64 随机变量及其分布列-遇见最美的数学系列——题型篇（一）

随机变量及其分布列 一、离散型随机变量及其分布列： 【知识梳理】 (1)随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，所有取值可以一一列出的随机变量称为 离散型随机变量， (2)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1,x2,…,x,…,x,X取每一个值 x(i=1,2,…,n)的概率P(X=x)=p,则称衷 X Xn PP: P2 为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，具有如下性质： ①p:≥0，i=1,2,…,n ②：=1. 离散型随机变量在某一范国内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和 (3)两点分布 如果随机变量X的分布列为 1 P1-p B 其中0<P<1,则称离散型随机变量X服从两点分布. 其中p=P(X=1)称为成功概率， 【母题探究】 (2014~陕西)在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这 334 块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如表： 作物产量(kg) 300 500 概率 0.5 0.5 作物市场价格（元kg) 6 10 祸率 04 06 (I)设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列； ()若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概 率 【母题解析】 解： (I)设A表示事件作物产量为30kg”,B表示事件作物市场价格为6元kg”, 则P(A)=0.5,P(B)=0.4, 利润=产量×市场价格一成本， X的所有值为： 500×10-1000=4000,500×6-1000=2000 300×10-1000=2000,300×6-1000=800。 则P(X=4000)=P(A)P(B)=(1-0.5)×(1-0.4)=0.3, P(X=2000)=P(AP(B)+P(A)P(B)=(1-0.5)×0.4+0.5×(1-0.4)=0.5, P(X=800)=P(AP(B)=0.5×0.4=0.2, 则X的分布列为： X 4000 2000 800 335 0.3 0.5 0.2 (Ⅱ)设C表示事件“第季利润不少于2000元“(i=1,2,3), 则C1,C2,C相互独立， 由(1）知，P(C)=P(X=4000)+P(X=2000)=0.3+0.5=0.8(i=1,2,3, 3季的利润均不少于200的概率为P(C1C2C3)=P(C)P(C2)P(C3)=0.83=0.512, 3季的利润有2季不少于2000的概幸为P(C1C2C,)+P(C1CC)+P(C1C2C3)= 3×0.82×0.2=0.384, 综上：这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率为：0.512+0.384=0.896. 二、数学期望和方差： 【知识梳理】 一般地，若离散型随机变量X的分布列为 Xi Pn (1)均值：称E(X)=”1m为随机变量X的均值或数学期望.它反映了离散型随机变量取 值的平均水平 (2)方差 称D(X)=:(x-E(X)P:为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均 偏离程度，并称其算术平方根、√D(万为随机变量X的标准差。 (3)均值与方差的性质 ①E(ax+b)=aE(X)+b; ②D(aX+b)=a2D(X) 336 【母题探究】 (2017浙江)已知随机变量满足P(=1)=4,P5=0)=1-,1=1,2.若0<p1< ?P2<则0 A.E()<E(52),D()<D(52) B.E(5)<E52),D(1)>D() C.E(5)>E(52),D51)<D(G2) D.E5:)>E(2),D()>D(52) 1母题解析】 解：：随机变量满足P(=1)=,P(G=0)=1-,i=1,2.若0<m:<仍< <1-<1-h<1, E(G1)=1×p1+0×(1-p)=p1 E(G2)=1×p2+0×(1-P2)=p2, D()=(1“p)2p1+(0-p)2(1-)=1-p2, D(2)=(1-2)2p2+(0-p2)2(1-p2)=-p22, D(G)-D(2)=p1-p12-(2-p22)=(2-P1)1+P2-1)<0, ·E)<E(52),D(1)<D(52). 故选：A. 三、超几何分布： 【知识梳理】 337 假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取件（不放回），用X表示 抽取的件产品中的次品数，则 P(X=k)=盛c立 EX)=n总 0x)=n1-01-. 【母题探究】 (2018天津)已知某单位甲，乙、丙三个部们的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽 样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查， (1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？ ()若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步 的身体检查。 ()用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望； ()设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工“，求事件A发 生的概率。 【母题解析】 解：(I)单位甲、乙.丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.人数比为3：2：2， 从中抽取7人现，应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3,2,2人 {Ⅱ)若抽出的7人中有4人睡服不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步 的身体检查。 ()用X表示抽取的3人中眠不足的员工人数， 随机变量X的取值为：0,1，之3，P0化=的=学，长0,1,2,3， 338 所以随机变量的分布列为： 0 2 3 1 18 35 3 35 随机变量X的数学期望0)=光=兰=号 ()设A为事件：抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眼不足的员工， 设事件B为：抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人， 事件C为：抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人， 则：A=BUC,且P(B)=P(X=2),P(C)=P(X=1), P(A)=P(BUC)=P(X =2)+P(X=1)=5. 所以事件A发生的概率： 四、二项分布和n次独立重复试验： 【知识梳理】 (1)独立重复试验的意义：做和次试验，如果它们是完全同样的一个试验的重复，且它们相 互独立，那么这类试验叫做独立重复试验， (2)二项分布(X~B(n,P): 在n次独立重复的试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为P, 则P(X=k)=C路p*(1-p)-k,k=0,1,2,n,E(X)=np,D()=np(1-p). 【母题探究】 (2018,新课标Ⅲ)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为卫，各成员的支付方式相互独 339 立.设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D(X)=2.4,P(X=4)<P(X=6),则 p=() A.0.7 B.0.6 C.0.4 D.0.3 【母题解析】 解：某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为卫，看作是独立重复事件，满足 X~B10,p), P(x=4)<PX=6),可得Cp(1-p<C6p(1-p,可得1-2p<0.即p> 因为DX=2.4,可得10p(1-p)=2.4,解得p=0.6或知=0.4（舍去）， 故选：B. 五、正态分布X~N(4,σ2)： 【知识梳理】 1 -(x-g2 (1)正态曲线：函数0。，。x)=云e0,x∈(-0，+0)，其中实数和g为参数(0> 0,μ∈R).我们称函数9。，。)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线。 (2)正态曲线的特点 ①曲线位于x轴上方，与x轴不相交 ②曲线是单峰的，它关于直线x=对称 ③曲线在x=处达到蜂值 ④曲线与x轴之间的面积为1 ⑤当a一定时，曲线的位置由u确定，曲线随着4的变化而沿x轴平移，如图甲所示 ⑥当4一定时，曲线的形状由σ确定，越小，曲线越瘦高"，表示总体的分布越集中；σ越大 曲线越矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示」 340 oul5 =-1 r=2 2-寸2 23 (3)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 P(g-g<X≤H+o)≈0.6827； P(u-2a<X≤4+2a)≈0.9545： P(4-3<X≤4+3c)≈0.9973， 【母题探究】 (1)(2015山东)已知某批罗件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N(0,32),从中随 机抽取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为() (附：若随机变量服从正态分布N(μ，2)，则P(4-0<专<H+o)=68.26%,P(4-2c< {<4+2σ)=9544%) A.4.56% B.3.59% C.27.18% D.31.74% (2) (2014新课标)从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指 标值，由测量结果得如下频率分布直方图： ◆频率 组距 0.033 0.024 0.022 0.009 0.008 0.002 165175185195205215225235质量指标值 341 (1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2(同一组中数据用该组区间的 中点值作代表)； (Ⅱ)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(u,σ)，其中u近似为样 本苹均数，2近似为样本方差s2 (i)利用该正态分布，求P(187.8<Z<212.2): ()某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间 (187.8,2122)的产品件数，利用(i)的结果，求EX. 附：V150≈12.2 若2~N,g2)则P(-0<2<4+a)=0.6826,Pu-2a<2<4+2a)=0.9544. 【母题解析】 解：(1)由题意P(-3<专<3)=68.26%，P(-6<5<6)=95.44%, 所以P(3<5<6)=(95,44%-68.26%购)=1359%. 故选：B. (2)解：(J)抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差52分别为：文= 170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+ 230×0.02=200. s2=(-30)2×0.02+(-20)2×0.09+(-10)2×0.22+0×0.33+102×0.24+ 202×0.08+302×0.02=150. (11){i)由(1)知Z~N(200,150),从而P(187.8<Z<212.2)=P(200-12.2<Z< 200+12.2)=0.6826; （(i)由(i)知一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.6826，符合二项 342 分布X~B(100,0.6826),所以EX=100×0.6826=68.26. 、 Ning sir 88 athematician 888 343