39 外接球和内切球-遇见最美的数学系列——题型篇（一）

图所示， 则B0,-1,0,c(停，，0，D0,1,0 设A(0,0,t,则E(0,) 因为0A1平面BCD,故平面BCD的一个法向量为OA=(0,0,t), 设平面BCE的法向量为元=(x,y,z), C=(停，0)=，正=(，；) 所以0得+y=0 (元·BE=0' y+号2=0 令x=3,则y=-1,z=故元=(3，-1，)： 因为二面角E-BC-D的大小为45° 所以cos<元，0丽>1=照 = 2 解得t=1,所以0A=1, 又5ocn=x1x1x号=具所以5acD=9 故-D=aso·0A=xx1= 3 6 外接球和内切球 一、外接球与内切球相关问题的一般思路： 【思路总结】 处理外接球和内切球问题的核心是球的半径R,有以下四种思路： (1)如果柱体的顶点都在球面上：则直接使用公式R2=r2+(),r为底面外接圆的半径， 174 h为柱体的高； (2)构造正方体和长方体或圆柱体：若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为 a,b,c,则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱 锥的外接球的直径，设其外接球的半径为R,则有2R=√Q2+b2+c2: (3)通过轴截面确定半径：通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平 面几何问题来研究： (4)确定球心位置，利用球面上点到球心的长度确定半径， 内切球问题与外切球本质相同，注意以下两种思路在内切球中应用广泛： (5)构造三角形利用相似比和勾股定理： (6)体积分割是求内切球半径的通用做法（等体积法）， 【常用模型】 (1)与柱体有关的模型： 汉堡模型（圆柱的外接球）：用第一种思路直接求解； 墙角模型（三条棱两两垂直，不找球心的位置即可求出球半径）：以三条棱为长宽高构造长 方体： 对棱相等模型（三棱锥中，已知三组对棱分别相等）：以对棱为三个面的对角线构造长方 体 (2)与椎体有关的模型： 切瓜模型（两个圆面互相垂直且交于小圆直径）：用第三种思路： 垂面模型（一条直线垂直于一个平面）：构造直棱柱或圆柱求解； (3)与二面角有关的模型： 175 折叠模型（一般由两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折盈）：先确定圆心所在 的位置。 (4)正棱锥的内切球模型。 二、外接球模型—汉堡模型： 【使用条件】圆柱的外接球 【方法总结】用第一种思路直接求解：外接球的半径为R,R?=2+佾，r为底面外接圈 的半径，h为柱体的高。 【母题探究】 (2011·四川)如图，半径为R的球0中有一内接圆柱，当园柱的侧面积最大时，球的表面积 与该圆柱的侧面积之差是 【母题解析】 解： 法一：设圆柱的底面半径为r,高位h,外接球的半径R, 5球=4nR2,5堡=2rh, 因为2=2+)之h, 所以5，的最大值为2πR2, 当S,的最大时，S#-S。=4nR2-2πR2=2πR2. 法二：设圆柱的上底面半径为r,球的半径与上底面夹角为a,则r=cosa,圆柱的高为 2 Rsin a,圆柱的侧面积为：2πR2sin2a,当且仅当a=时，sin2a=1,圆柱的侧面积最大， 176 圆柱的侧面积为：2π2，球的表面积为：4πR2,球的表面积与该圆柱的侧面积之差是：2πR2 三、外接球模型—墙角模型： 【使用条件】三条棱两两垂直。 【方法总结】以三条棱为长宽高构造长方体，外接球的半径为R,则有2R=√@2+b2+c, a,b、c分别是长方体的长、宽、高. 【母题探究】 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且三条侧棱长分别为1，√反，√3，则其外接球的表面积是 【母题解析】 解：据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直， 把这个三棱锥可以补成一个同一顶点处三条棱长分别为1，√瓦，√③的长方体，于是长方体 的外接球就是三棱锥的外接球， 设其外接球的半径为R,则有(2R)2=1+2+3=6, 故其外接球的表面积S=4πR2=6π. 四、外接球模型—对棱相等模型： 【使用条件】三棱中，已知三组对棱分别相等 【方法总结】画长方体，3组对棱分别看成长方体6个面的对角线，外接球的半径为R,则 有2R= 2+”四，，八、z分别是3组对棱长.