41 垂直判定-遇见最美的数学系列——题型篇（一）

一点G,过G和PA作平面PAHG交平面BMD于GH,求证：PAII GH D 【母题解析】 解：如图所示，连接AC交BD于点O,连接MO D Ning sir 因为四边形ABCD是平行四边形 所以0是AC的中点， 又M是PC的中点，所以AP"OM 又M0C平面BMD,PAg平面BMD, 所以PA‖平面BMD, 又因为平面PAHG n平面BMD=GH, 且PAc平面PAHG,所以PA II GH. 垂直判定 一、 证明垂直必备结论： 【必备结论】 (1)勾股定理（已知三边时优先考虑是否满足）： 194 (2)等腰三角形一三线合一； (3)菱形或正方形一对角线相互垂直； (4)三垂线定理：平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它 也和这条斜线垂直： (5)若梯形ABCD中，AB=8C=AD=CD,剥BD⊥BC: B C (6)若梯形A8CD中，AB⊥AD,AB=AD=CD,则BD1BC: B D (7)若正方形ABCD中，E、F分别是AB和AD的中点，则DE⊥CF, AEB F D C 二、直线与平面垂直： 【使用条件】证明线面垂直。 【方法总结】证明线面垂直的常用方法： (1)判定定理（线垂直于面内两条相交直线）： (2)面面垂直的性质定理(a⊥B,anB=m,【ca且i⊥m,则l1B); 195 (3)向量法：直线的方向向量与平面的法向量平行。 证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直，则需借助线面垂直的性质。 【母题探究】 如图所示，在直三棱柱ABC-A,B,C,中，AB=AC=AA1=3,BC=2,D是BC的中点，F是 CC1上一点.当CF=2时，证明：B,F⊥平面ADF. 【母题解析】 解：因为AB=AC,D是BC的中点，所以AD⊥BC. 在直三棱柱ABC-AB1C中， 因为BB1⊥底面ABC,ADc底面ABC 所以AD⊥B1B. 因为BCnB1B=B,BCC平面B1BCC1,B1Bc平面B1BCC, 所以AD⊥平面B,BCC, 因为B1FC平面B:BCC1 所以AD⊥B1F 方法一：在矩形B:BCC:中 因为C1F=CD=1,B1C1=CF=2, 所以Rt△DCF兰Rt△FCB1, 196 所以∠CFD=∠CB1F, 所以∠B1FD=90°，所以B1F⊥FD. 因为ADOFD=D,ADC平面ADF,FDc平面ADF, 所以B1F⊥平面ADF, 方法二：在Rt△B1BD中，BD=CD=1,BB1=3, 所以B1D=√BD2+BB12=V10. 在Rt△B1C1F中，B1C1=2,C1F=1, 所以B1F=,BC12+CF2=5. 在Rt△DCF中，CF=2,CD=1, 所以DF=VCD2+CFz=5. 显然DF2+B1F2=B1D2, 所以∠B1FD=90°，所以B1F1FD. 因为ADOFD=D,ADC平面ADF,FDc平面ADF, 所以B,F1平面ADF, 三、面面垂直： 【使用条件】证明面面垂直. {方法总结】判定面面垂直的方法： (I)面面垂直的判定定理(a1B,aca→《1) (2)向量法：两平面法向量相互垂直。 【母题探究】 197 如图，多面体ABCDEF中，ABCD是菱形，∠ABC=60,FA⊥平面ABCD,ED IFA,且AB= FA=2ED=2,求证：平面FAC⊥平面EFC, 【母题解析】 证明：连接BD交AC于O,设FC中点为P,连接0P,EP, :0,P分别为AC,FC的中点， 0PIFA,且OP=;FA, ∴.OPED且0P=ED, ∴四边形0PED为平行四边形， .OD I EP,即BD I EP, :FA⊥平面ABCD,BDc平面ABCD,FA⊥BD, :四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC, FAAC=A,FAC平面FAC,ACC平面FAC, ∴.BD⊥平面FAC,即EP⊥平面FAC, 又EPc平面EFC, ∴.平面FAC1平面EFC 198 四、线线垂直： 【使用条件】证明线性垂直， 【方法总结】线面垂直的性质定理：直线与平面垂真，则直线垂直于平面内任意一条直线 (a⊥B,bcB+a⊥b). 【母题探究】 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠A8C=120°，AB=1,BC=4, PA=V15,M,N分别为BC,PC的中点，PD1DC,PM上MD.证明：AB⊥PM. 【母题解析】 解：证明：在平行四边形ABCD中，由已知可得，CD=AB=1, CM=BC=2,∠DCM=60°， ∴，由余弦定理可得，DM=CD2+CM2.2CD×CM×cos60° =1+42×1×2×=3, 刚CD2+DM2=1+3=4=CM2即CD1DM, 又PD⊥DC,PDODM=D,∴CD⊥平面PDM, 而PMc平面PDM,∴.CD⊥PM, CD IAB,,AB⊥PM. 199