专题02 与绝对值有关的八种常见题型-2024-2025学年七年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（浙教版2024）

专题02与绝对值有关的八种常见题型 题型01绝对值的定义在找规律中的应用 【典例分析】 【例1-1】（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）【信息提取】在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉．例如：，，，． 【初步体验】（1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不要计算出结果）： ①　 　；② ；③　 　． 【拓广应用】 （2）计算：． 【例1-2】（23-24七年级上·四川内江·阶段练习）在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉，例如：；；；． (1)根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式： ① ； ② ； ③ ； ④ ； (2)用合理的方法计算：； (3)用简单的方法计算：． 【例1-3】（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）【信息提取】 在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉．例如：，，，． 【初步体验】 （1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不要计算出结果）； ①_____； ②_____； ③_____． 【拓广应用】 （2）计算： ④； ⑤． 【变式演练】 【变式1-1】（23-24七年级上·河北邢台·阶段练习）【观察】，，，． 【体验】 (1)根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不要计算出结果）： ①___________． ②___________． ③___________． 【应用】 (2)计算． 【变式1-2】（23-24七年级上·湖南衡阳·期末）若，，，…，照此规律试求： (1)______； (2)计算； (3)计算． 【变式1-3】（23-24七年级下·安徽淮北·期末）观察下列算式， 第一个式子； 第二个式子； 第三个式子； 第四个式子 根据你发现的规律解决下列问题： (1)写出第个算式：_______（为正整数） (2)______（，为正整数且） (3)若，试求的值． 题型02绝对值的非负性在求字母取值范围中的应用 【典例分析】 【例2-1】（七年级·四川绵阳）若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例2-2】（23-24七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）若，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【例2-3】（七年级上·湖北孝感·阶段练习）如果，那么的取值范围是 ． 【变式演练】 【变式2-1】（23-24七年级上·河北邢台·阶段练习）若，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24七年级上·北京丰台·阶段练习）已知，则的取值范围为 . 【变式2-3】（22-23七年级上·湖南衡阳·阶段练习）阅读与探究：我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做“含有绝对值的方程”．如：，，．．．都是含有绝对值的方程，怎样求含有绝对值的方程的解呢?基本思路是：把“含有绝对值的方程”转化为“不含有绝对值的方程”．例如： 解方程． 解：当时，原方程可化为：，解得，符合题意； 当时，原方程可化为：，解得，符合题意． 所以，原方程的解为：或． 根据以上材料解决下列问题： (1)若，则的取值范围是________； (2)解方程：． 题型03绝对值在比较大小中的应用 【典例分析】 【例3-1】（七年级上·河南新乡·期末）数在数轴上的位置如图所示，把、、、按从小到大的顺序用“<”连接起来是（   ） A． B． C． D． 【例3-2】（22-23七年级上·山东临沂·阶段练习）若|a﹣b|＝b﹣a，则b a．（比较大小） 【例3-3】（23-24七年级上·贵州贵阳·阶段练习）（1）在数轴上表示下列各数，并比较它们的大小； （2）求出（1）中各数的绝对值，并比较它们的大小． 【变式演练】 【变式3-1】（23-24七年级上·广东肇庆·期末）如图所示，根据有理数a、b、c在数轴上的位置，比较a、b、c、的大小，正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】（22-23七年级上·山东德州·阶段练习）比较大小： ．（填“＜”“＞”或“=”） 【变式3-3】（23-24七年级上·河北廊坊·阶段练习）把如下的直线补充成一条数轴．然后在数轴上标出下列各数：．并比较它们的大小．    题型04绝对值在数轴中的应用 【典例分析】 【例4-1】（23-24七年级上·福建泉州·期中）在数轴上取两个点，分别为a和b，其位置如图所示，则下列式子中，正确的是（    ）    A． B． C． D． 【例4-2】（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，四个有理数m，n，p，q在数轴上对应的点分别为M，N，P，Q，若，则m，n，p，q四个有理数中，绝对值最小的是 .    