专题3～4 简易逻辑 平面向量-遇见最美的数学系列——23真题汇编

专 3 辑 18. (2023天津卷)“a2= b2”“a2+ b2= 2ab”的 ( ) A. 充 不 件 B. 不充 件 C. 充 件 D. 既不充 不 件 19.（2023北京卷）若 xy≠ 0，“x+ y= 0”“ yx + x y =-2”的 ( ) A. 充 不 件 B. 不充 件 C. 充 件 D. 既不充 也不 件 20. (2023新高考Ⅰ卷)记Sn为数 an 的 n ，设 ：an 为 差数 ；乙： Sn n  为 差数 ， ( ) A. 乙的充 件 不 件 B. 乙的 件 不 充 件 C. 乙的充 件 D. 既不 乙的充 件也不 乙的 件 21. (2023全国甲卷理)“sin2α+ sin2β= 1”“sinα+ cosβ= 0”的 ( ) A. 充 件 不 件 B. 件 不 充 件 C. 充 件 D. 既不 充 件也不 件 3 专 4 22.（2023北京卷）已知 a，b满足 a+ b= (2,3),a- b= (-2,1)， |a|2- |b|2= ( ) A. - 2 B. - 1 C. 0 D. 1 23. (2023新高考Ⅰ卷)已知 a= 1,1 ,b= 1, -1 ，若 a+ λb ⊥ a+ μb ， ( ) A. λ+ μ= 1 B. λ+ μ=-1 C. λμ= 1 D. λμ=-1 24. (2023全国乙卷文)正方 ABCD的边 2，E AB的中点， EC  ⋅ED  = ( ) A. 5 B. 3 C. 2 5 D. 5 25. (2023全国乙卷理)已知⊙O的 为 1，直线PA与⊙O相 于点A，直线PB与⊙O交于B，C两点， D为BC的中点，若 PO = 2， PA  ⋅PD  的 为 ( ) A. 1+ 22 B. 1+ 2 2 2 C. 1+ 2 D. 2+ 2 26. (2023全国甲卷文)已知 a= 3,1 ,b= 2,2 ， cos a+ b,a- b = ( ) A. 117 B. 17 17 C. 5 5 D. 2 5 5 27. (2023全国甲卷理) a = b = 1, c = 2，且 a+ b+ c= 0  ， cos‹a- c,b- c› = ( ) A. - 15 B. - 2 5 C. 2 5 D. 4 5 28.（2023上海卷）已知 a= (-2,3)，b= (1,2)， a ⋅ b= ． 29. (2023新高考Ⅱ卷)已知 a，b满足 a- b = 3，a+ b = 2a- b ， b = ． 30. (2023天津卷) △ABC中，∠A= 60°，BC= 1，点D为AB的中点，点E为CD的中点，若设AB  = a,AC  = b， AE  可 a,b表示为 ；若BF  = 13 BC  ， AE  ⋅AF  的 为 ． 4 故选：C. 14.（2023北京卷） 内， 数 z对 的点的 (-1, 3 )， z的共轭 数 z = ( ) A. 1+ 3 i B. 1- 3 i C. - 1+ 3 i D. - 1- 3 i 【答案】D 【解析】z在复平面对应的点是 (-1, 3 )，根据复数的几何意义，z=-1+ 3 i， 由共轭复数的定义可知，z =-1- 3 i. 故选：D 15. (2023新高考Ⅰ卷)已知 z= 1- i2+ 2i ， z- z  = ( ) A. - i B. i C. 0 D. 1 【答案】A 【解析】因为 z= 1- i2+ 2i = 1- i  1- i  2 1+ i  1- i  = -2i4 =- 1 2 i，所以 z  = 12 i，即 z- z  =-i． 故选：A． 16. (2023新高考Ⅱ卷) 内，1+ 3i 3- i 对 的点 于 ( ) A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 【答案】A 【解析】因为 1+ 3i 3- i = 3+ 8i- 3i2= 6+ 8i， 则所求复数对应的点为 6,8 ，位于第一象限. 故选：A. 17.