精品解析：福建省宁化第一中学2023-2024学年高三下学期第一次质检模拟数学试题

宁化一中2024届高三下期三明市质检模拟考试 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，若中有2个元素，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，若，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知等比数列的前n项积为，，公比，则取最大值时n的值为（ ） A. 3 B. 6 C. 4或5 D. 6或7 4. 从这5个数字中任取2个偶数和1个奇数，组成一个三位数，则不同的三位数的个数为（ ） A. 16 B. 24 C. 28 D. 36 5. 人工智能领域让贝叶斯公式：站在了世界中心位置，AI换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001．某团队决定用AI对抗AI，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是0.98，即在该视频是伪造的情况下，它有的可能鉴定为“AI”；它的误报率是0.04，即在该视频是真实的情况下，它有的可能鉴定为“AI”．已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性为（ ） A. B. C. D. 6. 已知双曲线的左焦点为，为C上一点，且P与F关于C的一条渐近线对称，则C的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 7. 在锐角中，角的对边分别为的面积为，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知不恒为0的函数的定义域为，则不正确的（ ） A. B. 是奇函数 C. 是的极值点 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在复平面内，下列说法正确的是（ ） A. 若复数（为虚数单位），则 B. 若复数满足，则 C. 若，则或 D. 若复数满足，则复数对应点的集合是以坐标原点为中心，焦点在轴上的椭圆 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若随机变量服从正态分布，且，则 B. 若线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关性越强 C. 对具有线性相关关系的变量，其经验回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是-4 D. 有11个样本，它们依次成公差的等差数列，若第位数为，则它们的平均数为23 11. 已知函数的部分图象如图1所示，分别为图象的最高点和最低点，过作轴的垂线，交轴于，点为该部分图象与轴的交点.将绘有该图象的纸片沿轴折成直二面角，如图2所示，此时，则下列四个结论正确的有（ ） A. B. C. 图2中， D. 图2中，是及其内部的点构成的集合.设集合，则表示的区域的面积大于 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中的系数为______（用数字作答）. 13. 已知圆锥的顶点为P，底面圆心为M，底面直径．圆锥的内切球和外接球的球心重合于一点O，则该圆锥的全面积为__________． 14. 已知，则使不等式能成立的正整数的最大值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，点在侧棱上，. （1）证明：是侧棱的中点； （2）求二面角的正弦值. 16. 已知函数，. （1）当时，求的单调区间； （2）若方程有三个不同的实根，求的取值范围． 17. 红蜘蛛是柚子的主要害虫之一，能对柚子树造成严重伤害，每只红蜘蛛的平均产卵数y（个）和平均温度x（℃）有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值. （1）根据散点图判断，与（其中…为自然对数的底数）哪一个更适合作为平均产卵数y（个）关于平均温度x（℃）的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） （2）由（1）的判断结果及表中数据，求出y关于x的回归方程.（计算结果精确到0.1） 附：回归方程中，， 参考数据（） 5215 17713 714 27 81.3 3.6 （3）根据以往每年平均气温以及对果园年产值的统计，得到以下数据：平均气温在22℃以下的年数占60%，对柚子产量影响不大，不需要采取防虫措施；平均气温在22℃至28℃的年数占30%，柚子产量会下降20%；平均气温在28℃以上的年数占10%，柚子产量会下降50%.