53 面积问题-遇见最美的数学系列——题型篇（一）

法起：a品点品-翠2， x2-1 所以=2巴，代入式得，x+1)=品x-10, +1 4超 r-1 =-2x1*2+22 2=(kx1+1)kx2+1)=-21-3 k2+2 代入③得，岩=品解得x=-。 所以设点Q(-k,yo), 0丽.00=-×(-k)+0×y%=1. 面积问题 一、四边形+对角线： 【使用条件】已知四边形的对角线和对角线夹角， 【方法总结】S-ACBD1sin9,特别地对角线垂直时S=ACBD. 8 78-D 【母题探究】 (2013新课标)平通直角坐标系x0y中，过椭唇M:禁+号=1(a>b>0)右焦点的直 线x+y-3=0交M于A,B两点，P为A8的中点，且OP的斜率为} (1)求M的方程 270 (I)C,D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB,求四边形ACBD面积的最大值， 【母题解析】 解：(I)将右焦点(c,0)代入x+y-V3=0得，c=5, 设A(31,y),B(x2,y2),AB的中点P(,yo), 哈+答-1，琴+答=1，两式相减得白国+型=0， 两边同时除以（名+一名处理得说之=-片即kor=一三。 x+x2- 处理得a2=2b2, 1a2=2b2 所以联立a2=b2+c2,解得a2=6,b2=3, c=3 所以椭圆的方程为号+号-1。 3 (I):CD⊥AB,可设直线CD的方程为y=x+t, 「y=x+t 联立任+兰-1得3x2+4x+22-6=0, 6 3 :直线CD与椭圆有两个不同的交点， ∴4=16t2-12(2t2-6)=72-8t2>0,解-3<t<3, 设C(x3,y3),D(x4,y4 则+=-兰=兰 3 co1=+w6+P-红4=2(--4x 22/18-22 x+y-3=0 联立 +-1 得3x2-4v3x=0, 所以8=1+1(（-0= 所t以5E边我AeD-AB·CD=-2巫，-3<t<3, ,∴当且仅当t=0时，四边形ACBD面积取得最大值为V6. 271 四边形ACBD面积的最大值为V6. 二、顶点为原点的三角形： 【使用条件】求△OAB的面积，O是坐标原点，A(x1,y1),B(x2,2)分别是曲线上的点， 【方法总结】 (1)已知AB与y轴的交点为(0，m),则S△oAa=m:1-x2; (2)已知AB与x轴的交点为(m,0),则5△0A=mM-2. 【母题探究】 (2014新课标I)设F为抛物线C:y2=3x的焦点，过F且领斜角为30的直线交C于A,B两 点，0为坐标原点，则△OAB的面积为() A. C. D. {母题解析】 解：由y2=3x得焦点坐标为F(,0), ∴过A,B的直线方程为y=号-》，即x=西+？ 联立E+得4y-12w3-9=0, (y2=3x 设A(x1,),B(x2,2) 则%+为=3V3,h为=- Sa0A=Sa0Ae+S&OF8=×以-hl=号Vm+hP-42= 故选：D 272 三、面积公式+弦长公式： 【使用条件】已知某底边上的高或两条边的夹角求三角形面积。 【方法总结】 (1)已知高：S=底×高： (2)已知a与b的夹角8：S=2 ab sin. 【母题探究】 (2022新离考)已知点A2,1)在双曲线C:号-兰=1(a>1)上，直线交C于P,Q两 点，直线AP,AQ的斜率之和为0 (1)求的斜率 (2)若tan LPAQ=2v2,求△PAQ的面积. 【母题解析】 解：()双曲线为号-y2=1,直线的斜率长=-1，过程见定点闷题 (2)由直线AP,AQ的斜率之和为0可知P,Q都在右支上， 设P(1,为)，Qx2,y2). 过A做x轴的垂线垂足为M,得AM平分LPAQ, 设直线AP的倾斜角为a,则a=-P9,由an LPAQ=2VZ, 2 得2anP -=2VZ,解得tan9=是 2 所以ana=忆，即aw==V吃， 器 联立{ -2= 得x=10-42 3 2 3hs二4-5 同理可得x2=10+2 3， 273 而AP=V3k,-2,AQ1=V3k2-2.由an∠PA0=2W2,得sin∠PAQ=, 故5ap40=APA0lsin∠PAQ=2xx2-2,+x)+4利= 定点与定值问题 一、定点问题： 【使用条件】点P,A,B是锥曲线上的三点，若krA+kpg(不为0)、kpa'kpa或PA·P丽 为定值，则直线AB过定点. 【方法总结】 (1）传统方法：联立方程组利用韦达定理和已知的斜幸关系或其他条件找到真线方程中两 参数的关系，让直线方程只保留一个参数（斜率或截距）； (2)齐次化：将k和k阳看成一元二次方程得两个根，根据斜率的形式转化椭圆方程，再 利用直线方程齐次化椭圆方程。 【母题探究】 (2017新课标1)已知椭图C:兰+若=1(a>b>0),四点职，(1,1，月0,1，P,(-1, 身，P,1,马中怡有三点在椭国上。 (1)求C的方程 (2)设直线1不经过P2点且与C相交于A.B两点，若直线P2A与P2B直线的斜幸的和为-1，证 明：过定点. 【母题解析】 274