（2023上海卷）已知 数 z= 1- i(i为虚数 )， |1+ iz| = ． 【答案】 5 【解析】因为 z= 1- i，所以 |1+ iz| = |1+ i(1- i)| = |2+ i| = 5． 故答案为： 5． 专 3 辑 18. (2023天津卷)“a2= b2”“a2+ b2= 2ab”的 ( ) A. 充 不 件 B. 不充 件 C. 充 件 D. 既不充 不 件 【答案】B 【解析】由 a2= b2，则 a=±b，当 a=-b≠ 0时 a2+ b2= 2ab不成立，充分性不成立； 43 由 a2+ b2= 2ab，则 (a- b)2= 0，即 a= b，显然 a2= b2成立，必要性成立； 所以 a2= b2是 a2+ b2= 2ab的必要不充分条件. 故选：B 19.（2023北京卷）若 xy≠ 0，“x+ y= 0”“ yx + x y =-2”的 ( ) A. 充 不 件 B. 不充 件 C. 充 件 D. 既不充 也不 件 【答案】C 【解析】充分性：因为 xy≠ 0，且 x+ y= 0，所以 x=-y， 所以 x y + y x = -y y + y -y =-1- 1=-2， 所以充分性成立； 必要性：因为 xy≠ 0，且 xy + y x =-2， 所以 x2+ y2=-2xy，即 x2+ y2+ 2xy= 0，即 x+ y 2= 0，所以 x+ y= 0. 所以必要性成立. 所以“x+ y= 0”是“ xy + y x =-2”的充要条件. 20. (2023新高考Ⅰ卷)记Sn为数 an 的 n ，设 ：an 为 差数 ；乙： Sn n  为 差数 ， ( ) A. 乙的充 件 不 件 B. 乙的 件 不 充 件 C. 乙的充 件 D. 既不 乙的充 件也不 乙的 件 【答案】C 【解析】方法 1，甲：an 为等差数列，设其首项为 a1，公差为 d， 则Sn=na1+ n(n- 1) 2 d, Sn n = a1+ n- 1 2 d= d 2 n+ a1- d 2 , Sn+1 n+ 1 - Sn n = d 2 ， 因此 Sn n  为等差数列，则甲是乙的充分条件； 反之，乙： Sn n  为等差数列，即 Sn+1 n+ 1 - Sn n = nSn+1- (n+ 1)Sn n(n+ 1) = nan+1-Sn n(n+ 1) 为常数，设为 t， 即 nan+1-Sn n(n+ 1) = t，则Sn=nan+1- t ⋅n(n+ 1)，有Sn-1= (n- 1)an- t ⋅n(n- 1),n≥ 2， 两式相减得：an=nan+1- (n- 1)an- 2tn，即 an+1- an= 2t，对n= 1也成立， 因此 an 为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件，C正确. 44 方法 2，甲：an 为等差数列，设数列 an 的首项 a1，公差为 d，即Sn=na1+ n(n- 1) 2 d， 则 Sn n = a1+ (n- 1) 2 d= d 2 n+ a1- d 2 ，因此 Sn n  为等差数列，即甲是乙的充分条件； 反之，乙： Sn n  为等差数列，即 Sn+1 n+ 1 - Sn n =D, Sn n =S1+ (n- 1)D， 即Sn=nS1+n(n- 1)D，Sn-1= (n- 1)S1+ (n- 1) (n- 2)D， 当n≥ 2时，上两式相减得：Sn-Sn-1=S1+ 2(n- 1)D，当n= 1时，上式成立， 于是 an= a1+ 2(n- 1)D，又 an+1- an= a1+ 2nD-[a1+ 2(n- 1)D]= 2D为常数， 因此 an 为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件. 故选：C 21. (2023全国甲卷理)“sin2α+ sin2β= 1”“sinα+ cosβ= 0”的 ( ) A. 充 件 不 件 B. 件 不 充 件 C. 充 件 D. 