【例4-3】（22-23七年级上·四川成都·期中）已知有理数a、b、c在数轴上位置如图所示，化简：． 【变式演练】 【变式4-1】（23-24七年级上·江苏淮安·期中）实数，在数轴上表示的位置如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24七年级上·甘肃武威·期中）数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简 . 【变式4-3】（23-24七年级上·浙江温州·期中）请在数轴上表示数，，，，并按从小到大的顺序用“＜”连接． ______＜______＜______＜______ 题型05绝对值的非负性在求字母的值中的应用 【典例分析】 【例5-1】（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）如果有理数、满足，那么的值是（    ） A． B． C．1 D．2 【例5-2】（23-24七年级上·四川广元·期末）若与互为相反数，则的值为 ． 【例5-3】（2024七年级上·全国·专题练习）若，求、的值． 【变式演练】 【变式5-1】（22-23七年级上·安徽六安·阶段练习）已知，则的值是（    ） A．4 B． C．2 D． 【变式5-2】（22-23七年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）如果，则的值为 ． 【变式5-3】（23-24七年级上·福建泉州·阶段练习）已知，，且，求的值． 题型06绝对值的非负性在求最值中的应用 【典例分析】 【例6-1】（23-24七年级上·福建泉州·期中）如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（   ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【例6-2】（23-24七年级上·四川内江·期中）当 时，代数式有最大值为 ． 【例6-3】（20-21七年级上·全国·课后作业）我们知道，表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索：   （1）________． （2）若，且为整数，则________． （3）由以上探索猜想：对于任何有理数，是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有说明理由． 【变式演练】 【变式6-1】（22-23七年级上·河南安阳·阶段练习）关于下列叙述正确的是（ ） A．有最大值2 B．有最小值2 C．有最小值0 D．有最大值0 【变式6-2】（23-24七年级上·福建泉州·阶段练习）如果a是有理数，那么的最小值是 ． 【变式6-3】（21-22七年级上·湖南长沙·期末）如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，且a，c满足以下关系式：，． (1)a=______；c=______； (2)若将数轴折叠，使得A点与B点重合，则点C与数______表示的点重合； (3)若点P为数轴上一动点，其对应的数为x，当代数式取得最小值时，此时x=______，最小值为______． 题型07利用绝对值的几何意义解决问题 【典例分析】 【例7-1】（22-23七年级上·贵州铜仁·期末）在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：的几何意义是数轴上表示数的点与表示数-2的点的距离，的几何意义是数轴上表示数的点与表示数3的点的距离．当取得最小值时，的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【例7-2】（23-24七年级上·四川泸州·期末）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离：因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离．请利用数轴，得出代数式的最小值是 ． 【例7-3】（23-24七年级上·河南信阳·期中）【阅读理解】 在数轴上，的几何意义是数a对应的点到原点的距离，例如：可以理解为3与之间的距离． (1)________． (2)若，请求出所有符合条件的整数x之和． (3)的最小值为________． 【变式演练】 【变式7-1】（22-23七年级上·重庆江津·期末）在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点的距离，的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点的距离．结合以上知识，下列说法中正确的个数是（    ） ①若，则或；②若，则； ③若，则；④关于的方程有无数个解． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式7-2】（23-24七年级上·广东广州·期末）学习绝对值后，我们知道可以表示为5与之差的绝对值，根据绝对值的几何意义，也可以理解为5与两数在数轴上对应两点之间的距离． ①可以表示为与 两数在数轴上对应两点之间的距离； ②时，符合方程的所有整数解的和为 ． 【变式7-3】（23-24七年级上·内蒙古通辽·期中）我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上点A用数a表示，若，那么a的值为______． (2)数轴上点A用数a表示， ①若，那么a的值是______； ②当时，数a的取值范围是______，这样的整数a有______个； ③有最小值，最小值是______． 