专题5 三角函数-遇见最美的数学系列——23真题汇编

专 5 三角函数 31. (2023新高考Ⅰ卷)已知 sin α- β = 13 ,cosαsinβ= 1 6 ， cos 2α+ 2β = ( ) A. 79 B. 1 9 C. - 1 9 D. - 7 9 32. (2023新高考Ⅱ卷)已知 α为 角，cosα= 1+ 54 ， sin α 2 = ( ) A. 3- 58 B. -1+ 5 8 C. 3- 5 4 D. -1+ 5 4 33. (2023全国乙卷文(理))已知函数 f(x) = sin(ωx+ φ) 间 π6 , 2π 3  ，直线 x= π 6 x= 2π 3 为 函数 y= f x 的图 的两 对称轴， f - 5π12 = ( ) A. - 32 B. - 1 2 C. 1 2 D. 3 2 34. (2023全国甲卷文(理))已知 f x 为函数 y= cos 2x+ π6  左 移 π 6 个 所 函数， y= f x 与 y = 12 x- 1 2 的交点个数为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 35. (2023天津卷)已知函数 f x 的一 对称轴为直线 x= 2，一个 为 4， f x 的解 可能为 ( ) A. sin π2 x  B. cos π 2 x  C. sin π 4 x  D. cos π 4 x  36.（2023上海卷）已知 a∈R，记 y= sinx [a，2a]的 为 sa， [2a，3a]的 为 ta， 下 况 不可能的 ( ) A. sa> 0，ta> 0 B. sa< 0，ta< 0 C. sa> 0，ta< 0 D. sa< 0，ta> 0 37. (2023全国乙卷文)若 θ∈ 0, π2 ,tanθ= 1 2 ， sinθ- cosθ= ． 38.（2023北京卷）已知 p:若 α,β为 一 角，且 α> β， tanα> tanβ．能说 p为 的一组 α, β的 为 α= ，β= ． 39.（2023上海卷）已知 tanα= 3， tan2α= ． 40. (2023新高考Ⅰ卷)已知函数 f x = cosωx- 1(ω> 0) 间 0,2π  且仅 3个零点， ω的取 围 ． 41. (2023新高考Ⅱ卷)已知函数 f x = sin ωx+ φ ， 图A，B 直线 y= 12 与曲线 y= f x 的两个交点， 若 AB = π6 ， f π = ． 5 42.（2023北京卷）设函数 f(x) = sinωxcosφ+ cosωxsinφ ω> 0,|φ| < π2 ． (1)若 f(0) =- 32 ， φ的 ． (2)已知 f(x) 间 - π3 , 2π 3    上 ，f 2π 3 = 1，再从 件①、 件②、 件③这三个 件中 择一 个 为已知， 函数 f(x)存 ， ω,φ的 ． 件①：f π3 = 2； 件②：f - π3 =-1； 件③：f(x) 间 - π2 , - π 3    上 减． 注： 择的 件不 ， (2)问 0 ； 择 个 的 件 解 ， 一个解 计 ． 6 专 5 三角函数 31. (2023新高考Ⅰ卷)已知 sin α- β = 13 ,cosαsinβ= 1 6 ， cos 2α+ 2β = ( ) A. 79 B. 1 9 C. - 1 9 D. - 7 9 【答案】B 【解析】因为 sin(α- β) = sinαcosβ- cosαsinβ= 13 ，而 cosαsinβ= 1 6 ，因此 sinαcosβ= 1 2 ， 则 sin(α+ β) = sinαcosβ+ cosαsinβ= 23 ， 所以 cos(2α+ 2β) = cos2(α+ β) = 1- 2sin2(α+ β) = 1- 2× 23  2= 19 . 