为了更好的防治红蜘蛛虫害，农科所研发出各种防害措施供果农选择. 在每年价格不变，无虫害的情况下，某果园年产值为200万元，根据以上数据，以得到最高收益（收益＝产值－防害费用）为目标，请为果农从以下几个方案中推荐最佳防害方案，并说明理由. 方案1：选择防害措施A，可以防止各种气温的红蜘蛛虫害不减产，费用是18万； 方案2：选择防害措施B，可以防治22℃至28℃的蜘蛛虫害，但无法防治28℃以上的红蜘蛛虫害，费用是10万； 方案3：不采取防虫害措施. 18. 已知椭圆的上顶点为B，右焦点为F，点B、F都在直线上. （1）求椭圆的标准方程及离心率； （2）设直线与椭圆相切于第一象限内的点，不过原点且平行于的直线与椭圆交于不同的两点，，点关于原点的对称点为．记直线的斜率为，直线的斜率为，求的值． 19. 已知等比数列的公比为q（），其所有项构成集合A，等差数列的公差为d（），其所有项构成集合B．令，集合C中的所有元素按从小到大排列构成首项为1的数列． （1）若集合，写出一组符合题意的数列和； （2）若，数列为无穷数列，，且数列的前5项成公比为p的等比数列．当时，求p的值； （3）若数列是首项为1的无穷数列，求证：“存在无穷数列，使”的充要条件是“d是正有理数”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宁化一中2024届高三下期三明市质检模拟考试 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，若中有2个元素，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两集合的元素特征和中只有2个元素的要求，可得到关于的不等式组，解之即得. 【详解】因为，， 又，中有2个元素， 所以中的2个元素只能是，则，解得. 故选：A. 2. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，若，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据点线面的位置关系结合充分条件和必要条件判断即可. 【详解】若，，，则与的位置关系不能确定； 若，因为，所以，又，所以成立. 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 3. 已知等比数列的前n项积为，，公比，则取最大值时n的值为（ ） A. 3 B. 6 C. 4或5 D. 6或7 【答案】C 【解析】 【分析】先求出等比数列通项公式，进而得到，求出答案. 【详解】， 故， 因为，所以或5时，取得最大值. 故选：C 4. 从这5个数字中任取2个偶数和1个奇数，组成一个三位数，则不同的三位数的个数为（ ） A. 16 B. 24 C. 28 D. 36 【答案】C 【解析】 【分析】分两种情况，再按照分步计数原理，即可求解. 【详解】若没有取到0，则有种方法， 若取到0，则有种方法， 所以不同的三位数共有种. 故选：C 5. 人工智能领域让贝叶斯公式：站在了世界中心位置，AI换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001．某团队决定用AI对抗AI，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是0.98，即在该视频是伪造的情况下，它有的可能鉴定为“AI”；它的误报率是0.04，即在该视频是真实的情况下，它有的可能鉴定为“AI”．已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由贝叶斯公式代入计算，即可得到结果. 【详解】记“视频是AI合成”为事件，记“鉴定结果为AI”为事件B， 则， 由贝叶斯公式得：， 故选：C． 6. 已知双曲线的左焦点为，为C上一点，且P与F关于C的一条渐近线对称，则C的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出P关于渐近线的对称点F，利用垂直的斜率关系求得，再求离心率即可. 【详解】双曲线C的方程可设为，，，，， 左焦点为F，O为坐标原点，连接OP. 因为双曲线上的一点与C的左焦点F关于C的一条渐近线对称， 所以，则. 又直线PF的斜率为，直线PF与渐近线垂直， 所以该条渐近线的斜率为，所以，则， 所以C的离心率. 故选：D 7. 在锐角中，角的对边分别为的面积为，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由面积公式与正余弦定理化简后得出关系后求解 【详解】由题意，而， 所以，由余弦定理得， 故， 又由正弦定理得， 整理得， 故或（舍去），得， 因为是锐角三角形， 故， 解得，故， . 故选：C. 【点睛】关键点点睛：关键是适当结合正弦定理、余弦定理进行边角转换由此即可顺利得解. 8. 已知不恒为0的函数的定义域为，则不正确的（ ） A. B. 