40 平行的判定-遇见最美的数学系列——题型篇（一）

即△PBC是等腰直角三角形， 且AB=AC=BC=4W2,即△ABC是等边三角形， 则三棱锥的表面积S=SaPAB+SAPAC+SAPBC+S△ABc=×4×4+主×4×4+×4×4+ x42x42x9=24+8v3, 该三棱锥的体积V=XSaP8CXPA= 设内切球的半径为，7=号=2- 平行的判定 一、线面平行： 【使用条件】证明线面平行。 【方法总结】判断或证明线面平行的常用方法 (1)利用线面平行的判定定理{aa,bca,a‖b一a引a): (2)利用面面平行的性质(a1B,aca→aI: (3)利用面面平行的性质(aiB,atB,aa一a目B: (4)向量法：直线得方向向量与平面的法向量垂直. 证明线面平行的思路： 证明线面平行优先选用线面平行的判定定理，观察立体立体图形能否通过辅助线构造出平行 四边形和比例线段得到直线与平面内的线平行】 【对应真题】 187 【母题探究】 如图，四边形ABCD为矩形，ED⊥平面ABCD,AF【ED.求证：BF平面CDE. 【母题解析】 解： 证明方法一：，四边形ABCD为矩形，.AB‖CD, ABE平面CDE,CDc平面CDE,.AB引平面CDE: 又AF ED,:AF平面CDE,EDc平面CDE ∴.AF平面CDE; AF nAB=A,ABC平面ABF,AFC平面ABF, ∴，平面ABFI平面CDE, 又BFC平面ABF,BFI平面CDE. 方法二：如图，在ED上取点N,使DN=AF,连接NC,NF, AF I DN,且AF=DN 四边形ADNF为平行四边形， AD 1I FN,且AD=FN, 又四边形ABCD为矩形，AD II BC且AD=BC, 188 FN I BC,且FN=BC, ∴四边形BCNF为平行四边形， ∴BF II NC,:BFg平面CDE,NCC平面CDE, ∴BFI平面CDE. 二、 线面平行一“一点半”找辅助线： 【使用条件】证明线面平行需要找平面内与直线平行的直线时 【方法总结】 （(1)找空间几何体中不在求证面和求证直线所在面（仅在几何体中）内的顶点： (2)将该顶点分别与求证直线的两个端点（仅在几何体中）相连； (3)相连得到的两直线如果与所求证平面有两个交点，连接交点，该直线平行于所求证直 线 (4)若与平面没有交点则找到题目条件中含等比分点的棱，再寻找求证平面与该棱在同一 平面内的某条边（仅在几何体中），找该边的相同等比分点，连接两个等比分点. (特别说明：文字叙迷不易理解，可在下面两道母题中体会，这儿所说的面的边，直线等并 非数学中严谨的定义，仅针对所涉及题目的图像而言) 【母题探究】 (1)(2013新课标)如图，直三棱柱ABC-A1B1G,中，D,E分别是AB,BB,的中点，证 明：BC1川平面A1CD: 189 (2)(2016新课标I)如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,AD‖BC,AB=AD= AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点，AM=2MD,N为PC的中点.证明：MNI平面 PAB. 0 【母题解析】 (I)要证BC1I平面ACD即证明BC平行于平面A,CD内的某条线， 找几何体中非BC所在平面（平面BCCC)和平面A1CD内的顶点，只有点A, 连接AB与AC1,两直线分别与平面A1CD交于点D和点F, 连接DF,DF是三角形ABC的中位线， 所以BC,1DF.(证明过程略) 190 (2)要证明MNI平面PAB即要证MN平行于平菌PAB内的一条直线， 找几何体中非MN所在平面和平面PAB内的顶点，有点C和点D, 连接CM与CN(或DM与DN),所得直线与平面PAB并无交点， 所以找题目中的等比分点：N为PC的中点，所以取平面PAB的边的中点为G, GN I BC I AM,GN =-BC=AM=2, 即四边形GNMA为平行四边形，GA"NM.(证明过程路)】 G D 8 EE::7 特别说明：此方法解析过程中的某些表达仅针对题目所涉及到的几何体而言. 三、面面平行： 【使用条件】证明面面平行。 【方法总结】证明面面平行的方法： (1)面面平行的判定定理(alB,bIB,anb=P,aca,bca→aI)i 191 (2)垂直于同一条直线的两个平面平行： (3)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行. 证明线面平行的思路： 优先选用判定定理，转化成两次线面平行问题证明， 【母题探究】 在三棱柱ABC-A1B:C1中，E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C的中点，求证： (1)B,C,H,G四点共面； (2)平面EFA1I平面BCHG. 【母题解析】 证明： (1):G,H分别是AB1,A1C的中点， ,GH是△AB,C的中位线， ∴.GH I BC 又：BCBC,.GH I BC, ∴B,C,H,G四点共面 (2):E,F分别是AB,AC的中点， ..EF BC, ,EFG平面BCHG,BCc平面BCHG, 192 ∴，EFI平面BCHG, 又G,E分别为A1B1,AB的中点，A1B,IAB且A1B1=AB, .AG II EB,AG EB, ∴四边形A1EBG是平行四边形， A1E腊GB, 又，A,E平面BCHG,GBc平面BCHG, ,.A,EI平面BCHG, 又：A:EnEF=E,A1E,EFc平面EFA1, ∴.平面EFA,平面BCHG。 四、线线平行： 【使用条件】证明线性平行。 【方法总结】证明线性平行的方法： (1)直接利用平行四边形对边平行和比例线段： (2)线面平行姓质定理la,【cB,anB=b→1lb) (3)面面平行的性质定理(aiB,any=a,BnY=b→aIb): (4)线面垂直的性质定理(a1a,b1a→a‖b). 线线平行隐藏式问法：证明四点共面、证明点在平面内. 证明线线平行的思路：转化成线面平行问题。 【母题探究】 如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取 193 一点G,过G和PA作平面PAHG交平面BMD于GH,求证：PAII GH D 【母题解析】 解：如图所示，连接AC交BD于点O,连接MO D Ning sir 因为四边形ABCD是平行四边形 所以0是AC的中点， 又M是PC的中点，所以AP"OM 又M0C平面BMD,PAg平面BMD, 所以PA‖平面BMD, 又因为平面PAHG n平面BMD=GH, 且PAc平面PAHG,所以PA II GH. 垂直判定 一、 证明垂直必备结论： 【必备结论】 (1)勾股定理（已知三边时优先考虑是否满足）： 194