25 平面向量线性运算题型总结-遇见最美的数学系列——题型篇（一）

平面向量线性运算题型总结 平面向量是线性代数的基础，是解决很多数学问题强有力的工具. 一、 三角形法则和平行四边形法则： 【使用条件】向量的加法或减法 【方法总结】 (1)三角形法则（收尾相连）： Ning sir (2)平行四边形法则（共起点）： 8 b a+b (3)向量的减法： 1-t 【对应真题】2020海南：2019浙江；2014新课标 【母题探究】 (1)如图，正六边形ABCD5F中，BA+C而+EF=() A.0 B.BF C.AD D.CF 99 D (2)在△ABC中，D是AB边上的中点，则C丽=() A.2CD+CA B.CD-2CA C.2CD-CA D.CD+2CA 【母题解析】 解： (1)根据三角形法则求解 BA+CD+EF Ning sir BA+AF+EF -BF+CB =CF. 故选：D (2)(自己做时，先画图会更直观)利用三角形法则拆分：C丽=CD+DB, 在△ABC中，D是AB边上的中点，DE=AD, 则CB=CD+D丽=CD+AD, 再利用三角形法则拆分：AD=AC+CD 所以CE=CD+DE=CD+AD=CD+(AC+CD)=2CD-CA. (也可用平行四边形，更简单) 故选：C 1001 二、模长（三角）不等式： 【使用条件】求向量和或向量差的最值， 【方法总结】a-例sa土≤1+， 【对应真题】2021天津 【母题探究】 已知d=3,=5,则a+的最大值为，a-的最小值为 【母题解析】 解：拉+月≤l+=8,当与共线同向时取得， a-引≥a-例=2，当与共线反向时取得. 三、向量共线： 【方法总结】 (1)向量（ā+0）与共线的充要条件是：存在唯一一个实数1，使方=2a. (2)如图，A.B、C三点共线丽=C台0丽=0丽+元 【对应真题】2021乙卷；2020海南；2019浙江；2018新课标；2018新课标；2017山东； 2015新课标；2014新课标J 【母题探究】 101 (1)设向量à，6不平行，向量在+与d+2平行，则实数入= (2)设D为△ABC所在平面内一点，BC=3C⑦，则() A.而=-A丽+C B.AD=AB-AC C.而=A丽+C D.而=丽-AC 【母题解析】 解 (1):向量ā，不平行，向壁λā+5与d+25平行， .a+B=t(a+26)=ta+2tB, 2解得实致以= (2)已知C=3C⑦，所以B.C,D三点共线，排除B、C选项， C=六丽+而，即C=丽+而， 所以D=-AB+AC, 故选A 四、等和线： I使用条件】平面内O丽=OA+uOB,1+H=k(定值)，点P在直线AB或直线AB的平行 线上，把直线AB或直线AB的平行线叫等和线. 【方法总结】 (1)当k=1时，点P在直线AB上； (2)当0<k<1时，点P在点0和直线AB之间； (3)当k>1时，直线AB在点P和点0之间： 102 (4)当k=0时，等和线经过点0； 当题目中出现OP=0A+0E求)+时，先确定0P所在直线与AB所在直线的交点为D, 以+川=周 点0到的至离 (:是过P点平行于AB的直线】，最后根据O币和O丽是否同 点0到AB所在直线的距离 向确定正负（同正反负）· 【对应真题】2020江苏；2017新课标；2017江苏；2015北京 【母题探究】 如图，平面内有三个向量0A、0丽、0C,其中0A与0丽的夹角为120°，0A与0元的夹角为 30,且00=1，oC=V3,若C=0A+u0丽，则A+u= B 【母题解析】 解：连接AB,AB与0C交于点P, 此时0=x0A+y0丽(x+y=1), o=0丽aa30°=马 需-兴睛= 1 所议1+4=3. 103