37 数列与不等式-遇见最美的数学系列——题型篇（一）

从而可得a3+a1=2,Q4+a2=8,a7+a5=2,a8+a6=24,a11+ag=2,a12+a10= 40,… 从第一项开始，依次取2个相邻奇数顷的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项 的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列. {a,的前60项和为15×2+(15×8+5x15-1 0=1830. 2 七、倒序相加法： 【使用条件】如果一个数列{an山，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和， 【方法总结】可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和， 【母题探究】 数列{an}为等差数列，推号数列{an的前n项和。 【母题解析】 解：数列an]为等差数列， Sn=a1+a2+ag+…+an Sn=an+an-1+an-2+…+a1、 两式相加得，2Sn=(a1+an)+(a2+a-)+(a3+an-2)+…+(a+a)=n(a:+an), 所以Sn=t 2 数列与不等式 数列与不等式的结合也是高考常见题型，放缩更是高考的难点，但值得一提的是 161 全国高考几乎没考过数列的放缩，筒单题一般都可以转化为函数的单调性问题， 一、函数单调性： 【使用条件】当数列通项是常见函数形式时，比如对钩函数、二次函数等， 【方法总结】直接根据函数性质求解， 【母题探究】 （2010-天津)设a是等比数列，公比q=V2,Sn为(an的前n项和.记Tn=1-,ne an+】 N,设T,为数列{TnJ的最大项，则n。= 【母题解析】 解：Tn=1n= 711--g =(白)-（信回”+诗- 因为（品）<0，则（回”+高-17的最小值便是江，的最大项， 根据对钩函数的性质，（个回”=4即n=4时，（回”+高-17取得最小值， 所以，n=4. 二、作差讨论单调性： 【使用条件】数列通项复杂，直接看不出单调性求最大项的项数时. 【方法总结】作差得到数列单调性。 【母题探究】 数列+2)（Θ”）的最大项为第k项，则k=() A,5或6 B.5 C.6 D,4或5. 162 【母题解析】 解：数列机+2)()结构复杂，看不出单调性， 则作差比较：a1-4a=a+3)目”-a+2)目=（目^（仔-） 因为(0°>0， 所以当n=5时，an+t-an=0,当n<5时，at*:>an,当n>5时，an+1<at, 所以数列先塔后减，当n=5时，取得最大值a5,又a5=a6, 所以选A. 三、求导讨论单调性： 【使用条件】真接看不出数列的单调性，求导之后容易讨论时。 【方法总结】求导讨论单调性， 【母题探究】 (2013新课标)等差数列{an的前n项和为S4,已知S10=0,S1s=25,则nSn的最小值 为一· 【母题解析】 解：设等差数列(anJ的首项为a1,公差为d. :51a=10a1+45d=0,S10=15a:+105d=25, a4=-3,d= S。=na+d=含n2-吕n 2 ns=-号n2, 令fe)=x3-曾， 163 “f网=2-碧x “当x=9时，fx)取得极值，当x<时，f)递减：当x>时，fx)递增： 因此只需比较f(6)和f(7)的大小即可. f(6)=-48,f(7)=-49, 故nSn的最小值为-49. 四、放缩—构造等差型： 【使用条件】证明复杂数列的和与关于n的二次函数的大小关系， 【方法总结】将复杂数列放缩成等差数列 【母题探究】 数列a,=n+1,证明回°a3+Va2"ag+…+a以a4+1<*2mt 2 【母题解析】 分桥：要证b1+b2+…+bn<*2m+里 2 因为a+2+》是二次函数，所以将b放缩成等差数列求和。 2 解：设数列bn=an'an+1 因为bm=√(n+1)(n+2<v(n+2)(n+2)=n+2, 所以b,+b2+…+b<3+4+…+(n+2)=m*1<m+2m+型】 2 所以va1G+@2a+…tana4+<t2a+ 2 164 五、放缩——构造等比型： 【使用条件】当证明数列不等式出现指数型式子时， 【方法总结】通常放缩成等比数列， 【母题探究】 数列6，-+目丽 求证数列[a,的前n项和Sn>“-” 3-1 【母题解析】 分析：出现了指数型，所以将数列αm放缩成等比数列。 解：医为4=+目>图-目 1 ”3-1 六、放缩—构造裂项型： I佳用条件1证明型如7m豆ma可 一的复杂数列的和的不等式时， 【方法总结】放缩成可裂项相消求和的数列. 【母题探究】 求证2(n+-1)<1+立+言++海<2. {母题解析】 2 2 所以， 1+清+言+…+信<2(i-而+2-i+3-2+4-3+…+顶--= 165 2v元， 1+情+++言>2（迈-+-2+4-g+…+中7-同=2+- 10, 综上，2m+-)<1++++a<2m 七、放缩常见的结论： 【常见结论】 )4<<告(a,b.c均大于0)： (2)n-<v元，Vm+vn-<2a,Vnm-万<=i; << (3)1 2n+中7-同=品<=言<后=2饭-mi 2 1 2 1 +=<1 1 6)1++清++2=： 八、数学归纳法证明不等式： 【使用条件】证明一些与正整数n(n取无限多个植)有关的数学命题， 【方法总结】 (1)(归纳奠基)证明当n=时命题成立； (2}(归纳递推)假设当n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立 【母题探究】 166 (2008浙江）已知数列{anJ,an20,a1=0,an+12+an+1-1=Qn2(neN).求证： an ant1. 【母题解析】 证明： ①当n=1时，因为a2是方程x2+x-1=0的正根，所以a1<a2· ②假设当n=k(化eN")时，ak<ak+1 因为an+12+a1+1一1=an2, 所以ag+12-g2=ak+22+ag+2-1-(ak+12+ak+1-1)=(ak+2-ak+i)(ak+2+aw+1+ 1)>0, 因为ak+2+ak+1+1>0, 所以a+2>ak+1, 即当n=k+1时，au<a+1也成立 根据①和②，可知an<an+1对任何neN“都成立. 167