18 三角函数的图像变换-遇见最美的数学系列——题型篇（一）

【母题探究】 (2014新课标I） 设ae(0,),Be(o,》且ana=号，则0 A.3a-B=月 B.3a+B=号C.2a-B=gD.2a+8=月 【母题解析】 解： 由tana=tsi恤g cos日，得： 巴=女恤e cosa 05B BOsin a cos B cosa sin B+cosa, si(a-B)=cosa=sin(传-a）, :a∈(0，)，Be(o,) ∴当2a-B=g时，sin(a-B)=cosa=sin(（任-a)成立. 三角函数的图像变换 掌握好三角函数的图像是学好三角函数性质的前提，图像变换也是高考三角函数 考察的重点. 一、平移变换：函数y=sin(x+p)图像 【使用条件】 y=sin(亿x+p)的图像是由函数y=sinx左右平移1p个单位长度得到的，p>0时向左平 移，9<0时向右平移。 79 【方法总结】左加右减，切记是给自变量加减 【对应真题】2016四川 【母题探究】 为了得到函数y=sin(x+的图象，只需把函数y=snx的图象上所有的点() A.向左平行移动个单位长度 B.向右平行移动个单位长度 C.向上平行移动”个单位长度 D.向下平行移动”个单位长度 【母题解析】 解：由已知中平移前函数解析式为y=sinx, 平移后函数解析式为：y=sin(x+孕， 可得平移量为向左平行移动个单位长度， 故选：A 二、平移变换 一一步平移：同名函数平移 【使用条件】y=sin(ax+,)的图像是由y=sin(wx+p2)的图像左右平移得到. 【方法总结1共平移了P。个单位长度，巴>0响左平移，<0响右平移. 【对应真题】2020江苏：2018天津；2016北京；2016新课标：2016新课标：2015全国： 2015山东；2015湖南 【母题探究】 要得到函数y=sin(4x一)的图象，只需要将函数y=sin4x的图象()个单位 A. 向左平移品 B.向右平移器 C.向左平移 D.向右平移 【母题解析】 解：函数y=sin(4x-的图象通过y=sin4x平移得到， 学。后左加右减， 所以像右平移了个单位长度。 故选B 三、平移变换 一一步平移：异名函数平移 【使用条件】题目出现异名三角函数y=sin(x+:)图像平移得到y=cos(wx+P2). 【方法总结】因为将正弦化成余弦后y=si加(@x+p)=cos(wx+单：-》，所以异名函数 的平移可以利用贮皇计算，左加右减。 【对应真题】2017新课标1 【母题探究】 (209天津)已知函数f闭)=sin(@x+)(xeR,w>0)的最小正周期为元，为了得到函 数g(x)=cos@x的图象，只要将y=f(x)的图象() A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度 【母题解析】 解： 函数f()=sin(ox+)(x∈R,w>0)的最小正周期为元， 则@=2， 1-号左加右流。 2 81 所以像左平移了个单位长度， 故选：A. 四、伸缩变换：横向伸缩 【使用条件】求y=sin(@x+p)的图像上所有点的横坐标伸长或缩短之后的函数。 【方法总结】y=sin(wx+p)的图像由y=sin(x+o)的图像上所有点的伸长(0<w<1) 或缩短(w>1)到原来的上倍得到的 【对应真题】2021乙卷；2019天津 【母题探究】 把函数y=「(x)图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平 移个单位长度，得到函数y=sin(x-)的图像，则fx)=() A.sin作-) B.sn任+) C.sin(2x) D.sin(2x+剖 【母题解析】 解：：把函数y=f(x)图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变， 再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y=5加(x-》的图像， 把函数y=5in(x-）的图像，向左平移个单位长度。 得到y=sin(x+背-)=sin(x+)的图像： 再把图像上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变， 可得fx)=sinx+的图像。 故选：B 82 五、伸缩变换：纵向伸缩 【使用条件】求y=sin(wx+p)的图像上所有点的纵坐标伸长或缩短之后的函数. 【方法总结】y=Asin(awx+p)的图像是由y=sin(ux+g)的图像上所有点的纵坐标伸长 (A>1)或缩短(0<A<1)到原来的A倍得到的. 【母题探究】 为了得到函数y=in(-)的图象，只需将函数y=n(-)的图象上各点() A,横坐标伸长为源来的倍，纵坐标不变 B.横坐标缩短为原来的，纵坐标不变 C,纵坐标伸长为原来的倍，横坐标不变 D.纵坐标缩短为原来的，横坐标不变 【母题解析】 解：将函数y=}s加（一）的图象上各点纵坐标缩短为原来的？横坐标不变即可得到函数y= n(x-)的图象； 故选：D. 三角函数的图像变换的两种方式 三角函数图像变换有两种方式，先平移后伸缩或者先伸缩后平移，变换顺序不 同，平移的单位长度也不同 8