故选：B 32. (2023新高考Ⅱ卷)已知 α为 角，cosα= 1+ 54 ， sin α 2 = ( ) A. 3- 58 B. -1+ 5 8 C. 3- 5 4 D. -1+ 5 4 【答案】D 【解析】因为 cosα= 1- 2sin2 α2 = 1+ 5 4 ，而 α为锐角， 解得：sin α2 = 3- 5 8 = 5- 1 2 16 = 5- 1 4 ． 故选：D． 33. (2023全国乙卷文(理))已知函数 f(x) = sin(ωx+ φ) 间 π6 , 2π 3  ，直线 x= π 6 x= 2π 3 为 函数 y= f x 的图 的两 对称轴， f - 5π12 = ( ) A. - 32 B. - 1 2 C. 1 2 D. 3 2 【答案】D 【解析】因为 f(x) = sin(ωx+ φ)在区间 π6 , 2π 3 单调递增， 所以 T 2 = 2π 3 - π 6 = π 2 ，且ω> 0，则T= π，w= 2π T = 2， 当 x= π6 时，f x 取得最小值，则 2 ⋅ π 6 + φ= 2kπ- π 2 ，k∈Z， 则 φ= 2kπ- 5π6 ，k∈Z，不妨取 k= 0，则 f x = sin 2x- 5π 6 ， 则 f - 5π12 = sin - 5π 3 = 3 2 ， 故选：D. 50 34. (2023全国甲卷文(理))已知 f x 为函数 y= cos 2x+ π6  左 移 π 6 个 所 函数， y= f x 与 y = 12 x- 1 2 的交点个数为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】因为 y= cos 2x+ π6 向左平移 π 6 个单位所得函数为 y= cos 2 x+ π 6 + π 6    = cos 2x+ π 2 = -sin2x，所以 f x =-sin2x， 而 y= 12 x- 1 2 显然过 0, - 1 2 与 1,0 两点， 作出 f x 与 y= 12 x- 1 2 的部分大致图像如下， 考虑 2x=- 3π2 ,2x= 3π 2 ,2x= 7π 2 ，即 x=- 3π 4 ,x= 3π 4 ,x= 7π 4 处 f x 与 y= 1 2 x- 1 2 的大小关系， 当 x=- 3π4 时，f - 3π 4 =-sin - 3π 2 =-1，y= 1 2 × - 3π 4 - 1 2 =- 3π+ 4 8 <-1； 当 x= 3π4 时，f 3π 4 =-sin 3π 2 = 1，y= 1 2 × 3π 4 - 1 2 = 3π- 4 8 < 1； 当 x= 7π4 时，f 7π 4 =-sin 7π 2 = 1，y= 1 2 × 7π 4 - 1 2 = 7π- 4 8 > 1； 所以由图可知，f x 与 y= 12 x- 1 2 的交点个数为 3. 故选：C. 35. (2023天津卷)已知函数 f x 的一 对称轴为直线 x= 2，一个 为 4， f x 的解 可能为 ( ) A. sin π2 x  B. cos π 2 x  C. sin π 4 x  D. cos π 4 x  【答案】B 【解析】由函数的解析式考查函数的最小周期性： A选项中T= 2ππ 2 = 4，B选项中T= 2ππ 2 = 4， C选项中T= 2ππ 4 = 8，D选项中T= 2ππ 4 = 8， 排除选项CD， 51 对于A选项，当 x= 2时，函数值 sin π2 × 2 = 0，故 2,0 是函数的一个对称中心，排除选项A， 对于B选项，当 x= 2时，函数值 cos π2 × 2 =-1，故 x= 2是函数的一条对称轴， 故选：B. 36.（2023上海卷）已知 a∈R，记 y= sinx [a，2a]的 为 sa， [2a，3a]的 为 ta， 下 况 不可能的 ( ) A. sa> 0，ta> 0 B. sa< 0，ta< 0 C. sa> 0，ta< 0 D. sa< 0，ta> 0 【答案】D 【解析】由给定区间可知，a> 0． 区间 [a，2a]与区间 [2a，3a]相邻，且区间长度相同． 