38 空间几何体必备公式&求体积的五种思路-遇见最美的数学系列——题型篇（一）

空间几何体必备公式 一、常见空间几何体的表面积： (1)屡柱的表面积：S=5,+2S。=2mm1+2r2(r为底面半径，1为高) (2)國锥的表面积：S=S侧+S层=1+r2(r为底面半径，1为圆锥母线】 (3)國台的表面积：S=5衡+5上度+S下底=+(R+r1+r2+πR2{r为.上底面半径，R 为下底面半径，为圆锥母线) (4)球的表面积：S=4r2(r为球的半径) (5)磨形的面积公式：5=哥=如-打（方扇形的半径，为局形的质角度数，内 扇形的顶角孤度制表示，为扇形的弧长)】 多面体的表面积是多面体各个面积之和，所以只要知道平行四边形、三角形、梯形、圆、扇 形等基本图形的表面积就能求出多面体的表面积， 二、常见空间几何体的体积： (1)柱体的体积：V=S底 (2)斜棱柱的体积：V±5。！(5。为直截面面积，1为侧棱长) (3)锥体的体积：V=Sh )台体的体积：一武：+5+5办产 (5)球体的体积：V=πr3 169 求体积的五种思路 一、等体积转化(1)： 【使用条件】锥体各顶点不变，例如题目要求三棱锥P-ABC的体积，底面ABC的面积和高 不好求时」 【方法总结】可转化为求A-PBC(B-PAC或C-PAB)的体积. 【母题探究】 如图，已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E为AA1的中点，F为CC1上一点，求三棱 维A:一DEF的体积. 【母题解析】 解：因为F的位置不确定，所以V三续人4~，的底面D,EF的面积和高无法确定， 由V三楼售A-D,Er=V三楼能F-AD,E 5三角54E=EAA:D=a2, 1 又三棱锥F-A1D,E的高为CD=a, y生gr4e=xa2×a=立叫， 170 二、等体积转化(2： 【使用条件】以三棱锥为例，求P-ABC的体积，P在平行于底面ABC的直线MN上. 【方法总结】Vp-Ac=N-ABc=VM-ABc 【母题探究】 如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB,点F到平面A8CD 的距离为3，求棱锥E-ABCD的体积 【母题解析】 解：因为EF∥AB,则E-A8=-ABCD=×42×3=16. 三、等比分点： 【使用条件】棱锥顶点是某已知线段的等比分点，以下图为例，E是BD的等分点，求 Vg-ABC' D I方法总结】Yg-Ac=Vg-A5C· 171 【母题探究】 (2019江苏)如图，长方体ABCD-A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥E- BCD的体积是 D E 【母题解析】 解：由于E为CC,的中点，故E-cD=北-cD=ygcD-B6D,=ABcD-AGD=10. 四、割补法： 【使用条件】求不规则几何体的体积， 【方法总结】通过分和填补成规几何体求体积 【母题探究】 斜三棱柱的一个侧面的面积为10，这个侧面与它所对棱的距离等于6，求这个棱柱的体积， 【母题解析】 D C 6 解：割：在AA1上取一点P,过P作棱柱的直截面，将三棱柱分成两部分， 172 补：使A与A,重合，B与D重合，C与C重合得到一个直三棱柱， 补：两个直三棱柱可补成一个四棱柱 则袋=V三==×10×6=30 五、建系法： 【使用条件】可在坐标系中表示中所求几何体各顶点的坐标， 【方法总结】通过坐标运算求体积 【母题探究】 (2021新高考I)如图，在三棱锥A-BCD中，平面ABD1平面BCD,AB=AD,0为BD的中 点.若△0CD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE=2EA,且二面角E-BC-D的 大小为45°，求三棱锥A-BCD的体积. 【母题解析】 解：取0D的中点F,因为△OCD为正三角形，所以CF上0D, 过O作OM‖CF与BC交于点M,则OM L OD, 所以OM,OD,OA两两垂直， 以点0为坐标原点，分别以0M,OD,OA所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如 173 图所示， 则80，-1,0.c(停，0).D0,1,0, 设A(0,0,.则E(0,于，)， 因为0A⊥平面BCD,故平面BCD的一个法向量为OA=(0,0,t), 设平面BCE的法向量为元=(x,y,2), 又C=(停，，)=，旺=(0，；， 所以0+=0 (分-BE=0 +2=0 4 令x=3,则y=-1,2=故元=(3，-1，)： 因为二面角E-BC-D的大小为45°， 所以cos<元，风>1=器= 解得t=1,所以0A=1, 又5oc0=x1x1x号-具所以5aD=马 故4-en=asn0A=x号x1=月 外接球和内切球 一、外接球与内切球相关问题的一般思路： 【思路总结】 处理外接球和内切球问题的核心是球的半径R,有以下四种思路： )如果柱体的顶点都在球面上：则直接使用公式R2=r2+台，r为底面外接圈的半径， 174