既不 充 件也不 件 【答案】B 【解析】当 sin2α+ sin2β= 1时，例如 α= π2 ,β= 0但 sinα+ cosβ≠ 0， 即 sin2α+ sin2β= 1推不出 sinα+ cosβ= 0； 当 sinα+ cosβ= 0时，sin2α+ sin2β= (-cosβ)2+ sin2β= 1， 即 sinα+ cosβ= 0能推出 sin2α+ sin2β= 1. 综上可知，sin2α+ sin2β= 1是 sinα+ cosβ= 0成立的必要不充分条件. 故选：B 专 4 22.（2023北京卷）已知 a，b满足 a+ b= (2,3),a- b= (-2,1)， |a|2- |b|2= ( ) A. - 2 B. - 1 C. 0 D. 1 【答案】B 【解析】向量 a,b满足 a+ b= (2,3),a- b= (-2,1)， 所以 |a|2- |b|2= (a+ b) ⋅ (a- b) = 2× (-2) + 3× 1=-1. 故选：B 23. (2023新高考Ⅰ卷)已知 a= 1,1 ,b= 1, -1 ，若 a+ λb ⊥ a+ μb ， ( ) A. λ+ μ= 1 B. λ+ μ=-1 C. λμ= 1 D. λμ=-1 45 【答案】D 【解析】因为 a= 1,1 ,b= 1, -1 ，所以 a+ λb= 1+ λ,1- λ ，a+ μb= 1+ μ,1- μ ， 由 a+ λb ⊥ a+ μb 可得，a+ λb ⋅ a+ μb = 0， 即 1+ λ  1+ μ + 1- λ  1- μ = 0，整理得：λμ=-1． 故选：D． 24. (2023全国乙卷文)正方 ABCD的边 2，E AB的中点， EC  ⋅ED  = ( ) A. 5 B. 3 C. 2 5 D. 5 【答案】B 【解析】如图，以A为坐标原点建立平面直角坐标系， 则E 1,0 ,C 2,2 ,D 0,2 ，可得EC  = 1,2 ,ED  = -1,2 ， 所以EC  ⋅ED  =-1+ 4= 3； 25. (2023全国乙卷理)已知⊙O的 为 1，直线PA与⊙O相 于点A，直线PB与⊙O交于B，C两点， D为BC的中点，若 PO = 2， PA  ⋅PD  的 为 ( ) A. 1+ 22 B. 1+ 2 2 2 C. 1+ 2 D. 2+ 2 【答案】A 【解析】如图所示，OA = 1, OP = 2，则由题意可知:∠APO= 45°， 由勾股定理可得PA= OP2-OA2= 1 当点A,D位于直线PO异侧时，设∠OPC= α,0≤ α≤ π4 ， 则：PA  ⋅PD  = |PA  | ⋅ |PD  |cos α+ π4  46 = 1× 2cosαcos α+ π4  = 2cosα 22 cosα- 2 2 sinα  = cos2α- sinαcosα = 1+ cos2α2 - 1 2 sin2α = 12 - 2 2 sin 2α- π 4  0≤ α≤ π4 ，则- π 4 ≤ 2α- π 4 ≤ π 4 所以当 2α- π4 =- π 4 时，PA  ⋅PD  有最大值 1. 当点A,D位于直线PO同侧时，设∠OPC= α,0≤ α≤ π4 ， 则：PA  ⋅PD  = |PA  | ⋅ |PD  |cos α- π4  = 1× 2cosαcos α- π4  = 2cosα 22 cosα+ 2 2 sinα  = cos2α+ sinαcosα = 1+ cos2α2 + 1 2 sin2α = 12 + 2 2 sin 2α+ π 4  0≤ α≤ π4 ，则 π 4 ≤ 2α+ π 4 ≤ π 2 所以当 2α+ π4 = π 2 时，PA  ⋅PD  有最大值 1+ 2 2 . 综上可得，PA  ⋅PD  的最大值为 1+ 2 2 . 