75 不等式证明-遇见最美的数学系列——题型篇（一）

不等式证明 不等式证明是高考数学里的难点，通常在导数压轴题最后一问出现，所以对于这 类题很难有固定的套路，需要通过分析之后才拔云见雾，与导数相关的压轴问题 最终都转化到了函数单调性的讨论上. 一、作差比较： 【使用条件】作差之后的新函数容易讨论单调性 【方法总结】作差比较是证明不等式的首选，也是我们从小就接触到的比较大小的方法，· 1对应真题】2021乙卷；2019北京；2018新课标；2018新课标1；2018新课标；2018新 课标1；2017江苏；2016新课标；2016山东；2016四川；2015福建 【母题探究】 证明当xe,+o)时，1<品<x 【母題解析】 解：当x∈(1，+o)时，nx>0, 菱证1<品<x,即要证nx<x-1<xnx, 令gx)=nx-x+1,g'6)=主-1， ∴g)在(1，+0)止单调递减，9=hx-x+1<g)=0,即1< h(x)=xInx-x+1,h'(x)=Inx, 则h()在(1，十o网)上单调递增，h)=xnx-x+1>h1)=0,即<x 综上所达，当xe,+0)时，即可证明1<品<x。 397 二、同构函数： 【使用条件】不等号的两边的式子结构相似， 【方法总结】通过等价变形使得两边的式子结构相同，从而将两边看成同一个函数的两个函 数值，借助该函数的单调性证明，同构是利用了指数函数的对数函数之间的特殊关系，理解 下面三个函数就能解决绝大多数的同构问题： xex xInx 若f(x)= x+ex,则f0nx)= x+Inx (e*-x-1 Inx -1 【对应真题】2020山东；2017新课标；2015新课标；2015北京 【母题探究】 已知函数f(x)=ae2-lnx-1,证明：当a之fx)20. 【母题解析】 解：如果把aex-lnx-l看成关于a的函数h(a),因为ex恒大于0， 所以h(a)为增函数，即a(@)=aer-lnx-1≥h(（目=-nx-1, 要证当a之f)20,即证明g-nx-1≥0， 变形，得er≥eInex, 两边同时乘以x,得xe≥ex Inex, 构造新函数g(x)=xex,则g(In ex)=exInex,. g'(x)=ex(+1)>0,g(x)单调递增，要证明g(x)≥gnex),即证明x2nex, 令h6)=x-nex,h)=1- h(x)在(0,1)上单调递减，在(1，+c∞)上单调递增， h(x)≥h(1)=0, 398 即x之nex, 综上所述，当a≥，f)20. 三、构造双函数： 【使用条件】当作差求导后不容易讨论单词性时， 【方法总结】若能证明fx)mm>g(x)max,则f(x)>g(x)一定成立. 【母题探究】 设函数)=ex+2,证明：fW>1. 【母题解析】 解：f)=enx+2g* 要i证f>1,即ex+空>1，hx>÷-异 f)>1等价于xnx>盖-总设函数g(幻=x,则g()=1+hx, ∴当x∈(0，时，9'(x)<0;当x∈，+)时，g'(x)>0. 故gx)在(0，)上单调递减，在(，+∞)上单调递增，从而gx)在(0，+)上的最小值为 99=- 设函数h幻=三-是则h'()=e*(1-x). ∴当xe(0,1)时，'(x)>0:当xE(1,+∞)时，h'(x)<0, 故(x)在0,1)上单调递增，在(1，+o)土单调递减， 从而h(x)在0，+∞)上的最大值为(1)=-9(1)=0>h(1), 综上，当x>0时，g(x)>h(x),即f(x)>1. 399 四、放缩法： 【常见结论】 (1)放缩运用最多的是切线放缩：1-≤lnx≤x-1,hx≤x,e2x+1,e2ex; {2)=次放缩在高考中应用较少：e产≥号+x+1c20).1x+1)之x-号x20: (6)三角函数的放缩：5inx≤x≤tanx(0≤x≤)，sinx之x cosx(0≤x≤)， sinx≤经(0sxs9; (4)其他：nx≤红-(x≥1)。 放缩是一种解题思想，并不止于上面这些结论，运用放缩之前需要先证明， {母题探究1 证明：e*-lnx-2>0. 【母题解析】 解：要证明ex-lnx-2>0,即证明ex>lnx+2(x>0), 令f(x)=ex-x-1,f(x)=e*-1(这一步其实就是利用放绮构造函数)， f'(x)=0时x=0, f(x)在(0，+m)上单调递增， fx)>f0)=0,即ex≥x+1. 令h()=血x一x+1,h(=-1(这一步是利用放缩构造函数)， h'(x)=0时，x=1,h(x)在0,1)上单调递增，(1，+)上单调递减. h(a)max=h(1)=0, lnx-x+1≤0，即lnx≤x-1,nx+2≤x+1, 400 综上，e>lhx+2即e2-lnx-2>0. 极值点偏移 对于函数y=f(x)在区间(a,b)内只有一个极值点xo,f(x)=f(x2),a<名1< 2<b, (1)若2>x0,则函数y=f(x)在区间(x1,x2)上极值点x左偏； (2) 若<0，则函数y=fx)在区间(x1,x2)上极值点xo右偏. 2 一、不含参的极值点偏移： 【使用条件】不带参函数的极值点偏移问题」 【方法总结】 (1】求出函数f(x)的极值点xo, (2)构造一元差函数F(x)=f(x。+x)-f(x0-x)或F(x)=f(x)-f2xo-x), (3)确定函数F(x)的单调性， (4)结合F(0)=0,判断F(x)的符号，从而确定f(xn+x),f(x0一x)的大小关系. 【对应真题】2021新高考1；2018浙江；2015天津 【母题探究】 (2010天津)已知函数f(x)=xE(xER).若x1卡x2,且f(x1)=f(x2),求证：为1+ x2>2. 【母题解析】 401