题型08绝对值在实际问题中的应用 【典例分析】 【例8-1】（23-24七年级上·广东肇庆·期末）在足球质量检测中，我们规定超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．如图，以下检测结果中最接近标准质量的是（    ） A． B． C． D． 【例8-2】（21-22七年级上·山东济南·阶段练习）按规定，食品包装袋上都应标明袋内装有食品多少克，下表是几种饼干的检验结果，“＋”“－”分别表示比标准重量多和少，用绝对值判断最符合标准的一种食品是 ． 威化 咸味 甜味 酥脆 ＋10（g） －8.5（g） ＋5（g） －7.3（g） 【例8-3】（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）河北某交警每天都开车在南北走向的鼓楼大街上巡逻，假定从出发点开始，向南为正，向北为负，他这天下午巡逻记录里程如下（单位：）： ，，，，，，． (1)这位交警在第几个路段行车里程最远？为多少千米？ (2)若汽车耗油量为，这天下午汽车共耗油多少升？ 【变式演练】 【变式8-1】（23-24七年级上·河南周口·期末）排球比赛时所使用的排球质量是有严格规定的．现检查4个排球的质量，超过规定质量的克数记作正数，不足规定质量的克数记作负数．检查结果如下：①号，②号，③号，④号，那么质量最接近标准的排球是（    ） A．①号 B．②号 C．③号 D．④号 【变式8-2】（22-23七年级上·广东梅州·阶段练习）正式篮球比赛时所用的篮球质量有严格规定，下面是6个篮球的质量检测结果（用正数记超过规定质量的克数，用负数记不足规定质量的克数）：、、、、、．如果你是某篮球队的教练，你应为你的队员选以左到右数的第几号球？并用你已学过的知识进行说明． 【变式8-3】（21-22七年级上·山东菏泽·期中）某汽车配件厂生产一批圆形的零件，现从中抽取6件进行检查，比标准直径长的毫米数记作正数，比标准直径短的毫米数记作负数，检查记录如下表： 1 2 3 4 5 6 0 (1)找出哪件零件的质量相对好一些？ (2)若规定与标准直径相差不大于0.2毫米的产品为合格产品；则这6件产品中有哪些产品不合格？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02与绝对值有关的八种常见题型 题型01绝对值的定义在找规律中的应用 【典例分析】 【例1-1】（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）【信息提取】在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉．例如：，，，． 【初步体验】（1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不要计算出结果）： ①　 　；② ；③　 　． 【拓广应用】 （2）计算：． 【答案】（1）     ，       （2） 【分析】（1）①②③根据正数的绝对值等于本身，负数的绝对值是其相反数可得答案； （2）根据绝对值的性质化简，结合互为相反数的两数之和为0可得答案． 【详解】解：（1）①； ②； ③； （2） ＝ ． 【点睛】本题考查有理数的加减混合运算，熟练地掌握运算法则和绝对值的性质是解题关键 【例1-2】（23-24七年级上·四川内江·阶段练习）在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉，例如：；；；． (1)根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式： ① ； ② ； ③ ； ④ ； (2)用合理的方法计算：； (3)用简单的方法计算：． 【答案】(1)①；②；③；④(2)(3) 【分析】（1）根据题干中的规律即可得出结果； （2）根据题干中的规律把绝对值号去掉，进一步计算即可得出结果， （3）根据题干中的规律把绝对值号去掉，进一步计算即可得出结果． 【详解】（1）①； ②； ③； ④ （2） （3） 【点睛】本题主要考查绝对值计算，能够根据题目所给式子进行简单规律总结，结合绝对值的运算是解题的关键 【例1-3】（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）【信息提取】 在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉．例如：，，，． 【初步体验】 （1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不要计算出结果）； ①_____； ②_____； ③_____． 【拓广应用】 （2）计算： ④； ⑤． 【答案】（1）①；②；③；（2）④；⑤ 【分析】（1）根据题意可得，去绝对值时，用大数减去小数即可； （2）④根据题意可去绝对值得到，据此求解即可；⑤根据题意，去绝对值时，用大数减去小数，逐一去绝对值求解即可． 【详解】解：（1）由题意得：①； ②； ③； 故答案为：①；②；③； （2）④ ； ⑤ ． 【点睛】本题主要考查了有理数的加减计算，去绝对值，正确理解题意掌握去绝对值的方法是解题的关键． 【变式演练】 【变式1-1】（23-24七年级上·河北邢台·阶段练习）【观察】，，，． 【体验】 (1)根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不要计算出结果）： ①___________． ②___________． ③___________． 【应用】 (2)计算． 【答案】(1)①．②． ③(2) 【分析】（1）①②③利用题干中的方法与绝对值的意义解答即可； （2）利用题干中的方法与绝对值的意义解答利用规律化简运算即可； 【详解】（1）解：①． ②． ③． （2）原式 ． 