15 三角函数求值——构造对偶&三角函数求值——上下齐次-遇见最美的数学系列——题型篇（一）

(2020-浙江)已知tane=2, 则cos26=,tan(e-)=. 【母题解析】 解:将6看成锐角,根据tan9=2构造直角三角形 根据图形可得cose -1.stno. 因为tanf>0,所以0在第一象限或第三象限 tan(9-)--. 三角函数求值__ 构造对偶 构造对偶: 【使用条件】题目条件中含有asinθ土bcosθ=c时可使用 【方法总结】根据已知关系式构造对偶式acosθ干bsinθ=m,m?=a?+b2-c2(m的正负 由9所在的象限确定);联立二式求sin9和cos6. 【母题探究】 (2012·辽宁)已知sina-cosa=v2.aE(0,π).则sin2a=() B. A.-1 C. D.1 【母题解析】 解: 已知sing-cosa=2 构造对偶式cosa+sina=m m=+1+1-2=0 联立方程sina-cosa=2 aE(,n) (cosa+sing=0 Dsr sin 2a=2sina cosa=-1. 三角函数求值-上下齐次 上下齐次: 【使用条件l含sin6、cos6的分式分子分母的每一项次数相同,求tan9(或已知tane求含sin8. cos6的齐次式). 【方法总结】一次齐次式分子分母同时除以cos6.二次齐次式分子分母同时除以cos29.如果 已知二次整式可通过一除1法得到二次齐次式 1母题探究】 (2016·新课标ll)若tana=3. 则cos2a+2sin2a=() A . C.1 D. !母题解析】 {2 解: 已知tana=3. 求cos?a+2 sin 2a 给cos②+2sin 2(二次整式)除以1(sin+cos?g)得ssingcos sin?+ cos?a 分子分母同时除以cos^*q得,原式-1.4n__ an2+125 三角函数求值--1的妙用 一、二次齐次式--“除1法”: 【使用条件】当tane和含有sine,cos9的二次整式分别作为条件和问题出现时可用 【方法总结】二次整式除以sinθ+cos}6. 二、sinθ 士coso和sine coso同时出现时: 【使用条件】题目中同时出现sinf土cose和sinfcose时可用 [方法总结1(sinθ士cosθ)?=1士2sinθcos9 [母题探究] (2017-新课标IlI)已知sing-cosa=.则sin2a=() A._ B.-} C.} D.} 【母题解析】 解: 已知sing-cosa--.