是奇函数 C. 是的极值点 D. 【答案】C 【解析】 【分析】用赋值法可以判断A,D;取，根据奇偶性的定义可以判断B；在B选项的前提下，令，通过导数可以判断C. 【详解】函数的定义域为， 对于A，令，则，解得，A正确； 对于B，，取，则， 因此，令，即有， 因此函数是奇函数，即是奇函数，B正确； 对于C，选项B中，令，则，求导得， 因为，因此不是的极值点，C错误； 对于D，， 由，得，即， 因此，D正确． 故选：C 【点睛】关键点点睛：对于选项C：直接判断不容易说明时，可以通过举反例的方式说明，简化分析推理过程. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在复平面内，下列说法正确的是（ ） A. 若复数（为虚数单位），则 B. 若复数满足，则 C. 若，则或 D. 若复数满足，则复数对应点的集合是以坐标原点为中心，焦点在轴上的椭圆 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据复数的基本概念、四则运算、几何意义即可得出结果 【详解】解：复数， 因为，所以，故选项A正确； 设，若复数满足， 则，即，所以，故选项B正确； 设，， 则． 因为，且， 所以． 若，则，所以或，故选项C正确； 由复数满足，则复数对应点的集合是一条线段，故选项D错误． 故选：ABC 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若随机变量服从正态分布，且，则 B. 若线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关性越强 C. 对具有线性相关关系的变量，其经验回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是-4 D. 有11个样本，它们依次成公差的等差数列，若第位数为，则它们的平均数为23 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用正态分布的对称性计算判断A；利用相关系数的性质判断B；利用回归直线的性质计算判断C；利用第位数的意义、等差数列数列性质、平均数的意义计算判断D. 【详解】对于A，由，且，得，A错误； 对于B，线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关性越强，B正确； 对于C，依题意，满足经验回归方程为，即，则，C正确； 对于D，由第位数为，，得，则， ，因此这11个样本的平均数为，D正确. 故选：BCD 11. 已知函数的部分图象如图1所示，分别为图象的最高点和最低点，过作轴的垂线，交轴于，点为该部分图象与轴的交点.将绘有该图象的纸片沿轴折成直二面角，如图2所示，此时，则下列四个结论正确的有（ ） A. B. C. 图2中， D. 图2中，是及其内部的点构成的集合.设集合，则表示的区域的面积大于 【答案】AC 【解析】 【分析】在图2中，以点为坐标原点，、的方向分别为、轴的正方向建立空间直角坐标系，根据已知条件求出的值，即可判断A；结合的取值范围求出的值，可判断B；利用空间向量数量积的坐标运算可判断C；求出，结合扇形的面积公式可判断D. 【详解】函数的最小正周期为， 在图2中，以点为坐标原点，、的方向分别为、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 设点，则点、， ，因为，解得，故A正确； 所以，，则，可得， 又因为函数在附近单调递减，且，所以，，故B错误； 因为，可得， 又因为点是函数的图象在轴左侧距离轴最近的最高点，则，可得， 所以，， 因为点是函数在轴右侧的第一个对称中心，所以，，可得， 翻折后，则有、、、， 所以，，， 所以，在图2中，，故C正确； 在图2中，设点，， 可得， ，，， 易知为锐角，则， 所以，区域是坐标平面内以点为圆心，半径为，且圆心角为的扇形及其内部， 故区域的面积，故D错误. 故选：AC 【点睛】关键点点睛：本题考查翻折问题，解题的关键在于建立空间直角坐标系，通过空间向量法来求解相应问题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中的系数为______（用数字作答）. 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式展开式有关知识求得正确答案. 【详解】由于， 所以的展开式中含的项为， 所以的展开式中的系数为. 故答案为： 13. 已知圆锥的顶点为P，底面圆心为M，底面直径．圆锥的内切球和外接球的球心重合于一点O，则该圆锥的全面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】画出圆锥的截面，由圆锥的内切球和外接球的球心重合于一点O，可得为等边三角形，借助圆锥的表面积公式计算即可得. 