69 利用导数研究函数的极值和最值-遇见最美的数学系列——题型篇（一）

利用导数研究函数的极值和最值 一、极值基础： 【使用条件】求函数的极值点或极值 【方法总结】可导函数求极值：首先确定函数的定义域，求方程f'(x)=0的根；检查f(x) 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右 正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则「(x)在这 个根处无极值. 【母题探究】 已知函数f)=+2-x+1,则f)的级大值为（0 A.0 B.+月 C.e D.1. 【母题解析】 解：因为f=点+x2-x+1,则f6)=兰+x-1=-e型， ex 令f'(x)=0,解得：x=1或x=0, 当0<x<1时，f'(x)<0, 当x>1或x<0时，f(x)>0, 故f(x)在(-，0)，(1，+m)上单调递增，在0,1上单调递减， 故f(x)的极大值为f(0)=1, 故选：D. 364 二、极值与图像： 【使用条件】已知极值点判断函数图像 【方法总结】函数极值点是导数的变号零点， 【母题探究】 (2012·重庆)设函数f(x)在R上可导，其导函数f(x),且函数fx)在x=一2处取得极小 值，则函数y=xf(x)的图象可能是() 【母题解析】 解：因为f(x)在x=-2处取得极小值，即x=-2是导函数f(x)的变号琴点（先负后正）， 所以x<-2时，f(x)<0,xf'(x)>0；-2<x<0时，f'(x)>0,xf'(x)<0; 所以选A. 三、穿根法和极值： 【使用条件】高次函数的图像和极值问题。 【方法总结】因式分解，根据穿根法作图（奇穿璃不穿）， 【母题探究】 (2021乙卷)设a≠0，若x=a为函数fx)=a(x-a2(x-b)的极大值点，则()】 A.a<b B.a>b C.ab<a2 D.ab>a2 【母题解析】 365 解：当α>0时，穿根法得到函数图像： 此时0<a<b,ab>a2; 当a<0时，穿根法得到函数图像： Ning sir a 0 此时b<a<0,ab>a2; 综上所述，只有D正确。 四、最值问题： 【使用条件】求函数的最值， 【方法总结】可导函数求最值：函数f(x)在[a,]上连续，在(a,b)内可导，则先求f(x)在 (a,b)内的极值，再将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较得出函数f(x)在a,b上的最值。 【母题探究】 (2021新高考1)函数f(x)=12x-1-2nx的最小值为一， 366 【母题解析】 解：法一、函数f(x)=2x-1-21nx的定义减为(0，+om), 当0<x≤2时，f(x)=l2x-1-2nx=-2x+1-2nx, 此时函数f(x)在(0，上为减函数， 当x>时，f)=12x-1-2nx=2x-1-2nx, 则f"☒=2-至=， 当x∈，1)时，f'(x)<0,fx)单调递减， 当x∈(1，+∞)时，f'(x)>0,fx)单调递增 fx)在(0，+∞)上是连续函数， ∴当xE(0,1)时，fx)单调递减，当x∈(1，+∞)时，f(x)单调递增 .当x=1时fx)取得最小值为f(1)=2×1-1-2n1=1. 法二、令g(x)=2x-1,h(x)=2nx, 分别作出两函数的图象如图： hx-2im gxE-1 即问题转化为了x=t这条直线与两个函数交点距离的最小值， 由图可知，交于斜率为2的切线的切点处对应的距离最短， f(x)2f1)=1, 367 则数f(x)=2x-1-2nx的最小值为1. 法三：放缩法： 当x>时，f0)=2x-1-2nx=2x-1-2nx, 因为Inx≤x-1,所以-21nx≥2-2x, 所以f(x)≥1； 当0<x≤时，fx)=2x-1-2inx=-2x+1-2nx, 函数单调递减，此时最小值为f自=-21nn4>1, 综上所述fx)的最小值为1. 五、三角函数最值问题： 【使用条件】通过导数讨论三角函数的最值时： 【方法总结】先判断三角函数的周期，缩小范围再求导讨论， 【母题探究】 (2018新课标1)已知函数f(x)=2sinx+sin2x,则f(x)的最小值是· 【母题解析】 解：由f(x)=f(x+2n)可得T=2π是f(x)=2sinx+sin2x的一个周期， 再由f(-x)=-f(x)得f(x)是奇函数， 故只需考虑f(x)=2sinx+sin2x在0，π]上的值域， 先来求该函数在0，π]上的极值点， 求导数可得， 368 f'(x)=2cosx+2cos2x=2cosx+2(2cos2x-1)=2(2cosx-1)(cosx+1), 令f'()=0可解得c0sx=减c0sx=-1, 可得此时x=手π， 计算可得f(3=,f)=0,f0=0, 再根据运数关于原点对称得f(-)=-尊， “函数的最小值为- 六、含参函数的最值讨论： 【使用条件】求含参函数的最值 【方法总结】当参数的取值范围不同导致函数在所给区间内的单调性变化不确定时需要分类 讨论。 【母题探究】 已知函数f(x)=e*-ax2-bx-1,其中a,beR,e=2.71828…为自然对数的底数.