故选：A. 26. (2023全国甲卷文)已知 a= 3,1 ,b= 2,2 ， cos a+ b,a- b = ( ) A. 117 B. 17 17 C. 5 5 D. 2 5 5 【答案】B 47 【解析】因为 a= (3,1),b= (2,2)，所以 a+ b= 5,3 ,a- b= 1, -1 ， 则 a+ b = 52+ 32= 34 , a- b = 1+ 1= 2，a+ b ⋅ a- b = 5× 1+ 3× -1 = 2， 所以 cos a+ b,a- b = a+ b ⋅ a- b  a+ b a- b  = 2 34 × 2 = 1717 . 故选：B. 27. (2023全国甲卷理) a = b = 1, c = 2，且 a+ b+ c= 0  ， cos‹a- c,b- c› = ( ) A. - 15 B. - 2 5 C. 2 5 D. 4 5 【答案】D 【解析】因为 a+ b+ c= 0  ,所以 a+ b=-c, 即 a2+ b2+ 2a ⋅ b= c2,即 1+ 1+ 2a ⋅ b= 2,所以 a ⋅ b= 0. 如图,设OA  = a,OB  = b,OC  = c, 由题知,OA=OB= 1,OC= 2 ,△OAB是等腰直角三角形, AB边上的高OD= 22 ,AD= 2 2 , 所以CD=CO+OD= 2+ 22 = 3 2 2 , tan∠ACD= AD CD = 13 ,cos∠ACD= 3 10 , cos‹a- c,b- c› = cos∠ACB= cos2∠ACD= 2cos2∠ACD- 1 = 2× 3 10  2 - 1= 45 . 故选:D. 28.（2023上海卷）已知 a= (-2,3)，b= (1,2)， a ⋅ b= ． 【答案】4 【解析】因为向量 a= (-2,3)，b= (1,2)，所以 a ⋅ b=-2× 1+ 3× 2= 4． 故答案为：4． 29. (2023新高考Ⅱ卷)已知 a，b满足 a- b = 3，a+ b = 2a- b ， b = ． 48 【答案】 3 【解析】法一：因为 a+ b = 2a- b ，即 a+ b 2= 2a- b 2， 则 a2+ 2a ⋅ b+ b2= 4a2- 4a ⋅ b+ b2，整理得 a2- 2a ⋅ b= 0， 又因为 a- b = 3，即 a- b 2= 3， 则 a2- 2a ⋅ b+ b2= b2= 3，所以 b = 3 . 30. (2023天津卷) △ABC中，∠A= 60°，BC= 1，点D为AB的中点，点E为CD的中点，若设AB  = a,AC  = b， AE  可 a,b表示为 ；若BF  = 13 BC  ， AE  ⋅AF  的 为 ． 【答案】 1 4 a+ 1 2 b ; 13 24 【解析】空 1：因为E为CD的中点，则ED  +EC  = 0  ，可得 AE  +ED  =AD  AE  +EC  =AC  ， 两式相加，可得到 2AE  =AD  +AC  ， 即 2AE  = 12 a+ b，则AE  = 14 a+ 1 2 b； 空 2：因为BF  = 13 BC  ，则 2FB  +FC  = 0  ，可得 AF  +FC  =AC  AF  +FB  =AB  ， 得到AF  +FC  + 2 AF  +FB   =AC  + 2AB  ， 即 3AF  = 2a+ b，即AF  = 23 a+ 1 3 b. 于是AE  ⋅AF  = 14 a+ 1 2 b ⋅ 2 3 a+ 1 3 b = 1 12 2a 2+ 5a ⋅ b+ 2b2 . 记AB= x,AC= y， 则AE  ⋅AF  = 112 2a 2+ 5a ⋅ b+ 2b2 = 112 2x 2+ 5xycos60° +2y2 = 112 2x 2+ 5xy2 + 2y 2 ， 在△ABC中，根据余弦定理：BC2= x2+ y2- 2xycos60° = x2+ y2- xy= 1， 于是AE  ⋅AF  = 112 2xy+ 5xy 2 + 2 = 1 12 9xy 2 + 2 ， 由 x2+ y2- xy= 1和基本不等式，x2+ y2- xy= 1≥ 2xy- xy= xy， 故 xy≤ 1，当且仅当 x= y= 1取得等号， 则 x= y= 1时，AE  ⋅AF  有最大值 13 24 . 故答案为： 1 4 a+ 1 2 b； 13 24 . 49