72 函数零点问题-遇见最美的数学系列——题型篇（一）

解：（①）f)的定义域为0，+o,f'6)=要+2ax=24a出 当a≥0时，f(x)>0,故f(x)在(0，+c0)单调递增； 当a≤-1时，f(x)<0,故f(x)在(0，+∞)单调递减： 当-1<a<c时，令f'(x)=0,解得x= 则当xe0,时，f闭>0：xe( -a+1 +o)时，f'(x)<0. 故)在(0，单调送增，在（巴，+）单澜递液。 (I)不妨假设x1>x2,而a<-1,由(1)知在(0，+)单调递减， 从而x1,x2e(0,+o),fx)-fx2124x1-x2l, 等价于x1,x2e(0,+m),fx2)+4x2≥fx1)+4x:, 等价于g(x)在(0，+o)单调递减， 令g(0)=fx)+4x则g'(x)=2a2+a+4=2ar2+4x-a1 2ax2+4x+a+1≤0， 因为a<-1,所以△=16-8a(a+1)≤0，解得a≤-2或a≥1（舍）， 从而故a的取值范围为(-0，一2， 函数零点问题 函数零点问题在函数章节已有接触，导数章节涉及的零点问题和函数章节涉及的 零点问题本质没有区别，只是难度增加了不少.三次函数是零点问题考察的常 客，所以掌握三次函数的图像对解决零点问题很有帮助，本节主要是针对导数压 轴题中的零点问题的处理方法： 384 一、切线条数转化零点问题： 【使用条件】判断切线的条数： 【方法总结】设出切点，代入得到关于切点的方程，根据单调性和要点存在性定理判断方程 解的个数。 【母题探究] 过点A(2,1)做曲线f(x)=x3-3x的切线，最多有0 A.3条 B,2条 C.1条 D.0条 【母题解析】 解：设切点为P(x0x03-3x),f'(xo)=3xg2-3, 则切线方程y-x03+3x0=(3x2-3)(x-x0): 代入A(2,1)得，2x03-6x。2+7=0, 令y=2x03-6x02+7,则由y=0,得x=0或x0=2, 且当x0=0时，y=7>0,和=2时，y=-1<0. 所以方程2x。3-6x,2+7=0有3个解， 则过点A(2,1)作曲线f(x)=x3-3x的切线的条致是3条， 故选：A. 二、 已知零点个数求参—分离参数： 【使用条件】已知零点个数求参数，参数可以分离时。 385 1方法总结】（此方法一般不在解答题中使用）函数f(x)零点的个数，即f(x)=0的根的个 数，分离参数把f(x)=0转化为a=g(xa为参数)，此时把问题转化成了g(x)与直线x=a 交点个数的问题，然后讨论g(x)的单调性和极值确定交点个数. 【母题探究】 已知函数f（x)=lx-kx(keR),若f(x)有唯一琴点，求k的取值范围 【母题解析】 解：由fx)=nx一kx有唯一的琴点，故方程nx-kx=0有唯一的实数根，即k=有唯- 的实数根， 令()=受')=把 令'(x)>0,解得0<x<e,令h'(x)<0,解得x>e 所以h(x)在(0，e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减， 所以当x=e时，hx)的最大值为h(e)=: 又h(1)=0,所以0<x<1时，h(x)<0, 又当x>e时，h(x)>0, 综上可得，k的取值范围为k=或秋≤0 三、已知零点个数求参零点存在性定理： 【使用条件】已知要点个数讨论参数. 【方法总结】当无法分离参数时，通过讨论函数的单调性，然后根据零点的个数和零点存在 性定理，从而求出参数范围 386 【母题探究】 已知函数f(x)=xe+a(x+1)2,若f(x)有两个零点，求a的取值范围. 【母题解析】 解：对f(x)求导得f'(x)=ex(1+x)+2a(1+x)=(1+x)(ex+2a), 当a=0时，f(x)只有-个零点x=0,不符合题意， 当a>0时，f(x)在(-1，+o)上的增函数，在(-o,-1)上的减函数 此时f()最小值为f(-1)=-:<0,f0)=a>0, 根据要点存在性定理f(x)在(-1,0)上有一个零点， 取x满足xo<-1且x0-2<n号则fx。-2)>-2)+a(x-12=a(02-x0)> 0, (上述过程看不懂可以直接用极限判断：当x趋近于-∞时，f(x)趋近正无穷，此方法商单但 可能丢1分) 根据零点存在性定理f(x)在(x。-2，-1)上有另一个零点， f(x)有两个零点： 当a<0时，f'(x)=0解得x=-1或x=ln(-2a) 若a<-时，f)在(-1，tm(-2)递减，在(-m,-1),(m(-2a),+0)递增，又当x≤ 一1时，f(x)<0,所以f(x)不存在两个零点： 当a之-时，f(x)在(-1，+四)单调增，又当x≤-1时，f〔6)<0，故f(x)不存在两个零点： 综上可得，fx)有两个季点时，a的取值范围为(0，+∞). 387