46 椭圆-遇见最美的数学系列——题型篇（一）

椭圆 一、椭圆的定义： 【使用条件】判断动点轨迹 【方法总结】利用椭圆的定义判断轨迹方程：动点到两定点的距离之和一定，且大于两定点 之间的距离 【母题探究】 设圆(x+1)2+y2=25的圆心为C,A(1,0)是圆内一定点，Q为园周上任意一点，线段AQ的 垂直平分线与CQ的连线交于点M,则点M的轨迹方程为 【母题解析】 解： 由圆的方程可知，圆心C(-1,0),半径等于5，设点M的坐标为(x,y), :AQ的垂直平分线交CQ于M, MAI MQI.MQI+IMCI =5, .MCI+IMA!=5>ACL. 依据椭圆的定义可得，点M的轨迹是以A、C为焦点的圆， 且2a=5,c=1, 236 6要 y2 + 故椭圆方程为套十互一工，聊/ =1. 二、 椭圆的第三定义： 【使用条件】判断动点轨迹。 【方法总结】椭圆上的点与椭圆长轴两端点（事实上过原点的直线与椭圆的两交点都可以） 连线的斜率之积是定值，定值为-兰（或e2-1),即如图所示，k4k知B=-品 【母题探究】 (2013大织版)椭圆C:兰+号=1的左、右顶点分别为A、,点P在C上且直线PA,斜车 的取值范围是{-2，-1】，那么直线PA斜率的取值范围是() A.片，有 B.日 D.民1 【母题解析】 解：根据鹅国第三定义得kk=一导=一子 因为kA,的取值范围是[-2，-1]， 所以kA,的取值范围是，引 237 三、椭圆的方程： 【使用条件】求椭圆得方程， 【方法总结】 (1)焦点在坐标轴上的椭圆标准方程有两种情形，可设方程为mx2+y2=1(m>0,n> 0)不必考虑焦点位置，求出方程： 《2)与椭因+若=1共焦点的椭圆可设其方程为。品+六=10k>-b, 【对应真题】2021新高考；2019江苏 【母题探究】 求经过点(2，-3)且与椭园9x2+4y2=36有共同焦点的椭圆方程， 【母慝解析】 解：将9x2+4y2=36化为号+号-1， 斯设与它共焦点的粥园为片+品=1收>0。 (么，-3)带入得+=1， 解得k=10或k=-2(舍）， 所以满国方程为品+若 1. 四、椭圆的第二定义： 【使用条件】与椭圆焦半径相关的计算. 【方法总结】第二定义：平面上到定点F的距离与到定直线的距离之比为常数=三(0< e<1)的点的集合，其中定点F为椭圆的一个焦点，定直线称为椭圆的准线（准线方程是 238 x=士焦点在轴上. 椭图后+苦=1的左焦点R(-6,0,右焦点，(c,0,M(,6为椭图上-点，有： (1)焦￥径Ml=a+ex{左)，lMF2=a-ex。(右)； (2)IMFl,IMFalea-c,a+c (3)IMFI-IMFal E b2,a2: 【母题探究】 (2021有高考)已知5，R是稀医C:号+号=1的两个焦点，点M在C上，WMF,引MF 的最大值为() A.13 B.12 C.9D.6 【母题解析】 解：根据结论MElIMFl∈b2,2,即6≤ME小1MF≤9。 五、焦点三角形： 【使用条件】椭圆焦点三角形，求焦点三角形周长、面积、角的变化， 【方法总结】 (1)周长C4,M=2a+2C (2)LBMB2=B,则SaMF=b2tan是： (3)如上图，当点M与上顶点或下顶点重合时，∠FMF2最大：当b=c时，最大角等于 239 90°，当b>c时，最大角小于90，当b<c时，最大角大于90. 【母题探究】 （2021甲卷】已知R,片为满数C:花+片=1的两个焦点，卫，Q为c上关于坐标原点对称 的两点，且PQ1=1F:F2,则四边形PFQE2的面积为」 【母题解析】 解：由P,Q为C上关于坐标原点对称的两点，且PQ1=FF2知，四边形PEQF2是矩形， 所以5Em形5,05=5a听5+5s0En=2h2an号=8. 六、通径： 【使用条件】若P,Q是圆锥曲线上的点，PQ过圆锥曲线的焦点垂直于坐标轴， 【方法总结】雅圆和双陆线1PQ=华，地物线PQ1=2印（(PQ是逼径)· 【母题探究】 (204~湖北)已知隔圆三+片=1的左、右焦点分别为R,,点P在椭恩上.若P、下，月 是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为() A号 B.3 c.9 D.月 【母题解析】 解：注意易错选项C, 设椭圆短轴的一个端点为M, 由于a=4,b=3, c=7<b 240 ∠FMF2<90°， ∴.只能∠PRF2=90或∠PF2F=90, 点P图轴的距离是通径长的一半即号-} 七、 圆锥曲线与中位线： 【使用条件】椭圆与双曲线问题中出现线段的中点时。 【方法总结】利用三角形的中位线转化成焦点三角形问题 【母题探究】 (2014辽宁)已知椭圆C: 若+兰=1，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分 别为A,B,线段MN的中点在C上，则|AW!+BN1=· 【母题解析】 解： 如图：MN的中点为Q,易得1QF2=NBl,IQRI=AN, ,Q在椭园C上.1QR+1QF2l=2a=6, .4W1+IBN|=12 241 故答案为：12. 八、圆锥曲线与角平分线： 【使用条件】椭园与双曲线与角平分线结合时， 【方法总结】利用三线合一转化成焦点三角形问题 【母题探究】 已知P是椭层二+号=1上的动点，且不在坐标轴上，月，5是稀医的左，右焦点，0呢坐标原 点，若M是∠FP的角平分线上一点，且FM·M亚=0，则O1的取值范图是， 【母题解析】 解 如图所示，延长PF使得PF=PN, :M是∠FPF2的角平分线上的一点，且FM⊥MP, ,点M是底边FN的中点， 又点0是线段FF,的中点， .I0MI =INF2l. IPFI=IPNL, I0MI =(IPFI-IPFal)=(2IPFI-2a)IPEI-2V2, 242 a-c<IPFl<a+c .-2<lPFl-2v2<2, 又P不在坐标轴上， .l0M>0 ∴则0M的取值范围是(0,2) 双曲线 一、双曲线的定义： 【使用条件】判断动点轨迹 【方法总结】利用双曲线的定义判断轨迹方程：动点到两定点的距离之差为定值，且小于两 定点之间的距离。 1母题探究】 已知动圆M与圆C1:(x+4)2+y2=2外切，与圆C2:(x-4)2+y2=2内切，求动圆圆心M的 轨迹方程。 {母题解析】 解 设动圆园心M(x,y),半径为r, 243