【详解】画出圆锥的轴截面如图所示，由O为圆锥的内切球球心，则有为的角平分线， 由O为圆锥的外接球球心，则，故， 故，又，故为等边三角形， 故，，则. 故答案为：. 14. 已知，则使不等式能成立的正整数的最大值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先研究的单调性，故可得，从而可求正整数的最大值. 【详解】设，故， 当时，；当时，； 故在上为增函数，在上为减函数， 因为，故即，故， 故，所以即， 而，， 故正整数的最大值为， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：导数背景下多变量的不等式问题，可根据题设中的不等式的形式构建新函数，从而得到各参数的取值范围. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，点在侧棱上，. （1）证明：是侧棱的中点； （2）求二面角的正弦值. 【答案】（1） 作交于点，则，因为四边形是正方形，所以. 又平面，平面，所以. 因为，平面，，所以平面， 又，所以平面， 连接，平面，所以，则四边形为直角梯形， 作，足为，则为矩形， 设，则， ， 由，得， 解得，即，从而，所以为侧棱的中点. （2）. 【解析】 【分析】（1）作，连接，作，则为矩形，由此利用几何关系求得，即可证明； （2）解法一：由已知推导出为等边三角形，取取中点，连结，取中点，连结，利用二面角定义可得为二面角的平面角，利用余弦定理求得余弦值，再利用同角三角函数关系求得正弦值即可； 解法二：建立空间直角坐标系，利用空间向量的垂直的条件列方程组求得二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后利用向量的夹角坐标运算公式求得法向量的夹角余弦值，进而利用平方关系求得正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解法一：因为四边形是正方形，所以，又平面， 平面，所以.因为，平面，， 所以平面，又平面，所以，则， 又，为等边三角形. 又由（1）知为中点，， 所以， 取中点，连结，取中点，连结，则， 由此知为二面角的平面角，由（1）知平面，又， 所以平面，平面，所以，连结， 在中，， 所以.所以二面角的正弦值为. 解法二：以为坐标原点，方向为轴正方向建立空间直角坐标系（如图）， 易知，， 令平面的法向量为，则，即， 令，得. 设平面AMB的法向量为，由得,化简得， 令，得，令二面角的大小为， 则， 故二面角的正弦值为为. 【点睛】方法点睛：求二面角的平面角问题，简单的情况可以直接利用几何方法求解，复杂的问题，建议使用空间坐标系中的向量法求解，只需进行简单的运算，即可求解. 16. 已知函数，. （1）当时，求的单调区间； （2）若方程有三个不同的实根，求的取值范围． 【答案】（1）单调递增区间为和，单调递减区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式即可求出单调区间； （2）由，可得为的一个根， 所以有两个不同于的实根，令，利用导数说明函数的单调性，从而得到当时且，即可求出参数的取值范围. 【小问1详解】 当时，函数， 则，令得或 当或时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递增，在上单调递减， 即当时，单调递增区间为和，单调递减区间为． 【小问2详解】 ，所以为的一个根， 故有两个不同于的实根， 令，则， ①当时，，故在上单调递增，不符合题意； ②当时，令，得， 当时，，故在区间上单调递增， 当时，，故在区间上单调递减， 并且当时，；当时，； 所以若要满足题意，只需且， 因为，所以， 又，所以， 所以实数的取值范围为 17. 红蜘蛛是柚子的主要害虫之一，能对柚子树造成严重伤害，每只红蜘蛛的平均产卵数y（个）和平均温度x（℃）有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值. （1）根据散点图判断，与（其中…为自然对数的底数）哪一个更适合作为平均产卵数y（个）关于平均温度x（℃）的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） （2）由（1）的判断结果及表中数据，求出y关于x的回归方程.（计算结果精确到0.1） 附：回归方程中，， 参考数据（） 5215 17713 714 27 81.3 3.6 （3）根据以往每年平均气温以及对果园年产值的统计，得到以下数据：平均气温在22℃以下的年数占60%，对柚子产量影响不大，不需要采取防虫措施；平均气温在22℃至28℃的年数占30%，柚子产量会下降20%；平均气温在28℃以上的年数占10%，柚子产量会下降50%.为了更好的防治红蜘蛛虫害，农科所研发出各种防害措施供果农选择. 在每年价格不变，无虫害的情况下，某果园年产值为200万元，根据以上数据，以得到最高收益（收益＝产值－防害费用）为目标，请为果农从以下几个方案中推荐最佳防害方案，并说明理由. 