取 a= π6 ，则 [a，2a]= π 6 , π 3    ，区间 [2a，3a]= π 3 , π 2    ，可知 sa> 0，ta> 0，故A可能； 取 a= 5π12 ，则 [a，2a]= 5π 12 ， 5π 6    ，区间 [2a，3a]= 5π 6 ， 5π 4    ，可知 sa> 0，ta< 0，故C可能； 取 a= 7π6 ，则 [a，2a]= 7π 6 ， 7π 3    ，区间 [2a，3a]= 7π 3 ， 7π 2    ，可知 sa< 0，ta< 0，故B可能． 结合选项可得，不可能的是 sa< 0，ta> 0． 故选：D． 37. (2023全国乙卷文)若 θ∈ 0, π2 ,tanθ= 1 2 ， sinθ- cosθ= ． 【答案】- 55 【解析】因为 θ∈ 0, π2 ，则 sinθ> 0,cosθ> 0， 又因为 tanθ= sinθ cosθ = 12 ，则 cosθ= 2sinθ， 且 cos2θ+ sin2θ= 4sin2θ+ sin2θ= 5sin2θ= 1，解得 sinθ= 55 或 sinθ=- 5 5 (舍去)， 所以 sinθ- cosθ= sinθ- 2sinθ=-sinθ=- 55 . 故答案为：- 55 . 38.（2023北京卷）已知 p:若 α,β为 一 角，且 α> β， tanα> tanβ．能说 p为 的一组 α, β的 为 α= ，β= ． 【答案】①. 9π4 ②. π 3 52 【解析】因为 f x = tanx在 0, π2 上单调递增，若 0< α0< β0< π 2 ，则 tanα0< tanβ0， 取 α= 2k1π+ α0,β= 2k2π+ β0,k1,k2∈Z， 则 tanα= tan 2k1π+ α0 = tanα0,tanβ= tan 2k2π+ β0 = tanβ0，即 tanα< tanβ， 令 k1> k2，则 α- β= 2k1π+ α0 - 2k2π+ β0 = 2 k1- k2 π+ α0- β0 ， 因为 2 k1- k2 π≥ 2π, - π2 < α0- β0< 0，则 α- β= 2 k1- k2 π+ α0- β0 > 3π 2 > 0， 即 k1> k2，则 α> β. 不妨取 k1= 1,k2= 0,α0= π4 ,β0= π 3 ，即 α= 9π 4 ,β= π 3 满足题意. 故答案为： 9π 4 ; π 3 . 39.（2023上海卷）已知 tanα= 3， tan2α= ． 【答案】- 34 【解析】因为 tanα= 3，所以 tan2α= 2tanα 1- tan2α = 2× 3 1- 32 =- 34 ． 故答案为：- 34 ． 40. (2023新高考Ⅰ卷)已知函数 f x = cosωx- 1(ω> 0) 间 0,2π  且仅 3个零点， ω的取 围 ． 【答案】[2,3) 【解析】因为 0≤ x≤ 2π，所以 0≤ωx≤ 2ωπ， 令 f(x) = cosωx- 1= 0，则 cosωx= 1有 3个根， 令 t=ωx，则 cost= 1有 3个根，其中 t∈ [0,2ωπ]， 结合余弦函数 y= cost的图像性质可得 4π≤ 2ωπ< 6π，故 2≤ω< 3， 故答案为：[2,3). 41. (2023新高考Ⅱ卷)已知函数 f x = sin ωx+ φ ， 图A，B 直线 y= 12 与曲线 y= f x 的两个交点， 若 AB = π6 ， f π = ． 53 【答案】- 32 【解析】设A x1, 12 ,B x2, 1 2 ，由 AB = π 6 可得 x2- x1= π 6 ， 由 sinx= 12 可知，x= π 6 + 2kπ或 x= 5π 6 + 2kπ，k∈Z，由图可知， ωx2+ φ- ωx1+ φ = 56 π- π 6 = 2π 3 ，即ω x2- x1 = 2π 3 ，所以ω= 4． 因为 f 23 π = sin 8π 3 + φ = 0，所以 8π 3 + φ= kπ，即 φ=- 8 3 π+ kπ，k∈Z． 