【点睛】本题主要考查了有理数的加减混合运算，本题是阅读型，正确理解并熟练应用题干中的方法是解题的关键 【变式1-2】（23-24七年级上·湖南衡阳·期末）若，，，…，照此规律试求： (1)______； (2)计算； (3)计算． 【答案】(1)(2)（3) 【分析】本题主要考查了有理数的加减法运算及绝对值的意义．有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数． （1）（2）（3）根据有理数的减法法则以及绝对值的意义计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：原式 ； （3）解：原式 【变式1-3】（23-24七年级下·安徽淮北·期末）观察下列算式， 第一个式子； 第二个式子； 第三个式子； 第四个式子 根据你发现的规律解决下列问题： (1)写出第个算式：_______（为正整数） (2)______（，为正整数且） (3)若，试求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】该题是规律探究类题型，解题的关键是总结出规律，也考查了绝对值和平方的非负性． （1）根据题中所给等式关系，即可分别求解； （2）根据（1）中所给等式关系，即可分别求解； （3）由非负性可得，代入式子中化简即可求解； 【详解】（1）解：根据第一个式子； 第二个式子； 第三个式子； 第四个式子 根据以上规律可得第个算式为：； （2）解： 根据（1）中规律， 则； （3）解：∵， ∴， 则 题型02绝对值的非负性在求字母取值范围中的应用 【典例分析】 【例2-1】（七年级·四川绵阳）若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据非正数的绝对值等于它的相反数，得，即可求得． 【详解】∵， ∴， ∴． 故选C． 【点睛】本题考查绝对值的性质，掌握非正数的绝对值等于它的相反数是解题关键 【例2-2】（23-24七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）若，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，可得，即可求得a的取值范围． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】此题考查了绝对值的性质，关键是熟知绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0 【例2-3】（七年级上·湖北孝感·阶段练习）如果，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据绝对值的性质即可得． 【详解】因为，， 所以， 所以， 故答案为：． 【点睛】本题考查了绝对值的性质，熟练掌握绝对值的性质是解题关键 【变式演练】 【变式2-1】（23-24七年级上·河北邢台·阶段练习）若，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据绝对值的意义解题即可. 【详解】解：由题可知：， 解得：， 故选A. 【点睛】本题考查绝对值的意义，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键. 【变式2-2】（23-24七年级上·北京丰台·阶段练习）已知，则的取值范围为 . 【答案】/ 【分析】本题考查了绝对值的性质，解题的关键在于掌握绝对值的非负性．根据绝对值的非负性即可解答． 【详解】 故答案为：． 【变式2-3】（22-23七年级上·湖南衡阳·阶段练习）阅读与探究：我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做“含有绝对值的方程”．如：，，．．．都是含有绝对值的方程，怎样求含有绝对值的方程的解呢?基本思路是：把“含有绝对值的方程”转化为“不含有绝对值的方程”．例如： 解方程． 解：当时，原方程可化为：，解得，符合题意； 当时，原方程可化为：，解得，符合题意． 所以，原方程的解为：或． 根据以上材料解决下列问题： (1)若，则的取值范围是________； (2)解方程：． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据绝对值的非负性列不等式求解即可； （2）分和两种情况解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． （2）解：当时，，则原方程可化为：，解得：，符合题意； 当时，，原方程可化为：，解得，符合题意． 所以，原方程的解为：或． 【点睛】本题主要考查了绝对值的非负性、解绝对值方程等知识点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键． 题型03绝对值在比较大小中的应用 【典例分析】 【例3-1】（七年级上·河南新乡·期末）数在数轴上的位置如图所示，把、、、按从小到大的顺序用“<”连接起来是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据数a在数轴上的位置确定a的范围，再依次确定、、的范围，进一步即得答案. 【详解】解：由题意知：，所以，，， 所以把、、、按从小到大的顺序用“<”连接起来是：. 故选：A. 【点睛】本题考查了利用数轴比较有理数的大小的方法，属于常考题型，根据数轴确定a的范围是解题的关键 【例3-2】（22-23七年级上·山东临沂·阶段练习）若|a﹣b|＝b﹣a，则b a．（比较大小） 【答案】≥ 【分析】直接根据绝对值的性质判断即可． 【详解】解：∵|a﹣b|＝b﹣a， ∴a﹣b≤0， ∴a≤b， 即b≥a， 故答案为：≥． 【点睛】本题考查了绝对值的性质，解题时注意不要忘记a=b的情况． 