68 利用导数研究函数的单调性-遇见最美的数学系列——题型篇（一）

(8)y=x-nx: 利用导数研究函数的单调性 函数的单调性是高考考察最多的函数性质，尤其是学了导数之后，与导数有关的 压轴题都是以函数单调性为背景的，所以在高考数学中，学会利用导数研究函数 的单调性是最重要的内容之一，切记讨论单调性之前先确定函数的定义域。 一、判断含参函数的单调性—导数单调型： 【使用条件】导函数是单调函数 357 【方法总结】第一步：先观察是否存在恒成立的情况，有恒成立先讨论恒成立；第二步：没 有恒成立一般需要将参数分为等于0大于0小于0三种情况. 【母题探究】 已知函数f(x)=x-a(1+lnx).讨论函数f(x)的单调性， 【母题解析】 解：f(x)=x-a(1+nx)(x>0), f)=1-=号， ①若a≤0，f(x)>0,f(x)在区间0，+m)上单调递增； ②若a>0,由f(x)=0得x=a. 当0<x<a时，f(x)<0,f(x)在区间(0，a)上单调递减； 当x>a时，f'(x)>0,f(x)在区间(a,+m)上单调递增： 综上①和②所述，当a≤0时，f(x)在区间(0，+o)上单调递增；当a>0时，f(x)在区间 (0,a)上单调递减；f(x)在区间(a,+)上单调递增。 二、判断含参函数的单调性—导数二次型不能分解： 【使用条件】导函数是不能因式分解的二次型函数 【方法总结】第一步：先观察是否存在恒成立的情况，有恒成立先讨论恒成立（如果二次项 的系数不含参可以直接讨论△)；第二步：然后讨论△≤0（其实也是讨论恒成立）的时参数 的取值范围；第三步：△>0时，求出两根，如果定义域为正，用韦达定理判断两根是否均在 定义域内，如果定义域包含负数，则进行根的分布讨论， 358 【母题探究】 已知f(x)=x2+lh(x+a).讨论f(x)的单调性 【母题解析】 解：由f)=x2+nx+)求导f')=2x+之=2(x>-a, X+E x+0 :f'(x)分母恒大0， ∴只需讨论分子与0的关系， :2x2+2ax+1不能直接分解因式， 当△≤0时，-V2≤a≤VZ,f(x)在区间(-a,+∞)上单调递增： 当△>0时，a>V2或a<-V2】 令f"x)=0解得名1=-aa三 2 2=@2 2 (看不懂下菌步骤的画图观察)当x=-a时，2x2+2ax+1>0, 所以x,与x2要么都在定义域内，要么都不在定义域 当都不在定义域时，-a>-,解得a<0, 所以当a<-V2时，f(x)在区间(-a,+)上单调递增： 当都在定义域时，-a<-,解得a>0, 所以当a>V2时，f在区间(-a,-2三马上单调递增，在区间(-三】 aa2马上 2 2 2 单调递减，在区间(4+ ,+∞)上单词递增： 2 综上所述： 当a≤v2时，f(x)在区间(-a,十o)上单调递增： 当a>V2时，化在区间-8，-4巴上单满递灌，在区同-4区，h巴上单泥 2 递减，在区同严，十回上单调递增 359 三、判断含参函数的单调性—导后二次型因式分解： 【使用条件】导函数是可因式分解的二次型函数 【方法总结】第一步：因式分解后观察含参因式是香存在恒成立的情况；第二步：其他情况 进行根的分布讨论。 【母题探究】 (2021新高考)已知函数f(x)=(x-1)e-ax2+b.