49 抛物线-遇见最美的数学系列——题型篇（一）

三、离心率超级结论 以下是几个关于求离心率和离心幸取值范围的重要结论，有局限性，了解即可， (1)过图锥曲线的焦点的直线交曲线与A,B两点，A下=F丽，则有1ecos91=-: 12+1 (2)已知椭圆焦点三角形顶角度数，则离心率e的范围是5m号，1)： (3)已知椭国顶点三角形顶角度数，则离心率ε的范围是 1- tani,1); (4)P为椭圆（双曲线）上一点满足PF=PF,则有椭图离心率e的范围是[：引， 1),双曲线离心率e的范围是[1， ) 抛物线 一、抛物线的定义判断轨迹： 【使用条件】求动点的轨迹方程。 【方法总结】利用抛物线的定义判断轨迹、求距离或面积：动点到焦点和准线的距离相等， 注意x的系数是距离的4倍（焦点在x轴上】· 【母题探究】 已知动圆P与定圆C:(x-2)2+y2=1相外切，又与定直线：x=-1相切，那么动圆的圆心 P的轨迹方程是() A.y2=4x B.y2=-4x C.y2=8x D.y2=-8x 【母题解析】 解：令P(x,y),C(2,0),动圆的半径为r, 254 则根据两圆相外切及直线与圆相切的性质可得，PC=1+r, P在直线的右侧，故P到定直线的距离d=r=x+1, 所以PC=d+1=x+2,即点P到点C的距离等于点P到直线x=-2的距离， 所以浅=2，则y2=8x. 故选：C 二、抛物线的定义求距离最值： 【使用条件】拢物线中的距离最值问题 【方法总结】 (1)的几何意义：焦点F到准线的距离： (2)与抛物线有关的最值问题一般情况下都与抛物线的定义有关，实现由点到点的距离与点 到直线的距离的相互转化：①将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造 出两点之间线段最短，使问题得解：②将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距 离，利用与直线上所有点的连线中，垂线段最短“解决， 【母题探究】 已知抛物线方程为y2=4x,直线的方程为x一y+5=0,在抛物线上有一动点P到y轴的距 离为d1,到直线的距离为d2,则d1+d2的最小值为_ 【母题解析】 解：由题意知，抛物线的焦点为F(1,0), 点P到y轴的距离d1=PF|-1, 所以d+d2=d2+|PF-1, 255 易知d2+PF列的最小值为点F到直线！的距离， 故d+PF的最小值为号=3V2, d1+d2的最小值为3v2-1. 三、焦半径： 【使用条件】抛物线的焦半径 【方法总结】抛物线y2=2px的焦点F(尼，0)，M(x,y6)为抛物线上一点，焦半径MF引= +经 【母题探究】 设M(xo,y%)为地物线C:x2=8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为园心，FM为半径的圆 和抛物线C的准线相交，则y,的取值范围是() A.(0.2 B.0,2] c,(2,+m D.{b,+ 【母题解析】 解：利用焦半径公式FM=6+号 因为x2=8y,则p=4, FM为半径的图和抛物线C的准线相交，即%+号>卫， 解得yo>2, 故选：C