【例3-3】（23-24七年级上·贵州贵阳·阶段练习）（1）在数轴上表示下列各数，并比较它们的大小； （2）求出（1）中各数的绝对值，并比较它们的大小． 【答案】（1），数轴见解析；（2） 【分析】本题考查有理数的大小比较，在数轴上表示有理数，绝对值的意义； （1）先在数轴上表示各数，再根据数轴右边的数总比左边的大进行排序即可； （2）根据正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，得出各数的绝对值，再进行大小比较即可． 【详解】解：（1）如图所示： 按照从小到大的顺序排列为：； （2）， 按照从小到大的顺序排列为：． 【变式演练】 【变式3-1】（23-24七年级上·广东肇庆·期末）如图所示，根据有理数a、b、c在数轴上的位置，比较a、b、c、的大小，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相反数，绝对值和有理数的大小比较，能熟记有理数的大小比较法则是解此题的关键，在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大． 根据数轴得出|，再比较大小即可． 【详解】解：从数轴可知：， 故选：B 【变式3-2】（22-23七年级上·山东德州·阶段练习）比较大小： ．（填“＜”“＞”或“=”） 【答案】＜ 【分析】负数去绝对值为其相反数，去括号准则：负负得正，正负为负，负正为负，正正为正，根据负数大小的比较原则，即可． 【详解】∵ ∴ ∴的绝对值为： ∵ ∴的绝对值为： ∵负数大小比较：绝对值大的反而小 ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查绝对值，负数大小比较的知识，解题的关键是掌握绝对值和负数大小比较方法 【变式3-3】（23-24七年级上·河北廊坊·阶段练习）把如下的直线补充成一条数轴．然后在数轴上标出下列各数：．并比较它们的大小．    【答案】数轴见解析， 【分析】先补全数轴，再根据数在数轴上的位置标出各数，按照从小到大的顺序用小于号连接即可． 【详解】解：， 在数轴上标出各数如下：    比较大小如下； ， 【点睛】此题考查了化简绝对值、数轴、用数轴上的点表示数、借助数轴比较有理数的大小等知识，准确表示出各数是解题的关键 题型04绝对值在数轴中的应用 【典例分析】 【例4-1】（23-24七年级上·福建泉州·期中）在数轴上取两个点，分别为a和b，其位置如图所示，则下列式子中，正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上各数的大小比较，根据数轴上点的位置来判断两数的大小和绝对值运算的正负，再去掉绝对值符号来解答． 【详解】解：由数轴可得：，， ∵， ∴，故A不符合题意； ， ∴，故B符合题意； ∵，， ∴，故C不符合题意； ∵a在原点的左侧， ∴，故D不符合题意． 故选：B． 【例4-2】（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，四个有理数m，n，p，q在数轴上对应的点分别为M，N，P，Q，若，则m，n，p，q四个有理数中，绝对值最小的是 .    【答案】m 【分析】根据得到n，q互为相反数，即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴n，q互为相反数， ∴， ∵， ∴， 故答案为：m； 【点睛】本题考查相反数与绝对值，解题的关键是根据得到． 【例4-3】（22-23七年级上·四川成都·期中）已知有理数a、b、c在数轴上位置如图所示，化简：． 【答案】 【分析】本题考查数轴、绝对值，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 根据数轴可以判断a、b、c的正负和绝对值的大小，从而可以化简题目中的式子． 【详解】解：根据数轴，得， ， ． 【变式演练】 【变式4-1】（23-24七年级上·江苏淮安·期中）实数，在数轴上表示的位置如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数与数轴的关系，绝对值的定义，根据数轴的特点确定出，的正负以及绝对值的性质对各选项分析判断可可，准确识图是解题的关键． 【详解】解：由图可知，，，， ，故A不符合题意，C符合题意； ，故B不符合题意； ，故D不符合题意． 故选：． 【变式4-2】（23-24七年级上·甘肃武威·期中）数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简 . 【答案】b 【分析】本题综合考查了数轴上的两个点相对应的两个数正负性，两数的和差结果正负性，去绝对值的方法等知识点，重点掌握数轴的应用，难点用字母表示数轴上两点的和差正确去掉绝对值．由数轴上的点的位置确定对应的数的正负性，两个有理数的和差的正负性，去绝对值法则求出结果即可． 【详解】解：， ，， ， 故答案为： 【变式4-3】（23-24七年级上·浙江温州·期中）请在数轴上表示数，，，，并按从小到大的顺序用“＜”连接． ______＜______＜______＜______ 【答案】作图见解析，；；； 【分析】本题考查数轴，绝对值，有理数的大小比较，先化简，然后根据正负数把各数表示在数轴上，最后根据数轴上左边的数总比右边的数小得出比较结果即可．熟练掌握数轴的性质和有理数的大小比较方法是解题的关键． 【详解】解：， 把各数表示在数轴上如图所示： ∴， 故答案为：；；； 题型05绝对值的非负性在求字母的值中的应用 【典例分析】 【例5-1】（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）如果有理数、满足，那么的值是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】此题考查了非负数的性质．