45 直线与圆-遇见最美的数学系列——题型篇（一）

直线与圆 直线与圆是认识解析几何的基础，也是初中就学过的内容，所以这部分内容在高 中阶段相对简单，高考单独考察这部分的频率也比较低。 一、倾斜角与斜率： 【使用条件】求直线斜率和斜率的取值范围 【方法总结】 (1)过两点P(x1,为)，P2(x2,y2)的直线的斜率公式，6是直线的倾斜角： 当x1÷xz时，k=tan6=2-当 x2-1 当x1=x2时，8=90°，斜率不存在 (2)倾斜角从0增加到的过程中，斜率是从0变化到正无穷；倾斜角日从：增加到π的过程 中，斜率是从负无穷增加到0 【母題探究】 若经过A(4,y）,B(亿，-3)点的直线的倾斜角是，则y的值是() A.1 B.-1 C.5 D.-5 【母题解析】 解：：直线的倾斜角是证，且经过4(4，刃，8(2，一3)两点， 解得y=-5. 故选：D 222 二、直线方程： 【知识梳理】 (1)直线的六种形式的方程： 形式 方程 局限 不能表示斜率不存在的直线，斜率不存在时 点斜式 y-yo=k(x-xo) x=X0 斜武式 y=kx+b 不能表示斜率不存在的直线 反设直线 x=ty+a 不能表示斜率为0的直线 两点式 y-为=x-为 2-x2-x: x1≠x2,当≠y2 截距式 不能表示与坐标轴平行及过原点的直线 一般式 Ax+By+C=0 无 (2)已知直线方程为Ax+By+C=0,此时，直线在平面内的方向向量为(B,-A)或 (-B,A),向量(A,B)与直线垂喜， 1对应真题】2021新高考1；2019江苏 {母题探究】 已知直线过点(2,3)，它在x轴上的截臣是在y轴上的藏距的2倍，则此言线的方程为 【母题解析】 解：当直线在y轴上的截距为0时，即经过原点时，y=x, 223 当直线在)轴上的截距不为0时，设直线在y轴上的数距为a,此时片+名=1， 将(2,3带入解得a=4, 所以直线方程为3x-2y=0或x+2y-8=0. 三、两直线位置关系： 1知识梳理)】 对于两条不重合的直线1：A1x+By+C1=0、2:A2x+B2y+C2=0,其斜率分别为 k1、k2,两直线夹角为8，有： (1）42k=k2一(4,8)=1(A2,B (2)112台k1k2=-1-A1A2+B1B2=0 (3)tan8=-k4 = 1+k1k 当1+k:k2=0或A1A2+B1B2=0时两直线垂直. 用一般式的系数判断两直线平行关系时一定不要忘记验证是否重合，利用斜率判断两直线位 置关系时先考虑斜率不存在的情况 【母题探究】 若直线1：ax+2y+6=0与直线12：x+(a-1y+a2-1=0垂直，则a= 【母题解析】 解：1112台A1A2+BB2=0, a+2(a-1)=0, a- 224 四、对称问题： 【知识梳理】 (I)设P(x。,yo),对称中心为A(a,b),则P关于A的对称点为P'(（2a-0,2b-) (2)设点P(xo,yo,关于直线y=kx+b的对称点为P(x',y）,则有 ∫袋k=-1 X-Xo ytye=k. 可求出x,y: 2 2 (3)点P(x,),关于直线Ax+By+C=0的对称点为P'(x0-2At,为-2Bt), t=5) (4)点P(0,y0)关于直线x=Q的对称点为P'(2a-x。,y%):点P(x0,yo)关于直线y=的 对称点为P(,26-%): (5)点P(xa,yo),关于直线y=x+b的对称点为P(%-b,0+b)月 (6)点P(x0,yo),关于直线y=-x+b的对称点为P'(-%+b,-x0+b: (7)直线关于点对称和直线关于直线对称都可以转化成点关于点和点关于直线对称解决， 【母题探究】 与直线3x一4y+5=0关于坐标原点对称的直线方程为() A.3x+4y-5=0B.3x+4y+5=0C.3x-4y+5=0D.3x-4y-5= B 【母题解析】 解：法一：首先排除A、B选项，因为关于点对称的直线与原直线一定平行，C运项又和源直 线重合，所以选D. 法二：设直线3x-4y+5=0上的一点P(x0,y0)关于原点对称的点为Q(x,y), 225 则x0=-x,y%=-y 将P(x0,yo)带入原直线得-3x+4y+5=0,即3x-4y-5=0, 故选：D, 五、直线系方程： 【知识核理】 (1)两条相交直线l1:A1x+B1y+C1=0、12:A2x+B2y+C2=0,恒过两直线交点的直 线方程为A1x+B1y+C:+(A2x+B2y+C2)=0(不包括2）； (2)有一定点A(m,n),那么过该定点的直线的表达式为y=k(x-m)+n和x=m. 【对应真题】2021新高考；2019江苏 【母题探究】 已知直线kx-y+1一3k=0,当k变化时，所有的直线恒过定点 【母题解析】 解：直线kx-y+1-3k=0化为直线y-1=k(x-3). 所以直线恒过定点(3,1). 六、距离问题： 【使用条件] (1)点P(x1,),Pz(2,y2)间的距离公式RP2=√x2-)2+02-为)： 2点P化，为国直线：+y+C=0的距离d=器9； 226 (3)两条平行直线1：Ax+y+G=0与l2:Ax+y+C2=0之间的距离d=- VA24B2 【对应真题】2021新高考1；2020新课标m;2020北京；2020上海：2018北京：2016上海； 20]8新课标Π；2016新课标I 【母题探究】 已知A(3,2)和8(1,4)两点到直线mx+y+3=0的距离相等，则m的值为一· 【母题解析】 解：因为A(3,2)和8(1,4)两点到直线mx+y+3=0的距离相等， 所以m+24=上m4+3 m2+1 √m2+1 即(2m-1)(m+6)=0, m=或m=-6. 