62 排列组合-遇见最美的数学系列——题型篇（一）

C:P(Z两)=六*P(Z)P(丙， D:P(丙丁)=0≠P(丙)P(丁)， 故选：B. 排列组合 一、 排列组合基础概念： 【知识梳理】 (1)加法原理和乘法原理： 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 相同点 计算完成一件事的方法种数 分类完成，类类相加 分步完成，步步相乘 每步依次完成才算完成这件事情（每 不同点 每类方案中的每一种方法都能独立完成这件事 步中的每一种方法不能独立完成这件 事)】 注意点 类类独立，不重不漏 步步相依，步骤完整 (2)排列： ①从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列. ②计算公式：得=nn-0-2)-0a-m+)= 317 ③理解：分布计数原理。 (3)组合： ①从n个不同元素中，任意取出m(m≤n)个元素并成一组. ②计算公式：C”=祭=m-a-2m-m+= A网 m! m(n-m月 ③性质：Cm=C-m,C1=Cm+Cm-1 ④理解：从n个不同的元素中任取m个元素排列共有A”种排列方式，m个元素的顺序有A册种， 因为组合是没有顺序的，所以A”再除以Am 【母题探究】 (2006江苏)今有2个红球，3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列 有种不同的方法（用数字作答）， 【母题解析】 解：法一：由题意可知，因同色球不加以区分，实际上是一个组合问题 先在9个位置中选4个位置排白球，有C哈种排法，再从剩余的5个位置中选2个位置排红 球，有C种排法，所以共有C。C号·1=1260. 法二：先将9个球排成一列，有A8种排法，此时4个白球有A种排列方式，2个红球有A种 排列方式，3个黄球有A种排列方式， 因为同色球不加以区分，所以总共为居种。 二、特殊元素位置优先策略： 【使用条件】某个元素不能或只能出现在某个位置。 318 【方法总结】先将特殊元素排列，然后在剩下的位置中排列其余元素， 【母题探究】 (2018浙江)从1,3,5,7,9中任取2个数字，从0,2,4,6中任取2个数字，一共可以 组成个没有重复数字的四位数.（用数字作答）， 【母题解析】 解：根据题意，分2种情况讨论： ①从0,2,4,6中取出的2个数字中没有0，有C好=3种取法， 从1,3,5,7,9中任取2个数字，有C好=10种取法 再将选出的4个全排列，安排在4个数位，有A24种情况， 一共可以组成3×10x24=720个没有重复数字的四位数： ②从0,2,4,6中取出的2个数字中含有0，有C=3种取法， 从1,3,5,7,9中任取2个数字，有C=10种取法 0不能在千位位置，其它3个数字任意排列，有3×A得=18种情况 一共可以组成3×10×18=540个没有重复数字的四位数： 故一共可得组成720+540=1260个没有重复数字的四位数： 故答案为：1260. 三、堵孔法： 【使用条件】某个元素不能出现在某个位置 【方法总结】先用其他元素将这个位置占位，剩下元素全排列， 319 【母题探究】 (2012:大纲版)6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的 演讲次序有() A.240种 B.360种 C.480种 D.720种 【母题解析】 解：先从其他5个人中选1个第一个演讲，再从剩下的其他4个人中选一个最后一个演讲， 剩下的四个同学排序，共有CgCA=480种， 四、至少至多问题： 【使用条件】出现至少和至多时. 【方法总结】利用对立事件求解 【母题探究】 (2017浙江)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人 服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有种不同的选法，（用数字作答）】 【母题解析】 解：从8名同学中选4人正副队长各一名共有C哈4好种，服务队中至少有1名女生的对立事件 是服务对中没有女生，共有C哈A好， 所以至少有1名女生共有C哈A-C含A好=660种 320 五、捆绑法： 【使用条件】某几个元素相邻， 【方法总结】把在一起的元素捆绑在一起和其他元素排列，然后再内部排列. 【母题探究】 (1)（2022新高考)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在 两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有() A.12种 B.24种 C.36种 D.48种 (2)(2014北京)把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相 邻，则不同的摆法有种. 【母题解析】 解：(1)把丙和丁捆绑在一起，4组任意排列，有A-24种情况， 丙和丁也需要排列，所以五个人任意排列有A·A好=48种情况， 甲站在两端的情况有种CA号A好=24种情况， ∴.甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有48-24=24种， 故选：B. (2)先考虑产品A与B相邻，把A、B作为一个元素有A=24种方法，而A、B可交换位置， 所以有A件·A经-48种摆法， 又当A、B相邻又满足A、C相邻，有A得·2=12种摆法， 故满足条件的摆法有48-12=36种。 