根据非负数的性质，可求出、的值，然后代入求值计算即可． 【详解】解：∵有理数、满足， ∴，， ∴，， 则， 故选：A． 【例5-2】（23-24七年级上·四川广元·期末）若与互为相反数，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了相反数的定义，解题的关键是熟练的掌握相反数的定义． 根据几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0列出算式，求出a、b的值，代入计算即可． 【详解】解：由题意得， ∴， 解得， ∴． 故答案为3 【例5-3】（2024七年级上·全国·专题练习）若，求、的值． 【答案】， 【分析】本题考查了非负数的性质．根据绝对值的和为零，可得每个绝对值同时为零，可得答案． 【详解】解：由，得 ，． 解得，． 【变式演练】 【变式5-1】（22-23七年级上·安徽六安·阶段练习）已知，则的值是（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据非负数的性质列式求、的值，然后代入计算即可得解． 【详解】解：由题意得，，， 解得，， 所以． 故选：D． 【点睛】本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0 【变式5-2】（22-23七年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）如果，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查绝对值和平方的非负性，代入求值．利用绝对值和平方的非负性确定a，b的值，然后代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴ 解得： ∴， 故答案为：2 【变式5-3】（23-24七年级上·福建泉州·阶段练习）已知，，且，求的值． 【答案】或 【分析】先根据绝对值的定义和性质求得a、b的值，然后分情况代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， 当、时，； 当、时，； 综上，或． 【点睛】本题主要考查了绝对值的定义和性质，掌握绝对值的非负性以及分类讨论思想是解答本题的关键 题型06绝对值的非负性在求最值中的应用 【典例分析】 【例6-1】（23-24七年级上·福建泉州·期中）如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（   ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【答案】C 【分析】本题考查的是绝对值的非负性的含义，理解的最小值是0是解本题的关键． 【详解】解：∵x为有理数式子存在最大值， ∴当，最大为2023， 故选C 【例6-2】（23-24七年级上·四川内江·期中）当 时，代数式有最大值为 ． 【答案】 1 3 【分析】本题考查了绝对值的非负性，根据绝对值的非负性得出，从而得到当，即时，有最大值，熟练掌握绝对值的非负性是解此题的关键． 【详解】解：， ， ， 当，即时，有最大值，最大值为3， 故答案为：1，3． 【例6-3】（20-21七年级上·全国·课后作业）我们知道，表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索：   （1）________． （2）若，且为整数，则________． （3）由以上探索猜想：对于任何有理数，是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有说明理由． 【答案】（1）；（2），，，，，，，，，，；（3）有最小值．最小值为 【分析】（1）直接去括号，再按照去绝对值的方法去绝对值就可以了． （2）要求的整数值可以进行分段计算，令或时，分为段进行计算，最后确定的值． （3）根据（2）的方法去绝对值，分为种情况去绝对值符号，计算三种不同情况的值，最后讨论得出最小值． 【详解】解：（1）原式 ； （2）令或时，则或， 当时， ， ， ； 当时， ， ， ， ，，，，，，，，； 当时， ， ， ， ， 综上所述，符合条件的整数有：，，，，，，，，，，； （3）有最小值．最小值为， 理由是：∵理解为：在数轴上表示到和的距离之和， ∴当在与之间的线段上（即）时： 即的值有最小值，最小值为． 【点睛】此题主要考查了数轴，绝对值的意义，分类探讨，去绝对值的关键是确定绝对值里面的数的正负性． 【变式演练】 【变式6-1】（22-23七年级上·河南安阳·阶段练习）关于下列叙述正确的是（ ） A．有最大值2 B．有最小值2 C．有最小值0 D．有最大值0 【答案】B 【分析】利用绝对值的定义，非负数的性质来判断即可． 【详解】解：， ，即有最小值2， 故选：B． 【点睛】本题考查了绝对值，非负数，做题的关键是掌握绝对值的定义，非负数的性质 【变式6-2】（23-24七年级上·福建泉州·阶段练习）如果a是有理数，那么的最小值是 ． 【答案】2023 【分析】根据绝对值具有非负性的性质可得，进而可得答案． 【详解】解∶∵， ∴， ∴的最小值是2023． 故答案为：2023． 【点睛】此题主要考查了绝对值的非负性，关键是掌握绝对值的非负性 【变式6-3】（21-22七年级上·湖南长沙·期末）如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，且a，c满足以下关系式：，． (1)a=______；c=______； (2)若将数轴折叠，使得A点与B点重合，则点C与数______表示的点重合； (3)若点P为数轴上一动点，其对应的数为x，当代数式取得最小值时，此时x=______，最小值为______． 