方案1：选择防害措施A，可以防止各种气温的红蜘蛛虫害不减产，费用是18万； 方案2：选择防害措施B，可以防治22℃至28℃的蜘蛛虫害，但无法防治28℃以上的红蜘蛛虫害，费用是10万； 方案3：不采取防虫害措施. 【答案】（1）更适宜 （2） （3）选择方案1最佳，理由： 用，和分别表示选择三种方案的收益. 采用第1种方案，无论气温如何，产值不受影响，收益为万，即 采用第2种方案，不发生28℃以上的红蜘蛛虫害，收益为万， 如果发生，则收益为万，即， 同样，采用第3种方案，有 所以，， ， . 显然，最大，所以选择方案1最佳. 【解析】 【分析】（1）根据散点图的形状，可判断更适宜作为平均产卵数y关于平均温度x的回归方程类型； （2）将两边同时取自然对数，转化为线性回归方程，即可得到答案； （3）求出三种方案的收益的均值，根据均值越大作为判断标准. 【小问1详解】 由散点图可以判断，更适宜作为平均产卵数y关于平均温度x的回归方程类型. 【小问2详解】 将两边同时取自然对数，可得， 由题中的数据可得，，， 所以， 则， 所以z关于x的线性回归方程为， 故y关于x的回归方程为； 【小问3详解】 略 18. 已知椭圆的上顶点为B，右焦点为F，点B、F都在直线上. （1）求椭圆的标准方程及离心率； （2）设直线与椭圆相切于第一象限内的点，不过原点且平行于的直线与椭圆交于不同的两点，，点关于原点的对称点为．记直线的斜率为，直线的斜率为，求的值． 【答案】（1）椭圆的标准方程为，离心率； （2） 【解析】 【分析】（1）由条件列方程求，由此确定椭圆的标准方程和离心率； （2）根据直线与椭圆相切，求出切点的坐标，再求出直线的斜率；根据，设出的方程，表示出、的坐标，得到的斜率，再探索的值. 【小问1详解】 设椭圆的半焦距为， 由已知点的坐标为，点的坐标为， 因为点B、F都在直线上， 所以，，又， 所以，，， 所以椭圆的方程为：， 椭圆的离心率， 【小问2详解】 由消去并整理得：  ① 由. 此时方程①可化为：， 解得：（由条件可知：、异号） 设，则，. 即，所以. 因为，所以可设直线：（，）. 由消去并整理得：， 当时，方程有两个不相等的实根. 设，， 则，. 因为，两点关于原点对称，所以， 所以：. 所以. 【点睛】方法点睛：在求的斜率时，还可以把看成直线与椭圆相交所得弦的中点，利用中点弦公式：，得到. 19. 已知等比数列的公比为q（），其所有项构成集合A，等差数列的公差为d（），其所有项构成集合B．令，集合C中的所有元素按从小到大排列构成首项为1的数列． （1）若集合，写出一组符合题意的数列和； （2）若，数列为无穷数列，，且数列的前5项成公比为p的等比数列．当时，求p的值； （3）若数列是首项为1的无穷数列，求证：“存在无穷数列，使”的充要条件是“d是正有理数”． 【答案】（1）取为；为. （2）. （3） 因为数列是首项为1的无穷数列，由（2）知，数列是递增的数列； 对于公比不为1的无穷数列，必有，． 否则，若q为负，则相邻两项必有一项为负， 这与中的最小项为矛盾； 若，则当时，， 即，这与中的最小项为矛盾． 先证明充分性： 当d是正有理数时，因为数列是递增的等差数列，所以， 设（s，，s，t互质），则， 令，则，， 当时， 所以数列的第n项是数列的第项， 所以数列中的项都是数列的项，即． 再证明必要性： 假设d是正无理数，因为，即数列中的项都是数列的项，故. 令，，（i，j，），则，，， 且，因为，即， 整理得：，约去d有， 因为i，j，，且d是无理数，所以，消去j并整理得， 故，与矛盾，所以假设不成立，即d是有理数． 综上所述，“存在数列，使”的充要条件是“d是正有理数” 【解析】 【分析】（1）取为；为，可验证它们符合题设要求. （2）可证明，设的前5项为：，就或分类讨论后可求p的值． （3）可证，利用二项式定理可证明充分性，利用反证法结合等比中项可证明必要性. 【小问1详解】 取为；为， 则满足：，故为等比数列. 而，故为等差数列， 故此时，符合题意. 【小问2详解】 因为集合C中的所有元素按从小到大排列构成首项为1的数列， 故中各项均为正数，所以中的各项均为正数， 而为无穷等差数列，故. 设的前5项为：， 因为，，，所以， 此时必有，事实上，若，则的前5项即是的前5项， 与矛盾． 所以或． 若，则，所以，此时的前5项为1，，2，，4， 即，，所以数列的公差为， 因为，所以符合题意； 若，则或 ①时，有p，，成等差数列，所以，解得，与矛盾； ②时，有，所以，所以的前5项为1，，，2，， 因为，所以，即， 所以，故，与为等差数列矛盾． 所以不可能． 综上，p的值为． 【小问3详解】 略 【点睛】思路点睛：两类数列的交叉问题，往往需要从基本量来处理，注意合理的分类讨论，另外等比数列与等差数列的交叉问题，注意结合二项式定理来沟通两者的关系，而整数性问题注意结合整数的性质来处理. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $