模块03 导数及其应用（测试卷）-2025年高考数学大一轮复习核心题型讲与练+易错重难点专项突破（新高考版）

模块03导数及其应用（测试卷） 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。 1．（2024•江宁区校级二模）曲线在原点处的切线方程为　　 A． B． C． D． 2．（2024•邹城市校级三模）已知，，，则，，的大小关系是　　 A． B． C． D． 3．（2024•江西模拟）已知函数及其导函数定义域均为，记，且，为偶函数，则（7）　　 A．0 B．1 C．2 D．3 4．（2024•辽宁二模）已知函数的定义域为，对任意，有，则“”是“”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分又不必要条件 D．充要条件 5．（2024•鼓楼区校级模拟）关于的不等式的解集中有且仅有两个整数，则正实数的取值范围是　　 A． B．， C．， D． 6．（2024•渝中区校级模拟）若斜率为1的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为　　 A． B．1 C．3 D．或3 7．（2024•河北模拟）当时，恒成立，则实数的取值范围为　　 A．， B． C． D． 8．（2024•福田区校级模拟）已知函数对任意成立，则的最小值为　　 A． B． C．1 D．2 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分。每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分。 9．（2024•渝北区校级模拟）已知函数及其导函数的定义域均为，若是奇函数，（2）（1），且对任意，，，则　　 A． B．（6） C． D． 10．（2024•大兴区校级模拟）已知函数，则下列命题正确的是　　 A．当时，有唯一极小值 B．存在定直线始终与曲线相切 C．存在实数，使为增函数 D．存在实数，使为减函数 11．（2024•河南模拟）定义函数的曲率函数是的导函数），函数在处的曲率半径为该点处曲率的倒数，曲率半径是函数图象在该点处曲率圆的半径，则下列说法正确的是　　 A．若曲线在各点处的曲率均不为0，则曲率越大，曲率圆越小 B．函数在处的曲率半径为1 C．若圆为函数的一个曲率圆，则圆半径的最小值为2 D．若曲线在处的弯曲程度相同，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。 12．（2024•鼓楼区校级模拟）若曲线与轴相切，则实数的值是 　　． 13．（2024•江宁区校级三模）函数在，上的最大值点为 　　． 14．（2024•河南模拟）已知函数点，在曲线上在第一象限），过，的切线相互平行，且分别交轴于，两点，则的最小值为 　　． 四、解答题：本题共5小题（13+15+15+17+17 ）满分77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2024•牧野区校级模拟）函数的图象在处的切线为，． （1）求的值； （2）求在上零点的个数． 16．（2024•雨花区校级一模）已知函数． （1）若是函数的极值点，求在，处的切线方程． （2）若，求在区间，上最大值． 17．（2024•顺德区模拟）已知． （Ⅰ）若，证明：在上单调递增； （Ⅱ）若， 证明：存在唯一的实数，，对，，成立； 记中，证明：当时，． 18．（2024•相城区校级一模）已知函数． （1）讨论的单调性； （2）证明：； （3）若函数有三个不同的零点，求的取值范围． 19．（2024•天心区校级模拟）帕德近似是法国数学家亨利．帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数，，函数在处的，阶帕德近似定义为： ，且满足：，，，，． （注，，，，；为的导数） 已知在处的，阶帕德近似为． （1）求实数，的值； （2）比较与的大小； （3）若在上存在极值，求的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 模块03导数及其应用（测试卷） 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。 1．（2024•江宁区校级二模）曲线在原点处的切线方程为　　 A． B． C． D． 【分析】根据导数的几何意义即可得解． 【解答】解：由题意，令，，则， 又，故切线方程为． 故选：． 【点评】本题考查导数的几何意义，属于基础题． 2．（2024•邹城市校级三模）已知，，，则，，的大小关系是　　 A． B． C． D． 【分析】设函数，，求导可知在上单调递增，可得，即，再结合对数函数和指数函数的性质求解即可． 【解答】解：设函数，， 则， 在上单调递增， ，即， ，即， ，， ，， ． 故选：． 【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，考查了指数函数和对数函数的性质，属于中档题． 3．（2024•江西模拟）已知函数及其导函数定义域均为，记，且，为偶函数，则（7）　　 A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】对两边同时求导，结合函数的周期和偶函数的性质进行求解即可． 【解答】解：因为为偶函数，， 所以， 对两边同时求导，得， 所以有，所以函数的周期为8， 在中，令，所以（2）， 因此（2）， 因为为偶函数， 所以有（7）（1）， （7）（2）， 由（1），（2）可得：（7）， 所以（7）， 故选：． 【点评】本题主要考查导数的运算，考查转化能力，属于中档题． 4．（2024•辽宁二模）已知函数的定义域为，对任意，有，则“”是“”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分又不必要条件 D．充要条件 【分析】根据题意，构造函数，可得函数在上单调递增，再根据函数单调性解得，由充分性必要性的定义，即可得到结果． 【解答】解：因为，则， 令，则，所以在上单调递增． ， 所以“”是“”的充分不必要条件． 故选：． 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，充分条件与必要条件，属于中档题． 5．（2024•鼓楼区校级模拟）关于的不等式的解集中有且仅有两个整数，则正实数的取值范围是　　 A． B．， C．， D． 【分析】设，，画出图象，数形结合即可得答案． 【解答】解：由题意可知，， 设，， 由．可知在上为减函数， 在，上为增函数， 的图象恒过点，在同一坐标系中作出，的图象如图， 由于，若原不等式有且只有两个整数，，使得， 且，则，即， 解得． 故选：． 【点评】本题考查函数图象与方程的解的关系，考查分类讨论思想和数形结合，属于中档题． 6．（2024•渝中区校级模拟）若斜率为1的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为　　 A． B．1 C．3 D．或3 【分析】设切点为，根据题意可得，，且，由此可得的值． 【解答】解：设切点为， 由，可得， 则，即， 可得， 则切线方程为，即， 又圆心坐标为，半径为， 则， 解得， 若，则， 若，则． 故选：． 【点评】本题考查导数的几何意义以及直线与圆相切的性质，考查运算求解能力，属于中档题． 7．（2024•河北模拟）当时，恒成立，则实数的取值范围为　　 A．， B． C． D． 【分析】化简得到，再由，结合三角函数的图象与性质，即可求解． 【解答】解：由，可得， 因为，可得，所以， 可得， 又因为， 所以 即， 因为， 因为，可得，所以， 则，则， 要使得不等式，即恒成立， 所以，即实数的取值范围为． 故选：． 【点评】本题考查三角函数的恒等变换和不等式恒成立问题，考查转化思想和运算能力，属于中档题． 8．（2024•福田区校级模拟）已知函数对任意成立，则的最小值为　　 A． B． C．1 D．2 【分析】由导数探讨恒成立的不等式并建立，的不等式，再构造函数，利用导数求出最小值即得． 【解答】解：函数，则，依题意，， 当时，恒有，函数单调递增，故当时，， 而函数在上单调递增，函数值集合为， 因此存在，当时，，不符合题意，则有， 当时，，当时，， 则函数在，上单调递减，在，上单调递增， 即有，于是， 则， 令，则， 当时，（a），当时，（a）， 即函数（a）在上递减，在上递增，因此， 所以的最小值为2． 故选：． 【点评】本题主要考查了导数与单调性在不等式恒成立求解参数范围中的应用，体现了转化思想及分类讨论思想的应用，属于中档题． 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分。每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分。 9．（2024•渝北区校级模拟）已知函数及其导函数的定义域均为，若是奇函数，（2）（1），且对任意，，，则　　 A． B．（6） C． D． 【分析】根据题意，利用赋值法，结合函数奇偶性的定义，依次分析选项是否正确，综合可得答案． 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于，令，得（2）（1）（1），因为（2）（1）， 所以（1），所以正确； 对于和，令，得（1）（1）①， 所以（1）（1）， 因为是奇函数，所以是偶函数， 所以（1）（1）②， 由①②， 得（1）， 即， 所以， 所以，是周期为3的函数，所以（6），正确； 对于，由的结论，（1）（2）（1）（2）（3）（1）（2），故错误； 对于，因为（2）（1）， 在①中令得（1）（1）（1）， 所以， （1）（2）（3）（1）（2），所以正确． 故选：． 【点评】本题考查抽象函数的性质，涉及函数的奇偶性以及导数的计算，属于难题． 10．（2024•大兴区校级模拟）已知函数，则下列命题正确的是　　 A．当时，有唯一极小值 B．存在定直线始终与曲线相切 C．存在实数，使为增函数 D．存在实数，使为减函数 【分析】通过判对函数求导，结合零点存在性定理判断；由题意可知，，恒成立，即可求出切线方程，进而判断，由中结论，可判断；当时，可利用导数判断出为减函数，可判断． 【解答】解：对于，当时，，定义域为， 所以， 令，则， 由得或，由得， 所以在上单调递减，在和上单调递增， 又，，（1）， 所以在中存在唯一点，使， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在，上单调递增， 所以有唯一极小值，故正确； 对于，， 所以， 因为，， 所以存在定直线与曲线相切，故正确； 对于，由可知，不论为何值，恒成立， 故不能为增函数，故错误； 对于，当时，， 令， ， 令，则， 所以当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 当，，且， 所以恒成立，故， 所以，当，为减函数，故正确． 故选：． 【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值，导数的几何意义，考查运算求解能力，属于难题． 11．（2024•河南模拟）定义函数的曲率函数是的导函数），函数在处的曲率半径为该点处曲率的倒数，曲率半径是函数图象在该点处曲率圆的半径，则下列说法正确的是　　 A．若曲线在各点处的曲率均不为0，则曲率越大，曲率圆越小 B．函数在处的曲率半径为1 C．若圆为函数的一个曲率圆，则圆半径的最小值为2 D．若曲线在处的弯曲程度相同，则 【分析】直接根据倒数的性质即知正确；直接根据曲率半径的定义计算函数在处的曲率，再取倒数得到曲率半径即可判断正确；使用三元均值不等式可以证明函数的曲率圆的半径一定大2，从而错误；设，，然后将条件转化为关于，的等式，再使用基本不等式进行处理，即可证明正确． 【解答】解：对于，若曲线在各点处的曲率均不为0，显然，由知， 由于曲线在处的曲率为，曲率圆的半径为， 所以曲率圆的半径等于曲率的倒数，而曲率大于0，所以曲率越大，曲率圆越小，正确； 对于，，直接计算知， 所以， 从而函数在处的曲率为1， 从而函数在处的曲率半径为1的倒数，即1，正确； 对于，若，直接计算知， 这里．所以处的自率圆半径， 从而我们有， 所以圆的半径一定大于2，不可能以2为最小值，错误； 时于．若，在选项的过程中已经计算得知， 现在如果曲线在，处的弯曲程度相同，则， 故， 所以，即， 设，，则，，， ， 将两边展开， 得到， 从而， 故， 而， 故， 这意味着， 从而， 定义函数， 则， 由于， 函数在上递增， 故， 所以，正确． 故选：． 【点评】本题考查导数的应用，属于难题． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。 12．（2024•鼓楼区校级模拟）若曲线与轴相切，则实数的值是 　　． 【分析】设切点为，，根据导数的几何意义列出方程组，求解即可． 【解答】解：令，， 由题意知，切点为，，则①， 因为曲线与轴相切，所以②， 联立①②可得，，． 故答案为：． 【点评】本题考查根据函数方程求解参数和解问题，属于中档题． 13．（2024•江宁区校级三模）函数在，上的最大值点为 　　． 【分析】求出函数的导函数，即可求出函数的单调区间，从而求出函数的极值点，即可求出函数最大值点． 【解答】解：由题意得， 当时，， 所以在和上单调递减， 当时，， 所以在上单调递增， 所以在处取得极小值，在处取得极大值， 当时，； 当时，函数取得极大值； 因为，所以最大值点为． 故答案为：． 【点评】本题考查利用导数研究函数的极值点，考查运算求解能力，属于中档题． 14．（2024•河南模拟）已知函数点，在曲线上在第一象限），过，的切线相互平行，且分别交轴于，两点，则的最小值为 　　． 【分析】利用给定条件得到，再把目标式化为一元函数，求导研究最值即可． 【解答】解：易知，设，，，，则， 设切线斜率为，则，所以， 设，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以的最小值为，所以的最小值为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查利用导数研究切线方程，属于中档题． 四、解答题：本题共5小题（13+15+15+17+17 ）满分77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2024•牧野区校级模拟）函数的图象在处的切线为，． （1）求的值； （2）求在上零点的个数． 【分析】（1）对函数求导，利用导数的几何意义可得与的方程，解出即可； （2）判断函数的单调性，利用零点存在性定理即可得出结论． 【解答】解：（1）对函数求导可得，， 则， 又， 则，， 解得． （2）由（1）知，， 当时，， 因此在，无零点； 当时，易知单调递增， 又，， 所以在上存在唯一的零点， 当，，，单调递增； 当，，单调递减； 又， 因此在上仅有1个零点； 综上，在上仅有1个零点． 【点评】本题考查导数的几何意义以及利用导数研究函数的零点个数，考查运算求解能力，属于中档题． 16．（2024•雨花区校级一模）已知函数． （1）若是函数的极值点，求在，处的切线方程． （2）若，求在区间，上最大值． 【分析】（1）根据函数的导数在极值点处的函数值为零，求得的值，继而可求得点的坐标，及切线的斜率，即可求得切线方程； （2）根据函数的单调性，分类讨论比较和（2）的大小，即可求得． 【解答】解：（1），， 又是函数的极值点， （1）， ，， ，， 在，处的切线方程为． （2）若，， 在单调递减，在单调递增， 而，（2）， ①当，即时，， ②当，即时，， 在区间，上最大值为． 【点评】本题考查了导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性和最值，属于中档题． 17．（2024•顺德区模拟）已知． （Ⅰ）若，证明：在上单调递增； （Ⅱ）若， 证明：存在唯一的实数，，对，，成立； 记中，证明：当时，． 【分析】（Ⅰ）根据 “，得出在上单调递增，再结合，，即可得证； （Ⅱ）分别判断函数的单调性，当，时，得出所以单调递减；当时，得出存在唯一的实数，使得，且为函数在区间上的唯一极小值点，当时，通过构造函数，即证恒成立，得出时，函数单调递增，进而为区间，内的唯一最小值点． 任取，，其中，，通过作差法得出，即可得出当时，． 【解答】解：（Ⅰ）证明：， “， 因为，所以 “， 所以在上单调递增， 又因为，， 所以函数在上单调递增． （Ⅱ）证明：①当，时，由于，， ，所以，所以单调递减； ②当时，，单调递增，又， ，所以在上存在唯一的实数，使得， 且当时，，单调递减；当时，，单调递增， 故为函数在区间上的唯一极小值点， ③当时，可证当时，单调递增， 即证恒成立，证明如下： 要使恒成立，只需证恒成立， 令，即证恒成立， 由于，结合与的图象可得，存在使得， 则，所以在上的最小值， 显然，，， 由于，所以， 所以有，， 综上可证成立，故时，函数单调递增， 故为区间，内的唯一最小值点． 证明：由知，当时，在上单调递增．故有成立， 任取，，其中，， 则， 因为，，， 所以，所以， 故当时，， 综上可证，当时，． 【点评】本题考查导数的综合应用，属于难题． 18．（2024•相城区校级一模）已知函数． （1）讨论的单调性； （2）证明：； （3）若函数有三个不同的零点，求的取值范围． 【分析】（1）求出的定义域，对求导，利用导数与单调性的关系求解即可； （2）由（1）可得时，，从而可得，令，利用放缩法可得，利用裂项求和法即可得证； （3）对化简可得，只有一个零点，令，由（1），则有三个不同的零点等价于函数有三个不同的零点，分和两种情况讨论，结合零点存在性定理即可求解． 【解答】解：（1）函数定义域为， 因为， 设，则△， ①当时，△，恒成立，且至多一点处为0； ②当时，△，有两个零点，， 所以当时，，即；当时，，即； 当时，，即． 综上所述：当时，在上单调递减； 当时，在，，上单调递减，在，上单调递增； （2）证明：由（1）知当时，时，， 所以，令， 则 ， ， 所以； （3）， 因为与同号，所以只有一个零点， 令，由（1），则有三个不同的零点等价于函数有三个不同的零点， 由（1）知：当时，在上单调递减，不合题意； 当时，因为（1），且，所以，所以（1）， 由（2）知，时，， 所以，即， 所以， 所以由零点存在性定理知，在区间上有唯一的一个零点， 因为， 因为，所以， 所以时，存在三个不同的零点，1，， 故实数的取值范围是． 【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于难题． 19．（2024•天心区校级模拟）帕德近似是法国数学家亨利．帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数，，函数在处的，阶帕德近似定义为： ，且满足：，，，，． （注，，，，；为的导数） 已知在处的，阶帕德近似为． （1）求实数，的值； （2）比较与的大小； （3）若在上存在极值，求的取值范围． 【分析】（1）根据定义，分别求出，，，，根据，，即可求出结果； （2）作差，构造函数，，求导，利用导数研究函数的最值，即可求出结果； （3）函数在上存在极值，即其导数在上有变号零点，构造函数，，求导，分析该函数的单调性和最值，利用零点存在定理可得结果． 【解答】解：（1），， ， ，， 因为，，所以， 解得，． （2）令，， 则 恒成立， 所以在上单调递增，且， 所以当时，，即， 当时，，即， 当时，，即． （3） ，， ， 因为在上存在极值， 所以在上存在变号零点， 令，， ， ①当时，，所以在上单调递减， ，所以无零点，不符号题意； ， ②当时，，所以在上单调递增， ，所以，所以在上单调递增， 所以，所以无零点，不符号题意； ③当时，令，得， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在，上单调递增， 所以， 令，， ，所以在上单调递增， （1）， 所以， 因为，，所以， 所以，所以； ， 令； ， 所以， 令，则，所以， ， 所以，所以在上存在零点，即在上存在极值点， 所以的取值范围为． 【点评】本题考查导数综合应用，属难题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$