【答案】(1)，9 (2) (3)1，12 【分析】（1）根据非负数的性质求解即可； （2）先求出AB的中点表示的数，由此即可得到答案； （3）分图3-1，图3-2，图3-3，图3-4四种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， 故答案为：-3；9； （2）解：∵点A表示的数为-3，点B表示的数为1， ∴AB中点表示的数为-1， ∴点C到AB中点的距离为10， ∴点C与数-1-10=-11表示的点重合， 故答案为：-11； （3）解：由题意得 ， ∴代数式的值即为点P到A、B、C三点的距离和， 如图3-1所示，当点P在A点左侧时 如图3-2所示，当点P在线段AB上时， 如图3-3所示，当点P在线段BC上时， 如图3-4所示，当点P在C点右侧时， ∴综上所述，当P与B点重合时，． 【点睛】本题主要考查了非负性的性质，数轴上两点的距离，用数轴表示有理数等等，熟知相关知识是解题的关键． 题型07利用绝对值的几何意义解决问题 【典例分析】 【例7-1】（22-23七年级上·贵州铜仁·期末）在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：的几何意义是数轴上表示数的点与表示数-2的点的距离，的几何意义是数轴上表示数的点与表示数3的点的距离．当取得最小值时，的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】以和3为界点，将数轴分成三部分，对的值进行分类讨论，然后根据绝对值的意义去绝对值符号，分别求出代数式的值进行比较即可． 【详解】解：如图， 当时，，， ； 当时，，， ； 当时，，， ； 综上所述，当时，取得最小值， 所以当取得最小值时，的取值范围是． 故选：B． 【点睛】本题结合数轴考查了绝对值的意义以及绝对值的性质，解题的关键是以和3为界点对的值进行分类讨论，进而得出代数式的值 【例7-2】（23-24七年级上·四川泸州·期末）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离：因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离．请利用数轴，得出代数式的最小值是 ． 【答案】3 【分析】此题考查了运用数形结合思想进行实数运算的能力．根据题目中与的几何意义进行求解． 【详解】解：∵， 且的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离， 的几何意义就是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离， ∴的几何意义就是数轴上x所对应的点与、2所对应的点之间的距离之和， ∵当时，数轴上x所对应的点与、2所对应的点之间的距离之和最短为：， 故答案为：3 【例7-3】（23-24七年级上·河南信阳·期中）【阅读理解】 在数轴上，的几何意义是数a对应的点到原点的距离，例如：可以理解为3与之间的距离． (1)________． (2)若，请求出所有符合条件的整数x之和． (3)的最小值为________． 【答案】(1)7(2)9(3)2 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，求一个数的绝对值，解题的关键是熟练掌握绝对值的几何意义． （1）根据绝对值的意义进行计算即可； （2）根据绝对值的意义求出符合条件的x的值，然后求和即可； （3）根据绝对值的意义，得出的最小值为即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：7； （2）解：∵表示数轴上x到对应的点5，的距离之和，且， ∴满足条件的整数x为，，，0，1，2，3，4，5， ∴； （3）解：表示数轴上x到对应点的2，4的距离之和， 则的最小值为：， 故答案为：2． 【变式演练】 【变式7-1】（22-23七年级上·重庆江津·期末）在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点的距离，的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点的距离．结合以上知识，下列说法中正确的个数是（    ） ①若，则或；②若，则； ③若，则；④关于的方程有无数个解． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】应用绝对值的几何意义进行判定即可得出答案． 【详解】解：①若，可得，则则或2023；所以①说法正确； ②若，几何意义是数轴到表示数1的点和表示数3的点的距离相等的点，即可得出；所以②说法正确； ③当时，则，所以③说法不正确； ④因为的几何意义是到数轴上表示的点与表示2的点的距离和等于3的点，即时满足题意，所以有无数个解，故④说法正确． 故选：C． 【点睛】本题重要考查了数轴及绝对值，熟练掌握数轴及绝对值的几何意义进行求解是解决本题的关键 【变式7-2】（23-24七年级上·广东广州·期末）学习绝对值后，我们知道可以表示为5与之差的绝对值，根据绝对值的几何意义，也可以理解为5与两数在数轴上对应两点之间的距离． ①可以表示为与 两数在数轴上对应两点之间的距离； ②时，符合方程的所有整数解的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，数形结合是解题关键． ①根据绝对值的几何意义即可求解； ②在数轴上表示x到1，，两数的距离之和等于3的数，由此即可求解． 【详解】解：①， 可以表示为与两数在数轴上对应两点之间的距离． 故答案为：． ②可以表示为x到1，，两数的距离之和等于3， ， x是整数， x的值为：， 所有整数解的和为： 故答案为：． 