第57～58讲：直线过定点问题 直线系与圆系问题（无答案）-遇见最美的数学系列-——技巧篇1（拔高提升版）

第五十七讲：直线过定点问题 技巧解密： —题目特征— 求直线过定点或给出的直线方程含参 —技巧总结— ①题目给出已知直线含参一般含定点（往往为题眼） ②直线过定点，需让参数失去意义（即让提出参数，并让参数后面的系数整体 为 0） 经典例题： 1、直线    2 2 0m n x m n y m n      （ ,m n R 且 ,m n不同时为 0）经过定 点____ 2、（2014•四川）设 m∈R，过定点 A 的动直线 x+my=0 和过定点 B 的动直线 mx ﹣y﹣m+3=0交于点 P（x，y）．则|PA|•|PB|的最大值是 ． 3、（2016•新课标Ⅲ）已知直线 l：mx+y+3m﹣ 3=0与圆 x2+y2=12交于 A，B 两点， 过 A，B 分别作 l 的垂线与 x轴交于 C，D两点，若|AB|=2 3，则|CD|= ． 第五十八讲：直线系与圆系问题 技巧解密： —题目特征— 根据题意求直线方程与圆方程。 —技巧总结— 直线系： 1、平行线系：集合中的直线呈两两平行关系——参数不会影响斜率的取值 （1）与直线 0Ax By C   平行的直线系方程为： 0Ax By m   （m为参数，且m C ） （2）与直线 0Ax By C   垂直的直线系方程为： 0Bx Ay m   （m为参数） 2、过定点的直线： （1）若参数的取值影响直线的斜率，则可寻找该直线是否围绕一个定点旋转：即把含参数的项划为一 组并提取参数，只需让参数所乘的因式为 0 即可 （2）已知 1 1 1 1 2 2 2 2: 0, : 0l A x B y C l A x B y C      （ 1l 与 2l 不重合），则过 1 2,l l 交点的直线系方程 为：  1 2 1 1 1 2 2 20 0l l A x B y C A x B y C          （该直线无法表示 2l ） 3、直线系方程的用途：主要是在求直线方程时可充分利用平行，垂直或过定点的条件，将直线设为只 含一个参数的方程，从而在思路上就可围绕如何求参数配置资源，寻找条件解出参数，即可得到所求 直线方程 圆系问题： 在解析几何中，符合特定条件的某些圆构成一个圆系，一个圆系所具有的共同形式的方程称为圆系方 程。常用的圆系方程有如下几种： ⑴以 为圆心的同心圆系方程 ⑵过直线 与圆 的交点的圆系方程 ⑶过两圆 和圆 的交点的圆系方 程 此圆系方程中不包含圆 ，直接应用该圆系方程，必须检验圆 是否满足题意，谨防漏解。 当 时，得到两圆公共弦所在直线方程 经典例题： 1、（2015•广东）平行于直线 2x+y+1=0且与圆 x2+y2=5相切的直线的方程是（ ） A．2x+y+5=0或 2x+y﹣5=0 B．2x+y+ 5=0或 2x+y﹣ 5=0 C．2x﹣y+5=0 或 2x﹣y﹣5=0 D．2x﹣y+ 5=0 或 2x﹣y﹣ 5=0 2、已知圆 与直线 相交于 两点， 为坐标 原点，若 ，求实数 的值。 3、求过两圆 和 的交点且面积最小的圆的方程。 4、已知圆 C：（x－1）2＋（y－2）2＝25，直线 l：（2m+1）x+（m+1）y－7m－ 4=0（m∈R）. （1）证明：不论 m取什么实数，直线 l与圆恒交于两点； （2）求直线被圆 C截得的弦长最小时 l的方程.