58 向量与圆锥曲线-遇见最美的数学系列——题型篇（一）

将k代入得y=x-司 则圆心(2,0)到直线FE的距离d= 所以直线EF与圆G相切. 向量与圆锥曲线 :wT 一、传统联立： 【使用条件】涉及向量运算的问题。 【方法总结】坐标运算，构造韦达定理，联立方程组解决问题」 【母题探究】 (2005安徽)已知椭圆的中心为坐标原点0，焦点在x轴上，斜率为1且过椭回右焦点F的直线 交椭圆于A,B两点，0+0丽与立=(3，-1)共线. (1)求椭圆的离心率； ()设M为圆上任意一点，且OM=A0A+O丽（入，H∈R),证明2+2为定值. 【母题解析】 * 解：()设椭圆的方程为号+兰=1《a>b>0),Fc,0,Ax,,B,为. 设AB所在的直线方程为y=x一C, 0丽+0丽=(x1+2,生+2， 与ā=(3，-1)共线，即3y+z)+为1+x2=4(x+x2)-6c=0, 得卡=0， 291 联立} +兰-得a2+b2x2-2a2cx+a2c2-b的=0， y=x-c 所以+=器=6，即a2=3动， 离心率e= 31 (Ⅲ)由(（)知满医方程为茶+长=1，设Mg,功， 由0M=0肩+u0B得，x=x,+x2,y=y+y2 M为椭图上任意一点，所以将M代入满圈方程得+当=1， 362 化简得（儒+）+2保+)+2型=1， 3b2 即X2+42+2边=1， 3b2 由1)得xx2-出=2-b的)=2，=-c2-c)=业- a2*b2 代入①得2+42=1. 二、点差法： 【使用条件】已知弦AB的中点（定比点差的特殊形式）· 【方法总结】第一步：设A(1,y),B(x2,y2):第二步：将点A和点B分别代入曲线方程； 第三步：作差。 【母题探究】 (2018新课标)已知斜率为k的直线与菊图C:号+号=1交于A,B两点，线段A8的中点 为M(1,m)(m>0)· （1)证明：k<- (2)设P为C的右焦点，P为C上一点，且师+FA+FE=石.证明：FA,F列，F成等差 数列，并求该数列的公差， 292 【母题解析】 解：(1)设A(x1,),B(2,2), :线段AB的中点为M(1,m). x1+x2=2,当+y2=2m, 将A,B代入椭圈C: 但2+g=1 4 3 +空=1 、4 3 两式相减可得，3(x1+x2)(x1-x2)+40y1+y2)0-)=0, 两边同时除以x+1-x)得，3+4欲之=0，即k=头路=一品 3 X1X2 X1-X3 x1-2 点M1,m在椭图内，耶+号<L,(m>0), 解得0<m< 所以k<-封 (2)因为F严+FA+F丽=0，所以F点时△PAB的重心， 设A(x1,1),B(x2,y2),P(x,), 则x+x1+x2=3,y%+片+y2=0, 由(1)知x=1,y%=-2m, F网=-+7+x-1+3-=2-是 4 同理F商=2-子F可列=2-兰= 所以FA+F8=4-1=3=2F 所以下AF1,F成等差数列， 设该数列的公差为d.则2d=F网-F列=k2~x=V名+》-4x,， 由P点在椭图上，为=-2m可得m= 293 由(1)知直线的斜率k=-=-1,所以直线的方程为y=-x+ 联立 y=-x+ 得7x2-14x+=0, 所以+2=2，x=若代入①得d=酒。 28 所以该数列的公差为匹或-3区 28 28 三、定比点差法： 【使用条件】AP=PB。 【方法总结】第-步：设A(x1,),Bx2,,Pxa,0,则x= 1+ ，%=五坐： 1+1 第二步：将点A和点B分别代入曲线方程，代入点B的方程两边同乘；第三步：作差， 注意：定比点差法能解决的问题通常都能用韦达定理解决，一般情况当入已知时选择传统做法 更简洁，当未知时选择定比点差法。 【母题探究】 如围，已知椭圆C:二+后=1(Q>b>0)的左、右焦点分别为R、2,离心率为2点A 是椭圆上任一点，△AFF2的周长为4+2V3. (I)求椭圆C的方程； (Ⅱ)过点Q(-4,0)任作一动直线交椭圆C于M,N两点，记M0=AQ丽，若在线段MW土取 一点R,使得M瓜=-RN,则当直线转动时，点R在某一定直线上运动，求该定直线的方程. 【母题解析】 解：(I)△AFF2的周长为4+23， ∴2a+2c=4+2v3,即a+c=2+3. 294 又e==9解得a=2,c=3,b=1, “椭国G的方程为号+y2=1: (I)设Mx1,当)，N(x2,2),R(x,y), 因为0=0，则-4=，0=整，解得 1+1 1+2 限=-丽，则x=,y=” 1-A 1-1 因为点M,N在椭圆上，所以 +2=1 +y2=2 4 两式相减得5+-++炒)0，-y)=1-2, 4 两边同时除以1-得+当022=1， 41+)1-) (1*101-) 代入化简得-x=1,即x=-1, 故点R在定直线x=-1上」 非联立思路 非联立思路： 【方法总结】非联立顾名思义就是不联立方程组不利用韦达定理解照.这种思想井没有固定 的套路，主要考察对题目条件和问题的翻译转化能力， 【母题探究】 (2017-新课标)设0为坐标原点，动点M在椭圆C:+y2=1止，过M作x轴的垂线，垂足 为N,点P满足NP=√2，NM 295