【变式7-3】（23-24七年级上·内蒙古通辽·期中）我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上点A用数a表示，若，那么a的值为______． (2)数轴上点A用数a表示， ①若，那么a的值是______； ②当时，数a的取值范围是______，这样的整数a有______个； ③有最小值，最小值是______． 【答案】(1) (2)①或8；②，6；③ 【分析】（1）根据绝对值的意义可得； （2）①利用绝对值定义知或，分别求解可得；②根据绝对值的几何意义可知时，，再由是整数，求出符合条件的的值即可；③根据题意分类讨论后可知当时，的最小值是2026． 本题考查绝对值的意义，数轴上两点之间的距离；熟练掌握绝对值的意义和性质，逐步探索变化规律是解题的关键． 【详解】（1）解：若，那么的值为5或， 故答案为：； （2）①数轴上点用数表示，若，则或， 或， 故答案为：或8； ②表示数轴上表示的点与、3的点的距离之和， 时，， 是整数， 的值有，，0，1，2，3，共6个， 故答案为：，6； ③表示数轴上表示的点与表示、3的点的距离之和， 当时，， 当时，， 当时，， 故当时，有最小值，最小值是， 故答案为： 题型08绝对值在实际问题中的应用 【典例分析】 【例8-1】（23-24七年级上·广东肇庆·期末）在足球质量检测中，我们规定超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．如图，以下检测结果中最接近标准质量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正数与负数、绝对值的意义；根据绝对值最小的最接近标准，即可求解． 【详解】解：，，，， ，则最接近标准的是． 故选：D 【例8-2】（21-22七年级上·山东济南·阶段练习）按规定，食品包装袋上都应标明袋内装有食品多少克，下表是几种饼干的检验结果，“＋”“－”分别表示比标准重量多和少，用绝对值判断最符合标准的一种食品是 ． 威化 咸味 甜味 酥脆 ＋10（g） －8.5（g） ＋5（g） －7.3（g） 【答案】甜味 【分析】找出表格中四个数值的绝对值最小的即可得． 【详解】解：，，，， 因为， 所以最符合标准的一种食品是甜味， 故答案为：甜味． 【点睛】本题考查了绝对值的应用，理解题意，正确求出各数的绝对值是解题关键 【例8-3】（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）河北某交警每天都开车在南北走向的鼓楼大街上巡逻，假定从出发点开始，向南为正，向北为负，他这天下午巡逻记录里程如下（单位：）： ，，，，，，． (1)这位交警在第几个路段行车里程最远？为多少千米？ (2)若汽车耗油量为，这天下午汽车共耗油多少升？ 【答案】(1)最后一个路段， (2)升 【分析】（1）先利用绝对值求出每段路的行车里程，再比较大小，即可求解； （2）计算出每段路的行车里程和每千米的耗油量，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得 ，，，，，，， ， 最后一个路段行车里程最远为． （2）解：由题意得 （）； 答：这天下午汽车共耗油升. 【点睛】本题考查了绝对值的实际应用，理解绝对值的定义是解题的关键 【变式演练】 【变式8-1】（23-24七年级上·河南周口·期末）排球比赛时所使用的排球质量是有严格规定的．现检查4个排球的质量，超过规定质量的克数记作正数，不足规定质量的克数记作负数．检查结果如下：①号，②号，③号，④号，那么质量最接近标准的排球是（    ） A．①号 B．②号 C．③号 D．④号 【答案】C 【分析】本题主要考查的是正数和负数的实际应用、绝对值的应用，明确质量最好即绝对值最小是解题的关键． 【详解】解：在四个数：，，，中， ，，，， ∵的绝对值最小， ∴质量最好的排球是的那一个， 即③号， 故选：C 【变式8-2】（22-23七年级上·广东梅州·阶段练习）正式篮球比赛时所用的篮球质量有严格规定，下面是6个篮球的质量检测结果（用正数记超过规定质量的克数，用负数记不足规定质量的克数）：、、、、、．如果你是某篮球队的教练，你应为你的队员选以左到右数的第几号球？并用你已学过的知识进行说明． 【答案】第2个球，见解析 【分析】计算绝对值，比较绝对值的大小，绝对值小的更接近标准． 【详解】解：应选从左边起第2个球． 理由是：∵， ∴选从左边起第2个球，它最接近标准质量． 【点睛】本题考查了绝对值的大小比较，熟练掌握绝对值越小，越接近标准是解题的关键 【变式8-3】（21-22七年级上·山东菏泽·期中）某汽车配件厂生产一批圆形的零件，现从中抽取6件进行检查，比标准直径长的毫米数记作正数，比标准直径短的毫米数记作负数，检查记录如下表： 1 2 3 4 5 6 0 (1)找出哪件零件的质量相对好一些？ (2)若规定与标准直径相差不大于0.2毫米的产品为合格产品；则这6件产品中有哪些产品不合格？ 【答案】(1)第4件质量最好； (2)第1件、第2件产品不合格． 【分析】（1）根据绝对值越小质量越好，越大质量越差即可知道哪件零件的质量相对来讲好一些； （2）按绝对值由大到小排即可． 【详解】（1）解：∵|+0.5|=0.5，|-0.3|=0.3，|+0.1|=0.1，|0|=0，|-0.1|=0.1，|+0.2|=0.2， ∵0＜0.1=0.1＜0.2＜0.3＜0.5， ∴|0|＜|+0.1|=|-0.1|＜|+0.2|＜|-0.3|＜|+0.5|， ∴第4件质量最好； （2）解：∵|+0.5|=0.5＞0.2，|-0.3|=0.3＞0.2， ∴第1件、第2件产品不合格． 【点睛】本题主要考查绝对值的意义，可以结合绝对值的意义进行解答 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$