讨论f(x)的单调性， 【母题解析】 解：由fx)=(x-1)e*-ax2+b,求导f'(x)=xe-2ax=x(ex-2a), 当a≤0时，令f'(x)=0得x=0,fx)在(-∞，0)上单调递减，在(0，+o)上单潘递增； 当a>0时，令f'(x)=0得x1=0,x2=n2a, ①当a=时，f'(x)≥0，f(x)在R上单调递增， ②当a>时，fx)在(-∞，0)上单调递增，在(0，n2a)上单调递减，在(tn2a,+co)上单 调递增， ®当0<a<时，f(x)在(-o,n2a)上单调递增，在(tm2a,0)上单遥递减，在0，+o) 上单调递增， 综上所达： 当a≤0时，f(x)在(-0,0)上单调递减，在(0，+o)上单调递增： 当0<a<时，f(x)在(-，in2a)和(0，+o)上单调递增，在(n2a,0)上单调送减； 当a=时，fx)在R上单调递增： 当a>时，fx)在(-0,0)和(m2a,+)上单调递增，在(0，n2a)上单调递减. 360 四、判断函数的单调性导后超越型： 【使用条件】求完导之后，如果「(x)结构依然复杂（超越函数），无法直接判断出与0的关 系。 【方法总结】对号函数的一部分再次求导，通过二阶导数的单调性和二阶导数与0的关系确 定一阶导数的单调性，继而确定原函数的单调性 【母题探究】 已知函数f()=警(x>e.讨论fx)的单调性 【母题解析】 解：由f-空，求号fr倒==血心=(x>e}, e2x 令g6=lhr+1-nx>o).g')=lm-1(x>e）, g”)=-京--岁(x>e), 9”()在定义域内恒小于0，则g'(x)单话递减，9'(x)<-2<0, 所以g(x)单调递减，g(x)<2-e<0, 即f'(x)<0,f(x)在(e,+∞)单调递减， 五、已知单调区间求参数： 【使用条件】已知单调区间求参数范围. 【方法总结】第一步：函数在某区间单谲递增，f(x)≥0；函数在某区间单调递减，f'(x)≥ 0;第二步：参变分离求参数范围，如果不能参变分离通常利用根的分布， 注意：等号不能省路。 361 【母题探究】 已知函数fx)=x3-x2+bx+c.若fx)在(-的，+∞)是增函数，求的取值范围。 【母题解析】 解：f'(x)=3x2-x+b, :fx)在(-的，+∞)是增函数， ∴f"(x)≥0恒成立， 即4=1-126≤0，解得0之是 “b的取值范围为哈，+m). 六、已知单调求参数： 【使用条件】题目只给出函数单调，不确定单调递增还是单调递减 【方法总结】第一步：求导，利用特殊值判断导数是香存在大于0或小于0的情况；第二步：若 存在则直接确定函数的单调性，再求参数范围，若不存在则需分类讨论， 【母题探究】 (201:安徽改编)设fx)=,点，其中a为实数。若fx)为R上的单调函数，求a的取值范 围 【母题解析】 解：f'(x)=eax2-2ar+ (1+r22 f(x)为R上的单调函数，即f'(x)在R恒大于等于0或恒小于等于0， 因为f'(0)>0, 所以f(x)为R上单调递增，f'(x)≥0， 362 即ax2-2ax+1≥0， 当a=0时，显然成立： 当a<0时，二次函数开口向下显然不成立： 当a>0时，△=4a(a-1)≤0，解得0<a≤1， 综上所述：0≤a≤1. 七、存在性问题： 【使用条件】存在单调区间 【方法总结】函数在区间D上存在单调递增区间，即存在x。∈D使得f'(x)>0;函数在区间 D上存在单调递减区间，即存在xoeD使得f'(xo)<0. 注意：不能取等号. 【母题探究】 (2011江西)设f)=-x3+x2+2ax.若fx)在G,+m)上存在单调递增区间，求a 的取值范围， 【母题解析】 解：f(x)=-x2+x+2a, 若f(x)在(G,+∞)上存在单调递增区间，即3x0E(行，+∞)使得-x2+x+2a>0, 即eG,+o)使得a>号 令g)=宁兰，g)在G,+四)止单调递增。 则g()nmn>- 所以a>-片 363