设 g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间0,1]上的最小值. 【母题解析】 解：f(x)=e*-ax2-bx-1, …gx)=f'(x)=er-2ax-b 又g'x)=e-2a,xe0,1, 1se*≤e, ,①当a≤时，则2a≤1，g'(x)=ex-2a≥0， 函数g(ax)在区间[0,1]上单调递增，g(x)mn=g(0)=1-b; 369 ②当<a<5则1<2a<e, .当0<x<n(2a)时，g(x)=e*-2a<0,当1n(2a)<x<1时，g'(x)=ex-2a>0, .函数g(x)在区间(0,1n2a)上单调递减，在区间n2a,1)上单调递增， g(x)min =g[n(2a)]2a-2aln(2a)-b; ③当a≥时，则2a≥e,g'(x)=e*-2a≤0， ∴函数g(x)在区间[0,1]上单调递减，g(x)mm=9(1)=e-2a-b, (1-b, asi 综上：函数c(x)在区间〔0,1刂上的最小值为g(x)mm 2a-2alh2a）-b,×a<i 1 e-2a-b, a2娟 七、已知极值或极值点求参数： 【使用条件】已知极值或极值点求参数范围。 【方法总结】 (:)已知含参函数极值点求参数，通过在极值点处导数值为0求得： (2)已知含参函数极值求参数，先通过求导确定函数的极值，此时的极值是带有参数的，然 后再利用题目给的极值带入解得参数： (3)已知具体函数在某含参区间内的极值求参数，先求得具体函数极值，然后利用其属于题 目所给区间求出参数 【母题探究1 已知函数f)=4x2-ax2-2x+2在x=1处取得极小值-3，且gx)=x2-x2+1在区 间(c,c+4)上存在最小值，则a+b+c的取值范围是() 370 A.(4,8) B.[4,8) C.(5,8)D.5,8) 【母题解析】 解：f'(x)=12x2-2ax-2b, 因为f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处取得极小值-3， 所以f'(1)=0,且f(1)=-3, 所以12-2a-2b=0且4-a-2b+2=-3, 解得a=b=3, g'x)=x2-2x, 所以在(-0,0)，(2，+∞)上，g'(x)>0,g(x)单调递增， 在(0,2)上，g'(x)<0,g(x)单递减， 所以在x=2时，9(x)取得最小值， 又9()=x3-x2+1在区间e,c+4)上存在最小值， 所以c<2<c+4,且g(c)29(2), 所以-1≤c<2, 所以a+b+c的取值范围为5,8). 故选：D 八、已知极值个数求参数： 【使用条件】已知极值个数求参数。 【方法总结】利用f"(x)变号零点的个数或f”(x)=0的根的个数求解（注意排除重根》， 【母题探究】 371 若函数f(x)=x3+ax2+ax-1有两个极值点，则a的取值范围是0 A.（-∞，0)U(3,+∞) B.(0,3) C.(3,+∞) D.(-o,0) 【母题解析】 解：f'(x)=3x2+2ax+a 因为函数f(x)=x3+ax2+ax-1有两个极值点， 所以∫(x)=0,有两个不等实数根， 所以△=(2a-4×3×a=4a2-12a>0,得a<0或a>3, 故选：A 九、已知极值个数求极值的取值范围： 【使用条件】已知极值个数求极值的取值范围或已知极值个数和极值的范围求参数范围， 【方法总结】第一步：利用根的分布讨论符合题目极值个数的参数取值范围；第二步设而不 求，若含多个未知数，可利用韦达定理或极值点的导数值为0消元，转化为一元函数的最值 和范国问题， 【母题探究】 (2018新课标)已知函数f(x)=-x+alnx (1)讨论f(x)的单调性： (2)若fx)存在两个极值点x1,2,证明：<a-2. 1- 【母题解析】 解： （)fe闭=-克-1+号==(x>0), x2 372 当a≤0时，f'(x)<0,f(x)在(0，+o∞)上单调递减： 当a>0时，△=a2-4, ①当0<a≤2时，△≤0，f'(x)≤0，fx)在(0，+)上单调递减； @当a>2时，令f树=0，得=--=-平f在0，止 2 2 单调递减，在(=平，一上单调递增，在平，+四)上单调递减 综上所述：当a≤2时，f)在(0，+m)上单调递减；当a>2时，fx)在(0，-马和 2 一—，+m上单调送流，在-三，上单调递增. 2 (2)由(1)可知当a>2时，函数有两个极值点x1,x2, 不妨设x1<2,则x1+2=a,x2=1, 可得0<x1<1<x2: 则fx)-fx2)=去-之+2-x+a0nx1-nx2)=2x2-x)+amx-lnx2, X1X2 则-f位=-2+am1-m型 X1-x2 1-x2 则问题转为证明血-h<1即可， X1-2 即证明nx:-lnx2>x1-xz 则n石-h吃>-去 即证2h>在0,1止恒成立， 设(=21nx-x+0<x<1), 求导得似=1-=2型<0， x2 则h(x)在(0,1)上单调递减， h)>h1),即2nx-x+号>0， 故2lnx>- 1,则21<a-2成立. X1-x2 373