16 三角函数求值——1的妙用&三角函数求值——凑角思想-遇见最美的数学系列——题型篇（一）

解： 已知ana=求cos2a+2sin2a, 给c0s2a+2sin2a(二次整式)除以】(sin2a+c0s2a)得osa+4 sinc sin2g+cos2 a 分子分母同时除以c0s2a得，原式=4an:=华 tan2a+1 25 三角函数求值一1的妙用 一、 二次齐次式一“除1法”： 【使用条件】当tan和含有sin9、cos日的二次整式分别作为条件和问题出现时可用 【方法总结】二次整式除以sin2日+cos20. 二、sin6士cos和sincos8同时出现时： 【使用条件】题目中同时出现sin6土cos0和sin6cos8时可用. 【方法总结】(sin9士cos8)2=1±2sin0cos9. 【母题探究】 (2017~新课标Ⅲ)已知sina-cosa=手，则5in2a=() A-月 B.-号 c. D.日 【母题解析】 解： 已知sina-cosa= (sin a-cos a)2==1-sin 2a, 9 所以sin2a= 7 三、1±sin8: 【使用条件】题目中出现1±sin9时可用. 【方法总结11士sn8=(sn唱±cos. 【母题探究】 (2021新高考1)若tan6=-2,则血61+sn20-{) sin 6+cos6 A月 B.-3 c. D. 【母题解析】 解： 1+sin 20 (sin+cos)2, 则原式=sh06n9+co59)=nm0s9=2= sn28+c0s28 tan8+1 三角函数求值—凑角思想 三角函数式化简与求值要注意观察条件中角之间的联系（和、差、倍、互余、互 补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点. 凑角思想： 【使用条件】已知一个“和差角“的三角函数值，求另一个“和差角的三角函数值 6 【方法总结】一般情况包含特殊角可以直接利用和差公式展开，但效率较低，所以应首先观察 两个角之间是否存在特殊关系。 【母题探究】 设a为锐角，若cos(a+?=-草则sin(2a+孕的值为 【母题解析】 解：sin(2a+9=sim2(e+訓 令B=a+:(g<B<), cosp sing sin 28 =2sinBcosB 三角函数求值一缩角思想 三角函数求值问题中可以通过角所在的象限判断三角函数的正负，但经过运算的 角常常无法直接得到其所在象限，比如α是第一象限的角，Q+”可能出现在第一 象限或第二象限，此时要确定α+三角函数的符号，就需要缩小α的范围. 缩角思想： 【使用条件】已知α所在象限，所求角x+B所在的象限有多种情况， 【方法总结】根据题目条件缩小α的取值范围以确定“+所在的象限】 【母题探究】