321 六、插孔法： 【使用条件】某两个元素不相邻 【方法总结】先将没有位置限制的其他元素排列，然后把不相邻的插入其他元素之间的空 位 【母题探究】 (2013大纲版)6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有种.（用数字 作答) 【母题解析】 解：6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法：排列好甲、乙两人外的4人，有 A=24种方法， 然后把甲、乙两人插入4个人的5个空位，有A号=20种方法， 所以共有：24×20=480. 七、多排问题： 【使用条件】元素排成多排 【方法总结】先排特殊位置，剩下的全排列， 【母题探究】 8人排成前后两排，前排3人后排5人，甲、乙在后排，且不相邻的排法有种 【母题解析】 解：根据题意，分2步进行分析： 322 ①在除甲乙之外的6人中任选3人，与甲乙一起排在后排， 由于甲乙不能相邻，则有 C2·A·A行=1440种情况， ②将剩下的三人全排列，安排在前排，有=6种情况， 则有1440×6=8640种排法： 故答案为：8640. 八、不同元素分组问题： 【使用条件】不同的元素分组 【方法总结】以6个人分成3组为例， (1)平均分：两人一组有C种分法： (2)部分平均：两个一人组，一个四人组有CC, (3)不平均：一个一人组，一个两人组，一个三人组有C·C经·C. 理解：有平均分的要除以平均分的组数的全排列是因为有重复。 【母题探究】 (2021·乙卷)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进 行培训，每名志愿者只分配到】个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案 共有() A.60种 B.120种 C.240种 D.480种 【母题解析】 解：法一：5名志愿者选2个1组，有C种方法，然后4组进行全排列，有A种， 323 共有AtC号=240种， 故选：C. 法二：先将5人分组再排列：66位.A=240. 九、隔板法： 【使用条件】相同元素分组， 【方法总结】相同的m个元素分成n组（每组不为空），给m个元素之间插入n-1个隔板. 【母题探究】 不定方程a+b+c+d+e+f=11的正整数解有多少组，非负整数解数有多少组. 【母题解析】 解：a+b+c+d+e+f=11的正整数解，相当于将11个1分成6组， 转化为10个空中插入5个板，故共有C。=252组， 非负整数组不能直接插空，依然转化为将m个1分成n组的问题，所以将a+b+c+d+e+ f=11转化为x1-1+x2-1+3-1+x4-1+x5-1+x6-1=11(x为正整数)，此 时x+2+x3+x4+x5+x6=16,相当于将16个1分成6组， 转化为15个空中插入5个板，所以非负整数解数有C=4368组. 十、染色问题： 【使用条件】染色问题. 【方法总结】染色问题有两种处理思路： 324 (1)逐个涂色，一般先选择特殊板块开始涂色； (2)根据选择的颜色数分组讨论. 【母题探究】 (2010天津)如图，用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F六个点涂色，要求每个点 涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有() A.288种 B.264种 C.240种 D.168种 D 心 【母题解析】 解：法一：：图中每条线段的两个端点涂不同颜色， 可以根据所涂得颜色的种类来分类， B,D,E,F用四种颜色，则有A×1×1=24种涂色方法； B,D,E,F用三种颜色，则有A×2×2+A43×2×1×2=192种涂色方法： B,D,E,F用两种颜色，则有A好×2×2=48种涂色方法； 根据分类计数原理知共有24+192+48=264种不同的涂色方法. 法二：先涂E点，有C种，再涂A点，有C种，再涂D点，有C阳种， F点分三种情况： ①第一种是选择第四种颜色，这时B也两种，若B和D相同，C可以和A或E相同，若 B和E相同，则C只能和A相同，共有3CCC经=72种。 325 ②第二种是和A相同，C有两种，B也有两种，共有CiCC.CC=96种 ③第三种是和D相同，同第二种情况一样共有CICiCCC=96种， 所以共有72+96+96=264种. 故选：B. 十一、立体几何中的排列组合问题： 【使用条件】排列组合与立体几何结合， 【方法总结】主要考察空间想象能力和对排列组合的应用，解题思路和其他排列组合问题没 有区别. 【母题探究】 (2014:安徽)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对.其中所成的角为60°的共有() A.24对 B.30对 C.48对 D.60对 【母题解析】 解：正方体的面对角线共有12条，两条为一对，共有C径=66对， 同一面上的对角线不满足题意，对面的面对角线也不满足题意，一组平行平面共有6对不满 足题意的直线对数， 不满足题意的共有：3×6=18. 从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对.其中所成的角为60°的共有：66-18= 48. 故选：C 326