60 统计-遇见最美的数学系列——题型篇（一）

统计 一、抽样方法： 【使用条件】考察三种抽样方法， 【方法总结】 类别 共同点 各自特点 相互联系 适用范围 简单团 总体中的个体 从总体中逐个曲取 机莊样 数较少 在起始部分抽样时牙 系统油 挂样过程中每个个使 将总体均匀分成几个邪分，按 总体中的个体 用简单随机抽样】 样 被袖取的核率是相同 事先确定的规则在各部分拉取 数较多 各层抽样时采用简单 的 随有拍珠或系统推样 总体由差异明 分层抽 将总体分成几层，分层送行抽 显的几部分组 样 取 成 【母题探究】 (1)(2018~新课标)某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异，为 了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样 和系统抽样，则最合适的抽样方法是· (2)(2014湖南】对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系 统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为，P2, P3,则() A.R1=P2<P3 B.P2=P3<P C.P=P1<P2 D.P=P2=P 【母疑解析】 298 解：(1)某公司有大童客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异， 为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查， 可供选择的抽样方法有简单随机抽样，分层抽样和系统抽样， 则最合适的抽样方法是分层抽样 故答案为：分层抽样 (2)根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义可知，无论哪种抽样，每个个体被抽中 的概率都是相等的， 節P=P2=P3. 故选：D 二、统计特征参数： 【知识梳理】 (1)众数：一组数据中出现次数最多的数 (2)中位数：将数据从小到大排列，若有奇数个数，则最中间的数是中位数：若有偶数个 数，则中间两数的平均致是中位数 (3)百分位数：：一般地，一组数据的第P百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少 有P%的数据小于或等于这个值，且至少有(100-P)%的数据大于或等于这个值. (4)平均数：京=+++，反映了一组数据的平均水平. (5)用一组数据中最大数据减去最小数据的差来反映这组数据的变化范固，这个数据就叫 极差. 299 (6)标准差：是样本数据到平均数的一种平均距离，S= 、月-习+化-P++,一习羽（化是样本数据，n是样本容量，提样本平均 数)· (7)方差：2=(s-对+(x2-)2+…+(xn-习(xn是样本数据，n是样本容量， x是样本平均数)· 【母题探究】 (多选)甲、乙两名射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中环数如下： 甲 8 7 9 5 4 10 4 9 5 6 8 6 下列说法正确的是(} A,甲、乙成绩的中位数、众数、平均数均相同 B.甲成绩的标准差为4，乙成绩的极差为4 C、甲成绩的下四分位数为5，乙成绩的第70百分位数为7.5 D.若从甲、乙中选择一名参加比赛，应该选择乙【母题解析】 解：A,甲的中位数为7，众数为7，平均数为7，乙的中位数为7，众数为7，平均数为7，∴A 正确， B,:甲的方差为07-7)2×3+8-7y+(9-7y×2+5-7y+(4-7)2×2+ (10-7)门=4，.甲的标准差为2，：乙的极差为9-5=4，B错误， C,将甲的成绩从小到大排列为4,4,5,7,7,7,8,9,9,10， :10×25%=2.5,:甲成绩的下四分位数为第3个数是5， 300 将乙的成绩从小到大排列为5,6,6,7,7,7,7,8,8,9， “10×70%=7,÷乙成绩的第70百分位数为=75，C正确， D,甲的平均数等于乙的平均数， 乙的方差为品17-7Y×4+8-7)2×2+(9-72+(5-7)2+(6-7)2×2习=12， 甲的方差为4，，乙比甲的成绩稳定，故D正确， 故选：ACD. 三、统计图： 【使用条件】统计窗」 【方法总结】 (1)扇形统计图：可以很清楚的表示出各部分数量同总数之间的关系： (2)折线图：折线图可以显示随时间（根据常用比例放置）而变化的连续数据，因此非常适用 于显示在相等时间间隔下数据的趋势： (3)茎叶图：由茎叶圈可以清晰地看到数据的分布情况，这一点同频率分布直方图类 似.它优于频率分布直方图的第一点是从茎叶图中能看到原始数据，没有任何信急损失，第 二点是茎叶图便于记录和表示.其缺点是当样本容量较大时，作图较烦琐； (4)频率分布直方图： ①频率分布直方图中纵轴上的数据是各组的频率酴以组距的结果，不要误以为纵轴上的数据 是各组的频率，不要和条形图混淆； ②频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1，这是解题的关键，常利用频率分布直方图 估计总体分布； 301 ③众数：领率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标： ④平均数：频率分布直方图各个小矩形的面积乘底边中点的横坐标之和； ⑤中位数：把烦率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于y轴的直线横坐标. 【母题探究】 (1）(2013四川)某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据 的茎叶图如图所示.以组距为5将数据分组成0,5)，[5,10)，，[30,35)，[35,40 时，所作的频率分布直方图是() 0 73 764430 2 7554320 85430 4频军 案 组距 0.05 组距 0.04 0.04 0.03 0.03 0.02 0.02 001 0.01 A. 0 510152025303540人数 05100为33的40人数 组距 组距 0.04 0.04 0.03 0.03 0.02 0.02 0.1 001 C. 0 10 20 30 40 、数 D 0 10 20 30 40 (2) (2012江西)小波一星期的总开支分布图如图1所示，一星期的食品开支如图2所示 则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为() 302 云开支约 乐丹变10日常丹支2, 图1 A.30% B.1G% C.3% D.