所以 f(x) = sin 4x- 83 π+ kπ = sin 4x- 2 3 π+ kπ ， 所以 f x = sin 4x- 23 π 或 f x =-sin 4x- 2 3 π ， 又因为 f 0 < 0，所以 f(x) = sin 4x- 23 π ，所以 f π = sin 4π- 2 3 π =- 3 2 ． 故答案为：- 32 ． 42.（2023北京卷）设函数 f(x) = sinωxcosφ+ cosωxsinφ ω> 0,|φ| < π2 ． (1)若 f(0) =- 32 ， φ的 ． (2)已知 f(x) 间 - π3 , 2π 3    上 ，f 2π 3 = 1，再从 件①、 件②、 件③这三个 件中 择一 个 为已知， 函数 f(x)存 ， ω,φ的 ． 件①：f π3 = 2； 件②：f - π3 =-1； 件③：f(x) 间 - π2 , - π 3    上 减． 注： 择的 件不 ， (2)问 0 ； 择 个 的 件 解 ， 一个解 计 ． 【答案】(1)φ=- π3；(2)条件①不能使函数 f(x)存在；条件②或条件③可解得ω= 1，φ=- π 6 . 【解析】(1)因为 f(x) = sinωxcosφ+ cosωxsinφ,ω> 0,|φ| < π2 所以 f(0) = sin ω ⋅ 0 cosφ+ cos ω ⋅ 0 sinφ= sinφ=- 32 ， 因为 |φ| < π2 ，所以 φ=- π 3 . (2)因为 f(x) = sinωxcosφ+ cosωxsinφ,ω> 0,|φ| < π2 ， 所以 f(x) = sin ωx+ φ ,ω> 0,|φ| < π2 ，所以 f(x)的最大值为 1，最小值为-1. 若选条件①：因为 f(x) = sin ωx+ φ  最大值为 1，最小值为-1，所以 f π3 = 2 无解，故条件①不能使 函数 f(x)存在； 若选条件②：因为 f(x)在 - π3 , 2π 3    上单调递增，且 f 2π 3 = 1，f - π 3 =-1 54 所以 T 2 = 2π 3 - - π 3 = π,所以T= 2π,ω= 2π T = 1, 所以 f(x) = sin x+ φ ， 又因为 f - π3 =-1，所以 sin - π 3 + φ =-1， 所以- π3 + φ=- π 2 + 2kπ,k∈Z， 所以 φ=- π6 + 2kπ,k∈Z，因为 |φ| < π 2 ，所以 φ=- π 6 . 所以ω= 1，φ=- π6 ； 若选条件③：因为 f(x)在 - π3 , 2π 3    上单调递增，在 - π 2 , - π 3    上单调递减， 所以 f(x)在 x=- π3 处取得最小值-1，即 f - π 3 =-1. 以下与条件②相同． 专 6 解三角 43. (2023全国乙卷文) △ABC中，内角A,B,C的对边 a,b,c，若 acosB- bcosA= c，且C= π5 ， ∠B= ( ) A. π10 B. π 5 C. 3π 10 D. 2π 5 【答案】C 【解析】由题意结合正弦定理可得 sinAcosB- sinBcosA= sinC， 即 sinAcosB- sinBcosA= sin A+B = sinAcosB+ sinBcosA， 整理可得 sinBcosA= 0，由于B∈ 0,π ，故 sinB> 0， 据此可得 cosA= 0,A= π2 ， 则B= π-A-C= π- π2 - π 5 = 3π 10 . 故选：C. 44.（2023北京卷） △ABC中，(a+ c) (sinA- sinC) = b(sinA- sinB)， ∠C= ( ) A. π6 B. π 3 C. 2π 3 D. 5π 6 【答案】B 【解析】因为 (a+ c) (sinA- sinC) = b(sinA- sinB)， 所以由正弦定理得 (a+ c) (a- c) = b(a- b)，即 a2- c2= ab- b2， 则 a2+ b2- c2= ab，故 cosC= a 2+ b2- c2 2ab = ab 2ab = 1 2 ， 55