七、圆的方程 【知识梳理 (1)圆的定义：到定点的距离为定长的点的轨迹（或过两个定点的两条垂直直线交点的轨 迹)： (2)阿氏圆：到两个定点的距离之比为定值（不为1）的点的轨迹方程是圆； (3)圆的标准方程：(x-a)2+y-b)2=r2,圆心为(a,),半径长为r; (4)图的一般方程(x2+y2+Dx+Ey+F=0): 条件 图形 D2+E2-4F<0 不表示任何图形 227 D2+E2-4F=0 表示-个点(-，-争 表示以(-片，一与为圆心，以西为半径的 2 D2+E2-4F>0 圆 【对应真题】2021上海：2020新课标；2019新课标：2019上海；2018天津；2016浙江： 2015上海；2015新课标I;2015北京；2015上海；2015江苏；2015湖南 【母题探究】 若x2+y2-x+y-2m=0是一个圆的方程，则实数m的取值范围是() A.(0,-为 B.,+∞) C.(-m,}D.(-,+om) 【母题解析】 解：x2+y2-x+y-2m=0表示一个圆，则D2+E2-4F>0, 即(-1)2+12-4×(-2m)>0, 解得m>-片 故选：D 八、相交圆的公共弦： 【使用条件1已知两个相交圆C1:x2+y2+D,x+Ey+F=0,C2:x2+y2+D2x+E2y+ F2=0,求相交国的公共弦. I方法总结】公共弦为(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0. 【母题探究】 已知圆x2+y2=4与周x2+y2-2x-6=0于A、B两点，则A81=() 228 A.23 B.v3 C.2 D.4 【母题解析】 解：两个方程相减可得AB所在的直线方程为x=-1, 由于圆x2+y2=4的圆心到直线x=-1的距离为1，且圆x2+y2=4的半径为2， 故AB1=2V22-亚=2V3, 故选：A. 九、直线与圆的位置关系： 【使用条件】判断直线与圆的位置关系 【方法总结】直线Ax+By+C=0与圆(x-a)2+0y-b)2=r的位置关系及判断： 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2个 1个 0个 几何法： 判 d<r d=r d>r 设圆心到直线的距离为d=a+b+9 +B2 断 代数法： 方 由+By+C=0 法 x-2+y-)2=r2消元得到-元 4>04=014<0 次方程，可得方程的判别式A 【对应真题】2021新高考；2021新高考1：2019浙江；2016北京 【母题探究】 (2013天津)已知过点P(2,2)的直线与圆(x-1)2+y2=5相切，且与直线ax-y+1= 0垂直，则a=() 229 A月 B.1 C.2 D 【母题解析】 解：法一：因为点P(2,2)满足圆(x-1)2+y2=5的方程，所以P在圆上是切点， 又过点P(2,2)的直线与固(x-1)2+y2=5相切，且与直线ax-y+1=0垂直， 所以切点与圆心连线与直线x-y+1=0平行， 所以直线ax-y+1=0的斜率为：a=9=2: 2-1 法二：见圆的切线方程部分 十、圆与圆的位置关系： 【使用条件】判断圆与圆的位置关系， 【方法总结】 (1)几何法：若两圆的半径分别为万1,2，两圆连心线的长为d,则两圆的位置关系如下： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 e d与n1,r2 d>5+ d=片+ h-2l<d<n+2 d=in-rl d<In-tl 的关系 (2》代数法：两圆的一般方程为 C1:x2+y2+D1x+Ey+F1=0(D12+E2>4), C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0(D22+E22>4P2）, 威立方程子公十有=8 230 则方程组解的个数与两圆的位置关系如下： 方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 2个 1个 0个 两圈圆的位置关系 相交 外切或内切 外离或内含 【母题探究】 若圆C:(x+1)2+y2=2与图C2:x2+y2-4x+6y+m=0外切，则实数m=() A.8 B.9 C.5 D.6 1母题解析】 解：G（-1,0),C2(2,-3,行=2,2=V13-m, 两园外切说明两个圆圆心的距离等于半径和， 即CC2l=万+2=V2+V3-m=3v2, 13-m=22, 解得m=5. 故选：C。 十一、点到圆上点的距离范围： 【使用条件】求点A到以0为因心r为半径的国上一动点的距离d的范围问题， 【方法总结】AO-rsd≤IAO1+r. 【母题探究】 (2020北京)已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其图心到原点的距离的最小值为() 231