· 2 177 【母题探究】 四面体A-BCD中，AB=CD=5,AC=BD=34,AD=BC=V4红，则四面体A-BCD 外接球的表面积为() A.50π B.100π C.150m D.200m 【母题解析】 解：据题意可知，该三棱锥的三组对棱分别相等， 设其外接球的半径为R,则有2R= 52+342+2 =5v2, 2 故其外接球的表面积5=4πR2=50m. 五、外接球模型—垂面模型： 【使用条件】一条直线垂直于一个平面，如图PA⊥平面ABC. 【方法总结】构造棱锥，外接球的半径满足R2=r2+h2,r为底面ABC外接圆的半径，h是 球心到底面的距离（即球心到底面外接圆圆心的距离）· 178 0 【母题探究】 (2007~全国卷I)正四棱锥S-ABCD的底面边长和各侧棱长都为V2,点S,A,B,C,D都 在同一球面上，则此球的体积为 【母题解析】 解： 法一：设正四棱锥的底面中心为01，外接球的球心为0，如图所示： ∴球心0必在S0所在的直线上， ∴，外接球的半径R=, A0,2+00,2 又A01=4C=1,00,=1S0,-R1,S0,=SA2-A0,2=1, .R=V1+1+R2-2R,解得R=1, 故v=号 法二：设正四棱锥的底面中心为0，外接球的球心为0，如图所示： 179 ∴球心0必在P01所在的直线上， ∴，△APC的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径， 在△APC中，由PA=PC=V2,AC=2, 得PA2+PC2=AC2, ∴.△APC是以AC为斜边的直角三角形 兰=1是外接圈的半径， 也是外接球的半径， 故y=智 六、外接球模型— 切瓜模型： 【使用条件】两个平面相互垂直，如图平面PAC⊥平面ABC. 【方法总结】与垂面模型处理思路相同，构造棱锥，外接球的半径满足2=r2+h2,r为平 面ABC外接圆的半径，h是球心到底面的距离（即球心到平面ABC外接圆圆心的距离） 【母题探究】 已知三棱锥P-ABC的四个顶点均在球O的球面上，PA⊥AB,平面ABC⊥平面PAB,AB= 180 2,AC=1,∠BAC=织，若该棱锥外接球的表面积为20m,则该棱锥的体积为 【母题解析】 解： D 0 ng si 因为AB=2,AC=1,∠BAC=号 由余弦定理解得BC=V7, 设△ABC的外接圆的半径为r,圆心为O1(严格来说0在△ABC外)， 2 所以= 取PC的中点D,AC的中点E,连接DE, 所以PA=2DE=2001 设该棱锥外接球的圆心为O,半径为R, 外接球半径满足R2=r2+00,2, 由外接球的表面积为20π得R2=r2+00,2=5, 所以00，=5-4=25 3 PA=200,=45 3 所以，-Aac=写5 PA=xx2X1xsm号x9=9 2 3 3 181 七、外接球模型—折叠模型： 【使用条件】四边形折叠，如图所示。 【方法总结】 (I)找球心：分别过△BCD和△A'CD外接圆圆心做俩平面的垂线，垂线的交点O为球心； (2)利用勾股定理，外接球半径满足R2=r2+0H,2=0E2+BD2(若已知二面角A'- BD-C为a,则OB2=E2+E:2叫)，r为△BCD外接圆的半径 sin2a 【母题探究】 菱形ABCD中，AB=2,∠DAB=120°，将△CBD沿BD折起，C点变为E点，当四面体E- ABD的体积最大时，四面体E一ABD的外接球的面积为 【母题解析】 解： E 0 0.0 182 法一：当平面EBD⊥平面ABD时，E到平面ABD的距离最大，由于底面BAD的面积为定值， 所以此时四面体E-ABD的体积最大. 设三角形ABD的外接圆的圆心为01，半径r=,=2) 设四面体E-ABD的外接球的球心为0，三角形EBD的外接圆的圆心为O2, 由三角形EBD的外接圆半径和三角形ABD的外接圆半径相等， 可得0，=0,6=、FP2-68D=1, 所以R2=r2+0012=4+1=5, 则四面体E-ABD的外接球的面积为S=4πR2=4π×5=20π， 故答案为：20π. 法二：当平面EBD⊥平面ABD时，E到平面ABD的距离最大，由于底面BAD的面积为定值， 所以此时四面体E-ABD的体积最大，此时二面角E-BD-A为 所以外接球半径满足R2=0G2+传8D)-0G0606060+3=2+3=5, 变 则四面体E-ABD的外接球的面积为S=4πR2=4π×5=20m. 八、正三棱锥内切球模型： 【使用条件】正三棱锥的内切球 【方法总结】如图所示，E、H分别是△PAB和△ABC外接圆的圆心，可利用△POE一△ PDH(号=器=品求内切球半径r。 183