不能确定 【母题解析】 解：(1)根据题意，频率分布表可得： 分组 频数 频率 10,5) 1 0.05 [5,10) 0.05 [10,15) 0.20 {30,35) 3 0.15 135,40) 2 0.10 合计 100 1.00 进而可以作频率直方图可得： ◆频车 组距 004 0.03 0.02 0.01 0510150250350人数 故选：A, 303 (2】解：根据一星期的食品开支图，可知鸡蛋占食品开支的百分比为 30 30*40+100+80+50=109%, :一星期的食品开支占总开支的百分比为30%， ∴.一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为30%×10%=3%. 故选：C. 四、独立性检验： 【方法总结) (1)分类变量：变量的不同“值表示个体所属的不同类别，像这样的变景称为分类变量。 (2)列联表：列出的两个分类变量的须数表，称为列联表，假设有两个分类变量X和Y,它 们的可能取值分别为x1,x2和y1,y2,其样本频数列联表（称为2×2列联表）为 1 y2 总计 X1 a b a+b X2 c d c+d 总计 a+c b+d a+b+c+d 构造一个随机变量2= n(aa-be)2 (a+bH(c+d)(a+c)(b+d 二，其中n=a+b+c十d为样本容量 (3)独立性检验 利用随机变量K来判断两个分类变量有关系的方法称为独立性检验。 【母题探究】 (2018~新课标1)某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的 两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组， 每组20人.第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成 304 生产任务的工作时间（单位：mi加）绘制了如下茎叶图： 第一种生产方式 第二种生产方式 8655689 976270122345668 987765433281445 2110090 (1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由； (2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m,并将完成生产任务所需时间超过m和 不超过的工人数填入下面的列联表： 超过m 不超过m 第一种生产方式 第二种生产方式 (3)根据(2)中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？ 附：K2= n(ad-bc)2 (a+bj(c+d红+cb+d P (K2zk) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【母题解析1 解：(1)根据茎叶图中的数据知， 第一种生产方式的工作时间主要集中在72~92之间， 第二种生产方式的工作时间主要集中在65~85之间， 所以第二种生产方式的工作时间较少些，效率更高： (2)这40名工人完成生产任务所需时间按从小到大的顺序排列后， 305 排在中间的两个数据是79和81，计算它们的中位数为m=91=80; 由此填写列联表如下； 超过m 不超过m 总计 第一种生产方式 15 5 20 第二种生产方式 5 15 20 总计 20 20 40 (3)根据(2)中的列联表，计算 K2= n(ad-bcy2 40x(15x15-5x5)2 =10>6.635 ia+bj(c+dj(a+c)(b+d) 20×20X20×20 ∴，能有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异 五、相关和回归分析： 【方法总结】 (1)相关关系的分类： ①正相关：在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系， 我们将它称为正相关， ②负相关：在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，两个变量的这种相关关系称为负 相关 (2)线性相关关系： 如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关 关系，这条直线叫做回归直线 {3)回归方程 306 ①最小二乘法：求回归直线，使得样本数据的点到它的距密的平方和最小的方法叫做最小二 乘法 ②回归方程：方程)=6x+à是两个具有线性相关关系的变量的一组数据（名1，乃），(x2, z),,(xn,为)的回归方程，其中a,6是待定参数. 6=温-62= 好-2 :x2-12 d=y-8x (4)回归分析 ①定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法， ②样本点的中心 对于一组具有线性相关关系的数据(x1,y),(x2,y2),,(xn,n),其中(，)称为样本 点的中心 ③相关系数：r= 盟-)0-) 界，环，0-列 当r>0时，表明两个变量正相关： 当r<0时，表明两个变量负相关 的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强.t的绝对值越接近于0，表明两个变 量之间几乎不存在线性相关关系，通常大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性， 1母题探究】 (2022,乙卷}某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山，为估计一林区某种 树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：m2）和 材积量（单位：m3),得到如下数据： 样本号 4 10 总和 根部横截面积x 0.040.060.040.08 0.080.050.050.070.070.060.6 307