66 构造函数-遇见最美的数学系列——题型篇（一）

构造函数 解抽象不等式和比较大小的问题,经常会遇到无法直接得到结果或原函数的单调 性对解题没有帮助的题目,此时通常需要来构造新函数利用新函数的单调性帮助 解题,这是解导数压轴题的必备技能,构造函数的本质是求导运算的逆运算。 一、构造函数-比较大小: 【使用条件】比较大小问题不能通过指对函数的性质直接比较时,考虑同构. 【方法总结】观察各数的结构,转化成通过相同运算结构得到的数,并将运簿结构中相同的元 素作为变量,两两作差得到新函数,根据新函数的单调性比较大小. 【对应真题】2022新高考;2022甲卷:2021乙卷 【母题探究】 若设a=2ln1.01.b=ln1.02,c=v1.04-1,则 A.a<b<c B. h<c<a C.b<a<c D. c<a<b 【母题解析】 解::a=2ln1.01.b=ln1.02,c=v1.04-1 义a=ln1.012-ln1.0201 'a>b. c无法直接与a和比较,观察结构发现三个数可通过相同的运篇形式得到 c包含的1.04=1+4x0.01. a包含的1.01=1+1x0.01. b包含的1.02=1+2x0.01. 2 即都可通过1+nx运算得到 令f$x)=2ln(1+x)-(1+4$-1).0<$ $ 令v1+4x=t.则1<t<5 .x2- 'g(t)=2n)-t+1=21n(t2+3)-t+1-21n4 g(t)-1---1-3_0 23 143 '.g(t)在(1.5)上单调递增 osir '.gt) g(1)=2ln4-1+1-2ln4=0 .f(x)>0. .a>c: 同理c>b: 故选:B. 二、构造函数_-利用导数逆运算构造: 【使用条件】当题目中含有/(x)的抽象不等式时,通常需要构造函数解决问题 【方法总结】首先对原不等式进行移项,将含f(x)和f(x)统一放到不等号左边(右边通常只 剩0): 若不等式左边只含有f(x),可以用[f(x)土g(x)]'=f(x)土g(x)构造; 若不等式左边含有f(x)和f(x).且中间是+连接,可以用[f(x)·g(x)'=f'(x)g(x)+ f(x)g(x)构造: l){2} { 【母题探究】 f(x)是定义在R上的可导函数,且f'(x)>f(x).对任意正实数a,则下列式子成立的是() A.(o)0 B./(a) C. f(a)<e{f(o) D.f(a)>e“f(0) 【母题解析】 解:f(x)>f(x)移项得f'(x)-fx)>0 令#(x- r'(x)- ()r()r_ -()x00 e)2} ,1 所以F(x)在R上单调递增 Ninsir 又a>0. 三、构造函数--常用公式: (1)f(x)土g’(x)构造函数F(x)=f(x)土q(x) (2) f'(x)g(x)+g'(x)f(x)构造函数F(x)=f(x)q(x) (4)xf'(x)土nf(x)构造函数F(x)=x”f(x).特别地xf'(x)+f(x)构造函数F(x)= xf(x): (5)xf'(x)-n/f(x)构造函数F(x)-,特别地xf'(x)-f(x)构造函数F(x)-f(x). (6)f'(x)+nf(x)构造函数F(x)=erf(x).特别地,f'(x)+f(x)构造函数F(x)= e*f(x): ) (9) )“构造函数F(x)=lnf(x)(f(x)>0): ) (10)f(x)+f'(x)tanx构造函数F(x)=sinxf(x) (11)f(x)-f”(x)tanx构造函数F(x)- sinx (13)f'(x)-f(x)tanx构造函数F(x)=cosxf(x) 四、构造函数-免构造偷分技巧 【使用条件]选择题含f(x)的抽象不等式 [方法总结]免构造偷分技巧:因为构造函数的目的是为了讨论得到新函数的单调性比较大 小,而构造的新函数的导数是通过原不等式得到的,所以通常只需要看不等式中f(x)移到不 等号左边.在绝大多数题目中,若f(x)系数为正,且不等号>”或”,则为递增函数:若 f'(x)系数为正,且不等号<”或<,则为递减函数;然后将要解的不等式和题目条件中的 具体值放在一起根据单调性得到答案 【温馨提示】这种方法是实在不会做的情况下的蒙题方法,并不是科学的做题方法,只是绝 大多数题目符合此规律而已 【母题探究】 设函数f(x)是奇函数f(x)(xER)的导函数,f(e)=0.当x<0时,xf'(x)一f(x)>0.则 使得f(x)>0成立的x的取值范围是0 A.(--e)U(0e) B.(--e)U(e,+co) C.(-e,0)u(0e) D.(-e.0)u(e +) 2 【母题解析】 解:.不等式xf(x)一f(x)>0中,f'(x)前面的系数x<0 .不等式两边同时除以x得,f(x)-/)<0. .所以当x<0时函数为减函数 .f(e)=0, f(-e)=0 要求f(x)>0.当x<0时,f(x)→f(-e) .x<-, 根据奇函数关于原点对称,当x>0时,0<x<e 故答案为:A. 导数和函数图像 导数图像和函数图像的关系: 【使用条件】已知导函数的性质或图像判断原函数的图像或性质 [方法总结】 (1) 单性:/'(x)>0,/(x)单调递增:f'(x)<0,f(x)单调递减; (2)对称性:f'(x)关于x三a对称,f(x)关于(a.m)对称:f(x)关于(a.0)对称,f(x)关 于x三a对称(反之亦然): (3)周期性:f(x)周期为T,则f(x)周期为T: (4) 凹凸性:f(x)0,函数圈像是凹型;f(x)<0.函数图像是凸型 说明:单调性和回凸性是局部性质,上述写法是为了简单表示 {