD× sin30° = 4， 则S△ACD= 1 5 S△ABC= 1 5 × 1 2 × 2× 1× sin120° = 3 10 . 51. (2023全国甲卷文)记△ABC的内角A,B,C的对边 为 a,b,c，已知 b 2+ c2- a2 cosA = 2． (1) bc； (2)若 acosB- bcosA acosB+ bcosA - b c = 1， △ABC 积． 【答案】(1)1;(2) 34 【解析】(1)因为 a2= b2+ c2- 2bccosA，所以 b 2+ c2- a2 cosA = 2bccosA cosA = 2bc= 2，解得：bc= 1． (2)由正弦定理可得 acosB- bcosA acosB+ bcosA - b c = sinAcosB- sinBcosA sinAcosB+ sinBcosA - sinB sinC = sin A-B  sin A+B  - sinB sin A+B  = sin A-B - sinB sin A+B  = 1， 变形可得：sin A-B - sin A+B = sinB，即-2cosAsinB= sinB， 而 0< sinB≤ 1，所以 cosA=- 12 ，又 0<A< π，所以 sinA= 3 2 ， 59 故△ABC的面积为S△ABC= 1 2 bcsinA= 1 2 × 1× 3 2 = 3 4 ． 52. (2023天津卷) △ABC中，角A,B,C所对的边 a,b,c．已知 a= 39 ,b= 2,∠A= 120°． (1) sinB的 ； (2) c的 ； (3) sin B-C ． 【答案】(1) 1313 ;(2)5;(3) - 7 3 26 【解析】(1)由正弦定理可得， a sinA = bsinB，即 39 sin120° = 2 sinB，解得：sinB= 13 13 ； (2)由余弦定理可得，a2= b2+ c2- 2bccosA，即 39= 4+ c2- 2× 2× c× - 12 ， 解得：c= 5或 c=-7(舍去)． (3)由正弦定理可得， a sinA = c sinC ，即 39 sin120° = 5 sinC ，解得：sinC= 5 1326 ，而A= 120°， 所以B,C都为锐角，因此 cosC= 1- 2552 = 3 39 26 ，cosB= 1- 1 13 = 2 39 13 ， 故 sin B-C = sinBcosC- cosBsinC= 1313 × 3 39 26 - 2 39 13 × 5 13 26 =- 7 3 26 ． 专 7 数 53. (2023全国甲卷理)已知正 比数 an 中，a1= 1,Sn为 an  n ，S5= 5S3- 4， S4= ( ) A. 7 B. 9 C. 15 D. 30 【答案】C 【解析】由题知 1+ q+ q2+ q3+ q4= 5 1+ q+ q2 - 4, 即 q3+ q4= 4q+ 4q2,即 q3+ q2- 4q- 4= 0,即 (q- 2) (q+ 1) (q+ 2) = 0. 由题知 q> 0,所以 q= 2. 所以S4= 1+ 2+ 4+ 8= 15. 故选:C. 54. (2023天津卷)已知 an 为 比数 ，Sn为数 an 的 n ，an+1= 2Sn+ 2， a4的 为 ( ) A. 3 B. 18 C. 54 D. 152 【答案】C 【解析】由题意可得：当 n= 1时，a2= 2a1+ 2，即 a1q= 2a1+ 2，① 当n= 2时，a3= 2 a1+ a2 + 2，即 a1q2= 2 a1+ a1q + 2，② 联立①②可得 a1= 2,q= 3，则 a4= a1q3= 54. 故选：C. 60